Zadanie 4.4. (0-3)
Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć 𝑾𝑨𝑩 - pracę siły ciągu silników podczas
przejścia satelity z orbity 𝓐 na orbitę 𝓑 - w zależności od: 𝒓𝑨, 𝒓𝑩, masy Ziemi 𝑴𝒁, masy
satelity 𝒎 oraz stałej grawitacyjnej 𝑮.
Uwaga: Pomijamy zmianę masy satelity podczas działania silników.
4.4.
0-1-
2-3
MFAP-R0_100
Zadanie 4.4. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
II.20) posługuje się pojęciami pracy
mechanicznej, mocy, energii kinetycznej,
energii potencjalnej wraz z ich jednostkami;
stosuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczeń.
IV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza
wartość prędkości na orbicie kołowej
o dowolnym promieniu […];
IV.7) oblicza zmiany energii potencjalnej
grawitacji i stosuje zasadę zachowania energii
do ruchu orbitalnego […].
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wyrażenia na pracę siły ciągu silników oraz
podanie prawidłowej postaci tego wyrażenia (jak w wyrażeniu 7) w przykładowym
rozwiązaniu)
2 pkt - zapisanie pracy siły ciągu jako różnicy energii mechanicznych satelity na orbitach
oraz zapisanie energii mechanicznej jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej
grawitacji z uwzględnieniem wyrażeń na te energie oraz identyfikacja siły grawitacji
jako siły dośrodkowej z uwzględnieniem wyrażeń na te siły (lub zapisanie wzoru na
prędkość orbitalną), np. zapisy (lub zapisy równoważne):
𝑊𝐴𝐵= 𝐸𝐵-𝐸𝐴 oraz 𝐸𝐴= 1
2 𝑚v𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
) oraz 𝑚v𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
LUB
mechaniczną satelity na orbicie (tzn. zapisanie energii mechanicznej jako sumę
energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji z uwzględnieniem wyrażeń na te energie
oraz identyfikacja siły grawitacji jako siły dośrodkowej z uwzględnieniem wyrażeń na
te siły (lub zapisanie wzoru na prędkość orbitalną)) oraz podanie prawidłowego
wyrażenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
𝐸𝐴= 1
2 𝑚v𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
) oraz 𝑚v𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
oraz 𝐸𝐴= -1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
1 pkt - zapisanie pracy siły ciągu jako różnicy energii mechanicznych satelity na orbitach
oraz zapisanie energii mechanicznej jako sumę energii kinetycznej i potencjalnej
grawitacji, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
𝑊𝐴𝐵= 𝐸𝐵-𝐸𝐴 oraz 𝐸𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝐴
LUB
oraz identyfikacja siły grawitacji jako siły dośrodkowej, np. zapisy (lub równoważne):
𝐸𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝐴 oraz 𝐹𝑑𝑜= 𝐹𝑔
LUB
i potencjalnej grawitacji oraz poprawne zapisanie wyrażeń na energię kinetyczną
i potencjalną grawitacji, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
𝐸𝐴= 1
2 𝑚v𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Praca, jaką wykonała siła ciągu silników podczas przemieszczania satelity SA z orbity 𝒜 na
orbitę ℬ, jest równa różnicy energii mechanicznych 𝐸𝐵 i 𝐸𝐴, jakie ma ten satelita, gdy
porusza się swobodnie po orbitach 𝒜 i ℬ:
Wyprowadzimy wyrażenie na energię mechaniczną, gdy satelity SA porusza się swobodnie
z prędkością v𝐴 po orbicie kołowej 𝒜 o promieniu 𝑟𝐴 (analogicznie będzie dla orbity ℬ).
Energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej grawitacji:
2 𝑚v𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
)
Wykorzystamy fakt, że siła grawitacji pełni rolę siły dośrodkowej:
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
→ 4) 𝑚𝑣𝐴
2 = 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
Zależność 4) podstawimy do wzoru 2) na energię mechaniczną (w miejsce 𝑚v𝐴
2):
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
= -1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
Analogicznie wyprowadzilibyśmy wzór na energię mechaniczną satelity na orbicie ℬ:
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐵
Wzory 5) i 6) podstawimy do wyrażenia 1) na pracę siły ciągu silników:
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐵
-(-1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
) = 𝐺𝑀𝑍𝑚
2
(1
𝑟𝐴
-1
𝑟𝐵
)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$W_{AB} = \\dfrac{G M_Z m}{2} \\left( \\dfrac{1}{r_A} - \\dfrac{1}{r_B} \\right)$
"}]}