{"id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/7.1","paper_id":"fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"7.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.1. (0-2)\nNa podstawie danych odczytanych z wykresu udowodnij, że przemiana A-B jest\nizochoryczna. Wykonaj odpowiednie obliczenia oraz powołaj się na własność\nprzemiany izochorycznej.\n𝑝, MPa\nB\n0,7\n0,6\n0,5\n0,4\n0,3\n0,2\n0,1\n0\nA\n- 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 𝑇, °C\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów, schematów\ni rysunków.\nZdający:\n5.2) opisuje przemianę izochoryczną;\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda udowodnienia, że przemiana jest izochoryczna, tzn.: zapisanie\nrównania\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴=\n𝑝𝐵\n𝑇𝐵 wynikającego z własności przemiany izochorycznej, prawidłowe\nustalenie na podstawie wykresu temperatur oraz ciśnień azotu w stanach A i B (zdający\nw rozwiązaniu może wykorzystać parametry stanów gazu pomiędzy stanami A i B),\nwyrażenie temperatur w skali Kelwina oraz wykazanie obliczeniami odpowiednich\nrówności:\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴=\n𝑝𝐵\n𝑇𝐵= 1,6 kPa/K (podobnie jak w sposobie 1.)\nLUB\n- poprawna metoda udowodnienia, że przemiana jest izochoryczna, tzn. stwierdzenie,\nże miejscem zerowym funkcji liniowej, której wykres zawiera odcinek AB, jest\n𝑇= -273 ℃, wyznaczenie równania prostej AB oraz wykazanie, że 𝑝(-273 ℃) = 0\n(podobnie jak w sposobie 2.) albo wykazanie, że w nowym układzie współrzędnych,\nw którym temperatura wyrażona jest w kelwinach, prosta zawierająca odcinek AB\nprzecina punkt (0,0).\n1 pkt - zapisanie równości wynikającej z równania stanu gazu doskonałego i własności\nprzemiany izochorycznej:\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴=\n𝑝𝐵\n𝑇𝐵 (lub związków równoważnych np.: 𝑝𝐴𝑉 = 𝑛𝑅𝑇𝐴\noraz 𝑝𝐵𝑉= 𝑛𝑅𝑇𝐵) (podobnie jak w sposobie 1.) i wyrażenie temperatur w skali\nKelwina (lub zapis o tym, że temperatury muszą być w skali Kelwina)\nLUB\n- stwierdzenie, że miejscem zerowym funkcji liniowej, której wykres zawiera odcinek\nAB, jest 𝑇= -273 ℃ (podobnie jak w sposobie 2.) albo zapisy temu równoważne (np.:\nw układzie współrzędnych, w którym temperatura wyrażona jest w kelwinach, prosta\nzawierająca odcinek AB przecina punkt (0,0)).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwagi dodatkowe\n1. Gdy zdający podstawia do równości\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴=\n𝑝𝐵\n𝑇𝐵 (lub związków równoważnych) temperaturę\nw skali Celsjusza to otrzymuje 0 pkt.\n2. Gdy zdający, wyrażając temperaturę w skali Kelwina, użyje poprawnej metody (doda 273\ndo temperatury wyrażonej w skali Celsjusza) oraz (1) popełni błąd obliczeniowy albo (2)\nbłędnie odczyta temperaturę z wykresu, to dostaje 1 pkt.\n3. Gdy zdający, wyrażając temperaturę w skali Kelwina, użyje błędnej metody (np. odejmie\n273 od temperatury wyrażonej w skali Celsjusza), to dostaje 0 pkt.\nPrzykładowe rozwiązanie\nSposób 1.\nWykres 𝑝(𝑇) przedstawia przemianę izochoryczną wtedy, gdy:\n1) jest fragmentem linii prostej,\n2) dla dowolnych dwóch punktów na tej prostej iloraz ciśnienia i temperatury - wyrażonej\nw kelwinach - jest stały.\nWarunek określony w punkcie 1) jest spełniony automatycznie, ponieważ wykres A-B jest\nodcinkiem prostej. Sprawdzimy warunek określony w punkcie 2). W przemianie izochorycznej\nA-B powinna być spełniona równość:\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴\n= 𝑝𝐵\n𝑇𝐵\ngdzie 𝑇𝐴 oraz 𝑇𝐵 są temperaturami wyrażonymi w skali bezwzględnej Kelwina. Odczytamy\nwspółrzędne punktów A i B z wykresu oraz wykonamy obliczenia:\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴\n0,4 MPa\n(-23 + 273) K = 400 kPa\n250 K = 1,6 kPa\nK\n𝑝𝐵\n𝑇𝐵\n0,6 MPa\n(102 + 273) K = 600 kPa\n375 K = 1,6 kPa\nK\nZ powyższych obliczeń wynika, że:\n𝑝𝐴\n𝑇𝐴\n= 𝑝𝐵\n𝑇𝐵\nSposób 2.\nWykres A-B zależności 𝑝(𝑇) przedstawia przemianę izochoryczną wtedy, gdy:\n1) równanie zależności 𝑝(𝑇) (w układzie współrzędnych, w którym temperatura wyrażona\njest w ℃) jest postaci: 𝑝(𝑇) = 𝑎𝑇+ 𝑏 dla pewnych współczynników 𝑎 i 𝑏.\n2) 𝑝(-273 ℃) = 0 (lub równoważne wykazanie, że w układzie współrzędnych, w którym\ntemperatura wyrażona jest w kelwinach, prosta zawierająca odcinek AB przecina punkt\n(0,0)).\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek określony w punkcie 1) jest spełniony automatycznie, ponieważ A-B jest odcinkiem\nprostej. Sprawdzimy warunek określony w punkcie 2). Wyprowadzimy równanie prostej\nprzechodzącej przez punkty A i B układu współrzędnych (𝑝, 𝑇) w jednostkach MPa oraz ℃:\n𝑝-0,6 =\n0,6 -0,4\n102 -(-23) ⋅(𝑇-102)\n𝑝= 0,0016 ⋅𝑇+ 0,4368\nSprawdzamy warunek 2):\n𝑝(-273 ℃) = 0,0016 ⋅(-273) + 0,4368 = 0","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nPrzemiana A-B jest izochoryczna, bo iloraz \\(p/T\\) jest stały dla obu stanów:\n\n\\[\n\\frac{p_A}{T_A} = \\frac{0{,}4 \\text{ MPa}}{250 \\text{ K}} = 1{,}6 \\times 10^{-3} \\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}} = \\frac{p_B}{T_B} = \\frac{0{,}6 \\text{ MPa}}{373 \\text{ K}} \\approx 1{,}6 \\times 10^{-3} \\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}}\n\\]\n\nco jest własnością charakterystyczną przemiany izochorycznej.\n\n## Sposób 1 - Weryfikacja warunku Gay-Lussaca (p/T = const)\n\n**Krok 1 - Odczyt danych z wykresu:**\n\n| Stan | Temperatura (°C) | Temperatura (K) | Ciśnienie |\n| A | \\(-23\\,°\\text{C}\\) | \\(T_A = -23 + 273 = 250\\,\\text{K}\\) | \\(p_A = 0{,}4\\,\\text{MPa}\\) |\n| B | \\(100\\,°\\text{C}\\) | \\(T_B = 100 + 273 = 373\\,\\text{K}\\) | \\(p_B = 0{,}6\\,\\text{MPa}\\) |\n\n> ⚠️ Temperatury **MUSZĄ** być w kelwinach - prawo Gay-Lussaca działa tylko dla skali bezwzględnej!\n\n**Krok 2 - Obliczenie ilorazów:**\n\n\\[\n\\frac{p_A}{T_A} = \\frac{0{,}4\\,\\text{MPa}}{250\\,\\text{K}} = 1{,}60 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{p_B}{T_B} = \\frac{0{,}6\\,\\text{MPa}}{373\\,\\text{K}} \\approx 1{,}608 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}} \\approx 1{,}6 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}}\n\\]\n\n**Krok 3 - Wniosek:**\n\n\\[\n\\frac{p_A}{T_A} \\approx \\frac{p_B}{T_B}\n\\]\n\n**Własność przemiany izochorycznej:** w stałej objętości ciśnienie gazu doskonałego jest wprost proporcjonalne do temperatury bezwzględnej, czyli \\(p/T = \\text{const}\\). Ponieważ ten warunek jest spełniony, przemiana A-B jest izochoryczna.\n\n> Małe odchylenie (1,60 vs 1,61) wynika z dokładności odczytu wykresu - akceptowane przez CKE.\n\n## Sposób 2 - Argumentacja graficzna: prosta przechodzi przez (0 K, 0)\n\n**Idea:** Równanie stanu gazu doskonałego dla przemiany izochorycznej w zmiennych \\(p\\) i \\(T\\) (w kelwinach):\n\n\\[\npV = nRT \\implies p = \\frac{nR}{V} \\cdot T\n\\]\n\nTo jest **prosta przez początek układu** w skali \\(p\\) vs \\(T[\\text{K}]\\). Przeliczając na \\(T[°\\text{C}]\\):\n\n\\[\np = \\frac{nR}{V}\\bigl(T_{°C} + 273\\bigr)\n\\]\n\nProsta ta przecina oś \\(T[°C]\\) w punkcie \\(T_{°C} = -273\\,°C\\) (czyli \\(T = 0\\,\\text{K}\\)) przy \\(p = 0\\).\n\n**Sprawdzenie z wykresu:**\n\nWyznaczam równanie prostej przez punkty A i B w układzie \\(T[°C]\\):\n\n\\[\na = \\frac{\\Delta p}{\\Delta T_{°C}} = \\frac{0{,}6 - 0{,}4}{100 - (-23)} = \\frac{0{,}2\\,\\text{MPa}}{123\\,°\\text{C}} \\approx 1{,}626 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{°\\text{C}}\n\\]\n\nPunkt zerowy prostej (gdy \\(p = 0\\)):\n\n\\[\n0 = 0{,}4 + 1{,}626 \\times 10^{-3} \\cdot (T_{°C} - (-23))\n\\]\n\\[\nT_{°C} = -23 - \\frac{0{,}4}{1{,}626 \\times 10^{-3}} = -23 - 246 \\approx -269\\,°C \\approx -273\\,°C\n\\]\n\nProsta przedłużona przechodzi przez \\(\\approx -273\\,°C\\), czyli przez zero bezwzględne - co jest **cechą charakterystyczną wykresu \\(p\\text{-}T\\) dla przemiany izochorycznej**.\n\n## Sposób 3 - Obliczenie objętości z równania stanu i porównanie \\(V_A\\) z \\(V_B\\)\n\nLiczba moli azotu:\n\n\\[\nn = \\frac{m}{\\mu} = \\frac{1400\\,\\text{g}}{28\\,\\text{g/mol}} = 50\\,\\text{mol}\n\\]\n\nObjętość w stanie A:\n\n\\[\nV_A = \\frac{nRT_A}{p_A} = \\frac{50 \\times 8{,}314 \\times 250}{0{,}4 \\times 10^6} = \\frac{103925}{400000} \\approx 0{,}260\\,\\text{m}^3\n\\]\n\nObjętość w stanie B:\n\n\\[\nV_B = \\frac{nRT_B}{p_B} = \\frac{50 \\times 8{,}314 \\times 373}{0{,}6 \\times 10^6} = \\frac{155058}{600000} \\approx 0{,}258\\,\\text{m}^3\n\\]\n\n\\[\nV_A \\approx V_B \\approx 0{,}26\\,\\text{m}^3\n\\]\n\n**Wniosek:** Objętość gazu nie zmienia się w trakcie przemiany - jest to przemiana izochoryczna. (Niewielka różnica wynika z zaokrąglenia wartości odczytanych z wykresu.)\n\n## Schemat oceniania CKE\n\n> Oficjalny klucz CKE (zadanie 7.1, 0-2 pkt):\n> - 2 pkt - poprawne udowodnienie izochorycznosci: zapis \\(\\tfrac{p_A}{T_A} = \\tfrac{p_B}{T_B}\\), prawidlowe ustalenie parametrow stanow A i B z wykresu, temperatury w kelwinach oraz wykazanie obliczeniami \\(\\tfrac{p_A}{T_A} = \\tfrac{p_B}{T_B} = 1{,}6\\,\\tfrac{\\text{kPa}}{\\text{K}}\\); LUB wykazanie, ze prosta AB w ukladzie \\(p(T)\\) przecina punkt \\(T = -273\\,^\\circ\\text{C}\\) (czyli (0,0) w kelwinach).\n> - 1 pkt - zapis rownosci \\(\\tfrac{p_A}{T_A} = \\tfrac{p_B}{T_B}\\) z temperatura w kelwinach; LUB stwierdzenie, ze miejscem zerowym jest \\(T = -273\\,^\\circ\\text{C}\\).\n> - 0 pkt - brak spelnienia (m.in. podstawienie temperatury w skali Celsjusza = 0 pkt).\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Termodynamika:**\n>\n> - **Równanie stanu gazu doskonałego:** \\(pV = nRT\\), gdzie \\(R = 8{,}31\\,\\text{J/(mol·K)}\\)\n> - **Prawo Gay-Lussaca (izochora):** \\(\\dfrac{p}{T} = \\text{const}\\), czyli \\(\\dfrac{p_1}{T_1} = \\dfrac{p_2}{T_2}\\)\n> - **Liczba moli:** \\(n = m/\\mu\\)\n>\n> Użyliśmy wszystkich trzech - w Sposobie 1 prawa Gay-Lussaca, w Sposobie 3 równania stanu.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - Temperatura w °C zamiast K:** Wstawienie \\(T = -23\\) i \\(T = 100\\) do ilorazów daje \\(0{,}4/(-23) \\neq 0{,}6/100\\) - błędny wynik. **Zawsze przeliczaj na kelwiny!**\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - Brak powołania na własność izochory:** Samo pokazanie, że \\(p_A/T_A = p_B/T_B\\), bez zdania \"co jest cechą przemiany izochorycznej\" - to tylko 1 punkt. Wniosek jest **obowiązkowy**.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - Mylenie \"zamknięty zbiornik\" z izochorą:** Zbiornik jest zamknięty (masa gazu stała), ale to nie gwarantuje stałej objętości (np. tłok mógłby się poruszać). Dowód musi być przez obliczenia - nie przez opis układu.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - Odczyt wykresu w °C jako kelwinach:** Punkt A to \\(-23\\,°C = 250\\,\\text{K}\\), **nie** \\(23\\,\\text{K}\\). Zamiana: \\(T[\\text{K}] = T[°C] + 273\\).","image":"img/fizyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7.1. (0-2)
Na podstawie danych odczytanych z wykresu udowodnij, że przemiana A-B jest
izochoryczna. Wykonaj odpowiednie obliczenia oraz powołaj się na własność
przemiany izochorycznej.
𝑝, MPa
B
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
A

\n\n

EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7.1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
Zdający:
5.2) opisuje przemianę izochoryczną;
5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany
gazu doskonałego.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda udowodnienia, że przemiana jest izochoryczna, tzn.: zapisanie
równania
𝑝𝐴
𝑇𝐴=
𝑝𝐵
𝑇𝐵 wynikającego z własności przemiany izochorycznej, prawidłowe
ustalenie na podstawie wykresu temperatur oraz ciśnień azotu w stanach A i B (zdający
w rozwiązaniu może wykorzystać parametry stanów gazu pomiędzy stanami A i B),
wyrażenie temperatur w skali Kelwina oraz wykazanie obliczeniami odpowiednich
równości:
𝑝𝐴
𝑇𝐴=
𝑝𝐵
𝑇𝐵= 1,6 kPa/K (podobnie jak w sposobie 1.)
LUB

\n\n

że miejscem zerowym funkcji liniowej, której wykres zawiera odcinek AB, jest
𝑇= -273 ℃, wyznaczenie równania prostej AB oraz wykazanie, że 𝑝(-273 ℃) = 0
(podobnie jak w sposobie 2.) albo wykazanie, że w nowym układzie współrzędnych,
w którym temperatura wyrażona jest w kelwinach, prosta zawierająca odcinek AB
przecina punkt (0,0).
1 pkt - zapisanie równości wynikającej z równania stanu gazu doskonałego i własności
przemiany izochorycznej:
𝑝𝐴
𝑇𝐴=
𝑝𝐵
𝑇𝐵 (lub związków równoważnych np.: 𝑝𝐴𝑉 = 𝑛𝑅𝑇𝐴
oraz 𝑝𝐵𝑉= 𝑛𝑅𝑇𝐵) (podobnie jak w sposobie 1.) i wyrażenie temperatur w skali
Kelwina (lub zapis o tym, że temperatury muszą być w skali Kelwina)
LUB

\n\n

AB, jest 𝑇= -273 ℃ (podobnie jak w sposobie 2.) albo zapisy temu równoważne (np.:
w układzie współrzędnych, w którym temperatura wyrażona jest w kelwinach, prosta
zawierająca odcinek AB przecina punkt (0,0)).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwagi dodatkowe

\n
  1. Gdy zdający podstawia do równości
\n

𝑝𝐴
𝑇𝐴=
𝑝𝐵
𝑇𝐵 (lub związków równoważnych) temperaturę
w skali Celsjusza to otrzymuje 0 pkt.

\n
  1. Gdy zdający, wyrażając temperaturę w skali Kelwina, użyje poprawnej metody (doda 273
\n

do temperatury wyrażonej w skali Celsjusza) oraz (1) popełni błąd obliczeniowy albo (2)
błędnie odczyta temperaturę z wykresu, to dostaje 1 pkt.

\n
  1. Gdy zdający, wyrażając temperaturę w skali Kelwina, użyje błędnej metody (np. odejmie
\n

273 od temperatury wyrażonej w skali Celsjusza), to dostaje 0 pkt.
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Wykres 𝑝(𝑇) przedstawia przemianę izochoryczną wtedy, gdy:

\n
  1. jest fragmentem linii prostej,
  2. dla dowolnych dwóch punktów na tej prostej iloraz ciśnienia i temperatury - wyrażonej
\n

w kelwinach - jest stały.
Warunek określony w punkcie 1) jest spełniony automatycznie, ponieważ wykres A-B jest
odcinkiem prostej. Sprawdzimy warunek określony w punkcie 2). W przemianie izochorycznej
A-B powinna być spełniona równość:
𝑝𝐴
𝑇𝐴
= 𝑝𝐵
𝑇𝐵
gdzie 𝑇𝐴 oraz 𝑇𝐵 są temperaturami wyrażonymi w skali bezwzględnej Kelwina. Odczytamy
współrzędne punktów A i B z wykresu oraz wykonamy obliczenia:
𝑝𝐴
𝑇𝐴
0,4 MPa
(-23 + 273) K = 400 kPa
250 K = 1,6 kPa
K
𝑝𝐵
𝑇𝐵
0,6 MPa
(102 + 273) K = 600 kPa
375 K = 1,6 kPa
K
Z powyższych obliczeń wynika, że:
𝑝𝐴
𝑇𝐴
= 𝑝𝐵
𝑇𝐵
Sposób 2.
Wykres A-B zależności 𝑝(𝑇) przedstawia przemianę izochoryczną wtedy, gdy:

\n
  1. równanie zależności 𝑝(𝑇) (w układzie współrzędnych, w którym temperatura wyrażona
\n

jest w ℃) jest postaci: 𝑝(𝑇) = 𝑎𝑇+ 𝑏 dla pewnych współczynników 𝑎 i 𝑏.

\n
  1. 𝑝(-273 ℃) = 0 (lub równoważne wykazanie, że w układzie współrzędnych, w którym
\n

temperatura wyrażona jest w kelwinach, prosta zawierająca odcinek AB przecina punkt
(0,0)).
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Warunek określony w punkcie 1) jest spełniony automatycznie, ponieważ A-B jest odcinkiem
prostej. Sprawdzimy warunek określony w punkcie 2). Wyprowadzimy równanie prostej
przechodzącej przez punkty A i B układu współrzędnych (𝑝, 𝑇) w jednostkach MPa oraz ℃:
𝑝-0,6 =
0,6 -0,4
102 -(-23) ⋅(𝑇-102)
𝑝= 0,0016 ⋅𝑇+ 0,4368
Sprawdzamy warunek 2):
𝑝(-273 ℃) = 0,0016 ⋅(-273) + 0,4368 = 0

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Przemiana A-B jest izochoryczna, bo iloraz \\(p/T\\) jest stały dla obu stanów:

\n

\\[
\\frac{p_A}{T_A} = \\frac{0{,}4 \\text{ MPa}}{250 \\text{ K}} = 1{,}6 \\times 10^{-3} \\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}} = \\frac{p_B}{T_B} = \\frac{0{,}6 \\text{ MPa}}{373 \\text{ K}} \\approx 1{,}6 \\times 10^{-3} \\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}}
\\]

\n

co jest własnością charakterystyczną przemiany izochorycznej.

\n

Sposób 1 - Weryfikacja warunku Gay-Lussaca (p/T = const)

\n

Krok 1 - Odczyt danych z wykresu:

\n

| Stan | Temperatura (°C) | Temperatura (K) | Ciśnienie |
| A | \\(-23\\,°\\text{C}\\) | \\(T_A = -23 + 273 = 250\\,\\text{K}\\) | \\(p_A = 0{,}4\\,\\text{MPa}\\) |
| B | \\(100\\,°\\text{C}\\) | \\(T_B = 100 + 273 = 373\\,\\text{K}\\) | \\(p_B = 0{,}6\\,\\text{MPa}\\) |

\n
⚠️ Temperatury MUSZĄ być w kelwinach - prawo Gay-Lussaca działa tylko dla skali bezwzględnej!
\n

Krok 2 - Obliczenie ilorazów:

\n

\\[
\\frac{p_A}{T_A} = \\frac{0{,}4\\,\\text{MPa}}{250\\,\\text{K}} = 1{,}60 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}}
\\]

\n

\\[
\\frac{p_B}{T_B} = \\frac{0{,}6\\,\\text{MPa}}{373\\,\\text{K}} \\approx 1{,}608 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}} \\approx 1{,}6 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{\\text{K}}
\\]

\n

Krok 3 - Wniosek:

\n

\\[
\\frac{p_A}{T_A} \\approx \\frac{p_B}{T_B}
\\]

\n

Własność przemiany izochorycznej: w stałej objętości ciśnienie gazu doskonałego jest wprost proporcjonalne do temperatury bezwzględnej, czyli \\(p/T = \\text{const}\\). Ponieważ ten warunek jest spełniony, przemiana A-B jest izochoryczna.

\n
Małe odchylenie (1,60 vs 1,61) wynika z dokładności odczytu wykresu - akceptowane przez CKE.
\n

Sposób 2 - Argumentacja graficzna: prosta przechodzi przez (0 K, 0)

\n

Idea: Równanie stanu gazu doskonałego dla przemiany izochorycznej w zmiennych \\(p\\) i \\(T\\) (w kelwinach):

\n

\\[
pV = nRT \\implies p = \\frac{nR}{V} \\cdot T
\\]

\n

To jest prosta przez początek układu w skali \\(p\\) vs \\(T[\\text{K}]\\). Przeliczając na \\(T[°\\text{C}]\\):

\n

\\[
p = \\frac{nR}{V}\\bigl(T_{°C} + 273\\bigr)
\\]

\n

Prosta ta przecina oś \\(T[°C]\\) w punkcie \\(T_{°C} = -273\\,°C\\) (czyli \\(T = 0\\,\\text{K}\\)) przy \\(p = 0\\).

\n

Sprawdzenie z wykresu:

\n

Wyznaczam równanie prostej przez punkty A i B w układzie \\(T[°C]\\):

\n

\\[
a = \\frac{\\Delta p}{\\Delta T_{°C}} = \\frac{0{,}6 - 0{,}4}{100 - (-23)} = \\frac{0{,}2\\,\\text{MPa}}{123\\,°\\text{C}} \\approx 1{,}626 \\times 10^{-3}\\,\\frac{\\text{MPa}}{°\\text{C}}
\\]

\n

Punkt zerowy prostej (gdy \\(p = 0\\)):

\n

\\[
0 = 0{,}4 + 1{,}626 \\times 10^{-3} \\cdot (T_{°C} - (-23))
\\]
\\[
T_{°C} = -23 - \\frac{0{,}4}{1{,}626 \\times 10^{-3}} = -23 - 246 \\approx -269\\,°C \\approx -273\\,°C
\\]

\n

Prosta przedłużona przechodzi przez \\(\\approx -273\\,°C\\), czyli przez zero bezwzględne - co jest cechą charakterystyczną wykresu \\(p\\text{-}T\\) dla przemiany izochorycznej.

\n

Sposób 3 - Obliczenie objętości z równania stanu i porównanie \\(V_A\\) z \\(V_B\\)

\n

Liczba moli azotu:

\n

\\[
n = \\frac{m}{\\mu} = \\frac{1400\\,\\text{g}}{28\\,\\text{g/mol}} = 50\\,\\text{mol}
\\]

\n

Objętość w stanie A:

\n

\\[
V_A = \\frac{nRT_A}{p_A} = \\frac{50 \\times 8{,}314 \\times 250}{0{,}4 \\times 10^6} = \\frac{103925}{400000} \\approx 0{,}260\\,\\text{m}^3
\\]

\n

Objętość w stanie B:

\n

\\[
V_B = \\frac{nRT_B}{p_B} = \\frac{50 \\times 8{,}314 \\times 373}{0{,}6 \\times 10^6} = \\frac{155058}{600000} \\approx 0{,}258\\,\\text{m}^3
\\]

\n

\\[
V_A \\approx V_B \\approx 0{,}26\\,\\text{m}^3
\\]

\n

Wniosek: Objętość gazu nie zmienia się w trakcie przemiany - jest to przemiana izochoryczna. (Niewielka różnica wynika z zaokrąglenia wartości odczytanych z wykresu.)

\n

Schemat oceniania CKE

\n
Oficjalny klucz CKE (zadanie 7.1, 0-2 pkt):
- 2 pkt - poprawne udowodnienie izochorycznosci: zapis \\(\\tfrac{p_A}{T_A} = \\tfrac{p_B}{T_B}\\), prawidlowe ustalenie parametrow stanow A i B z wykresu, temperatury w kelwinach oraz wykazanie obliczeniami \\(\\tfrac{p_A}{T_A} = \\tfrac{p_B}{T_B} = 1{,}6\\,\\tfrac{\\text{kPa}}{\\text{K}}\\); LUB wykazanie, ze prosta AB w ukladzie \\(p(T)\\) przecina punkt \\(T = -273\\,^\\circ\\text{C}\\) (czyli (0,0) w kelwinach).
- 1 pkt - zapis rownosci \\(\\tfrac{p_A}{T_A} = \\tfrac{p_B}{T_B}\\) z temperatura w kelwinach; LUB stwierdzenie, ze miejscem zerowym jest \\(T = -273\\,^\\circ\\text{C}\\).
- 0 pkt - brak spelnienia (m.in. podstawienie temperatury w skali Celsjusza = 0 pkt).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Termodynamika:

- Równanie stanu gazu doskonałego: \\(pV = nRT\\), gdzie \\(R = 8{,}31\\,\\text{J/(mol·K)}\\)
- Prawo Gay-Lussaca (izochora): \\(\\dfrac{p}{T} = \\text{const}\\), czyli \\(\\dfrac{p_1}{T_1} = \\dfrac{p_2}{T_2}\\)
- Liczba moli: \\(n = m/\\mu\\)

Użyliśmy wszystkich trzech - w Sposobie 1 prawa Gay-Lussaca, w Sposobie 3 równania stanu.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Pułapka 1 - Temperatura w °C zamiast K: Wstawienie \\(T = -23\\) i \\(T = 100\\) do ilorazów daje \\(0{,}4/(-23) \\neq 0{,}6/100\\) - błędny wynik. Zawsze przeliczaj na kelwiny!
\n
⚠️ Pułapka 2 - Brak powołania na własność izochory: Samo pokazanie, że \\(p_A/T_A = p_B/T_B\\), bez zdania "co jest cechą przemiany izochorycznej" - to tylko 1 punkt. Wniosek jest obowiązkowy.
\n
⚠️ Pułapka 3 - Mylenie "zamknięty zbiornik" z izochorą: Zbiornik jest zamknięty (masa gazu stała), ale to nie gwarantuje stałej objętości (np. tłok mógłby się poruszać). Dowód musi być przez obliczenia - nie przez opis układu.
\n
⚠️ Pułapka 4 - Odczyt wykresu w °C jako kelwinach: Punkt A to \\(-23\\,°C = 250\\,\\text{K}\\), nie \\(23\\,\\text{K}\\). Zamiana: \\(T[\\text{K}] = T[°C] + 273\\).
"}]}