Zadanie 4.3. (0-3)
Promień orbity, po której porusza się satelita S1, jest równy 𝑟ଵ= 6 770 km. Masa Ziemi wynosi
𝑀= 5,97 ⋅10ଶସ kg.
Oblicz okres obiegu satelity S1 dookoła Ziemi.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
4.1.
4.2.
4.3.
Maks. liczba pkt
2
1
3
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100
Zadanie 4.3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
4.1) wykorzystuje prawo powszechnego
ciążenia do obliczenia siły oddziaływań
grawitacyjnych między masami punktowymi
i sferycznie symetrycznymi;
4.7) oblicza okres ruchu satelitów (bez napędu)
wokół Ziemi.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu satelity S1 (np. jak w krokach 1.-3.) oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką (wynik prawidłowy to taki, który
można zaokrąglić do 5,5 ⋅103 s lub 5,6 ⋅103 s).
2 pkt - doprowadzenie do (lub zapisanie) jednego poprawnego wyrażenia (do którego zdający
bezpośrednio podstawia wartości liczbowe albo na którym kończy rozwiązanie),
z którego można bezpośrednio obliczyć okres obiegu satelity S1 jedynie na podstawie
odpowiednich stałych, masy Ziemi oraz promienia orbity (np. zapisanie wyrażenia jak
w kroku 2.).
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji jako siłę dośrodkową (lub przyśpieszenie
dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne / natężenie pola grawitacyjnego) oraz
uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia / natężenia pola) (np. jak w kroku
LUB
\nz zastosowaniem wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu (np. jak w kroku
\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa
Jeżeli zdający zapisze od razu bez wyprowadzenia III prawo Keplera łącznie z poprawnie
określoną stałą:
𝑇2
𝑟3 =
4𝜋2
𝐺𝑀 , to otrzymuje 2 pkt.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Krok 1. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie
z uwzględnieniem wzorów na te siły:
𝑚𝑣2
𝑟= 𝐺𝑚𝑀
𝑟2
Krok 2. Wyprowadzimy wyrażenie pozwalające na bezpośrednie obliczenie okresu obiegu
satelity S1 dookoła Ziemi. W tym celu do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość
w ruchu jednostajnym po okręgu: 𝑣=
2𝜋𝑟
𝑇.
𝑚
(2𝜋𝑟
𝑇)
2
𝑟
= 𝐺𝑚𝑀
𝑟2
→ 4𝜋2𝑟
𝑇2
= 𝐺𝑀
𝑟2 → 𝑇= 2𝜋√𝑟3
𝐺𝑀
Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy odpowiednie dane:
𝑇= 2 ⋅3,142√
(6,77 ⋅106 m)3
6,67 ∙10-11 N∙m2
kg2 ⋅5,97 ⋅1024 kg
Krok 3. Wykonujemy obliczenia:
𝑇= 6,284√7,7923 ⋅105 s = 6,284√77,923 ⋅104 s
𝑇≈5,55 ∙103 s
Sposób 2.
Krok 1. Skorzystamy ze wzoru na prędkość w ruchu po orbicie kołowej oraz zastosujemy wzór
na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu.
𝑣= √𝐺𝑀
𝑟 𝑣= 2𝜋𝑟
𝑇
Krok 2. Z powyższych równań wyprowadzamy wzór pozwalający na obliczenie okresu obiegu
satelity S1 dookoła Ziemi:
2𝜋𝑟
𝑇
= √𝐺𝑀
𝑟 → 4𝜋2𝑟2
𝑇2
= 𝐺𝑀
𝑟 → 𝑇= 2𝜋√𝑟3
𝐺𝑀
Krok 3. Wykonujemy obliczenia jak w kroku 3. w sposobie 1. albo jak poniżej (iloczyn 𝐺𝑀
można zastąpić iloczynem 𝑔𝑅𝑧
2):
𝑔= 𝐺𝑀
𝑅𝑍
2 𝑔𝑅𝑍
2 = 𝐺𝑀 𝑇= 2𝜋√𝑟3
𝑔𝑅𝑍
2 = 2𝜋√𝑟
𝑔⋅𝑟
𝑅𝑧
≈5,55 ∙103 s
Zasady oceniania rozwiązań zadań
\\[T \\approx 5540 \\, \\text{s} \\approx 92 \\, \\text{min}\\]
\nSatelita na orbicie kołowej porusza się ruchem jednostajnym. Jedyna siła działająca na satelitę to grawitacja Ziemi - pełni ona rolę siły dośrodkowej.
\nKrok 1: Zapisz warunek równowagi sił
\n\\[F_g = F_d\\]
\n\\[G \\frac{M_Z \\cdot m}{r_1^2} = m \\frac{4\\pi^2 r_1}{T^2}\\]
\nMasa satelity \\(m\\) skraca się z obu stron - okres nie zależy od masy satelity!
\nKrok 2: Wyznacz \\(T^2\\)
\n\\[G \\frac{M_Z}{r_1^2} = \\frac{4\\pi^2 r_1}{T^2}\\]
\n\\[T^2 = \\frac{4\\pi^2 r_1^3}{G M_Z}\\]
\nKrok 3: Wyznacz \\(T\\)
\n\\[T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{r_1^3}{G M_Z}}\\]
\nKrok 4: Podstaw dane liczbowe
\nPrzelicz: \\(r_1 = 6\\,770 \\, \\text{km} = 6{,}770 \\times 10^6 \\, \\text{m}\\)
\n\\[r_1^3 = (6{,}770 \\times 10^6)^3 = 6{,}770^3 \\times 10^{18}\\]
\n\\[6{,}770^3 = 6{,}770^2 \\times 6{,}770 = 45{,}83 \\times 6{,}770 \\approx 310{,}3\\]
\n\\[r_1^3 \\approx 3{,}103 \\times 10^{20} \\, \\text{m}^3\\]
\n\\[G M_Z = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\times 5{,}97 \\times 10^{24} = 39{,}84 \\times 10^{13} = 3{,}984 \\times 10^{14} \\, \\frac{\\text{m}^3}{\\text{s}^2}\\]
\n\\[\\frac{r_1^3}{G M_Z} = \\frac{3{,}103 \\times 10^{20}}{3{,}984 \\times 10^{14}} \\approx 7{,}788 \\times 10^5 \\, \\text{s}^2\\]
\n\\[T = 2\\pi \\sqrt{7{,}788 \\times 10^5} = 2\\pi \\times 882{,}5 \\approx \\boxed{5543 \\, \\text{s} \\approx 92{,}4 \\, \\text{min}}\\]
\nIII prawo Keplera mówi, że dla planet/satelitów tego samego ciała centralnego:
\n\\[\\frac{T^2}{r^3} = \\frac{4\\pi^2}{G M_Z} = \\text{const}\\]
\nTen wzór bezpośrednio daje:
\n\\[T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{r_1^3}{G M_Z}}\\]
\nTo ta sama formuła co w Sposobie 1, ale wywodzona inaczej - nie z równania sił, lecz z ogólnej zasady Keplera. Oba podejścia są równoważne i prowadzą do tego samego wyniku.
\n💡 Po co dwa sposoby? Sposób 1 pokazuje DLACZEGO wzór jest prawdziwy (mechanika). Sposób 2 pokazuje, że jest to ogólna zasada astronomiczna - można go stosować bez wyprowadzenia, powołując się na prawo Keplera.\n
Krok 1: Wyznacz prędkość orbitalną \\(v\\)
\nZ waruneku: \\(G \\frac{M_Z}{r_1^2} = \\frac{v^2}{r_1}\\), czyli:
\n\\[v = \\sqrt{\\frac{G M_Z}{r_1}} = \\sqrt{\\frac{3{,}984 \\times 10^{14}}{6{,}770 \\times 10^6}} = \\sqrt{5{,}886 \\times 10^7} \\approx 7672 \\, \\frac{\\text{m}}{\\text{s}} \\approx 7{,}67 \\, \\frac{\\text{km}}{\\text{s}}\\]
\nKrok 2: Obwód orbity podziel przez prędkość
\n\\[T = \\frac{2\\pi r_1}{v} = \\frac{2\\pi \\times 6{,}770 \\times 10^6}{7672} = \\frac{4{,}253 \\times 10^7}{7672} \\approx 5543 \\, \\text{s}\\]
\n✅ Wszystkie trzy sposoby dają ten sam wynik: \\(T \\approx 5540 \\, \\text{s}\\)\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 4.3, 0-3 pkt):\n
- 3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu satelity S1 oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka (mozna zaokraglic do \\(5{,}5\\cdot10^3\\,\\text{s}\\) lub \\(5{,}6\\cdot10^3\\,\\text{s}\\)).
- 2 pkt - doprowadzenie do (lub zapisanie) jednego poprawnego wyrazenia pozwalajacego bezposrednio obliczyc okres na podstawie stalych, masy Ziemi i promienia orbity.
- 1 pkt - identyfikacja sily grawitacji jako dosrodkowej (lub przyspieszenia dosrodkowego jako grawitacyjnego) ze wzorami na te sily; LUB skorzystanie ze wzoru na predkosc orbitalna lacznie ze wzorem na predkosc w ruchu po okregu.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.
Uwaga: zapis od razu III prawa Keplera \\(\\tfrac{T^2}{r^3} = \\tfrac{4\\pi^2}{GM}\\) = 2 pkt.
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-17):\n
Prawo powszechnego ciążenia:
\\[F = G \\frac{m_1 m_2}{r^2}, \\quad G = 6{,}674 \\times 10^{-11} \\, \\frac{\\text{N} \\cdot \\text{m}^2}{\\text{kg}^2}\\]
Siła dośrodkowa / przyspieszenie dośrodkowe:
\\[F_d = \\frac{mv^2}{r} = m\\frac{4\\pi^2 r}{T^2}\\]
III prawo Keplera (może być podane wprost na karcie lub wynikać z powyższych).
Stałą \\(G\\) czytamy bezpośrednio z karty - nie trzeba jej pamiętać!
⚠️ Jednostki! Promień \\(r_1 = 6\\,770 \\, \\text{km}\\) - ZAWSZE przelicz na metry przed podstawieniem. Najczęstszy błąd = zostanie przy kilometrach → wynik fałszywy.\n
⚠️ Masa satelity się skraca. Nie potrzebujesz masy satelity - znika algebraicznie. Jeśli jej szukasz, to znak że coś poszło nie tak.\n
⚠️ \\(r\\) to promień orbity, nie wysokość nad Ziemią. Wysokość \\(h\\) to \\(r - R_Z\\). W zadaniu \\(r_1 = 6770 \\, \\text{km}\\) to już gotowy promień orbity (promień Ziemi \\(\\approx 6371 \\, \\text{km}\\), więc wysokość to \\(\\approx 400 \\, \\text{km}\\) - to orbita ISS!).\n
⚠️ Kolejność operacji na \\(r^3\\). Licz \\(r\\) najpierw w metrach, potem sześcian - nie odwrotnie. \\((6{,}770 \\times 10^6)^3 \\neq 6{,}770^3 \\times 10^6\\)."}]}