{"id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"2.2","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-1)\nDokończ zdania. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź D, E albo F.\n1.\nJeżeli wzrośnie wartość prędkości, z jaką ciało ℬ porusza się po okręgu, to kąt 𝛼 między\nnicią a kierunkiem pionowym\nA. się zwiększy.\nB. się nie zmieni.\nC. się zmniejszy.\n2.\nJeżeli wzrośnie wartość prędkości, z jaką ciało ℬ porusza się po okręgu, to wartość siły\nnapięcia nici\nD. wzrośnie.\nE. pozostanie taka sama.\nF. zmaleje.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 2.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem oraz wskazuje przykłady sił\npełniących rolę siły dośrodkowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nAD","solution":"Mam pełną treść zadania z pliku JSON. Piszę rozwiązanie:\n\n## Poprawna odpowiedź\n\n**A** - kąt α się zwiększy.   |   **D** - wartość siły napięcia nici wzrośnie.\n\n## Sposób 1 - Równania ruchu wahadła stożkowego (analiza sił)\n\nDla ciała B poruszającego się po okręgu (wahadło stożkowe) działają dwie siły:\n- \\(\\vec{F}_g = mg\\) - pionowo w dół\n- \\(\\vec{F}_n\\) - wzdłuż nici ku punktowi P (pod kątem α do pionu)\n\nRzutujemy równanie ruchu na dwa kierunki:\n\n**Pionowy** (ciało nie porusza się w pionie → równowaga):\n\\[\nF_n \\cos\\alpha = mg \\quad \\Longrightarrow \\quad F_n = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}\n\\]\n\n**Poziomy** (dostarcza siłę dośrodkową, \\(r = l\\sin\\alpha\\)):\n\\[\nF_n \\sin\\alpha = \\frac{mv^2}{r} = \\frac{mv^2}{l\\sin\\alpha}\n\\]\n\nDzielimy równanie poziome przez pionowe:\n\\[\n\\tan\\alpha = \\frac{v^2}{l \\sin\\alpha \\cdot g}\n\\quad\\Longrightarrow\\quad\n\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{v^2}{lg}\n\\]\n\n**Gdy \\(v\\) rośnie**, prawa strona \\(\\dfrac{v^2}{lg}\\) rośnie.\n\nFunkcja \\(f(\\alpha) = \\dfrac{\\sin^2\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) jest **ściśle rosnąca** dla \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\) - więc **α musi rosnąć**. → **odpowiedź A** ✓\n\nZ \\(F_n = \\dfrac{mg}{\\cos\\alpha}\\): gdy α rośnie → \\(\\cos\\alpha\\) maleje → **\\(F_n\\) rośnie**. → **odpowiedź D** ✓\n\n## Sposób 2 - Eliminacja błędnych opcji przez fizykę\n\n**Dla kąta α:**\n\nIntuicja: wyobraź sobie, że kręcisz kamieniem na sznurku coraz szybciej. Sznurek unosi się coraz bardziej poziomo - kąt od pionu rośnie. Przy \\(v \\to 0\\) nić wisi pionowo (\\(\\alpha = 0\\)); przy \\(v \\to \\infty\\) nić byłaby pozioma (\\(\\alpha \\to 90°\\)).\n\nFormalnie z \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{v^2}{lg\\cos\\alpha}\\cdot\\dfrac{1}{1}\\) - każdy wzrost \\(v\\) wymaga wzrostu \\(\\alpha\\), bo lewa strona jest rosnąca w α, a prawa rośnie w v².\n\nOpcja B (α stały) i C (α maleje) stoją w sprzeczności z tym mechanizmem.\n\n**Dla siły napięcia nici:**\n\nWiemy, że \\(F_n = \\dfrac{mg}{\\cos\\alpha}\\). Jedyną zmienną po prawej stronie jest \\(\\alpha\\) (masa i g są stałe). Skoro α rośnie, cos α maleje, a \\(F_n\\) rośnie.\n\nOpcja E (stała) byłaby prawdziwa tylko gdyby α było stałe - ale właśnie wykazaliśmy, że α rośnie.\nOpcja F (maleje) wymagałaby malejącego α - sprzeczność z Podpunktem 1.\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez podstawienie graniczne\n\nSprawdzamy graniczne przypadki, by upewnić się co do kierunku zmian:\n\n| \\(v\\) | \\(\\alpha\\) | \\(\\cos\\alpha\\) | \\(F_n = mg/\\cos\\alpha\\) |\n| mała, bliska 0 | bliska 0° | bliska 1 | bliska \\(mg\\) |\n| umiarkowana | np. 45° | \\(\\approx 0{,}71\\) | \\(\\approx 1{,}41 \\, mg\\) |\n| duża | bliska 90° | bliska 0 | \\(\\to \\infty\\) |\n\n**Wniosek:** obie wielkości - kąt α i \\(F_n\\) - rosną monotonicznie ze wzrostem prędkości v. To potwierdza **A** i **D**.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Oficjalny klucz CKE (zadanie 2.2, 0-1 pkt): 1 pkt - poprawna odpowiedz; 0 pkt - brak spelnienia. Poprawna odpowiedz: AD.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (ruch po okręgu / siły):**\n>\n> Karty wzorów CKE dla fizyki (str. 16-20) zawierają:\n> - Wzór na siłę dośrodkową: \\(F = \\dfrac{mv^2}{r}\\)\n> - Wzory trygonometryczne: \\(\\sin\\alpha\\), \\(\\cos\\alpha\\), \\(\\tan\\alpha\\) - używamy do rzutowania sił\n>\n> W tym zadaniu kluczowe są **dwa równania sił** (pionowe + poziome), które wyprowadza się bezpośrednio ze wzorów na siłę dośrodkową i II zasady Newtona. Karty nie dają gotowego wzoru na wahadło stożkowe - trzeba go **samodzielnie wyprowadzić** (co jest wymagane w zadaniu 2.3).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący ucznia do tej odpowiedzi |\n| **B** (α stały) | Uczeń myli wahadło stożkowe z ruchem po okręgu przy stałym α - zapomina, że przy zmianie v zmienia się promień orbity |\n| **C** (α maleje) | Uczeń odwraca zależność: myśli \"szybciej → mniej odchylone\" - intuicja wzięta z wahadła płaskiego, gdzie duża prędkość = powrót do pionu |\n| **E** (F_n stała) | Uczeń zapamiętał \\(F_n = mg/\\cos\\alpha\\) i zakłada, że jeśli α się zmienia, to \"jakoś się kompensuje\" - nie sprawdza kierunku zmian |\n| **F** (F_n maleje) | Uczeń błędnie zakłada, że skoro ciało \"unosi się wyżej\" (większy α), to nić jest mniej naprężona - fizycznie odwrotnie |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie wymaga obu odpowiedzi - **A i D**. Zaznaczenie tylko jednej to **0 punktów**. Czytaj treść zadania uważnie: \"zaznacz odpowiedź A, B albo C **oraz** odpowiedź D, E albo F\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowe równanie to \\(F_n = mg/\\cos\\alpha\\) (z pionowego rzutowania sił). Nie mylić z siłą dośrodkową \\(F_n\\sin\\alpha = mv^2/r\\) - to drugie równanie samo w sobie nie wystarczy do oceny wzrostu \\(F_n\\), bo zarówno v, jak i \\(\\sin\\alpha\\) i r zmieniają się jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Intuicja \"szybszy ruch → mniejszy kąt\" pochodzi z mylenia tego układu z wahadłem płaskim. W wahadle stożkowym jest odwrotnie - większa prędkość wymaga większego promienia \\(r = l\\sin\\alpha\\), więc α rośnie.","image":"img/fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":"maturazai","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2.2. (0-1)
Dokończ zdania. Zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź D, E albo F.
1.
Jeżeli wzrośnie wartość prędkości, z jaką ciało ℬ porusza się po okręgu, to kąt 𝛼 między
nicią a kierunkiem pionowym
A. się zwiększy.
B. się nie zmieni.
C. się zmniejszy.
2.
Jeżeli wzrośnie wartość prędkości, z jaką ciało ℬ porusza się po okręgu, to wartość siły
napięcia nici
D. wzrośnie.
E. pozostanie taka sama.
F. zmaleje.

","answer_text_html":"

Zadanie 2.2. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
1.2) (P) opisuje zależności między siłą
dośrodkową a masą, prędkością liniową
i promieniem oraz wskazuje przykłady sił
pełniących rolę siły dośrodkowej.
Zasady oceniania
1 pkt - poprawna odpowiedź.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
AD

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Mam pełną treść zadania z pliku JSON. Piszę rozwiązanie:

\n

Poprawna odpowiedź

\n

A - kąt α się zwiększy.   |   D - wartość siły napięcia nici wzrośnie.

\n

Sposób 1 - Równania ruchu wahadła stożkowego (analiza sił)

\n

Dla ciała B poruszającego się po okręgu (wahadło stożkowe) działają dwie siły:

\n\n

Rzutujemy równanie ruchu na dwa kierunki:

\n

Pionowy (ciało nie porusza się w pionie → równowaga):
\\[
F_n \\cos\\alpha = mg \\quad \\Longrightarrow \\quad F_n = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}
\\]

\n

Poziomy (dostarcza siłę dośrodkową, \\(r = l\\sin\\alpha\\)):
\\[
F_n \\sin\\alpha = \\frac{mv^2}{r} = \\frac{mv^2}{l\\sin\\alpha}
\\]

\n

Dzielimy równanie poziome przez pionowe:
\\[
\\tan\\alpha = \\frac{v^2}{l \\sin\\alpha \\cdot g}
\\quad\\Longrightarrow\\quad
\\frac{\\sin^2\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{v^2}{lg}
\\]

\n

Gdy \\(v\\) rośnie, prawa strona \\(\\dfrac{v^2}{lg}\\) rośnie.

\n

Funkcja \\(f(\\alpha) = \\dfrac{\\sin^2\\alpha}{\\cos\\alpha}\\) jest ściśle rosnąca dla \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\) - więc α musi rosnąć. → odpowiedź A ✓

\n

Z \\(F_n = \\dfrac{mg}{\\cos\\alpha}\\): gdy α rośnie → \\(\\cos\\alpha\\) maleje → \\(F_n\\) rośnie. → odpowiedź D ✓

\n

Sposób 2 - Eliminacja błędnych opcji przez fizykę

\n

Dla kąta α:

\n

Intuicja: wyobraź sobie, że kręcisz kamieniem na sznurku coraz szybciej. Sznurek unosi się coraz bardziej poziomo - kąt od pionu rośnie. Przy \\(v \\to 0\\) nić wisi pionowo (\\(\\alpha = 0\\)); przy \\(v \\to \\infty\\) nić byłaby pozioma (\\(\\alpha \\to 90°\\)).

\n

Formalnie z \\(\\tan\\alpha = \\dfrac{v^2}{lg\\cos\\alpha}\\cdot\\dfrac{1}{1}\\) - każdy wzrost \\(v\\) wymaga wzrostu \\(\\alpha\\), bo lewa strona jest rosnąca w α, a prawa rośnie w v².

\n

Opcja B (α stały) i C (α maleje) stoją w sprzeczności z tym mechanizmem.

\n

Dla siły napięcia nici:

\n

Wiemy, że \\(F_n = \\dfrac{mg}{\\cos\\alpha}\\). Jedyną zmienną po prawej stronie jest \\(\\alpha\\) (masa i g są stałe). Skoro α rośnie, cos α maleje, a \\(F_n\\) rośnie.

\n

Opcja E (stała) byłaby prawdziwa tylko gdyby α było stałe - ale właśnie wykazaliśmy, że α rośnie.
Opcja F (maleje) wymagałaby malejącego α - sprzeczność z Podpunktem 1.

\n

Sposób 3 - Weryfikacja przez podstawienie graniczne

\n

Sprawdzamy graniczne przypadki, by upewnić się co do kierunku zmian:

\n

| \\(v\\) | \\(\\alpha\\) | \\(\\cos\\alpha\\) | \\(F_n = mg/\\cos\\alpha\\) |
| mała, bliska 0 | bliska 0° | bliska 1 | bliska \\(mg\\) |
| umiarkowana | np. 45° | \\(\\approx 0{,}71\\) | \\(\\approx 1{,}41 \\, mg\\) |
| duża | bliska 90° | bliska 0 | \\(\\to \\infty\\) |

\n

Wniosek: obie wielkości - kąt α i \\(F_n\\) - rosną monotonicznie ze wzrostem prędkości v. To potwierdza A i D.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 2.2, 0-1 pkt): 1 pkt - poprawna odpowiedz; 0 pkt - brak spelnienia. Poprawna odpowiedz: AD.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (ruch po okręgu / siły):

Karty wzorów CKE dla fizyki (str. 16-20) zawierają:
- Wzór na siłę dośrodkową: \\(F = \\dfrac{mv^2}{r}\\)
- Wzory trygonometryczne: \\(\\sin\\alpha\\), \\(\\cos\\alpha\\), \\(\\tan\\alpha\\) - używamy do rzutowania sił

W tym zadaniu kluczowe są dwa równania sił (pionowe + poziome), które wyprowadza się bezpośrednio ze wzorów na siłę dośrodkową i II zasady Newtona. Karty nie dają gotowego wzoru na wahadło stożkowe - trzeba go samodzielnie wyprowadzić (co jest wymagane w zadaniu 2.3).
\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd prowadzący ucznia do tej odpowiedzi |
| B (α stały) | Uczeń myli wahadło stożkowe z ruchem po okręgu przy stałym α - zapomina, że przy zmianie v zmienia się promień orbity |
| C (α maleje) | Uczeń odwraca zależność: myśli "szybciej → mniej odchylone" - intuicja wzięta z wahadła płaskiego, gdzie duża prędkość = powrót do pionu |
| E (F_n stała) | Uczeń zapamiętał \\(F_n = mg/\\cos\\alpha\\) i zakłada, że jeśli α się zmienia, to "jakoś się kompensuje" - nie sprawdza kierunku zmian |
| F (F_n maleje) | Uczeń błędnie zakłada, że skoro ciało "unosi się wyżej" (większy α), to nić jest mniej naprężona - fizycznie odwrotnie |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Zadanie wymaga obu odpowiedzi - A i D. Zaznaczenie tylko jednej to 0 punktów. Czytaj treść zadania uważnie: "zaznacz odpowiedź A, B albo C oraz odpowiedź D, E albo F".
\n
⚠️ Uwaga: Kluczowe równanie to \\(F_n = mg/\\cos\\alpha\\) (z pionowego rzutowania sił). Nie mylić z siłą dośrodkową \\(F_n\\sin\\alpha = mv^2/r\\) - to drugie równanie samo w sobie nie wystarczy do oceny wzrostu \\(F_n\\), bo zarówno v, jak i \\(\\sin\\alpha\\) i r zmieniają się jednocześnie.
\n
⚠️ Uwaga: Intuicja "szybszy ruch → mniejszy kąt" pochodzi z mylenia tego układu z wahadłem płaskim. W wahadle stożkowym jest odwrotnie - większa prędkość wymaga większego promienia \\(r = l\\sin\\alpha\\), więc α rośnie.
"}]}