Zadanie 2. (0-4)
Dwie kule K1 i K2 o różnych masach - odpowiednio - 𝑚1 i 𝑚2, poruszały się naprzeciw
siebie w inercjalnym układzie odniesienia z prędkościami o wartościach odpowiednio:
v1𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 2,0 m/s oraz v2𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 4,0 m/s. Środki tych kul poruszały się wzdłuż wspólnej
prostej (zobacz rysunek 1.).
W pewnym momencie kule K1 i K2 się zderzyły, a wartości prędkości kul po zderzeniu były
równe odpowiednio: v1𝑝𝑜= 1,0 m/s oraz v2𝑝𝑜= 5,0 m/s (zobacz rysunek 2.).
Rysunek 1.
Rysunek 2.
Ustal i zapisz, czy zderzenie kul K1 i K2 było doskonale sprężyste. Powołaj się na
odpowiednie prawa lub zależności fizyczne i wykonaj niezbędne obliczenia,
uzasadniające Twoje stwierdzenie.
K1
K2
vሬԦ1𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
vሬԦ2𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
vሬԦ1𝑝𝑜
vሬԦ2𝑝𝑜
K1
K2
2.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100
MFAP-R0_100
Zadanie 2. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
Zdający:
II.15) wykorzystuje zasadę zachowania pędu
do opisu zachowania się izolowanego układu
ciał;
II.16) rozróżnia i analizuje zderzenia sprężyste
i niesprężyste;
II.20) posługuje się pojęciami […] energii
kinetycznej, energii potencjalnej wraz z ich
jednostkami; stosuje zasadę zachowania
energii mechanicznej do obliczeń.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne powołanie się na własność zderzenia sprężystego oraz poprawna metoda
wykazania równości całkowitych energii kinetycznych, z poprawnym wykorzystaniem
zasady zachowania pędu całkowitego układu.
3 pkt - powołanie się na własność zderzenia sprężystego oraz zapisanie równości
całkowitych energii kinetycznych przed i po zderzeniu, oraz zapisanie poprawnych
wyrażeń opisujących całkowitą energię kinetyczną układu przed zderzeniem
i całkowitą energię kinetyczną układu po zderzeniu, oraz zapisanie równości pędów
całkowitych układu przed zderzeniem i po z uwzględnieniem poprawnych wyrażeń
opisujących całkowity pęd układu przed zderzeniem i całkowity pęd układu po
zderzeniu oraz poprawne podstawienie wartości liczbowych z uwzględnieniem
odpowiednich znaków, np. zapisy (lub równoważne):
Zasady oceniania rozwiązań zadań
( Jeśli 1
2 𝑚1 ⋅22 m2
s2 + 1
2 𝑚2 ⋅42 m2
s2 = 1
2 𝑚1 ⋅12 m2
s2 + 1
2 𝑚2 ⋅52 m2
s2 to zderzenie
jest sprężyste) oraz ( 𝑚1 ⋅2 m
s + 𝑚2 ⋅(-4)m
s = 𝑚1 ⋅(-1)m
s + 𝑚2 ⋅5 m
s )
2 pkt - powołanie się na własność zderzenia sprężystego oraz zapisanie równości
całkowitych energii kinetycznych przed i po zderzeniu, oraz zapisanie poprawnych
wyrażeń opisujących całkowitą energię kinetyczną układu przed zderzeniem
i całkowitą energię kinetyczną układu po zderzeniu, oraz zastosowanie zasady
zachowania pędu, np. zapisy (lub równoważne):
Jeśli 1
2𝑚1v1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
2𝑚2v2 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
= 1
2𝑚1v1 𝑝𝑜
2
2𝑚2v2 𝑝𝑜
2
to zderzenie jest sprężyste
oraz 𝑝⃗⃗ 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 𝑝⃗⃗ 𝑝𝑜
LUB
równości pędów całkowitych układu przed zderzeniem i po zderzeniu oraz zapisanie
poprawnych wyrażeń opisujących całkowity pęd układu przed zderzeniem i całkowity
pęd układu po zderzeniu oraz poprawne podstawienie wartości liczbowych
z uwzględnieniem odpowiednich znaków, np. zapisy (lub równoważne):
𝑚1 ⋅2
m
s + 𝑚2 ⋅(-4)
m
s = 𝑚1 ⋅(-1)
m
s + 𝑚2 ⋅5
m
s
1 pkt - zastosowanie strategii rozwiązania, której celem jest sprawdzenie, czy całkowita
energia kinetyczna zostanie zachowana przy zderzeniu, czy też nie (z zapisów musi
to wynikać) oraz powołanie się na własność zderzenia sprężystego, np. zapisy (lub
równoważne):
Jeśli 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜 to zderzenie jest sprężyste
albo
Zderzenie jest doskonale sprężyste w tym przypadku, gdy całkowita energia
kinetyczna układu przed zderzeniem jest równa całkowitej energii kinetycznej układu
po zderzeniu
LUB
zderzenia sprężystego) oraz zapisanie poprawnych wyrażeń opisujących całkowitą
energię kinetyczną układu przed zderzeniem i całkowitą energię kinetyczną układu po
zderzeniu, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
1
2 𝑚1v1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
2 𝑚2v2 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
= 1
2 𝑚1v1 𝑝𝑜
2
2 𝑚2v2 𝑝𝑜
2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga dodatkowa
Powołanie się na własność zderzenia doskonale sprężystego, o którym mowa w zasadach
oceniania, może nastąpić na dowolnym etapie rozwiązania, np. może wystąpić wprost
dopiero w odpowiedzi albo może wynikać z podanej odpowiedzi.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zderzenie jest doskonale sprężyste wtedy, gdy całkowita energia mechaniczna (w tym
przypadku energia kinetyczna) układu przed zderzeniem jest równa całkowitej energii
mechanicznej (w tym przypadku energii kinetycznej) układu po zderzeniu. Należy zatem
sprawdzić, czy prawdziwa jest równość:
gdzie:
\n2 𝑚1v1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
2 𝑚2v2 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
2 𝑚1v1 𝑝𝑜
2
2 𝑚2v2 𝑝𝑜
2
Żeby sprawdzić, czy spełniony jest warunek 1), to oprócz wartości prędkości musimy znać
masy kul. Zauważmy, że jeśli energie kinetyczne przed zderzeniem i po zderzeniu są sobie
równe, to także energie kinetyczne podzielone przez jedną z mas (np. 𝑚1) będą sobie równe:
𝑚1
= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜
𝑚1
?
𝑚1
= 1
2 v1 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
2
𝑚2
𝑚1
v2 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
2
𝑚1
= 1
2 v1 𝑝𝑜
2
2
𝑚2
𝑚1
v2 𝑝𝑜
2
Zatem wystarczy znać stosunek
𝑚2
𝑚1
mas tych kul, który obliczymy, wykorzystując zasadę
zachowania pędu układu kul:
𝑝 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑= 𝑝 𝑝𝑜
𝑚1 ⋅2 m
s + 𝑚2 ⋅(-4) m
s = 𝑚1 ⋅(-1) m
s + 𝑚2 ⋅5 m
s
3𝑚1 = 9𝑚2 → 𝑚2
𝑚1
= 1
3
Podstawiamy stosunek mas kul do równań 5) i 6) oraz sprawdzimy, czy zachodzi równość 4)
(równoważna 1)).
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑟𝑧𝑒𝑑
𝑚1
= 1
2 ⋅22 m2
s2 + 1
2 ⋅1
3 ⋅42 m2
s2 = 4 2
3 m2
s2
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜
𝑚1
= 1
2 ⋅12 m2
s2 + 1
2 ⋅1
3 ⋅52 m2
s2 = 4 2
3 m2
s2
Z powyższego wynika, że warunek 1) jest spełniony. To oznacza, że zderzenie jest
doskonale sprężyste.
Zasady oceniania rozwiązań zadań