{"id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/2.3","paper_id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"2.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.3. (0-3)\nWyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć okres 𝑻 obiegu ciała 𝓑 po okręgu w zależności\nod: długości nici 𝒍, przyśpieszenia ziemskiego 𝒈 oraz kąta 𝜶.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n2.1.\n2.2.\n2.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n1\n3\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n1.1) (P) opisuje ruch jednostajny po okręgu,\nposługując się pojęciem okresu i częstotliwości;\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem oraz wskazuje przykłady sił\npełniących rolę siły dośrodkowej.\n𝑃\nℬ\n𝑂\n𝛼\n𝐹⃗𝑔\n𝐹⃗𝑤\n𝐹⃗𝑛\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wzoru na okres oraz zapisanie wzoru w postaci\n𝑇= 2𝜋√\n𝑙⋅𝑐𝑜𝑠𝛼\n𝑔\nalbo 𝑇= 2𝜋√\n𝑙⋅𝑠𝑖𝑛𝛼\n𝑔⋅𝑡𝑔𝛼\n2 pkt - zapisanie równania równoważnego równaniu:\n𝑚𝜔2𝑟= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼 albo\n𝑚𝑣2\n𝑟\n= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼\nłącznie z wykorzystaniem odpowiednio wzorów:\n𝜔=\n2𝜋\n𝑇 albo 𝑣=\n2𝜋𝑟\n𝑇\nLUB\n- zapisanie równania równoważnego równaniu:\n𝑚𝜔2𝑟= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼 albo\n𝑚𝑣2\n𝑟\n= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼\nłącznie z wykorzystaniem odpowiednio wzoru:\n𝑟\n𝑙= sin 𝛼\n1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę wypadkową działającą na ciało ℬ jako siłę\ndośrodkową (np. zapis: 𝐹𝑑𝑜= 𝐹𝑤 lub 𝑎𝑑𝑜=\n𝐹𝑤\n𝑚 ) z uwzględnieniem prawidłowego\nzwiązku między siłą wypadkową i siłą grawitacji:\n𝐹𝑤= 𝐹𝑔 tg𝛼 (albo 𝐹𝑤= 𝐹𝑛sin𝛼 i 𝐹𝑔= 𝐹𝑛cos𝛼).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwagi dodatkowe\n1.\nJeśli zdający identyfikuje siłę wypadkową działającą na ciało jako siłę dośrodkową oraz\ndo wyznaczenia siły wypadkowej używa związków między 𝐹𝑛 a 𝐹𝑤 oraz między 𝐹𝑛 a 𝐹𝑔,\ni na tym etapie popełnia błąd w określeniu relacji trygonometrycznych (np. myli sinus\nz cosinusem, albo zamienia relację na odwrotną) - tzn. zdający dąży do wyznaczenia\nwartości 𝐹𝑤, która nie jest ani siłą grawitacji, ani siłą napięcia nici - po czym\nkonsekwentnie, wykorzystując pozostałe prawidłowe relacje doprowadza rozwiązanie do\npostaci równoważnej poniższej:\n𝑇= 2𝜋√𝑚𝑙sin𝛼\n𝐹𝑤\nto otrzymuje 1 pkt.\n2.\nJeśli zdający identyfikuje siłę wypadkową działającą na ciało jako siłę dośrodkową,\na następnie siłę wypadkową identyfikuje błędnie jako siłę grawitacji albo siłę napięcia nici,\nto otrzymuje 0 pkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nPonieważ ciało ℬ porusza się po okręgu, to siła będąca wypadkową sił: grawitacji i reakcji nici,\njest siłą dośrodkową:\n𝐹⃗𝑑𝑜= 𝐹⃗𝑤\nZastosujemy wzór na siłę dośrodkową w ruchu po okręgu oraz związek między wartością siły\ngrawitacji i wartością siły wypadkowej:\n𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 oraz 𝐹𝑤\n𝐹𝑔\n= tg 𝛼\ngdzie 𝑟 jest promieniem okręgu, a 𝜔 jest prędkością kątową, z jaką ciało ℬ porusza się po tym\nokręgu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZ powyższych równań - po uwzględnieniu wzoru na siłę grawitacji - otrzymujemy:\n𝑚𝜔2𝑟= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼\n𝑚𝜔2𝑟= 𝑚𝑔⋅tg 𝛼\n𝜔2𝑟= 𝑔⋅tg 𝛼\nWykorzystamy związki:\n𝜔= 2𝜋\n𝑇 oraz 𝑟= 𝑙⋅sin 𝛼\nPo uwzględnieniu powyższych równań mamy:\n(2𝜋\n𝑇)\n2\n⋅𝑙⋅sin 𝛼= 𝑔⋅sin 𝛼\ncos 𝛼\n4π2\nT2 =\n𝑔\n𝑙cos 𝛼\n𝑇= 2𝜋√\n𝑙cos 𝛼\n𝑔","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}}$$\n\n## Sposób 1 - Dynamika: równania ruchu + warunek okręgu\n\n**Schemat sił działających na ciało B:**\n\nCiało obraca się po poziomym okręgu o promieniu \\(r\\). Działają na nie:\n- ciężar \\(mg\\) - pionowo w dół\n- napięcie nici \\(F\\) - wzdłuż nici (pod kątem \\(\\alpha\\) do pionu)\n\n**Krok 1 - Geometria układu**\n\nPromień okręgu:\n\\[\nr = l\\sin\\alpha\n\\]\n\n**Krok 2 - Równanie pionowe** (brak przyspieszenia pionowego - ciało obraca się w płaszczyźnie poziomej):\n\\[\nF\\cos\\alpha = mg \\quad \\Rightarrow \\quad F = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}\n\\]\n\n**Krok 3 - Równanie poziome** (siła dośrodkowa = pozioma składowa napięcia):\n\\[\nF\\sin\\alpha = m\\omega^2 r\n\\]\n\n**Krok 4 - Podstawienie** \\(F = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}\\) i \\(r = l\\sin\\alpha\\):\n\\[\n\\frac{mg}{\\cos\\alpha}\\cdot\\sin\\alpha = m\\omega^2 \\cdot l\\sin\\alpha\n\\]\n\nMasa \\(m\\) i \\(\\sin\\alpha\\) skracają się (zakładamy \\(\\alpha \\neq 0\\)):\n\\[\n\\frac{g}{\\cos\\alpha} = \\omega^2 l \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega^2 = \\frac{g}{l\\cos\\alpha}\n\\]\n\n**Krok 5 - Zamiana \\(\\omega\\) na \\(T\\)**:\n\\[\n\\omega = \\frac{2\\pi}{T} \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{4\\pi^2}{T^2} = \\frac{g}{l\\cos\\alpha}\n\\]\n\\[\nT^2 = \\frac{4\\pi^2 l\\cos\\alpha}{g}\n\\]\n\\[\n\\boxed{T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Dzielenie równań ruchu (elegantszy zapis algebry)\n\nZamiast podstawiać \\(F\\), dzielimy oba równania stronami:\n\n\\[\n\\begin{cases}\nF\\cos\\alpha = mg \\\\\nF\\sin\\alpha = m\\omega^2 r\n\\end{cases}\n\\]\n\nDzielenie (dolne przez górne):\n\\[\n\\frac{F\\sin\\alpha}{F\\cos\\alpha} = \\frac{m\\omega^2 r}{mg} \\quad \\Rightarrow \\quad \\tan\\alpha = \\frac{\\omega^2 r}{g}\n\\]\n\nPodstawiamy \\(r = l\\sin\\alpha\\):\n\\[\n\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\omega^2 \\cdot l\\sin\\alpha}{g}\n\\]\n\nSkracamy \\(\\sin\\alpha\\):\n\\[\n\\frac{1}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\omega^2 l}{g} \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega = \\sqrt{\\frac{g}{l\\cos\\alpha}}\n\\]\n\nStąd:\n\\[\nT = \\frac{2\\pi}{\\omega} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}\n\\]\n\n> Metoda ta jest szybsza na egzaminie - pozwala wyeliminować \\(F\\) i \\(m\\) w jednym kroku.\n\n## Sposób 3 - Analiza wymiarowa (weryfikacja wyniku)\n\nSprawdź, że wynik \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}\\) ma sens wymiarowy:\n\n\\[\n[T] = \\sqrt{\\frac{[\\text{m}]}{[\\text{m/s}^2]}} = \\sqrt{[\\text{s}^2]} = [\\text{s}] \\checkmark\n\\]\n\nSprawdź graniczne zachowanie:\n- \\(\\alpha \\to 0\\) (nic prawie nie wiruje, nić pionowa): \\(T \\to 2\\pi\\sqrt{l/g}\\) - **dokładnie wzór na wahadło matematyczne!** Spójność fizyczna.\n- \\(\\alpha \\to 90°\\): \\(\\cos\\alpha \\to 0\\), więc \\(T \\to 0\\) - ciało kręci się bardzo szybko przy poziomej nici. Spójność fizyczna. ✓\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Oficjalny klucz CKE (zadanie 2.3, 0-3 pkt):\n> - 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wzoru na okres oraz zapis \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\tfrac{l\\cos\\alpha}{g}}\\) (albo \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\tfrac{l\\sin\\alpha}{g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha}}\\)).\n> - 2 pkt - zapis rownania \\(m\\omega^2 r = F_g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha\\) (albo \\(\\tfrac{mv^2}{r} = F_g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha\\)) lacznie z \\(\\omega = \\tfrac{2\\pi}{T}\\) (albo \\(v = \\tfrac{2\\pi r}{T}\\)); LUB to rownanie lacznie z \\(\\tfrac{r}{l} = \\sin\\alpha\\).\n> - 1 pkt - identyfikacja sily wypadkowej jako dosrodkowej z prawidlowym zwiazkiem \\(F_w = F_g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha\\) (albo \\(F_w = F_n\\sin\\alpha,\\ F_g = F_n\\cos\\alpha\\)).\n> - 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Ruch po okręgu:**\n> - Przyspieszenie dośrodkowe: \\(a = \\omega^2 r = \\frac{v^2}{r}\\)\n> - Zależność okresu i prędkości kątowej: \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\)\n> - Siła dośrodkowa: \\(F = m\\omega^2 r\\)\n>\n> Geometria nici: \\(r = l\\sin\\alpha\\) - to **NIE jest na karcie**, musisz zapamiętać z rysunku.\n>\n> Obie równania ruchu wynikają z **II zasady dynamiki Newtona** - też na karcie jako \\(\\vec{F} = m\\vec{a}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - błędny kąt:** Kąt \\(\\alpha\\) jest między nicią a **pionem** (nie poziomem). Jeśli pomylisz, dostaniesz \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) zamienione → wynik \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\sin\\alpha}{g}}\\) - błędny!\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - zapomnienie o promieniu:** Siła dośrodkowa działa na okrąg o promieniu \\(r = l\\sin\\alpha\\), nie \\(r = l\\). To częsty błąd skracający \\(\\sin\\alpha\\) zbyt wcześnie.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - brak związku \\(\\omega \\leftrightarrow T\\):** Uczniowie zatrzymują się na \\(\\omega = \\sqrt{g/(l\\cos\\alpha)}\\) i zapominają podstawić \\(\\omega = 2\\pi/T\\). To kosztuje ostatni punkt.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - analogia z wahadłem matematycznym:** Wzór \\(T = 2\\pi\\sqrt{l/g}\\) **NIE jest tutaj poprawny** - w wahadle stożkowym \\(l\\cos\\alpha\\) zastępuje \\(l\\). Związek widać dopiero przy \\(\\alpha \\to 0\\) jako sprawdzenie graniczne.","image":"img/fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-2.3.webp","solution_image":null,"topics":"Dynamika","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2.3. (0-3)
Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć okres 𝑻 obiegu ciała 𝓑 po okręgu w zależności
od: długości nici 𝒍, przyśpieszenia ziemskiego 𝒈 oraz kąta 𝜶.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
2.1.
2.2.
2.3.
Maks. liczba pkt
2
1
3
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2.3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
Zdający:
1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej
zasady dynamiki Newtona;
1.1) (P) opisuje ruch jednostajny po okręgu,
posługując się pojęciem okresu i częstotliwości;
1.2) (P) opisuje zależności między siłą
dośrodkową a masą, prędkością liniową
i promieniem oraz wskazuje przykłady sił
pełniących rolę siły dośrodkowej.
𝑃
ℬ
𝑂
𝛼
𝐹⃗𝑔
𝐹⃗𝑤
𝐹⃗𝑛
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wzoru na okres oraz zapisanie wzoru w postaci
𝑇= 2𝜋√
𝑙⋅𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑔
albo 𝑇= 2𝜋√
𝑙⋅𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑔⋅𝑡𝑔𝛼
2 pkt - zapisanie równania równoważnego równaniu:
𝑚𝜔2𝑟= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼 albo
𝑚𝑣2
𝑟
= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼
łącznie z wykorzystaniem odpowiednio wzorów:
𝜔=
2𝜋
𝑇 albo 𝑣=
2𝜋𝑟
𝑇
LUB

\n\n

𝑚𝜔2𝑟= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼 albo
𝑚𝑣2
𝑟
= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼
łącznie z wykorzystaniem odpowiednio wzoru:
𝑟
𝑙= sin 𝛼
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę wypadkową działającą na ciało ℬ jako siłę
dośrodkową (np. zapis: 𝐹𝑑𝑜= 𝐹𝑤 lub 𝑎𝑑𝑜=
𝐹𝑤
𝑚 ) z uwzględnieniem prawidłowego
związku między siłą wypadkową i siłą grawitacji:
𝐹𝑤= 𝐹𝑔 tg𝛼 (albo 𝐹𝑤= 𝐹𝑛sin𝛼 i 𝐹𝑔= 𝐹𝑛cos𝛼).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwagi dodatkowe
1.
Jeśli zdający identyfikuje siłę wypadkową działającą na ciało jako siłę dośrodkową oraz
do wyznaczenia siły wypadkowej używa związków między 𝐹𝑛 a 𝐹𝑤 oraz między 𝐹𝑛 a 𝐹𝑔,
i na tym etapie popełnia błąd w określeniu relacji trygonometrycznych (np. myli sinus
z cosinusem, albo zamienia relację na odwrotną) - tzn. zdający dąży do wyznaczenia
wartości 𝐹𝑤, która nie jest ani siłą grawitacji, ani siłą napięcia nici - po czym
konsekwentnie, wykorzystując pozostałe prawidłowe relacje doprowadza rozwiązanie do
postaci równoważnej poniższej:
𝑇= 2𝜋√𝑚𝑙sin𝛼
𝐹𝑤
to otrzymuje 1 pkt.
2.
Jeśli zdający identyfikuje siłę wypadkową działającą na ciało jako siłę dośrodkową,
a następnie siłę wypadkową identyfikuje błędnie jako siłę grawitacji albo siłę napięcia nici,
to otrzymuje 0 pkt.
Przykładowe rozwiązanie
Ponieważ ciało ℬ porusza się po okręgu, to siła będąca wypadkową sił: grawitacji i reakcji nici,
jest siłą dośrodkową:
𝐹⃗𝑑𝑜= 𝐹⃗𝑤
Zastosujemy wzór na siłę dośrodkową w ruchu po okręgu oraz związek między wartością siły
grawitacji i wartością siły wypadkowej:
𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 oraz 𝐹𝑤
𝐹𝑔
= tg 𝛼
gdzie 𝑟 jest promieniem okręgu, a 𝜔 jest prędkością kątową, z jaką ciało ℬ porusza się po tym
okręgu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Z powyższych równań - po uwzględnieniu wzoru na siłę grawitacji - otrzymujemy:
𝑚𝜔2𝑟= 𝐹𝑔⋅tg 𝛼
𝑚𝜔2𝑟= 𝑚𝑔⋅tg 𝛼
𝜔2𝑟= 𝑔⋅tg 𝛼
Wykorzystamy związki:
𝜔= 2𝜋
𝑇 oraz 𝑟= 𝑙⋅sin 𝛼
Po uwzględnieniu powyższych równań mamy:
(2𝜋
𝑇)
2
⋅𝑙⋅sin 𝛼= 𝑔⋅sin 𝛼
cos 𝛼
4π2
T2 =
𝑔
𝑙cos 𝛼
𝑇= 2𝜋√
𝑙cos 𝛼
𝑔

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\boxed{T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}}$$

\n

Sposób 1 - Dynamika: równania ruchu + warunek okręgu

\n

Schemat sił działających na ciało B:

\n

Ciało obraca się po poziomym okręgu o promieniu \\(r\\). Działają na nie:

\n\n

Krok 1 - Geometria układu

\n

Promień okręgu:
\\[
r = l\\sin\\alpha
\\]

\n

Krok 2 - Równanie pionowe (brak przyspieszenia pionowego - ciało obraca się w płaszczyźnie poziomej):
\\[
F\\cos\\alpha = mg \\quad \\Rightarrow \\quad F = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}
\\]

\n

Krok 3 - Równanie poziome (siła dośrodkowa = pozioma składowa napięcia):
\\[
F\\sin\\alpha = m\\omega^2 r
\\]

\n

Krok 4 - Podstawienie \\(F = \\frac{mg}{\\cos\\alpha}\\) i \\(r = l\\sin\\alpha\\):
\\[
\\frac{mg}{\\cos\\alpha}\\cdot\\sin\\alpha = m\\omega^2 \\cdot l\\sin\\alpha
\\]

\n

Masa \\(m\\) i \\(\\sin\\alpha\\) skracają się (zakładamy \\(\\alpha \\neq 0\\)):
\\[
\\frac{g}{\\cos\\alpha} = \\omega^2 l \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega^2 = \\frac{g}{l\\cos\\alpha}
\\]

\n

Krok 5 - Zamiana \\(\\omega\\) na \\(T\\):
\\[
\\omega = \\frac{2\\pi}{T} \\quad \\Rightarrow \\quad \\frac{4\\pi^2}{T^2} = \\frac{g}{l\\cos\\alpha}
\\]
\\[
T^2 = \\frac{4\\pi^2 l\\cos\\alpha}{g}
\\]
\\[
\\boxed{T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}}
\\]

\n

Sposób 2 - Dzielenie równań ruchu (elegantszy zapis algebry)

\n

Zamiast podstawiać \\(F\\), dzielimy oba równania stronami:

\n

\\[
\\begin{cases}
F\\cos\\alpha = mg \\\\
F\\sin\\alpha = m\\omega^2 r
\\end{cases}
\\]

\n

Dzielenie (dolne przez górne):
\\[
\\frac{F\\sin\\alpha}{F\\cos\\alpha} = \\frac{m\\omega^2 r}{mg} \\quad \\Rightarrow \\quad \\tan\\alpha = \\frac{\\omega^2 r}{g}
\\]

\n

Podstawiamy \\(r = l\\sin\\alpha\\):
\\[
\\frac{\\sin\\alpha}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\omega^2 \\cdot l\\sin\\alpha}{g}
\\]

\n

Skracamy \\(\\sin\\alpha\\):
\\[
\\frac{1}{\\cos\\alpha} = \\frac{\\omega^2 l}{g} \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega = \\sqrt{\\frac{g}{l\\cos\\alpha}}
\\]

\n

Stąd:
\\[
T = \\frac{2\\pi}{\\omega} = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}
\\]

\n
Metoda ta jest szybsza na egzaminie - pozwala wyeliminować \\(F\\) i \\(m\\) w jednym kroku.
\n

Sposób 3 - Analiza wymiarowa (weryfikacja wyniku)

\n

Sprawdź, że wynik \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\cos\\alpha}{g}}\\) ma sens wymiarowy:

\n

\\[
[T] = \\sqrt{\\frac{[\\text{m}]}{[\\text{m/s}^2]}} = \\sqrt{[\\text{s}^2]} = [\\text{s}] \\checkmark
\\]

\n

Sprawdź graniczne zachowanie:

\n\n

Schemat oceniania CKE

\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 2.3, 0-3 pkt):
- 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wzoru na okres oraz zapis \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\tfrac{l\\cos\\alpha}{g}}\\) (albo \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\tfrac{l\\sin\\alpha}{g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha}}\\)).
- 2 pkt - zapis rownania \\(m\\omega^2 r = F_g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha\\) (albo \\(\\tfrac{mv^2}{r} = F_g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha\\)) lacznie z \\(\\omega = \\tfrac{2\\pi}{T}\\) (albo \\(v = \\tfrac{2\\pi r}{T}\\)); LUB to rownanie lacznie z \\(\\tfrac{r}{l} = \\sin\\alpha\\).
- 1 pkt - identyfikacja sily wypadkowej jako dosrodkowej z prawidlowym zwiazkiem \\(F_w = F_g\\,\\mathrm{tg}\\,\\alpha\\) (albo \\(F_w = F_n\\sin\\alpha,\\ F_g = F_n\\cos\\alpha\\)).
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Ruch po okręgu:
- Przyspieszenie dośrodkowe: \\(a = \\omega^2 r = \\frac{v^2}{r}\\)
- Zależność okresu i prędkości kątowej: \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\)
- Siła dośrodkowa: \\(F = m\\omega^2 r\\)

Geometria nici: \\(r = l\\sin\\alpha\\) - to NIE jest na karcie, musisz zapamiętać z rysunku.

Obie równania ruchu wynikają z II zasady dynamiki Newtona - też na karcie jako \\(\\vec{F} = m\\vec{a}\\).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Pułapka 1 - błędny kąt: Kąt \\(\\alpha\\) jest między nicią a pionem (nie poziomem). Jeśli pomylisz, dostaniesz \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) zamienione → wynik \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{l\\sin\\alpha}{g}}\\) - błędny!
\n
⚠️ Pułapka 2 - zapomnienie o promieniu: Siła dośrodkowa działa na okrąg o promieniu \\(r = l\\sin\\alpha\\), nie \\(r = l\\). To częsty błąd skracający \\(\\sin\\alpha\\) zbyt wcześnie.
\n
⚠️ Pułapka 3 - brak związku \\(\\omega \\leftrightarrow T\\): Uczniowie zatrzymują się na \\(\\omega = \\sqrt{g/(l\\cos\\alpha)}\\) i zapominają podstawić \\(\\omega = 2\\pi/T\\). To kosztuje ostatni punkt.
\n
⚠️ Pułapka 4 - analogia z wahadłem matematycznym: Wzór \\(T = 2\\pi\\sqrt{l/g}\\) NIE jest tutaj poprawny - w wahadle stożkowym \\(l\\cos\\alpha\\) zastępuje \\(l\\). Związek widać dopiero przy \\(\\alpha \\to 0\\) jako sprawdzenie graniczne.
"}]}