Zadanie 7.5. (0-1)
Ciepło molowe azotu przy stałej objętości wynosi około 21 J/(mol⋅K).
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Ciepło wymienione przez azot z otoczeniem w przemianie A-B wynosi (w zaokrągleniu do
dwóch cyfr znaczących)
A. 𝑄≈130 kJ
B. 𝑄≈130 J
C. 𝑄≈52 J
D. 𝑄≈52 kJ
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
7.1.
7.2.
7.3.
7.4.
7.5.
Maks. liczba pkt
2
1
2
1
1
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100
Zadanie 7.5. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów, schematów
i rysunków.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
5.6) oblicza zmianę energii wewnętrznej
w przemianie […] izochorycznej;
5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego
w przemianach gazowych.
Zasady oceniania
1 pkt - poprawna odpowiedź.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
A
Ciepło wymienione przez azot w przemianie A-B (izochorycznej) wynosi:
\n\\[Q_{AB} = n \\cdot C_V \\cdot \\Delta T_{AB}\\]
\nWynik zależy od wartości \\(p\\), \\(V\\), \\(n\\) odczytanych z wykresu do zadania 7. Poniżej pełna metoda obliczenia - wystarczy podstawić dane z wykresu.
\nKrok 1: Identyfikacja rodzaju przemiany A-B
\nInformacja dodatkowa podaje ciepło molowe przy stałej objętości \\(C_V = 21\\ \\text{J/(mol·K)}\\). To wskazówka, że przemiana A-B to izochora (stała objętość, \\(V = \\text{const}\\)).
\nDlaczego? CKE podaje dokładnie tę wielkość, która jest potrzebna - gdyby A-B była izobarem, podano by \\(C_p\\); gdyby adiabatem, ciepło = 0 i żadne dane nie byłyby potrzebne.\n
Krok 2: Pierwsza zasada termodynamiki
\n\\[\\Delta U = Q - W\\]
\nDla izochory: praca \\(W = p \\cdot \\Delta V = 0\\) (brak zmiany objętości), więc:
\n\\[Q_{AB} = \\Delta U_{AB} = n \\cdot C_V \\cdot \\Delta T_{AB}\\]
\nKrok 3: Wyznaczenie \\(\\Delta T_{AB}\\) z równania stanu gazu doskonałego
\nPrzy stałej objętości \\(V_A = V_B\\):
\n\\[\\frac{p_A}{T_A} = \\frac{p_B}{T_B} \\quad \\Rightarrow \\quad T = \\frac{pV}{nR}\\]
\n\\[\\Delta T_{AB} = T_B - T_A = \\frac{V_A (p_B - p_A)}{nR}\\]
\nKrok 4: Podstawienie do wzoru na ciepło
\n\\[Q_{AB} = n \\cdot C_V \\cdot \\frac{V_A(p_B - p_A)}{nR} = \\frac{C_V}{R} \\cdot V_A \\cdot (p_B - p_A)\\]
\nZwróć uwagę: \\(n\\) wyskakuje z równania - wynik zależy tylko od \\(V_A\\), \\(\\Delta p\\) i stałych.
\nKrok 5: Obliczenie
\nOdczytaj z wykresu wartości \\(p_A\\), \\(p_B\\), \\(V_A\\) i podstaw:
\n\\[Q_{AB} = \\frac{21\\ \\text{J/(mol·K)}}{8{,}314\\ \\text{J/(mol·K)}} \\cdot V_A \\cdot (p_B - p_A) \\approx 2{,}525 \\cdot V_A \\cdot \\Delta p\\]
\nNastępnie zaokrągl do dwóch cyfr znaczących.
\nAlternatywna ścieżka: Zamiast wyznaczać \\(\\Delta T\\) przez ciśnienia, możemy wprost wyliczyć temperatury w stanach A i B ze wzoru:
\n\\[T_A = \\frac{p_A V_A}{nR}, \\qquad T_B = \\frac{p_B V_B}{nR} = \\frac{p_B V_A}{nR}\\]
\n(bo \\(V_A = V_B\\) dla izochory)
\nNastępnie:
\n\\[Q_{AB} = n \\cdot C_V \\cdot (T_B - T_A)\\]
\nTa metoda jest bardziej przejrzysta obliczeniowo, gdy diagram podaje tylko wartości \\(p\\) i \\(V\\) (nie temperatury). Wynik numeryczny jest identyczny ze Sposobem 1.
\nStosunek \\(\\frac{C_V}{R} = \\frac{21}{8{,}314} \\approx 2{,}5\\), co jest zgodne z teorią gazu dwuatomowego:
\n\\[C_V = \\frac{5}{2}R \\approx 20{,}8\\ \\text{J/(mol·K)} \\approx 21\\ \\text{J/(mol·K)}\\checkmark\\]
\n(azot \\(\\text{N}_2\\) - cząsteczka dwuatomowa, 5 stopni swobody: 3 translacyjne + 2 rotacyjne)
\nSprawdzenie: dla typowych wartości maturalnych (np. \\(V = 10^{-3}\\ \\text{m}^3\\), \\(\\Delta p = 10^5\\ \\text{Pa}\\)):
\n\\[Q \\approx 2{,}5 \\cdot 10^{-3} \\cdot 10^5 = 250\\ \\text{J}\\]
\nDla \\(V = 5 \\cdot 10^{-3}\\ \\text{m}^3\\), \\(\\Delta p = 10^5\\ \\text{Pa}\\):
\n\\[Q \\approx 2{,}5 \\cdot 5 \\cdot 10^{-3} \\cdot 10^5 = 1250\\ \\text{J} \\approx 1300\\ \\text{J}\\]
\nTo daje rząd wielkości odpowiedzi - pozwala wyeliminować absurdalne opcje (np. 10 J lub 10 000 J).
\nOficjalny klucz CKE (zadanie 7.5, 0-1 pkt): 1 pkt - poprawna odpowiedz; 0 pkt - brak spelnienia. Poprawna odpowiedz: A (Q ~ 130 kJ).\n
📖 Karta wzorów EM2023 - sekcja FIZYKA:\n
- Równanie stanu gazu doskonałego: \\(pV = nRT\\) - do wyznaczenia \\(\\Delta T\\) z danych diagramu
- Pierwsza zasada termodynamiki: \\(\\Delta U = Q - W\\) - fundamentalna zasada
- Praca przy rozprężaniu: \\(W = p \\Delta V\\) - dla izochory \\(\\Delta V = 0\\), więc \\(W = 0\\)
- Stała gazowa: \\(R = 8{,}314\\ \\text{J/(mol·K)}\\)
- Ciepło molowe \\(C_V = 21\\ \\text{J/(mol·K)}\\) - podane w informacji dodatkowej (nie karta)
| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| Zawyżona wartość | Uczeń używa \\(C_p = C_V + R \\approx 29\\ \\text{J/(mol·K)}\\) zamiast \\(C_V\\) - myli izochorę z izobarem |
| Zaniżona wartość | Uczeń liczy pracę \\(W = p\\Delta V\\) dla innego procesu i odejmuje od \\(\\Delta U\\), mieszając procesy |
| Zero | Uczeń myśli, że A-B to adiabata (\\(Q = 0\\)) - błąd identyfikacji procesu z wykresu |
| Wartość ujemna | Uczeń odwraca kierunek: liczy \\(T_A - T_B\\) zamiast \\(T_B - T_A\\) - nie sprawdził, że ciśnienie rośnie |
⚠️ Uwaga: Nie myl \\(C_V\\) z \\(C_p\\)! Dla azotu \\(C_p = C_V + R \\approx 29\\ \\text{J/(mol·K)}\\). Użycie \\(C_p\\) zamiast \\(C_V\\) to najczęstszy błąd - zawyża wynik o \\(\\approx 40\\%\\).\n
⚠️ Uwaga: Dla izochory \\(W = 0\\) - całe ciepło idzie na zmianę energii wewnętrznej. Nie licz pracy!\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź znak ciepła. Jeśli na diagramie ciśnienie rośnie od A do B przy stałej objętości → temperatura rośnie → gaz pochłania ciepło (\\(Q > 0\\), wymiana z otoczeniem: gaz przyjmuje energię). Jeśli ciśnienie maleje → gaz oddaje ciepło (\\(Q < 0\\)).\n
⚠️ Uwaga: Azot \\(\\text{N}_2\\) to gaz dwuatomowy - ma 5 stopni swobody i \\(C_V = \\frac{5}{2}R\\). Gdyby to był argon (jednoatomowy), \\(C_V = \\frac{3}{2}R \\approx 12{,}5\\ \\text{J/(mol·K)}\\) - zupełnie inna wartość."}]}