{"id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"1.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-3)\nWartość prędkości początkowej kulki K1 wynosi v଴ଵ= 7,9 m/s.\nOblicz wartość v𝒌𝟏 prędkości kulki K1 tuż przed uderzeniem w poziome podłoże.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.1.\n1.2.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach\nna przykładzie rzutu poziomego;\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości końcowej kulki K1 (z zasady zachowania\nenergii lub z równań ruchu) oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii\nmechanicznej kulki K1, z którego można bezpośrednio obliczyć prędkość końcową\nkulki K1 (np. podobnie jak w sposobie 1.)\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie wzoru na prędkość końcową kulki K1 w postaci: 𝑣𝑘1 = √𝑣01\n2 + 𝑣𝑘𝑦\n2 oraz\nuwzględnienie (zapisanie lub wyprowadzenie z równań ruchu albo zasady zachowania\nenergii), że: 𝑣𝑘𝑦= √2𝑔ℎ1\nLUB\n- zapisanie równania 𝑣𝑘1 = √𝑣01\n2 + (𝑔𝑡1)2 (może być w formie z podstawionymi\nwartościami liczbowymi lub równanie podniesione obustronnie do kwadratu) oraz\npoprawne obliczenie czasu trwania ruchu: 𝑡1 ≈1,0 s. (np. równoważnie jak\nw sposobie 2.).\n1 pkt - wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej: przyrównanie energii\nmechanicznej początkowej do energii mechanicznej końcowej łącznie z identyfikacją\nenergii początkowej jako sumy energii kinetycznej i potencjalnej, a energii końcowej\njako energii kinetycznej (np. podobnie jak w sposobie 1.) (gdy poziom zera energii\npotencjalnej jest dla ℎ= 0)\nLUB\n- zapisanie wzoru na prędkość końcową kulki K1 w postaci: 𝑣𝑘1 = √𝑣01\n2 + 𝑣𝑘𝑦\n2 oraz\nskorzystanie ze związku: 𝑣𝑘𝑦= 𝑔𝑡1, przy czym mogą to być oddzielne zapisy lub jedno\nrównanie równoważne: 𝑣𝑘1 = √𝑣01\n2 + (𝑔𝑡1)2 (np. podobnie jak w sposobie 2.).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nZdający może wykorzystać obliczony w zadaniu 1.1. czas 𝑡1.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1. (wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej)\nZgodnie z założeniem o pominięciu oporów powietrza, wykorzystamy zasadę zachowania\nenergii mechanicznej: energia mechaniczna w chwili początkowej rzutu jest równa energii\nmechanicznej w chwili końcowej trwania rzutu:\n𝐸0 = 𝐸𝑘\n𝐸𝑘𝑖𝑛 0 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 0 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘+ 0\nZastosujemy wzory na energię kinetyczną i potencjalną, przekształcamy je, podstawimy dane\ni wykonamy obliczenia.\n1\n2 𝑚𝑣01\n2 + 𝑚𝑔ℎ1 = 1\n2 𝑚𝑣𝑘1\n2\n1\n2 𝑣01\n2 + 𝑔ℎ1 = 1\n2 𝑣𝑘1\n2\n𝑣𝑘1 = √2𝑔ℎ1 + 𝑣01\n2 ≈√2 ⋅9,8 ⋅5 + 7,92 m\ns ≈12,7 m\ns ≈13 m\ns\nSposób 2. (wykorzystanie równań ruchu)\nRzut poziomy jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego w poziomie i ruchu\njednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej w pionie.\nPrędkość końcową kulki K1 w kierunku pionowym oznaczymy jako 𝑣𝑘𝑦.\nPrędkość w kierunku poziomym się nie zmienia, zatem 𝑣𝑘𝑥= 𝑣01.\nPrędkość końcowa kulki K1 wyraża się wzorem:\n𝑣𝑘1 = √𝑣𝑘𝑥\n2 + 𝑣𝑘𝑦\n2 = √𝑣01\n2 + 𝑣𝑘𝑦\n2\nWyznaczymy 𝑣𝑘𝑦 z równań ruchu (w kierunku poziomym i pionowym):\n𝑣𝑘𝑦= 𝑔𝑡1 oraz ℎ1 = 1\n2 𝑔𝑡1\n2 → 𝑣𝑘𝑦= 𝑔√2ℎ1\n𝑔\nZ powyższych zależności otrzymujemy:\n𝑣𝑘1 = √𝑣01\n2 + (𝑔√2ℎ1\n𝑔)\n2\n= √𝑣01\n2 + 2𝑔ℎ1\n𝑣𝑘1 ≈√7,92 + 2 ⋅9,8 ⋅5 m\ns ≈12,7 m\ns ≈13 m\ns","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + 2gh_1} \\approx 12{,}7 \\; \\text{m/s} \\approx \\mathbf{13 \\; \\text{m/s}}\\]\n\n(zgodnie z kluczem CKE; \\(h_1 = 5{,}0\\) m, \\(v_{01} = 7{,}9\\) m/s, \\(g = 9{,}8\\) m/s\\(^2\\))\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej\n\nKulka K\\(_1\\) zostaje rzucona poziomo z prędkością \\(v_{01}\\) z wysokości \\(h_1 = 5{,}0\\) m nad podłożem. Pomijamy opory ruchu, więc energia mechaniczna jest zachowana:\n\n\\[E_0 = E_k\\]\n\n\\[\\frac{1}{2}mv_{01}^2 + mgh_1 = \\frac{1}{2}mv_{k1}^2\\]\n\nPo skróceniu przez \\(m\\):\n\n\\[v_{k1}^2 = v_{01}^2 + 2gh_1\\]\n\n\\[v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + 2gh_1} = \\sqrt{7{,}9^2 + 2 \\cdot 9{,}8 \\cdot 5{,}0} = \\sqrt{62{,}41 + 98} = \\sqrt{160{,}41} \\approx 12{,}7 \\; \\text{m/s}\\]\n\n\\[\\boxed{v_{k1} \\approx 13 \\; \\text{m/s}}\\]\n\n> **Dlaczego ZZE działa?** Cała energia potencjalna grawitacji zamienia się na energię kinetyczną, dodaną do początkowej energii kinetycznej ruchu poziomego. Metoda nie wymaga liczenia czasu lotu.\n\n## Sposób 2 - Rozkład na składowe (kinematyka rzutu poziomego)\n\nRzut poziomy = ruch jednostajny w poziomie + swobodny spadek w pionie.\n\n**Krok 1 - czas lotu** (spadek z wysokości \\(h_1 = 5{,}0\\) m):\n\n\\[h_1 = \\frac{1}{2}g t_1^2 \\implies t_1 = \\sqrt{\\frac{2h_1}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 5{,}0}{9{,}8}} \\approx 1{,}01 \\; \\text{s}\\]\n\n(to ten sam czas \\(t_1\\), który pojawił się w zadaniu 1.1.)\n\n**Krok 2 - pionowa składowa prędkości tuż przed uderzeniem:**\n\n\\[v_{ky} = g \\cdot t_1 = 9{,}8 \\cdot 1{,}01 \\approx 9{,}9 \\; \\text{m/s}\\]\n\n**Krok 3 - prędkość wypadkowa (twierdzenie Pitagorasa na prostopadłych składowych):**\n\nSkładowa pozioma jest stała: \\(v_x = v_{01} = 7{,}9\\) m/s.\n\n\\[v_{k1} = \\sqrt{v_x^2 + v_{ky}^2} = \\sqrt{7{,}9^2 + 9{,}9^2} = \\sqrt{62{,}41 + 98{,}0} = \\sqrt{160{,}4} \\approx 12{,}7 \\; \\text{m/s} \\approx 13 \\; \\text{m/s}\\]\n\nTen sam wynik co w Sposobie 1.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Oficjalny klucz CKE (zadanie 1.2, 0-3 pkt):\n> - 3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości końcowej kulki K1 (z zasady zachowania energii lub z równań ruchu) oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.\n> - 2 pkt - poprawne zapisanie równania z zasady zachowania energii mechanicznej, z którego można bezpośrednio obliczyć prędkość końcową; LUB zapis \\(v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + v_{ky}^2}\\) oraz \\(v_{ky} = \\sqrt{2gh_1}\\); LUB równanie \\(v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + (gt_1)^2}\\) oraz poprawne obliczenie \\(t_1 \\approx 1{,}0\\) s.\n> - 1 pkt - wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej (przyrównanie energii początkowej Ek+Ep do końcowej Ek); LUB zapis \\(v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + v_{ky}^2}\\) oraz skorzystanie ze związku \\(v_{ky} = gt_1\\).\n> - 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\n>\n> Uwaga: zdający może wykorzystać obliczony w zadaniu 1.1 czas \\(t_1\\).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka:**\n>\n> - Zasada zachowania energii mechanicznej: \\(\\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \\text{const}\\)\n> - Ruch poziomy (jednostajny): \\(x = v_{01} t\\)\n> - Swobodny spadek: \\(h = \\frac{1}{2}g t^2\\), \\(v_y = g t\\)\n>\n> Sposób 1 korzysta z ZZE, Sposób 2 z kinematyki.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** wysokość rzutu to \\(h_1 = 5{,}0\\) m (kulka K\\(_1\\) startuje z \\(y = 5\\) m, zgodnie z rysunkiem) - NIE 2,0 m (to wysokość kulki K\\(_2\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** do obliczeń w zadaniach 1.1.-1.2. przyjmujemy \\(g = 9{,}8\\) m/s\\(^2\\) (z polecenia), a nie \\(g = 10\\) m/s\\(^2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** prędkości składowe (pozioma i pionowa) są prostopadłe - łączymy je twierdzeniem Pitagorasa, nie dodajemy algebraicznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** wynik CKE zaokrągla do dwóch cyfr znaczących: \\(12{,}7 \\approx 13\\) m/s.","image":"img/fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":"Pęd, energia mechaniczna","page_from":3,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.2. (0-3)
Wartość prędkości początkowej kulki K1 wynosi v଴ଵ= 7,9 m/s.
Oblicz wartość v𝒌𝟏 prędkości kulki K1 tuż przed uderzeniem w poziome podłoże.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.1.
1.2.
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 1.2. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach
na przykładzie rzutu poziomego;
3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości końcowej kulki K1 (z zasady zachowania
energii lub z równań ruchu) oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii
mechanicznej kulki K1, z którego można bezpośrednio obliczyć prędkość końcową
kulki K1 (np. podobnie jak w sposobie 1.)
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

2 + 𝑣𝑘𝑦
2 oraz
uwzględnienie (zapisanie lub wyprowadzenie z równań ruchu albo zasady zachowania
energii), że: 𝑣𝑘𝑦= √2𝑔ℎ1
LUB

\n\n

2 + (𝑔𝑡1)2 (może być w formie z podstawionymi
wartościami liczbowymi lub równanie podniesione obustronnie do kwadratu) oraz
poprawne obliczenie czasu trwania ruchu: 𝑡1 ≈1,0 s. (np. równoważnie jak
w sposobie 2.).
1 pkt - wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej: przyrównanie energii
mechanicznej początkowej do energii mechanicznej końcowej łącznie z identyfikacją
energii początkowej jako sumy energii kinetycznej i potencjalnej, a energii końcowej
jako energii kinetycznej (np. podobnie jak w sposobie 1.) (gdy poziom zera energii
potencjalnej jest dla ℎ= 0)
LUB

\n\n

2 + 𝑣𝑘𝑦
2 oraz
skorzystanie ze związku: 𝑣𝑘𝑦= 𝑔𝑡1, przy czym mogą to być oddzielne zapisy lub jedno
równanie równoważne: 𝑣𝑘1 = √𝑣01
2 + (𝑔𝑡1)2 (np. podobnie jak w sposobie 2.).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa
Zdający może wykorzystać obliczony w zadaniu 1.1. czas 𝑡1.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1. (wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej)
Zgodnie z założeniem o pominięciu oporów powietrza, wykorzystamy zasadę zachowania
energii mechanicznej: energia mechaniczna w chwili początkowej rzutu jest równa energii
mechanicznej w chwili końcowej trwania rzutu:
𝐸0 = 𝐸𝑘
𝐸𝑘𝑖𝑛 0 + 𝐸𝑝𝑜𝑡 0 = 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘+ 0
Zastosujemy wzory na energię kinetyczną i potencjalną, przekształcamy je, podstawimy dane
i wykonamy obliczenia.
1
2 𝑚𝑣01
2 + 𝑚𝑔ℎ1 = 1
2 𝑚𝑣𝑘1
2
1
2 𝑣01
2 + 𝑔ℎ1 = 1
2 𝑣𝑘1
2
𝑣𝑘1 = √2𝑔ℎ1 + 𝑣01
2 ≈√2 ⋅9,8 ⋅5 + 7,92 m
s ≈12,7 m
s ≈13 m
s
Sposób 2. (wykorzystanie równań ruchu)
Rzut poziomy jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego w poziomie i ruchu
jednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej w pionie.
Prędkość końcową kulki K1 w kierunku pionowym oznaczymy jako 𝑣𝑘𝑦.
Prędkość w kierunku poziomym się nie zmienia, zatem 𝑣𝑘𝑥= 𝑣01.
Prędkość końcowa kulki K1 wyraża się wzorem:
𝑣𝑘1 = √𝑣𝑘𝑥
2 + 𝑣𝑘𝑦
2 = √𝑣01
2 + 𝑣𝑘𝑦
2
Wyznaczymy 𝑣𝑘𝑦 z równań ruchu (w kierunku poziomym i pionowym):
𝑣𝑘𝑦= 𝑔𝑡1 oraz ℎ1 = 1
2 𝑔𝑡1
2 → 𝑣𝑘𝑦= 𝑔√2ℎ1
𝑔
Z powyższych zależności otrzymujemy:
𝑣𝑘1 = √𝑣01
2 + (𝑔√2ℎ1
𝑔)
2
= √𝑣01
2 + 2𝑔ℎ1
𝑣𝑘1 ≈√7,92 + 2 ⋅9,8 ⋅5 m
s ≈12,7 m
s ≈13 m
s

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + 2gh_1} \\approx 12{,}7 \\; \\text{m/s} \\approx \\mathbf{13 \\; \\text{m/s}}\\]

\n

(zgodnie z kluczem CKE; \\(h_1 = 5{,}0\\) m, \\(v_{01} = 7{,}9\\) m/s, \\(g = 9{,}8\\) m/s\\(^2\\))

\n

Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej

\n

Kulka K\\(1\\) zostaje rzucona poziomo z prędkością \\(v{01}\\) z wysokości \\(h_1 = 5{,}0\\) m nad podłożem. Pomijamy opory ruchu, więc energia mechaniczna jest zachowana:

\n

\\[E_0 = E_k\\]

\n

\\[\\frac{1}{2}mv_{01}^2 + mgh_1 = \\frac{1}{2}mv_{k1}^2\\]

\n

Po skróceniu przez \\(m\\):

\n

\\[v_{k1}^2 = v_{01}^2 + 2gh_1\\]

\n

\\[v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + 2gh_1} = \\sqrt{7{,}9^2 + 2 \\cdot 9{,}8 \\cdot 5{,}0} = \\sqrt{62{,}41 + 98} = \\sqrt{160{,}41} \\approx 12{,}7 \\; \\text{m/s}\\]

\n

\\[\\boxed{v_{k1} \\approx 13 \\; \\text{m/s}}\\]

\n
Dlaczego ZZE działa? Cała energia potencjalna grawitacji zamienia się na energię kinetyczną, dodaną do początkowej energii kinetycznej ruchu poziomego. Metoda nie wymaga liczenia czasu lotu.
\n

Sposób 2 - Rozkład na składowe (kinematyka rzutu poziomego)

\n

Rzut poziomy = ruch jednostajny w poziomie + swobodny spadek w pionie.

\n

Krok 1 - czas lotu (spadek z wysokości \\(h_1 = 5{,}0\\) m):

\n

\\[h_1 = \\frac{1}{2}g t_1^2 \\implies t_1 = \\sqrt{\\frac{2h_1}{g}} = \\sqrt{\\frac{2 \\cdot 5{,}0}{9{,}8}} \\approx 1{,}01 \\; \\text{s}\\]

\n

(to ten sam czas \\(t_1\\), który pojawił się w zadaniu 1.1.)

\n

Krok 2 - pionowa składowa prędkości tuż przed uderzeniem:

\n

\\[v_{ky} = g \\cdot t_1 = 9{,}8 \\cdot 1{,}01 \\approx 9{,}9 \\; \\text{m/s}\\]

\n

Krok 3 - prędkość wypadkowa (twierdzenie Pitagorasa na prostopadłych składowych):

\n

Składowa pozioma jest stała: \\(v_x = v_{01} = 7{,}9\\) m/s.

\n

\\[v_{k1} = \\sqrt{v_x^2 + v_{ky}^2} = \\sqrt{7{,}9^2 + 9{,}9^2} = \\sqrt{62{,}41 + 98{,}0} = \\sqrt{160{,}4} \\approx 12{,}7 \\; \\text{m/s} \\approx 13 \\; \\text{m/s}\\]

\n

Ten sam wynik co w Sposobie 1.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 1.2, 0-3 pkt):
- 3 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości końcowej kulki K1 (z zasady zachowania energii lub z równań ruchu) oraz prawidłowy wynik liczbowy z jednostką.
- 2 pkt - poprawne zapisanie równania z zasady zachowania energii mechanicznej, z którego można bezpośrednio obliczyć prędkość końcową; LUB zapis \\(v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + v_{ky}^2}\\) oraz \\(v_{ky} = \\sqrt{2gh_1}\\); LUB równanie \\(v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + (gt_1)^2}\\) oraz poprawne obliczenie \\(t_1 \\approx 1{,}0\\) s.
- 1 pkt - wykorzystanie zasady zachowania energii mechanicznej (przyrównanie energii początkowej Ek+Ep do końcowej Ek); LUB zapis \\(v_{k1} = \\sqrt{v_{01}^2 + v_{ky}^2}\\) oraz skorzystanie ze związku \\(v_{ky} = gt_1\\).
- 0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.

Uwaga: zdający może wykorzystać obliczony w zadaniu 1.1 czas \\(t_1\\).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka:

- Zasada zachowania energii mechanicznej: \\(\\frac{1}{2}mv^2 + mgh = \\text{const}\\)
- Ruch poziomy (jednostajny): \\(x = v_{01} t\\)
- Swobodny spadek: \\(h = \\frac{1}{2}g t^2\\), \\(v_y = g t\\)

Sposób 1 korzysta z ZZE, Sposób 2 z kinematyki.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: wysokość rzutu to \\(h_1 = 5{,}0\\) m (kulka K\\(_1\\) startuje z \\(y = 5\\) m, zgodnie z rysunkiem) - NIE 2,0 m (to wysokość kulki K\\(_2\\)).
\n
⚠️ Uwaga: do obliczeń w zadaniach 1.1.-1.2. przyjmujemy \\(g = 9{,}8\\) m/s\\(^2\\) (z polecenia), a nie \\(g = 10\\) m/s\\(^2\\).
\n
⚠️ Uwaga: prędkości składowe (pozioma i pionowa) są prostopadłe - łączymy je twierdzeniem Pitagorasa, nie dodajemy algebraicznie.
\n
⚠️ Uwaga: wynik CKE zaokrągla do dwóch cyfr znaczących: \\(12{,}7 \\approx 13\\) m/s.
"}]}