Zadanie 5.1. (0-4)
Oblicz, ile razy satelita PW-Sat2 okrążył Ziemię w czasie 𝒕= 𝟐𝟔 dób, przed
rozłożeniem żagla. Zapisz obliczenia.
Pomiń siłę oporu działającą na satelitę, gdy żagiel nie był rozłożony. Przyjmij do obliczeń:
𝑅𝑍≈6 370 km
(promień Ziemi)
𝑀𝑍≈5,97 ⋅1024 kg
(masa Ziemi)
EFAP-R0_100
Zadanie 5.1. (0-4)
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia liczby obiegów satelity Sat2 po orbicie kołowej w czasie
26 pełnych dób oraz prawidłowy wynik liczbowy.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu satelity Sat2 po orbicie dookoła Ziemi
(np. jak w krokach 1.-3. przykładowych rozwiązań) oraz podanie prawidłowego
wyniku liczbowego z jednostką
LUB
bezpośrednio podstawia wartości liczbowe albo na którym kończy rozwiązanie),
z którego można bezpośrednio obliczyć okres obiegu satelity Sat2 po orbicie dookoła
Ziemi jedynie na podstawie odpowiednich stałych, masy Ziemi oraz promienia orbity
(np. zapisanie wyrażenia na 𝑇 jak w kroku 2. w sposobie 1. albo sposobie 2.) oraz
poprawna metoda obliczenia liczby pełnych obiegów satelity po orbicie na podstawie
okresu (np. zapisanie wyrażenia
𝑡
𝑇 ).
2 pkt - wyprowadzenie lub zapisanie jednego poprawnego wyrażenia (do którego zdający
bezpośrednio podstawia wartości liczbowe albo na którym kończy rozwiązanie),
z którego można bezpośrednio obliczyć okres obiegu satelity Sat2 po orbicie dookoła
Ziemi jedynie na podstawie odpowiednich stałych, masy Ziemi oraz promienia orbity
(np. zapisanie wyrażenia na 𝑇 jak w kroku 2. w sposobie 1. albo sposobie 2.).
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na satelitę jako siłę
dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako
przyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub
przyśpieszenia) (np. jak w kroku 1. w sposobie 1.)
LUB
prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity (np. jak w kroku 1.
w sposobie 2.).
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązanie
Sposób 1.
Krok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇 obiegu satelity Sat2 po orbicie kołowej a
masą 𝑀𝑍 Ziemi i promieniem 𝑟 orbity satelity. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę
grawitacji działającą na satelitę jako siłę dośrodkową, łącznie z uwzględnieniem wzorów na
te siły:
𝑚𝑣𝑜𝑟
2
𝑟= 𝐺𝑚𝑀𝑍
𝑟2
Krok 2. Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po
okręgu: 𝑣=
2𝜋𝑟
𝑇 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez masę satelity.
Następnie równanie przekształcimy i wyznaczymy okres 𝑇:
(2𝜋𝑟
𝑇 )
2
𝑟
= 𝐺𝑀𝑍
𝑟2 → 4𝜋2𝑟
𝑇2
= 𝐺𝑀𝑍
𝑟2 → 𝑇= 2𝜋√𝑟3
𝐺𝑀𝑍
Krok 3. Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy dane z treści zadania oraz z Wybranych
wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki:
𝑇= 2 ⋅3,142√
((6,370 + 0,575) ⋅106 m)
3
6,67 ∙10-11 N∙m2
kg2 ⋅5,97 ⋅1024 kg
≈57,64 ⋅102 s = 5764 s
Krok 3. Obliczymy liczbę obiegów satelity po orbicie kołowej w czasie 𝑡= 26 pełnych dób.
𝑡
𝑇≈26 ⋅24 ⋅3600 s
5764 s
≈389,7
𝑛≈390 razy
Sposób 2. (z wykorzystaniem wzoru na prędkość orbitalną)
Krok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇 obiegu satelity Sat2 po orbicie kołowej a
masą 𝑀𝑍 Ziemi i promieniem 𝑟 orbity satelity. Skorzystamy z gotowego wzoru na prędkość
ciała w ruchu po orbicie kołowej o promieniu 𝑟 oraz zastosujemy wzór na prędkość w ruchu
jednostajnym po okręgu.
𝑣𝑜𝑟= √𝐺𝑀𝑍
𝑟
oraz 𝑣𝑜𝑟= 2𝜋𝑟
𝑇
Krok 2. Z powyższych równań wyznaczymy 𝑇:
2𝜋𝑟
𝑇
= √𝐺𝑀𝑍
𝑟
→ 4𝜋2𝑟2
𝑇2
= 𝐺𝑀𝑍
𝑟
→ 𝑇= 2𝜋√𝑟3
𝐺𝑀𝑍
Krok 3.-4. Dalsze obliczenia prowadzimy podobnie jak w sposobie 1.
$n \\approx 390 \\text{ razy}$
"}]}