Zadanie 3.3. (0-4)
Z tej samej wysokości, na której początkowo znajdował się koniec 𝐵 pręta, upuszczono
małą, metalową kulkę. Kulka opadała swobodnie, a pręt opadał tak, jak opisano we
wprowadzeniu do zadania 3.
Wartość prędkości kulki tuż przed uderzeniem w podłoże oznaczymy jako v𝑘, a wartość
prędkości końca 𝐵 pręta, tuż przed jego uderzeniem w podłoże, oznaczymy jako v𝐵.
Oblicz wartość liczbową ilorazu
v𝑩
v𝒌
. Zapisz obliczenia.
3.3.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100
Zadanie 3.3. (0-4)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.7) wyodrębnia z tekstów […], rysunków
schematycznych lub blokowych informacje
kluczowe dla opisywanego zjawiska bądź
problemu; przedstawia te informacje w różnych
postaciach.
II.20) posługuje się pojęciami […] energii
kinetycznej, energii potencjalnej wraz z ich
jednostkami; stosuje zasadę zachowania
energii mechanicznej do obliczeń.
III.2) stosuje pojęcie bryły sztywnej; opisuje
ruch obrotowy bryły sztywnej wokół osi;
III.4) […] posługuje się pojęciami […] momentu
bezwładności jako wielkości zależnej od
rozkładu mas, wraz z ich jednostkami;
III.5) oblicza energię ruchu bryły sztywnej jako
sumę energii kinetycznej ruchu postępowego
środka masy i ruchu obrotowego wokół osi
przechodzącej przez środek masy.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia ilorazu wartości prędkości końcowej punktu 𝐵 pręta
i wartości prędkości kulki oraz podanie prawidłowej wartości tego ilorazu.
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej punktu 𝐵 pręta (tzn. spełnienie
pierwszego warunku za 2 pkt) oraz prawidłowa postać wzoru na prędkość, tzn.:
poprawna metoda wyznaczenia v𝐵 → v𝐵= √3𝑔𝑙sin 𝛼0
LUB
pierwszego warunku za 2 pkt) oraz poprawna metoda wyznaczenia prędkości
końcowej kulki (tzn. spełniony drugi lub trzeci warunek za 1 pkt).
2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia prędkości końcowej punktu 𝐵 pręta, tzn. zapisanie
zasady zachowania energii mechanicznej dla pręta z uwzględnieniem wzoru na
energię kinetyczną ruchu obrotowego względem punktu 𝐴 (albo wzoru na energię
kinetyczną ruchu obrotowego względem punktu 𝑆 i wzoru na energię kinetyczną
ruchu postępowego) oraz wzoru na energię potencjalną uwzględniającego wysokość
Zasady oceniania rozwiązań zadań
środka masy pręta, oraz związku między prędkością kątową pręta a prędkością
liniową punktu 𝐵 (albo 𝑆), np. zapisy (lub zapisy równoważne):
( 1
2 𝐼𝐴𝜔2 = 𝑚𝑔ℎ𝑆 oraz v𝐵= 𝜔𝑙 ) albo 1
2 𝐼𝐴(v𝐵
𝑙)
2
= 𝑚𝑔(𝑙
albo
1
2 𝐼𝑆𝜔2 + 1
2 𝑚v𝑆
2 = 𝑚𝑔ℎ𝑆 oraz v𝑆= 𝜔𝑙
2
LUB
z uwzględnieniem (dającym się zidentyfikować np. poprzez oznaczenie) energii
kinetycznej ruchu obrotowego względem punktu 𝐴 (lub ruchu obrotowego względem
𝑆 i ruchu postępowego) oraz wzoru na energię potencjalną uwzględniającego
wysokość środka masy pręta oraz poprawna metoda wyznaczenia prędkości
końcowej kulki (tzn. spełniony drugi lub trzeci warunek za 1 pkt), np. zapisy (lub
zapisy równoważne):
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 𝐴= 𝑚𝑔ℎ𝑆 oraz 𝑚𝑘𝑔ℎ𝐵= 1
2 𝑚𝑘v𝑘
2
albo
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 𝑆+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 𝑆= 𝑚𝑔ℎ𝑆 oraz 𝑚𝑘𝑔ℎ𝐵= 1
2 𝑚𝑘v𝑘
2
1 pkt - poprawne zapisanie zasady zachowania energii mechanicznej dla pręta
z uwzględnieniem (dającym się zidentyfikować np. poprzez oznaczenie) energii
kinetycznej ruchu obrotowego względem punktu 𝐴, np. zapisy (lub zapisy
równoważne):
1
2 𝐼𝐴𝜔2 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 albo 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 𝐴= 𝐸𝑝𝑜𝑡
LUB
z uwzględnieniem (dającym się zidentyfikować np. poprzez oznaczenie) energii
kinetycznej ruchu obrotowego względem punktu 𝑆 i energii kinetycznej ruchu
postępowego, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
1
2 𝐼𝑆𝜔2 + 1
2 𝑚v𝑆
2 = 𝐸𝑝𝑜𝑡 albo 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 𝑆+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 𝑆= 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑆
LUB
z uwzględnieniem wzorów na energię kinetyczną kulki oraz energię potencjalną kulki,
np. zapisy (lub zapisy równoważne):
𝑚𝑘𝑔ℎ𝐵= 1
2 𝑚𝑘v𝑘
2
LUB
do wyznaczenia prędkości z wyeliminowanym czasem albo zapisanie związku
między prędkością a przyśpieszeniem i wysokością, np. zapisy (lub zapisy
równoważne):
( v𝑘= 𝑔𝑡 i ℎ= 1
2 𝑔𝑡2 ) albo v𝑘
2 = 2𝑔ℎ
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Skorzystamy z zasady zachowania energii podczas ruchu bryły sztywnej. Energia kinetyczna
bryły jest równa sumie energii kinetycznej ruchu postępowego punktu środka masy i ruchu
obrotowego względem środka masy. Energia potencjalna bryły to energia potencjalna punktu
środka masy (któremu przypisujemy całą masę bryły). Zatem:
Skorzystamy ze wzorów na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem danej osi, ruchu
postępowego i energię potencjalną w jednorodnym polu grawitacyjnym:
2 𝐼𝑆𝜔2 + 1
2 𝑚v𝑆
2 = 𝑚𝑔ℎ𝑆 → 3) 1
2 𝐼𝑆𝜔2 + 1
2 𝑚v𝑆
2 = 𝑚𝑔(𝑙
Skorzystamy ze związku między prędkością kątową 𝜔 a prędkością liniową v𝑆 punktu 𝑆 oraz
ze związku między prędkością kątową 𝜔 a prędkością liniową v𝐵 punktu 𝐵 oraz ze wzoru na
moment bezwładności względem punktu 𝑆.
2 oraz v𝐵= 𝜔𝑙 oraz 𝐼𝑆= 1
12 𝑚𝑙2
Związki zapisane w punkcie 4) podstawimy do równania 3) i wykonamy przekształcenia:
5𝑎) 1
2 𝐼𝑆𝜔2 + 1
2 𝑚v𝑆
2 = 𝑚𝑔(𝑙
5𝑏) 1
2 ⋅1
12 𝑚𝑙2𝜔2 + 1
2 𝑚(𝜔𝑙
2)
2
= 𝑚𝑔(𝑙
5𝑐) 1
6 𝑚𝑙2𝜔2 = 𝑚𝑔(𝑙
3 v𝐵
2 = 𝑔𝑙sin 𝛼𝑜
Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość końcową punktu 𝐵:
Obliczymy prędkość końcowa kulki. Zastosujemy zasadę zachowania energii do
wyznaczenia prędkości, z jaką kulka opadnie na podłoże opuszczona z wysokości
początkowego położenia punktu 𝐵. Kulkę traktujemy jako punkt materialny, zatem:
2 𝑚𝑘v𝑘
2 → 9) 𝑔𝑙sin 𝛼0 = 1
2 v𝑘
2
Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość końcową kulki:
Na podstawie wzorów 7) i 10) obliczymy iloraz wartości prędkości:
\nv𝑘
= √3𝑔𝑙sin 𝛼0
√2𝑔𝑙sin 𝛼0
= √3
2 ≈1,22
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 2.
Skorzystamy z zasady zachowania energii podczas ruchu bryły sztywnej. Energia kinetyczna
bryły jest równa energii kinetycznej ruchu obrotowego bryły względem nieruchomego punktu
𝐴. Energia potencjalna bryły to energia potencjalna punktu środka masy (któremu
przypisujemy całą masę bryły). Zatem:
Skorzystamy ze wzorów na energię kinetyczną ruchu obrotowego względem danej osi
i energię potencjalną w jednorodnym polu grawitacyjnym:
2 𝐼𝐴𝜔2 = 𝑚𝑔ℎ𝑆 → 3) 1
2 𝐼𝐴𝜔2 = 𝑚𝑔(𝑙
Skorzystamy ze związku między prędkością kątową 𝜔 a prędkością liniową v𝐵 punktu 𝐵
oraz ze wzoru na moment bezwładności względem punktu 𝐴.
3 𝑚𝑙2
Związki zapisane w punkcie 4) podstawimy do równania 3) i wykonamy przekształcenia:
2 ⋅1
3 𝑚𝑙2 ⋅(v𝐵
𝑙)
2
= 𝑚𝑔(𝑙
3 v𝐵
2 = 𝑔𝑙sin 𝛼𝑜
Ostatecznie otrzymujemy wzór na prędkość końcową punktu 𝐵:
Obliczymy prędkość końcową kulki. Zastosujemy zasadę zachowania energii do
wyznaczenia prędkości, z jaką kulka opadnie na podłoże opuszczona z wysokości
początkowego położenia punktu 𝐵. Kulkę traktujemy jako punkt materialny, zatem:
2 𝑚𝑘v𝑘
2 → 9) 𝑔𝑙sin 𝛼0 = 1
2 v𝑘
2
Na podstawie wzorów 7) i 10) obliczymy iloraz wartości prędkości:
\nv𝑘
= √3𝑔𝑙sin 𝛼0
√2𝑔𝑙sin 𝛼0
= √3
2 ≈1,22
$\\dfrac{v_B}{v_k} = \\sqrt{\\dfrac{3}{2}} \\approx 1{,}22$
"}]}