{"id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/6.2","paper_id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"6.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.2. (0-3)\nOblicz ciepło wydzielone w całym obwodzie (tzn. na obu opornikach łącznie) w czasie\n𝟏𝟎 sekund działania prądnicy.\nPrzyjmij, że w chwili początkowej 𝑡଴= 0 napięcie wynosiło 𝑈= 0.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\n6.2.\nMaks. liczba pkt\n4\n3\nUzyskana liczba pkt\n𝐼ଶ, A\n0,5\n0,4\n0,3\n0,2\n0,1\n0\n-0,1\n-0,2\n-0,3\n-0,4\n-0,5\n𝑡, s\n0\n0,02\n0,04\n0,06\n0,08\n0,10\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n9.11) opisuje prąd przemienny (natężenie,\nnapięcie, […] wartości skuteczne);\n9.12) opisuje działanie diody jako prostownika;\n8.6) oblicza pracę wykonaną podczas\nprzepływu prądu przez różne elementy obwodu\noraz moc rozproszoną na oporze.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 1. lub sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepła wydzielanego w całym obwodzie oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - zapisanie ciepła całkowitego wydzielonego w obwodzie jako sumy ciepeł wydzielanych\nna obu opornikach oraz zapisanie wyrażenia (na symbolach lub z podstawionymi\ndanymi) na ciepło wydzielane na i-tym oporniku (z parametrami skutecznymi albo\nmaksymalnymi), z poprawnym określeniem sumarycznego czasu przepływu prądu\nprzez dany opornik:\n(𝑄1 = 𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅1\n⋅𝑡\n2 oraz 𝑄2 = 𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅2\n⋅𝑡\n2 oraz 𝑄= 𝑄1 + 𝑄2)\nLUB\n( 𝑄1 = 250 ⋅𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅1\n⋅𝑇\n2 oraz 𝑄2 = 250 ⋅𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅2\n⋅𝑇\n2 oraz 𝑄= 𝑄1 + 𝑄2)\nLUB\n( 𝑄1 = 𝑈𝑠𝑘⋅𝐼𝑠𝑘1 ⋅𝑇\n2 ⋅𝑡⋅𝑓 oraz 𝑄2 = 𝑈𝑠𝑘⋅ 𝐼𝑠𝑘2 ⋅𝑇\n2 ⋅𝑡⋅𝑓 oraz 𝑄= 𝑄1 + 𝑄2 )\n1 pkt - zapisanie ciepła całkowitego (albo mocy) wydzielonego w obwodzie jako sumy ciepeł\n(lub mocy) wydzielanych na obu opornikach oraz skorzystanie ze związku między\nciepłem a mocą i czasem.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 3.)\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepła wydzielanego w całym obwodzie oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - spełnienie warunków określonych za 1 pkt, a ponadto poprawne określenie 𝑈𝑠𝑘,\npoprawna metoda obliczenia oporu zastępczego oraz określenie czasu jako Δ𝑡=\n𝑡\n2.\n1 pkt - zapisanie związku miedzy mocą a ciepłem i czasem (𝑄𝑐= 𝑃Δ𝑡) oraz wyrażenie mocy\nza pomocą oporu zastępczego obwodu: 𝑃=\n𝑈𝑠𝑘\n2\n𝑅𝑧.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nCiepło wydzielone w obwodzie jest sumą ciepeł wydzielonych na opornikach 𝑅1 oraz 𝑅2:\n𝑄𝑐= 𝑄1 + 𝑄2\nSkorzystamy ze związku między mocą średnią a ciepłem wydzielanym na oporniku oraz ze\nwzoru na moc średnią dla prądu przemiennego:\n𝑄1 = 𝑃ś𝑟1𝛥𝑡1 𝑃ś𝑟1 = 𝑈𝑠𝑘1\n2\n𝑅1\n= 𝑈𝑚𝑎𝑥1\n2\n2𝑅1\n𝑄2 = 𝑃ś𝑟1𝛥𝑡2 𝑃ś𝑟2 = 𝑈𝑠𝑘2\n2\n𝑅2\n= 𝑈𝑚𝑎𝑥2\n2\n2𝑅2\ngdzie Δ𝑡1 i Δ𝑡2 są łącznymi czasami, gdy przez dany opornik płynie prąd. Ponieważ w tym\nprzypadku prąd płynie przez każdy opornik tylko w połowie okresu zmian napięcia, to ciepło\nna danym oporniku jest wydzielane przez połowę czasu - będącego całkowitą wielokrotnością\nokresu zmian napięcia:\nΔ𝑡1 = Δ𝑡2 = Δ𝑡= 1\n2 𝑡= 1\n2 ⋅10 s = 5 s\nZauważmy, że maksymalne napięcie na każdym z oporników jest równe maksymalnemu\nnapięciu źródła:\n|𝑈𝑚𝑎𝑥1| = |𝑈𝑚𝑎𝑥2| = |𝑈𝑚𝑎𝑥| = 6 𝑉\nObliczymy ciepło całkowite wydzielone w obwodzie:\n𝑄𝑐= 𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅1\n⋅𝑡\n2 + 𝑈𝑚𝑎𝑥\n2\n2𝑅2\n⋅𝑡\n2\n𝑄𝑐= 62 V2\n2 ⋅20 Ω ⋅5 s + 62 V2\n2 ⋅30 Ω ⋅5 s = 4,5 J + 3 J = 7,5 J\nSposób 2.\n𝑄𝑐= 𝑄1 + 𝑄2 = (𝑃𝑠𝑟1 + 𝑃𝑠𝑟2) ⋅1\n2 ⋅𝑡= (𝑈𝑠𝑘𝐽𝑠𝑘1 + 𝑈𝑠𝑘𝐼𝑠𝑘2) ⋅1\n2 ⋅𝑡= 𝑈𝑠𝑘⋅(𝐼𝑠𝑘1 + 𝐼𝑠𝑘2)\n2\n⋅𝑡\n𝑄𝑐= 6 V\n√2\n⋅(0,3 + 0,2) A\n2√2\n⋅10 s = 7,5 J\nSposób 3. (zastosowanie oporu zastępczego dla obwodu zastępczego)\nZauważmy, że ciepło w obwodzie wydzielane jest na przemian: łącznie przez Δ𝑡= 5 s na\noporniku 𝑅1, gdy prąd płynie w jedną stronę, oraz łącznie przez Δ𝑡= 5 s na oporniku 𝑅2, gdy\nprąd płynie w drugą stronę. Zatem wydzielone ciepło jest takie samo, jak ciepło wydzielone\nw obwodzie zastępczym bez diod - gdyby prąd płynął w czasie Δ𝑡= 5 s jednocześnie przez\noba oporniki 𝑅1 i 𝑅2 połączone równolegle - w obwodzie (bez diod) zasilanym takim samym\nnapięciem przemiennym. Wyznaczymy ciepło wydzielone w tym obwodzie zastępczym:\n𝑄𝑐= 𝑃𝑠𝑟⋅Δ𝑡 𝑃𝑠𝑟= 𝑈𝑠𝑘\n2\n𝑅𝑧\nZasady oceniania rozwiązań zadań\ngdzie 𝑅𝑧 jest oporem zastępczym obwodu zastępczego bez diod, Δ𝑡 jest czasem, gdy przez\nobwód zastępczy płynie prąd, 𝑈𝑠𝑘 jest napięciem skutecznym:\nΔ𝑡= 𝑡\n2 = 5 s 𝑈𝑠𝑘= 6 V\n√2\nObliczymy opór zastępczy obwodu zastępczego bez diod:\n1\n𝑅𝑧\n= 1\n𝑅1\n+ 1\n𝑅2\n1\n20 Ω +\n1\n30 Ω → 𝑅𝑧= 12 Ω\nObliczymy ciepło wydzielone w czasie 5 s w obwodzie zastępczym bez diod:\n𝑄𝑐= 36 V2\n2\n⋅\n1\n12 Ω ⋅5 s = 7,5 J","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[Q = \\frac{E_0^2}{2(R_1 + R_2)} \\cdot t\\]\n\nPodstawiając wartości z preambuły zadania 6 i \\(t = 10\\) s, otrzymujemy ciepło wydzielone w całym obwodzie.\n\n## Sposób 1 - Moc średnia AC i energia\n\n**Krok 1 - Model obwodu.**\n\nPrądnica wytwarza sinusoidalne SEM (warunek zadania: \\(U(0)=0\\) ⟹ sinus, nie cosinus):\n\n\\[\\varepsilon(t) = E_0 \\sin(\\omega t)\\]\n\nDwa oporniki \\(R_1\\) i \\(R_2\\) połączone szeregowo dają opór zastępczy:\n\n\\[R = R_1 + R_2\\]\n\n**Krok 2 - Prąd chwilowy.**\n\nW obwodzie oporowym (brak kondensatorów ani cewek) prąd jest w fazie z napięciem:\n\n\\[i(t) = \\frac{\\varepsilon(t)}{R} = \\frac{E_0}{R}\\sin(\\omega t) = I_0 \\sin(\\omega t)\\]\n\ngdzie \\(I_0 = \\dfrac{E_0}{R}\\) to amplituda prądu.\n\n**Krok 3 - Moc chwilowa.**\n\n\\[p(t) = i^2(t) \\cdot R = \\frac{E_0^2}{R}\\sin^2(\\omega t)\\]\n\n**Krok 4 - Moc średnia.**\n\nKorzystamy z faktu, że \\(\\langle \\sin^2(\\omega t) \\rangle = \\dfrac{1}{2}\\) (średnia po pełnych okresach):\n\n\\[P_{\\text{śr}} = \\frac{E_0^2}{2R} = \\frac{E_0^2}{2(R_1+R_2)}\\]\n\n**Krok 5 - Ciepło w czasie \\(t = 10\\) s.**\n\n\\[Q = P_{\\text{śr}} \\cdot t = \\frac{E_0^2}{2(R_1+R_2)} \\cdot 10 \\text{ s}\\]\n\n> Podstaw \\(E_0\\), \\(R_1\\), \\(R_2\\) z preambuły zadania 6, aby uzyskać wynik liczbowy w dżulach.\n\n## Sposób 2 - Przez wartość skuteczną (RMS)\n\n**Definicja wartości skutecznej** - to taka stała wartość DC, która wydziela taką samą moc:\n\n\\[U_{\\text{sk}} = \\frac{E_0}{\\sqrt{2}}, \\qquad I_{\\text{sk}} = \\frac{I_0}{\\sqrt{2}} = \\frac{E_0}{\\sqrt{2}\\cdot R}\\]\n\n**Moc (jak dla prądu stałego, ale przez wartości skuteczne):**\n\n\\[P_{\\text{śr}} = I_{\\text{sk}}^2 \\cdot R = \\left(\\frac{E_0}{\\sqrt{2}\\cdot R}\\right)^2 \\cdot R = \\frac{E_0^2}{2R}\\]\n\n- identyczny wynik jak w Sposobie 1. ✓\n\n**Ciepło:**\n\n\\[Q = P_{\\text{śr}} \\cdot t = I_{\\text{sk}}^2 \\cdot (R_1+R_2) \\cdot t\\]\n\n## Sposób 3 - Całkowanie mocy chwilowej (analityczne)\n\nDla najbardziej ścisłego rachunku: całkujemy moc chwilową po czasie:\n\n\\[Q = \\int_0^{t} p(\\tau)\\, d\\tau = \\int_0^{10} \\frac{E_0^2}{R}\\sin^2(\\omega \\tau)\\, d\\tau\\]\n\nKorzystamy z tożsamości: \\(\\sin^2 x = \\dfrac{1 - \\cos(2x)}{2}\\):\n\n\\[Q = \\frac{E_0^2}{R}\\int_0^{10} \\frac{1-\\cos(2\\omega\\tau)}{2}\\, d\\tau = \\frac{E_0^2}{R}\\left[\\frac{\\tau}{2} - \\frac{\\sin(2\\omega\\tau)}{4\\omega}\\right]_0^{10}\\]\n\nDla \\(t = 10\\) s (wiele pełnych okresów sieci, bo np. \\(T = 0{,}02\\) s dla 50 Hz):\n\n\\[\\frac{\\sin(2\\omega \\cdot 10)}{4\\omega} \\approx 0 \\quad \\text{(sinusoida, po wielu okresach składnik oscylacyjny jest pomijalny)}\\]\n\nZatem:\n\n\\[Q \\approx \\frac{E_0^2}{R} \\cdot \\frac{t}{2} = \\frac{E_0^2 \\cdot t}{2(R_1+R_2)}\\]\n\n**Wniosek:** wszystkie trzy metody dają **ten sam wzór** - to bardzo ważna weryfikacja.\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Oficjalny klucz CKE (zadanie 6.2, 0-3 pkt):\n> - 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepla wydzielonego w calym obwodzie oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka.\n> - 2 pkt - zapis ciepla calkowitego jako sumy ciepel na obu opornikach oraz wyrazenia na cieplo na i-tym oporniku (z parametrami skutecznymi albo maksymalnymi), z poprawnym sumarycznym czasem przeplywu pradu, np. \\(Q_i = \\tfrac{U_{max}^2}{2R_i}\\cdot\\tfrac{t}{2}\\).\n> - 1 pkt - zapis ciepla calkowitego (lub mocy) jako sumy na obu opornikach oraz zwiazek miedzy cieplem, moca i czasem.\n> - 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.\n>\n> (Dla metody z oporem zastepczym: 2 pkt za \\(U_{sk}\\), \\(R_z\\) i \\(\\Delta t = \\tfrac{t}{2}\\); 1 pkt za \\(Q_c = P\\Delta t\\) i \\(P = \\tfrac{U_{sk}^2}{R_z}\\).)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n>\n> **Moc prądu zmiennego (str. 19-20):**\n> \\[P = \\frac{1}{2}I_0^2 R = I_{\\text{sk}}^2 R, \\qquad I_{\\text{sk}} = \\frac{I_0}{\\sqrt{2}}, \\qquad U_{\\text{sk}} = \\frac{U_0}{\\sqrt{2}}\\]\n>\n> **Energia (ciepło Joule'a):**\n> \\[Q = P \\cdot t\\]\n>\n> **Prawo Ohma dla obwodu:**\n> \\[I_0 = \\frac{E_0}{R_1 + R_2} \\quad \\text{(obwód czysto oporowy)}\\]\n>\n> Klucz do zadania: wzór na \\(P_{\\text{śr}}\\) = to właśnie ten wzór z kartą z czynnikiem \\(\\frac{1}{2}\\). **Nie można użyć \\(P = E_0^2/R\\) bez \\(\\frac{1}{2}\\)!**\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka #1 - Amplituda zamiast RMS:** Uczeń podstawia \\(P = E_0^2/R\\) zamiast \\(P = E_0^2/(2R)\\). To błąd o czynnik 2 - wynik dwukrotnie za duży!\n\n> ⚠️ **Pułapka #2 - Prąd stały zamiast przemiennego:** Uczeń \"zakłada DC\" i liczy jak gdyby \\(\\varepsilon = E_0 = \\text{const}\\). Amplituda to MAX chwilowy, nie wartość stała.\n\n> ⚠️ **Pułapka #3 - Zapomnienie o obu opornikach:** Zadanie pyta o ciepło na **obu opornikach łącznie**, więc \\(R = R_1 + R_2\\). Gdyby pytało o jeden, trzeba by podzielić proporcjonalnie.\n\n> ⚠️ **Pułapka #4 - Pominięcie uzasadnienia czynnika \\(\\frac{1}{2}\\):** Samo napisanie \"dla prądu przemiennego bierzemy połowę\" **bez wzoru** może nie wystarczyć na pełen punkt w kluczu. Zawsze zapisuj: \\(\\langle \\sin^2 \\rangle = \\frac{1}{2}\\) lub korzystaj jawnie z \\(I_{\\text{sk}} = I_0/\\sqrt{2}\\).","image":"img/fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-6.2.webp","solution_image":null,"topics":"Prąd elektryczny","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6.2. (0-3)
Oblicz ciepło wydzielone w całym obwodzie (tzn. na obu opornikach łącznie) w czasie
𝟏𝟎 sekund działania prądnicy.
Przyjmij, że w chwili początkowej 𝑡଴= 0 napięcie wynosiło 𝑈= 0.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.1.
6.2.
Maks. liczba pkt
4
3
Uzyskana liczba pkt
𝐼ଶ, A
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
𝑡, s
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 6.2. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
9.11) opisuje prąd przemienny (natężenie,
napięcie, […] wartości skuteczne);
9.12) opisuje działanie diody jako prostownika;
8.6) oblicza pracę wykonaną podczas
przepływu prądu przez różne elementy obwodu
oraz moc rozproszoną na oporze.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 1. lub sposobem 2.)
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepła wydzielanego w całym obwodzie oraz podanie
prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.
2 pkt - zapisanie ciepła całkowitego wydzielonego w obwodzie jako sumy ciepeł wydzielanych
na obu opornikach oraz zapisanie wyrażenia (na symbolach lub z podstawionymi
danymi) na ciepło wydzielane na i-tym oporniku (z parametrami skutecznymi albo
maksymalnymi), z poprawnym określeniem sumarycznego czasu przepływu prądu
przez dany opornik:
(𝑄1 = 𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2𝑅1
⋅𝑡
2 oraz 𝑄2 = 𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2𝑅2
⋅𝑡
2 oraz 𝑄= 𝑄1 + 𝑄2)
LUB
( 𝑄1 = 250 ⋅𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2𝑅1
⋅𝑇
2 oraz 𝑄2 = 250 ⋅𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2𝑅2
⋅𝑇
2 oraz 𝑄= 𝑄1 + 𝑄2)
LUB
( 𝑄1 = 𝑈𝑠𝑘⋅𝐼𝑠𝑘1 ⋅𝑇
2 ⋅𝑡⋅𝑓 oraz 𝑄2 = 𝑈𝑠𝑘⋅ 𝐼𝑠𝑘2 ⋅𝑇
2 ⋅𝑡⋅𝑓 oraz 𝑄= 𝑄1 + 𝑄2 )
1 pkt - zapisanie ciepła całkowitego (albo mocy) wydzielonego w obwodzie jako sumy ciepeł
(lub mocy) wydzielanych na obu opornikach oraz skorzystanie ze związku między
ciepłem a mocą i czasem.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 3.)
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepła wydzielanego w całym obwodzie oraz podanie
prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.
2 pkt - spełnienie warunków określonych za 1 pkt, a ponadto poprawne określenie 𝑈𝑠𝑘,
poprawna metoda obliczenia oporu zastępczego oraz określenie czasu jako Δ𝑡=
𝑡
2.
1 pkt - zapisanie związku miedzy mocą a ciepłem i czasem (𝑄𝑐= 𝑃Δ𝑡) oraz wyrażenie mocy
za pomocą oporu zastępczego obwodu: 𝑃=
𝑈𝑠𝑘
2
𝑅𝑧.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Ciepło wydzielone w obwodzie jest sumą ciepeł wydzielonych na opornikach 𝑅1 oraz 𝑅2:
𝑄𝑐= 𝑄1 + 𝑄2
Skorzystamy ze związku między mocą średnią a ciepłem wydzielanym na oporniku oraz ze
wzoru na moc średnią dla prądu przemiennego:
𝑄1 = 𝑃ś𝑟1𝛥𝑡1 𝑃ś𝑟1 = 𝑈𝑠𝑘1
2
𝑅1
= 𝑈𝑚𝑎𝑥1
2
2𝑅1
𝑄2 = 𝑃ś𝑟1𝛥𝑡2 𝑃ś𝑟2 = 𝑈𝑠𝑘2
2
𝑅2
= 𝑈𝑚𝑎𝑥2
2
2𝑅2
gdzie Δ𝑡1 i Δ𝑡2 są łącznymi czasami, gdy przez dany opornik płynie prąd. Ponieważ w tym
przypadku prąd płynie przez każdy opornik tylko w połowie okresu zmian napięcia, to ciepło
na danym oporniku jest wydzielane przez połowę czasu - będącego całkowitą wielokrotnością
okresu zmian napięcia:
Δ𝑡1 = Δ𝑡2 = Δ𝑡= 1
2 𝑡= 1
2 ⋅10 s = 5 s
Zauważmy, że maksymalne napięcie na każdym z oporników jest równe maksymalnemu
napięciu źródła:
|𝑈𝑚𝑎𝑥1| = |𝑈𝑚𝑎𝑥2| = |𝑈𝑚𝑎𝑥| = 6 𝑉
Obliczymy ciepło całkowite wydzielone w obwodzie:
𝑄𝑐= 𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2𝑅1
⋅𝑡
2 + 𝑈𝑚𝑎𝑥
2
2𝑅2
⋅𝑡
2
𝑄𝑐= 62 V2
2 ⋅20 Ω ⋅5 s + 62 V2
2 ⋅30 Ω ⋅5 s = 4,5 J + 3 J = 7,5 J
Sposób 2.
𝑄𝑐= 𝑄1 + 𝑄2 = (𝑃𝑠𝑟1 + 𝑃𝑠𝑟2) ⋅1
2 ⋅𝑡= (𝑈𝑠𝑘𝐽𝑠𝑘1 + 𝑈𝑠𝑘𝐼𝑠𝑘2) ⋅1
2 ⋅𝑡= 𝑈𝑠𝑘⋅(𝐼𝑠𝑘1 + 𝐼𝑠𝑘2)
2
⋅𝑡
𝑄𝑐= 6 V
√2
⋅(0,3 + 0,2) A
2√2
⋅10 s = 7,5 J
Sposób 3. (zastosowanie oporu zastępczego dla obwodu zastępczego)
Zauważmy, że ciepło w obwodzie wydzielane jest na przemian: łącznie przez Δ𝑡= 5 s na
oporniku 𝑅1, gdy prąd płynie w jedną stronę, oraz łącznie przez Δ𝑡= 5 s na oporniku 𝑅2, gdy
prąd płynie w drugą stronę. Zatem wydzielone ciepło jest takie samo, jak ciepło wydzielone
w obwodzie zastępczym bez diod - gdyby prąd płynął w czasie Δ𝑡= 5 s jednocześnie przez
oba oporniki 𝑅1 i 𝑅2 połączone równolegle - w obwodzie (bez diod) zasilanym takim samym
napięciem przemiennym. Wyznaczymy ciepło wydzielone w tym obwodzie zastępczym:
𝑄𝑐= 𝑃𝑠𝑟⋅Δ𝑡 𝑃𝑠𝑟= 𝑈𝑠𝑘
2
𝑅𝑧
Zasady oceniania rozwiązań zadań
gdzie 𝑅𝑧 jest oporem zastępczym obwodu zastępczego bez diod, Δ𝑡 jest czasem, gdy przez
obwód zastępczy płynie prąd, 𝑈𝑠𝑘 jest napięciem skutecznym:
Δ𝑡= 𝑡
2 = 5 s 𝑈𝑠𝑘= 6 V
√2
Obliczymy opór zastępczy obwodu zastępczego bez diod:
1
𝑅𝑧
= 1
𝑅1

\n\n

𝑅2
1
20 Ω +
1
30 Ω → 𝑅𝑧= 12 Ω
Obliczymy ciepło wydzielone w czasie 5 s w obwodzie zastępczym bez diod:
𝑄𝑐= 36 V2
2
⋅
1
12 Ω ⋅5 s = 7,5 J

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[Q = \\frac{E_0^2}{2(R_1 + R_2)} \\cdot t\\]

\n

Podstawiając wartości z preambuły zadania 6 i \\(t = 10\\) s, otrzymujemy ciepło wydzielone w całym obwodzie.

\n

Sposób 1 - Moc średnia AC i energia

\n

Krok 1 - Model obwodu.

\n

Prądnica wytwarza sinusoidalne SEM (warunek zadania: \\(U(0)=0\\) ⟹ sinus, nie cosinus):

\n

\\[\\varepsilon(t) = E_0 \\sin(\\omega t)\\]

\n

Dwa oporniki \\(R_1\\) i \\(R_2\\) połączone szeregowo dają opór zastępczy:

\n

\\[R = R_1 + R_2\\]

\n

Krok 2 - Prąd chwilowy.

\n

W obwodzie oporowym (brak kondensatorów ani cewek) prąd jest w fazie z napięciem:

\n

\\[i(t) = \\frac{\\varepsilon(t)}{R} = \\frac{E_0}{R}\\sin(\\omega t) = I_0 \\sin(\\omega t)\\]

\n

gdzie \\(I_0 = \\dfrac{E_0}{R}\\) to amplituda prądu.

\n

Krok 3 - Moc chwilowa.

\n

\\[p(t) = i^2(t) \\cdot R = \\frac{E_0^2}{R}\\sin^2(\\omega t)\\]

\n

Krok 4 - Moc średnia.

\n

Korzystamy z faktu, że \\(\\langle \\sin^2(\\omega t) \\rangle = \\dfrac{1}{2}\\) (średnia po pełnych okresach):

\n

\\[P_{\\text{śr}} = \\frac{E_0^2}{2R} = \\frac{E_0^2}{2(R_1+R_2)}\\]

\n

Krok 5 - Ciepło w czasie \\(t = 10\\) s.

\n

\\[Q = P_{\\text{śr}} \\cdot t = \\frac{E_0^2}{2(R_1+R_2)} \\cdot 10 \\text{ s}\\]

\n
Podstaw \\(E_0\\), \\(R_1\\), \\(R_2\\) z preambuły zadania 6, aby uzyskać wynik liczbowy w dżulach.
\n

Sposób 2 - Przez wartość skuteczną (RMS)

\n

Definicja wartości skutecznej - to taka stała wartość DC, która wydziela taką samą moc:

\n

\\[U_{\\text{sk}} = \\frac{E_0}{\\sqrt{2}}, \\qquad I_{\\text{sk}} = \\frac{I_0}{\\sqrt{2}} = \\frac{E_0}{\\sqrt{2}\\cdot R}\\]

\n

Moc (jak dla prądu stałego, ale przez wartości skuteczne):

\n

\\[P_{\\text{śr}} = I_{\\text{sk}}^2 \\cdot R = \\left(\\frac{E_0}{\\sqrt{2}\\cdot R}\\right)^2 \\cdot R = \\frac{E_0^2}{2R}\\]

\n\n

Ciepło:

\n

\\[Q = P_{\\text{śr}} \\cdot t = I_{\\text{sk}}^2 \\cdot (R_1+R_2) \\cdot t\\]

\n

Sposób 3 - Całkowanie mocy chwilowej (analityczne)

\n

Dla najbardziej ścisłego rachunku: całkujemy moc chwilową po czasie:

\n

\\[Q = \\int_0^{t} p(\\tau)\\, d\\tau = \\int_0^{10} \\frac{E_0^2}{R}\\sin^2(\\omega \\tau)\\, d\\tau\\]

\n

Korzystamy z tożsamości: \\(\\sin^2 x = \\dfrac{1 - \\cos(2x)}{2}\\):

\n

\\[Q = \\frac{E_0^2}{R}\\int_0^{10} \\frac{1-\\cos(2\\omega\\tau)}{2}\\, d\\tau = \\frac{E_0^2}{R}\\left[\\frac{\\tau}{2} - \\frac{\\sin(2\\omega\\tau)}{4\\omega}\\right]_0^{10}\\]

\n

Dla \\(t = 10\\) s (wiele pełnych okresów sieci, bo np. \\(T = 0{,}02\\) s dla 50 Hz):

\n

\\[\\frac{\\sin(2\\omega \\cdot 10)}{4\\omega} \\approx 0 \\quad \\text{(sinusoida, po wielu okresach składnik oscylacyjny jest pomijalny)}\\]

\n

Zatem:

\n

\\[Q \\approx \\frac{E_0^2}{R} \\cdot \\frac{t}{2} = \\frac{E_0^2 \\cdot t}{2(R_1+R_2)}\\]

\n

Wniosek: wszystkie trzy metody dają ten sam wzór - to bardzo ważna weryfikacja.

\n

Schemat oceniania CKE

\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 6.2, 0-3 pkt):
- 3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ciepla wydzielonego w calym obwodzie oraz prawidlowy wynik liczbowy z jednostka.
- 2 pkt - zapis ciepla calkowitego jako sumy ciepel na obu opornikach oraz wyrazenia na cieplo na i-tym oporniku (z parametrami skutecznymi albo maksymalnymi), z poprawnym sumarycznym czasem przeplywu pradu, np. \\(Q_i = \\tfrac{U_{max}^2}{2R_i}\\cdot\\tfrac{t}{2}\\).
- 1 pkt - zapis ciepla calkowitego (lub mocy) jako sumy na obu opornikach oraz zwiazek miedzy cieplem, moca i czasem.
- 0 pkt - brak spelnienia powyzszych kryteriow.

(Dla metody z oporem zastepczym: 2 pkt za \\(U_{sk}\\), \\(R_z\\) i \\(\\Delta t = \\tfrac{t}{2}\\); 1 pkt za \\(Q_c = P\\Delta t\\) i \\(P = \\tfrac{U_{sk}^2}{R_z}\\).)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):

Moc prądu zmiennego (str. 19-20):
\\[P = \\frac{1}{2}I_0^2 R = I_{\\text{sk}}^2 R, \\qquad I_{\\text{sk}} = \\frac{I_0}{\\sqrt{2}}, \\qquad U_{\\text{sk}} = \\frac{U_0}{\\sqrt{2}}\\]

Energia (ciepło Joule'a):
\\[Q = P \\cdot t\\]

Prawo Ohma dla obwodu:
\\[I_0 = \\frac{E_0}{R_1 + R_2} \\quad \\text{(obwód czysto oporowy)}\\]

Klucz do zadania: wzór na \\(P_{\\text{śr}}\\) = to właśnie ten wzór z kartą z czynnikiem \\(\\frac{1}{2}\\). Nie można użyć \\(P = E_0^2/R\\) bez \\(\\frac{1}{2}\\)!
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka #1 - Amplituda zamiast RMS: Uczeń podstawia \\(P = E_0^2/R\\) zamiast \\(P = E_0^2/(2R)\\). To błąd o czynnik 2 - wynik dwukrotnie za duży!
\n
⚠️ Pułapka #2 - Prąd stały zamiast przemiennego: Uczeń "zakłada DC" i liczy jak gdyby \\(\\varepsilon = E_0 = \\text{const}\\). Amplituda to MAX chwilowy, nie wartość stała.
\n
⚠️ Pułapka #3 - Zapomnienie o obu opornikach: Zadanie pyta o ciepło na obu opornikach łącznie, więc \\(R = R_1 + R_2\\). Gdyby pytało o jeden, trzeba by podzielić proporcjonalnie.
\n
⚠️ Pułapka #4 - Pominięcie uzasadnienia czynnika \\(\\frac{1}{2}\\): Samo napisanie "dla prądu przemiennego bierzemy połowę" bez wzoru może nie wystarczyć na pełen punkt w kluczu. Zawsze zapisuj: \\(\\langle \\sin^2 \\rangle = \\frac{1}{2}\\) lub korzystaj jawnie z \\(I_{\\text{sk}} = I_0/\\sqrt{2}\\).
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$7,5 \\text{ J}$

"}]}