{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.1. (0-2)\nNa rysunkach 1.-3. przedstawiono strunę, gdy znajdowała się ona w położeniu równowagi.\nStrunę pobudzano do drgań w różny sposób.\nNa rysunku 1. dorysuj obraz fali stojącej o największej długości, jaka może powstać\nna strunie. Na rysunkach 2. i 3. dorysuj obrazy dwóch fal stojących o kolejnych\ndługościach, które mogą powstać na tej strunie.\nUwaga: Obraz fali stojącej może przedstawiać widok struny w chwili jej maksymalnego\nwychylenia z położenia równowagi.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\n𝑥3 =\nEFAP-R0_100\nInformacja do zadania 10.2.\nWartość prędkości fali poprzecznej na napiętej strunie wyraża się wzorem:\nv = √𝐹\n𝜇 przy czym 𝜇= 𝑚\n𝐿\ngdzie 𝐹 jest wartością siły napinającej strunę, 𝜇 jest gęstością liniową rozciągniętej struny,\n𝑚 jest masą struny, 𝐿 jest długością rozciągniętej struny.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n6.8) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza\ndługość fali na podstawie obrazu\ninterferencyjnego;\n6.10) opisuje fale stojące i ich związek z falami\nbiegnącymi przeciwbieżnie.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawne narysowanie trzech obrazów fal stojących na rysunkach 1.-3.\n1 pkt - poprawne narysowanie obrazu fali stojącej na rysunku 1. (o największej długości)\nLUB\n- poprawne narysowanie obrazu fali stojącej (o dowolnej poprawnej długości) na\njednym z rysunków 2.-3. (nie może być to rysunek obrazu fali o największej\ndługości).\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPoprawne rozwiązania\nSposób 1.\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.\nSposób 2. (widok struny w chwili jej maksymalnego wychylenia)\nRysunek 1.\nRysunek 2.\nRysunek 3.","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n- **Rysunek 1** - fala stojąca o **1 brzuścu** (połowa fali między uchwytami): jeden łuk sinusoidalny między węzłami na końcach struny. To **harmoniczna podstawowa** (pierwsza harmoniczna), \\(n = 1\\).\n\n- **Rysunek 2** - fala stojąca o **2 brzuścach** (cała fala między uchwytami): dwa łuki sinusoidalne - jeden skierowany w górę, drugi w dół - z węzłem dokładnie w środku struny. To **druga harmoniczna**, \\(n = 2\\).\n\n- **Rysunek 3** - fala stojąca o **3 brzuścach** (półtorej fali między uchwytami): trzy łuki naprzemiennie góra-dół-góra, węzły w ⅓ i ⅔ długości struny. To **trzecia harmoniczna**, \\(n = 3\\).\n\n## Sposób 1 - Warunek brzegowy fali stojącej na strunie\n\n**Zasada:** Struna ma oba końce unieruchomione → na obu końcach muszą być **węzły** (punkty bez drgań). Długość struny \\(L\\) musi zmieścić **całkowitą liczbę połówek długości fali**.\n\nWarunek rezonansu:\n\n\\[\nL = n \\cdot \\frac{\\lambda_n}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n\\]\n\nStąd dozwolone długości fali:\n\n\\[\n\\lambda_n = \\frac{2L}{n}\n\\]\n\nNajdłuższa fala odpowiada najmniejszemu \\(n\\):\n\n| Rysunek | \\(n\\) | \\(\\lambda_n\\) | Liczba brzuśców | Liczba węzłów wewnętrznych |\n| 1 | 1 | \\(2L\\) | 1 | 0 |\n| 2 | 2 | \\(L\\) | 2 | 1 (w środku) |\n| 3 | 3 | \\(\\frac{2L}{3}\\) | 3 | 2 (w ⅓ i ⅔ długości) |\n\n**Rysunek 1** (\\(n=1\\), harmoniczna podstawowa):\n\nJeden łuk - całkowita długość struny = \\(\\frac{\\lambda_1}{2}\\). Struna wygina się jak jeden „banan\":\n\n**Rysunek 2** (\\(n=2\\), druga harmoniczna):\n\nDwa łuki przeciwnie skierowane - środek struny to węzeł:\n\n(jeden łuk w górę, jeden w dół)\n\n**Rysunek 3** (\\(n=3\\), trzecia harmoniczna):\n\nTrzy naprzemienne łuki - węzły w \\(\\frac{L}{3}\\) i \\(\\frac{2L}{3}\\):\n\n## Sposób 2 - Reasoning z definicji węzłów i brzuśców\n\n**Węzeł** = punkt struny, który NIGDY nie drga. Zawsze musi być na obu końcach (uchwyty są nieruchome).\n\n**Brzusiec** = punkt struny drgający z maksymalną amplitudą. Leży dokładnie w połowie odległości między dwoma sąsiednimi węzłami.\n\nPytanie: ile węzłów wewnętrznych możemy dodać, zachowując symetrię?\n\n- **0 węzłów wewnętrznych** → 1 brzusiec między dwoma węzłami krańcowymi → **Rysunek 1**\n- **1 węzeł wewnętrzny** (w środku) → 2 brzuśce → **Rysunek 2**\n- **2 węzły wewnętrzne** (w ⅓ i ⅔) → 3 brzuśce → **Rysunek 3**\n\nKażde dodanie węzła wewnętrznego **skraca** \\(\\lambda\\) (gęściej upakowana fala), więc kolejność: Rys. 1 ma największą \\(\\lambda\\), Rys. 3 ma najmniejszą \\(\\lambda\\) z tych trzech.\n\n**Kluczowe:** brzuśce sąsiednich harmonicznych mają **przeciwne znaki wychylenia** - dlatego na Rys. 2 jeden łuk jest „w górę\", a drugi „w dół\".\n\n## Sposób 3 - Weryfikacja przez związek \\(v = f \\cdot \\lambda\\)\n\nPrędkość fali na strunie \\(v\\) zależy od naprężenia i masy liniowej - jest **stała** dla danej struny. Zmiana \\(\\lambda\\) zmienia \\(f\\):\n\n\\[\nf_n = \\frac{v}{\\lambda_n} = \\frac{v \\cdot n}{2L} = n \\cdot f_1\n\\]\n\n- \\(n=1\\): \\(f_1\\) - ton podstawowy, **najniższy dźwięk**, najdłuższa fala ✓ (Rys. 1)\n- \\(n=2\\): \\(f_2 = 2f_1\\) - oktawa wyżej, krótsza fala ✓ (Rys. 2)\n- \\(n=3\\): \\(f_3 = 3f_1\\) - kwinta powyżej oktawy, jeszcze krótsza ✓ (Rys. 3)\n\nWeryfikacja porządku rysunków jest spójna: **Rys. 1 \\(\\to\\) Rys. 2 \\(\\to\\) Rys. 3** to kolejne harmoniczne z rosnącą częstotliwością i malejącą długością fali.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.1, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie dorysował WSZYSTKIE TRZY obrazy fal stojących:\n> - Rys. 1: jeden brzusiec (harmoniczna podstawowa, \\(\\lambda = 2L\\))\n> - Rys. 2: dwa brzuśce z węzłem w środku (\\(\\lambda = L\\))\n> - Rys. 3: trzy brzuśce z węzłami w ⅓ i ⅔ (\\(\\lambda = \\frac{2L}{3}\\))\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie dorysował dokładnie dwa z trzech obrazów\n> - **0 pkt** - odpowiedź niepoprawna lub brak odpowiedzi\n>\n> - **Akceptowane warianty:** Obraz fali może przedstawiać wychylenie w górę lub w dół (znak amplitudy nie jest oceniany), ważny jest kształt (prawidłowa liczba brzuśców i węzłów). Krzywe mogą być narysowane odręcznie - liczy się poprawność topologiczna.\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się rysunków z węzłami w miejscach innych niż oba końce + wnętrze zgodne z n. ❌ Błędem jest dorysowanie fali podłużnej (wzdłuż struny) zamiast poprzecznej.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Fale:**\n>\n> Warunek powstawania fali stojącej na strunie z oboma końcami unieruchomionymi:\n> \\[\n> L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots\n> \\]\n> Związek prędkości, częstotliwości i długości fali:\n> \\[\n> v = f \\cdot \\lambda\n> \\]\n> Harmoniczne: \\(f_n = n \\cdot f_1\\), gdzie \\(f_1 = \\frac{v}{2L}\\).\n>\n> Wzory te są podstawą każdego zadania o falach stojących - na maturze zawsze sprawdź, czy rysunek jest zgodny z \\(L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - narysowanie na Rys. 2 **dwóch łuków w tym samym kierunku** (oba w górę). To niemożliwe fizycznie: sąsiednie brzuśce ZAWSZE drgają w przeciwnych fazach, bo między nimi jest węzeł.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie fali podłużnej z poprzeczną - „poprzeczna\" oznacza, że wychylenie jest **prostopadle do struny** (łuki w górę/dół). Rysunek musi pokazywać wygięcie prostopadłe, nie „ściśnięcie\" wzdłuż struny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rysowanie węzłów w złych miejscach na Rys. 3 - węzły muszą leżeć dokładnie w \\(\\frac{L}{3}\\) i \\(\\frac{2L}{3}\\), a oba końce struny to też węzły. Łącznie na Rys. 3 są **4 węzły** (2 krajcowe + 2 wewnętrzne) i **3 brzuśce**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rys. 1 nie jest „brakiem drgań\" - to pełnoprawna fala stojąca o NAJWIĘKSZEJ długości fali. Brak węzłów wewnętrznych to cecha harmonicznej podstawowej, nie błąd rysunkowy.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 10.1. (0-2)<br>Na rysunkach 1.-3. przedstawiono strunę, gdy znajdowała się ona w położeniu równowagi.<br>Strunę pobudzano do drgań w różny sposób.<br>Na rysunku 1. dorysuj obraz fali stojącej o największej długości, jaka może powstać<br>na strunie. Na rysunkach 2. i 3. dorysuj obrazy dwóch fal stojących o kolejnych<br>długościach, które mogą powstać na tej strunie.<br>Uwaga: Obraz fali stojącej może przedstawiać widok struny w chwili jej maksymalnego<br>wychylenia z położenia równowagi.<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>Rysunek 3.<br>𝑥3 =<br>EFAP-R0_100<br>Informacja do zadania 10.2.<br>Wartość prędkości fali poprzecznej na napiętej strunie wyraża się wzorem:<br>v = √𝐹<br>𝜇 przy czym 𝜇= 𝑚<br>𝐿<br>gdzie 𝐹 jest wartością siły napinającej strunę, 𝜇 jest gęstością liniową rozciągniętej struny,<br>𝑚 jest masą struny, 𝐿 jest długością rozciągniętej struny.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 10.1. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymaganie ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>I. Znajomość i umiejętność<br>wykorzystania pojęć i praw fizyki do<br>wyjaśniania procesów i zjawisk<br>w przyrodzie.<br>Zdający:<br>6.8) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza<br>długość fali na podstawie obrazu<br>interferencyjnego;<br>6.10) opisuje fale stojące i ich związek z falami<br>biegnącymi przeciwbieżnie.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - poprawne narysowanie trzech obrazów fal stojących na rysunkach 1.-3.<br>1 pkt - poprawne narysowanie obrazu fali stojącej na rysunku 1. (o największej długości)<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne narysowanie obrazu fali stojącej (o dowolnej poprawnej długości) na</li></ul>\n<p>jednym z rysunków 2.-3. (nie może być to rysunek obrazu fali o największej<br>długości).<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Poprawne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>Rysunek 3.<br>Sposób 2. (widok struny w chwili jej maksymalnego wychylenia)<br>Rysunek 1.<br>Rysunek 2.<br>Rysunek 3.</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<ul><li><strong>Rysunek 1</strong> - fala stojąca o <strong>1 brzuścu</strong> (połowa fali między uchwytami): jeden łuk sinusoidalny między węzłami na końcach struny. To <strong>harmoniczna podstawowa</strong> (pierwsza harmoniczna), \\(n = 1\\).</li></ul>\n<ul><li><strong>Rysunek 2</strong> - fala stojąca o <strong>2 brzuścach</strong> (cała fala między uchwytami): dwa łuki sinusoidalne - jeden skierowany w górę, drugi w dół - z węzłem dokładnie w środku struny. To <strong>druga harmoniczna</strong>, \\(n = 2\\).</li></ul>\n<ul><li><strong>Rysunek 3</strong> - fala stojąca o <strong>3 brzuścach</strong> (półtorej fali między uchwytami): trzy łuki naprzemiennie góra-dół-góra, węzły w ⅓ i ⅔ długości struny. To <strong>trzecia harmoniczna</strong>, \\(n = 3\\).</li></ul>\n<h4>Sposób 1 - Warunek brzegowy fali stojącej na strunie</h4>\n<p><strong>Zasada:</strong> Struna ma oba końce unieruchomione → na obu końcach muszą być <strong>węzły</strong> (punkty bez drgań). Długość struny \\(L\\) musi zmieścić <strong>całkowitą liczbę połówek długości fali</strong>.</p>\n<p>Warunek rezonansu:</p>\n<p>\\[<br>L = n \\cdot \\frac{\\lambda_n}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots<br>\\]</p>\n<p>Stąd dozwolone długości fali:</p>\n<p>\\[<br>\\lambda_n = \\frac{2L}{n}<br>\\]</p>\n<p>Najdłuższa fala odpowiada najmniejszemu \\(n\\):</p>\n<p>| Rysunek | \\(n\\) | \\(\\lambda_n\\) | Liczba brzuśców | Liczba węzłów wewnętrznych |<br>| 1 | 1 | \\(2L\\) | 1 | 0 |<br>| 2 | 2 | \\(L\\) | 2 | 1 (w środku) |<br>| 3 | 3 | \\(\\frac{2L}{3}\\) | 3 | 2 (w ⅓ i ⅔ długości) |</p>\n<p><strong>Rysunek 1</strong> (\\(n=1\\), harmoniczna podstawowa):</p>\n<p>Jeden łuk - całkowita długość struny = \\(\\frac{\\lambda_1}{2}\\). Struna wygina się jak jeden „banan&quot;:</p>\n<p><strong>Rysunek 2</strong> (\\(n=2\\), druga harmoniczna):</p>\n<p>Dwa łuki przeciwnie skierowane - środek struny to węzeł:</p>\n<p>(jeden łuk w górę, jeden w dół)</p>\n<p><strong>Rysunek 3</strong> (\\(n=3\\), trzecia harmoniczna):</p>\n<p>Trzy naprzemienne łuki - węzły w \\(\\frac{L}{3}\\) i \\(\\frac{2L}{3}\\):</p>\n<h4>Sposób 2 - Reasoning z definicji węzłów i brzuśców</h4>\n<p><strong>Węzeł</strong> = punkt struny, który NIGDY nie drga. Zawsze musi być na obu końcach (uchwyty są nieruchome).</p>\n<p><strong>Brzusiec</strong> = punkt struny drgający z maksymalną amplitudą. Leży dokładnie w połowie odległości między dwoma sąsiednimi węzłami.</p>\n<p>Pytanie: ile węzłów wewnętrznych możemy dodać, zachowując symetrię?</p>\n<ul><li><strong>0 węzłów wewnętrznych</strong> → 1 brzusiec między dwoma węzłami krańcowymi → <strong>Rysunek 1</strong></li><li><strong>1 węzeł wewnętrzny</strong> (w środku) → 2 brzuśce → <strong>Rysunek 2</strong></li><li><strong>2 węzły wewnętrzne</strong> (w ⅓ i ⅔) → 3 brzuśce → <strong>Rysunek 3</strong></li></ul>\n<p>Każde dodanie węzła wewnętrznego <strong>skraca</strong> \\(\\lambda\\) (gęściej upakowana fala), więc kolejność: Rys. 1 ma największą \\(\\lambda\\), Rys. 3 ma najmniejszą \\(\\lambda\\) z tych trzech.</p>\n<p><strong>Kluczowe:</strong> brzuśce sąsiednich harmonicznych mają <strong>przeciwne znaki wychylenia</strong> - dlatego na Rys. 2 jeden łuk jest „w górę&quot;, a drugi „w dół&quot;.</p>\n<h4>Sposób 3 - Weryfikacja przez związek \\(v = f \\cdot \\lambda\\)</h4>\n<p>Prędkość fali na strunie \\(v\\) zależy od naprężenia i masy liniowej - jest <strong>stała</strong> dla danej struny. Zmiana \\(\\lambda\\) zmienia \\(f\\):</p>\n<p>\\[<br>f_n = \\frac{v}{\\lambda_n} = \\frac{v \\cdot n}{2L} = n \\cdot f_1<br>\\]</p>\n<ul><li>\\(n=1\\): \\(f_1\\) - ton podstawowy, <strong>najniższy dźwięk</strong>, najdłuższa fala ✓ (Rys. 1)</li><li>\\(n=2\\): \\(f_2 = 2f_1\\) - oktawa wyżej, krótsza fala ✓ (Rys. 2)</li><li>\\(n=3\\): \\(f_3 = 3f_1\\) - kwinta powyżej oktawy, jeszcze krótsza ✓ (Rys. 3)</li></ul>\n<p>Weryfikacja porządku rysunków jest spójna: <strong>Rys. 1 \\(\\to\\) Rys. 2 \\(\\to\\) Rys. 3</strong> to kolejne harmoniczne z rosnącą częstotliwością i malejącą długością fali.</p>\n<h4>Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.1, max 2 pkt):</strong><br><br>- <strong>2 pkt</strong> - uczeń poprawnie dorysował WSZYSTKIE TRZY obrazy fal stojących:<br>- Rys. 1: jeden brzusiec (harmoniczna podstawowa, \\(\\lambda = 2L\\))<br>- Rys. 2: dwa brzuśce z węzłem w środku (\\(\\lambda = L\\))<br>- Rys. 3: trzy brzuśce z węzłami w ⅓ i ⅔ (\\(\\lambda = \\frac{2L}{3}\\))<br>- <strong>1 pkt</strong> - uczeń poprawnie dorysował dokładnie dwa z trzech obrazów<br>- <strong>0 pkt</strong> - odpowiedź niepoprawna lub brak odpowiedzi<br><br>- <strong>Akceptowane warianty:</strong> Obraz fali może przedstawiać wychylenie w górę lub w dół (znak amplitudy nie jest oceniany), ważny jest kształt (prawidłowa liczba brzuśców i węzłów). Krzywe mogą być narysowane odręcznie - liczy się poprawność topologiczna.<br>- <strong>Uwagi (orientacyjne):</strong> ❌ Nie uznaje się rysunków z węzłami w miejscach innych niż oba końce + wnętrze zgodne z n. ❌ Błędem jest dorysowanie fali podłużnej (wzdłuż struny) zamiast poprzecznej.</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - Fizyka, sekcja Fale:</strong><br><br>Warunek powstawania fali stojącej na strunie z oboma końcami unieruchomionymi:<br>\\[<br>L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}, \\quad n = 1, 2, 3, \\ldots<br>\\]<br>Związek prędkości, częstotliwości i długości fali:<br>\\[<br>v = f \\cdot \\lambda<br>\\]<br>Harmoniczne: \\(f_n = n \\cdot f_1\\), gdzie \\(f_1 = \\frac{v}{2L}\\).<br><br>Wzory te są podstawą każdego zadania o falach stojących - na maturze zawsze sprawdź, czy rysunek jest zgodny z \\(L = n \\cdot \\frac{\\lambda}{2}\\).</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd - narysowanie na Rys. 2 <strong>dwóch łuków w tym samym kierunku</strong> (oba w górę). To niemożliwe fizycznie: sąsiednie brzuśce ZAWSZE drgają w przeciwnych fazach, bo między nimi jest węzeł.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mylenie fali podłużnej z poprzeczną - „poprzeczna&quot; oznacza, że wychylenie jest <strong>prostopadle do struny</strong> (łuki w górę/dół). Rysunek musi pokazywać wygięcie prostopadłe, nie „ściśnięcie&quot; wzdłuż struny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rysowanie węzłów w złych miejscach na Rys. 3 - węzły muszą leżeć dokładnie w \\(\\frac{L}{3}\\) i \\(\\frac{2L}{3}\\), a oba końce struny to też węzły. Łącznie na Rys. 3 są <strong>4 węzły</strong> (2 krajcowe + 2 wewnętrzne) i <strong>3 brzuśce</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Rys. 1 nie jest „brakiem drgań&quot; - to pełnoprawna fala stojąca o NAJWIĘKSZEJ długości fali. Brak węzłów wewnętrznych to cecha harmonicznej podstawowej, nie błąd rysunkowy.</blockquote>"}]}