{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/10.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"10.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10.2. (0-4)\nStrunę o masie 𝑚 i długości swobodnej 𝐿0 rozciągnięto siłą o wartości 𝐹1 do długości\n𝐿1 = 1,01𝐿0. Drugą, identyczną strunę o masie 𝑚 i długości swobodnej 𝐿0 rozciągnięto siłą\no wartości 𝐹2 do długości 𝐿2 = 1,03𝐿0. Przyjmij, że siły napinające struny są wprost\nproporcjonalne do wydłużeń tych strun.\nOblicz iloraz\n𝒇𝟐\n𝒇𝟏\n, czyli stosunek częstotliwości najdłuższych fal stojących, które mogą\npowstać - odpowiednio - na strunach o długościach 𝑳𝟐 i 𝑳𝟏.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.2. 10.1. 10.2.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10.2. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu\n[…].\nZdający:\n6.6) stosuje w obliczeniach związek między\nparametrami fali: długością, częstotliwością,\nokresem, prędkością;\n6.8) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza\ndługość fali na podstawie obrazu\ninterferencyjnego;\n6.10) opisuje fale stojące i ich związek z falami\nbiegnącymi przeciwbieżnie.\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu częstotliwości najdłuższych fal stojących, które\nmogą powstać odpowiednio na strunach o długościach 𝐿2 i 𝐿1 i podanie\nprawidłowego wyniku (podana wartość liczbowa powinna być taka, aby po\nzaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących była równa 1,7).\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu częstotliwości, tzn.: wykorzystanie związków dla\nobu strun między częstotliwością fali stojącej (o największej długości) a długością\nrozciągniętej struny i wartością prędkości fali poprzecznej na strunie oraz\nwykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na strunie oraz wykorzystanie\ninformacji o proporcjonalności siły rozciągającej strunę do jej wydłużenia\ni doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym:\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= √𝛥𝐿2\n𝛥𝐿1\n⋅𝐿1\n𝐿2\n(np. jak w sposobie 1.)\nLUB\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝛥𝐿2\n𝛥𝐿1\n⋅𝐿2\n𝐿1\n(np. jak w sposobie 1.)\nLUB\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n(np. jak w sposobie 2.)\n2 pkt - zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na\nstrunie i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym\n(np. jak w sposobie 1.):\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿2\n𝐿1\nalbo 𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= √𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿1\n𝐿2\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na\nstrunie i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym\n(np. jak w sposobie 2.):\n𝑓2\n𝑓1\n= ⋯= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\nLUB\n- zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o proporcjonalności siły\nrozciągającej strunę do jej wydłużenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\noraz (( 𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 ) albo 𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n)\n1 pkt - zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej\n(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali\npoprzecznej na strunie, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n( 𝑓1 = 𝑣1\n2𝐿1\noraz 𝑓2 = 𝑣2\n2𝐿2\n) albo 𝑓2\n𝑓1\n𝑣2\n2𝐿2\n𝑣1\n2𝐿1\nalbo 𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\n- wykorzystanie informacji o proporcjonalności siły rozciągającej strunę do jej\nwydłużenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n( 𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 ) albo 𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\n1. Jeżeli zdający przyjmie długość struny swobodnej (a nie naprężonej) dla związku 𝑓=\n𝑣\n2𝐿\ni konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (poprawnie wykorzysta pozostałe\nzwiązki bez błędów rachunkowych), to otrzyma co najwyżej 2 pkt.\n2. Jeżeli zdający do obliczenia stosunku częstotliwości najdłuższych fal stojących\nwykorzysta stosunek częstotliwości wyższych (o tych samych numerach) składowych\nharmonicznych (który jest równy stosunkowi częstotliwości pierwszych składowych\nharmonicznych), to taką metodę rozwiązania należy uznać za równoważną.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nWyprowadzimy i zapiszemy związek między częstotliwością fali stojącej (o największej\ndługości) a długością struny 𝐿 i wartością 𝑣 prędkości fali poprzecznej na strunie:\n𝑣= 𝜆𝑓 oraz 𝐿= 𝜆\n2 → 𝑓= 𝑣\n2𝐿\nZapiszemy iloraz\n𝑓2\n𝑓1 - częstotliwości najdłuższych fal stojących, które mogą powstać\nodpowiednio na strunach o długościach 𝐿2 i 𝐿1:\n𝑓2\n𝑓1\n𝑣2\n2𝐿2\n𝑣1\n2𝐿1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\nWykorzystamy wzór na prędkość fali poprzecznej na strunie:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅\n√\n𝐹2\n(𝑚\n𝐿2)\n√\n𝐹1\n(𝑚\n𝐿1)\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿2\n𝐿1\n= √𝐹2\n𝐹1\n⋅𝐿1\n𝐿2\nSkorzystamy z faktu, że siły napinające struny są wprost proporcjonalne do wydłużeń tych\nstrun:\n𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 → 𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\nOstatecznie otrzymujemy:\n𝑓2\n𝑓1\n= √Δ𝐿2\nΔ𝐿1\n⋅𝐿1\n𝐿2\nWykorzystamy informacje o długościach i wydłużeniach strun:\n𝑓2\n𝑓1\n= √0,03𝐿0\n0,01𝐿0\n⋅1,01𝐿0\n1,03𝐿0\n= √3 ⋅1,01\n1,03 ≈1,7151 … ≈1,72\nSposób 2.\nPoniżej akceptowalne pełne rozwiązanie, w którym zdający używa długości struny\nswobodnej do określenia gęstości liniowej.\nZapiszemy związek między częstotliwością fali stojącej (o największej długości) a długością\nstruny 𝐿 i wartością 𝑣 prędkości fali poprzecznej na strunie:\n𝑓= 𝑣\n2𝐿\nZapiszemy iloraz\n𝑓2\n𝑓1:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅𝑣2\n𝑣1\nWykorzystamy wzór na prędkość fali poprzecznej na strunie:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅\n√\n𝐹2\n(𝑚\n𝐿0)\n√\n𝐹1\n(𝑚\n𝐿0)\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√𝐹2\n𝐹1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSkorzystamy z faktu, że siły napinające struny są wprost proporcjonalne do wydłużeń tych\nidentycznych strun:\n𝐹2\n𝐹1\n= Δ𝐿2\nΔ𝐿1\nOstatecznie otrzymujemy:\n𝑓2\n𝑓1\n= 𝐿1\n𝐿2\n⋅√Δ𝐿2\nΔ𝐿1\nWykorzystamy informacje o długościach i wydłużeniach strun:\n𝑓2\n𝑓1\n= 1,01𝐿0\n1,03𝐿0\n⋅√0,03𝐿0\n0,01𝐿0\n= 1,01\n1,03 √3 = 1,6984 … ≈1,70","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{303}{103}} \\approx 1{,}72$$\n\n## Sposób 1 - analityczne wyprowadzenie wzoru na częstotliwość fundamentalną\n\n### Krok 1: Wyznacz stosunek sił napinających (prawo Hooke'a)\n\nSiły są wprost proporcjonalne do **wydłużeń** strun (nie do długości!):\n\n$$\\Delta L_1 = L_1 - L_0 = 1{,}01L_0 - L_0 = 0{,}01\\,L_0$$\n$$\\Delta L_2 = L_2 - L_0 = 1{,}03L_0 - L_0 = 0{,}03\\,L_0$$\n\n$$\\frac{F_2}{F_1} = \\frac{\\Delta L_2}{\\Delta L_1} = \\frac{0{,}03\\,L_0}{0{,}01\\,L_0} = 3 \\implies F_2 = 3F_1$$\n\n### Krok 2: Najdłuższa fala stojąca na strunie\n\nStruna zaciśnięta na obu końcach - warunek węzłów. Najdłuższa fala stojąca to **moda podstawowa** (harmoniczna pierwsza):\n\n$$\\lambda_{\\max} = 2L$$\n\nZatem:\n$$\\lambda_1 = 2L_1 = 2 \\cdot 1{,}01\\,L_0, \\qquad \\lambda_2 = 2L_2 = 2 \\cdot 1{,}03\\,L_0$$\n\n### Krok 3: Wyprowadź wzór na częstotliwość\n\nZ definicji $f = \\dfrac{v}{\\lambda}$ i ze wzoru informacyjnego $v = \\sqrt{\\dfrac{F}{\\mu}}$ przy $\\mu = \\dfrac{m}{L}$:\n\n$$f = \\frac{v}{\\lambda} = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F}{\\mu}} = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F \\cdot L}{m}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F}{m \\cdot L}}$$\n\nStąd:\n$$f_1 = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_1}{m \\cdot L_1}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_1}{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}}$$\n\n$$f_2 = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_2}{m \\cdot L_2}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0}}$$\n\n### Krok 4: Oblicz iloraz\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\frac{\\frac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0}}}{\\frac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{F_1}{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}}} = \\sqrt{\\frac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0} \\cdot \\frac{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}{F_1}}$$\n\n$$\\boxed{\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{3 \\times 1{,}01}{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx \\sqrt{2{,}942} \\approx 1{,}72}$$\n\n## Sposób 2 - przez prędkości (krok po kroku, bez skrótu)\n\nOblicz prędkości i długości fal osobno, potem podstaw.\n\n**Gęstości liniowe:**\n$$\\mu_1 = \\frac{m}{L_1} = \\frac{m}{1{,}01\\,L_0}, \\qquad \\mu_2 = \\frac{m}{L_2} = \\frac{m}{1{,}03\\,L_0}$$\n\n**Prędkości fal:**\n$$v_1 = \\sqrt{\\frac{F_1}{\\mu_1}} = \\sqrt{\\frac{F_1 \\cdot 1{,}01\\,L_0}{m}}$$\n\n$$v_2 = \\sqrt{\\frac{F_2}{\\mu_2}} = \\sqrt{\\frac{3F_1 \\cdot 1{,}03\\,L_0}{m}}$$\n\n**Częstotliwości** (\\(\\lambda = 2L\\)):\n$$f_1 = \\frac{v_1}{2L_1} = \\frac{\\sqrt{F_1 \\cdot 1{,}01\\,L_0 / m}}{2 \\cdot 1{,}01\\,L_0}$$\n\n$$f_2 = \\frac{v_2}{2L_2} = \\frac{\\sqrt{3F_1 \\cdot 1{,}03\\,L_0 / m}}{2 \\cdot 1{,}03\\,L_0}$$\n\n**Iloraz** (czynniki $m$, $L_0$, $F_1$ redukują się):\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\frac{\\sqrt{3 \\cdot 1{,}03}}{1{,}03} \\cdot \\frac{1{,}01}{\\sqrt{1{,}01}} = \\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{1{,}01}}{\\sqrt{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{3 \\cdot 1{,}01}{1{,}03}} \\approx 1{,}72$$\n\nWynik identyczny - **wzajemna weryfikacja obu sposobów**.\n\n## Sposób 3 - analiza wymiarowa i skalowanie\n\nOgólny wzór na modę podstawową struny:\n\n$$f = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F}{\\mu}} \\propto \\frac{1}{L}\\sqrt{\\frac{F}{m/L}} = \\frac{1}{\\sqrt{mL}}\\sqrt{F} \\propto \\sqrt{\\frac{F}{L}}$$\n\n(przy stałej masie $m$). Zatem:\n\n$$\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{F_2/L_2}{F_1/L_1}} = \\sqrt{\\frac{F_2}{F_1} \\cdot \\frac{L_1}{L_2}} = \\sqrt{3 \\cdot \\frac{1{,}01\\,L_0}{1{,}03\\,L_0}} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx 1{,}72$$\n\nTen sposób jest **najszybszy** - od razu widać że częstotliwość rośnie jak $\\sqrt{F/L}$, co pozwala skonstruować iloraz bez pośrednich obliczeń.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.2, max 4 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne wyznaczenie stosunku sił: \\(F_2 = 3F_1\\) (z proporcjonalności sił do wydłużeń)\n> - **1 pkt** - poprawne określenie warunku na najdłuższą falę stojącą: \\(\\lambda = 2L\\) (moda podstawowa)\n> - **1 pkt** - poprawne zbudowanie wyrażenia na iloraz \\(\\dfrac{f_2}{f_1}\\) z uwzględnieniem zmiennego \\(\\mu\\) i \\(\\lambda\\)\n> - **1 pkt** - poprawny wynik numeryczny: \\(\\dfrac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\dfrac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx 1{,}72\\)\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się wynik \\(\\approx 1{,}715\\) lub \\(\\approx 1{,}72\\); ❌ Nie uznaje się pominięcia zmiany $\\mu$ (użycie $\\mu = m/L_0$ zamiast $m/L$)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Informacja do zadania (podana w arkuszu):**\n> $$v = \\sqrt{\\frac{F}{\\mu}}, \\qquad \\mu = \\frac{m}{L}$$\n> Użyto bezpośrednio w Sposobach 1 i 2.\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - fale stojące:**\n> Warunek rezonansu na strunie obu końcach utwierdzonych: \\(\\lambda_n = \\dfrac{2L}{n}\\), \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)\n> Dla **najdłuższej** fali stojącej: \\(n=1\\), zatem \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\).\n\n> 📖 **Prawo Hooke'a** (wiedza ogólna, nie z karty wzorów):\n> \\(F = k \\cdot \\Delta L\\) - kluczowe do wyznaczenia \\(F_2/F_1 = 3\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - wydłużenie vs. długość całkowita:** Siły proporcjonalne są do **wydłużeń** \\(\\Delta L = L - L_0\\), a nie do długości całkowitych \\(L\\)! Błędne użycie \\(F_2/F_1 = L_2/L_1 = 1{,}03/1{,}01\\) to najczęstszy błąd (daje wynik $\\approx 1{,}01$ - nonsens fizyczny).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - stałe $\\mu$ zamiast zmiennego:** Gęstość liniowa \\(\\mu = m/L\\) zmienia się przy rozciąganiu! Użycie \\(\\mu = m/L_0\\) (jak dla wolnej struny) zawyża prędkość i zniekształca wynik. To traci 1 punkt w kluczu CKE.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - najdłuższa fala to $\\lambda = L$, nie $\\lambda = 2L$:** Część uczniów myli warunek na węzły - dla struny utwierdzonej obustronnie moda podstawowa ma POŁOWĘ długości fali równą długości struny, czyli \\(\\lambda = 2L\\), nie \\(\\lambda = L\\).\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - brak redukcji $F_1$, $m$, $L_0$:** Przy tworzeniu ilorazu wszystkie wspólne czynniki (masa $m$, $L_0$, siła $F_1$) muszą się skrócić algebraicznie - jeśli uczeń podstawia liczby przed uproszczeniem, ryzykuje błąd arytmetyczny i utratę czytelności rozwiązania.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-10.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale mechaniczne","page_from":17,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10.2. (0-4)
Strunę o masie 𝑚 i długości swobodnej 𝐿0 rozciągnięto siłą o wartości 𝐹1 do długości
𝐿1 = 1,01𝐿0. Drugą, identyczną strunę o masie 𝑚 i długości swobodnej 𝐿0 rozciągnięto siłą
o wartości 𝐹2 do długości 𝐿2 = 1,03𝐿0. Przyjmij, że siły napinające struny są wprost
proporcjonalne do wydłużeń tych strun.
Oblicz iloraz
𝒇𝟐
𝒇𝟏
, czyli stosunek częstotliwości najdłuższych fal stojących, które mogą
powstać - odpowiednio - na strunach o długościach 𝑳𝟐 i 𝑳𝟏.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.2. 10.1. 10.2.
Maks. liczba pkt
1
2
4
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10.2. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu
[…].
Zdający:
6.6) stosuje w obliczeniach związek między
parametrami fali: długością, częstotliwością,
okresem, prędkością;
6.8) opisuje zjawisko interferencji, wyznacza
długość fali na podstawie obrazu
interferencyjnego;
6.10) opisuje fale stojące i ich związek z falami
biegnącymi przeciwbieżnie.
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu częstotliwości najdłuższych fal stojących, które
mogą powstać odpowiednio na strunach o długościach 𝐿2 i 𝐿1 i podanie
prawidłowego wyniku (podana wartość liczbowa powinna być taka, aby po
zaokrągleniu do dwóch cyfr znaczących była równa 1,7).
3 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu częstotliwości, tzn.: wykorzystanie związków dla
obu strun między częstotliwością fali stojącej (o największej długości) a długością
rozciągniętej struny i wartością prędkości fali poprzecznej na strunie oraz
wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na strunie oraz wykorzystanie
informacji o proporcjonalności siły rozciągającej strunę do jej wydłużenia
i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym:
𝑓2
𝑓1
= ⋯= √𝛥𝐿2
𝛥𝐿1
⋅𝐿1
𝐿2
(np. jak w sposobie 1.)
LUB
𝑓2
𝑓1
= ⋯= 𝐿1
𝐿2
⋅√𝛥𝐿2
𝛥𝐿1
⋅𝐿2
𝐿1
(np. jak w sposobie 1.)
LUB
𝑓2
𝑓1
= ⋯= 𝐿1
𝐿2
⋅√Δ𝐿2
Δ𝐿1
(np. jak w sposobie 2.)
2 pkt - zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej
(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali
poprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na
strunie i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym
(np. jak w sposobie 1.):
𝑓2
𝑓1
= ⋯= 𝐿1
𝐿2
⋅√𝐹2
𝐹1
⋅𝐿2
𝐿1
albo 𝑓2
𝑓1
= ⋯= √𝐹2
𝐹1
⋅𝐿1
𝐿2
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali
poprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o prędkości fali poprzecznej na
strunie i doprowadzenie ilorazu częstotliwości do postaci równoważnej poniższym
(np. jak w sposobie 2.):
𝑓2
𝑓1
= ⋯= 𝐿1
𝐿2
⋅√𝐹2
𝐹1
LUB

\n\n

(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali
poprzecznej na strunie oraz wykorzystanie informacji o proporcjonalności siły
rozciągającej strunę do jej wydłużenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
𝑓2
𝑓1
= 𝐿1
𝐿2
⋅𝑣2
𝑣1
oraz (( 𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 ) albo 𝐹2
𝐹1
= Δ𝐿2
Δ𝐿1
)
1 pkt - zapisanie/wykorzystanie dla obu strun związków między częstotliwością fali stojącej
(o największej długości) a długością rozciągniętej struny i wartością prędkości fali
poprzecznej na strunie, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
( 𝑓1 = 𝑣1
2𝐿1
oraz 𝑓2 = 𝑣2
2𝐿2
) albo 𝑓2
𝑓1
𝑣2
2𝐿2
𝑣1
2𝐿1
albo 𝑓2
𝑓1
= 𝐿1
𝐿2
⋅𝑣2
𝑣1

\n\n

wydłużenia, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
( 𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 ) albo 𝐹2
𝐹1
= Δ𝐿2
Δ𝐿1
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie długość struny swobodnej (a nie naprężonej) dla związku 𝑓=
\n

𝑣
2𝐿
i konsekwentnie doprowadzi rozwiązanie do końca (poprawnie wykorzysta pozostałe
związki bez błędów rachunkowych), to otrzyma co najwyżej 2 pkt.

\n
  1. Jeżeli zdający do obliczenia stosunku częstotliwości najdłuższych fal stojących
\n

wykorzysta stosunek częstotliwości wyższych (o tych samych numerach) składowych
harmonicznych (który jest równy stosunkowi częstotliwości pierwszych składowych
harmonicznych), to taką metodę rozwiązania należy uznać za równoważną.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Wyprowadzimy i zapiszemy związek między częstotliwością fali stojącej (o największej
długości) a długością struny 𝐿 i wartością 𝑣 prędkości fali poprzecznej na strunie:
𝑣= 𝜆𝑓 oraz 𝐿= 𝜆
2 → 𝑓= 𝑣
2𝐿
Zapiszemy iloraz
𝑓2
𝑓1 - częstotliwości najdłuższych fal stojących, które mogą powstać
odpowiednio na strunach o długościach 𝐿2 i 𝐿1:
𝑓2
𝑓1
𝑣2
2𝐿2
𝑣1
2𝐿1
= 𝐿1
𝐿2
⋅𝑣2
𝑣1
Wykorzystamy wzór na prędkość fali poprzecznej na strunie:
𝑓2
𝑓1
= 𝐿1
𝐿2
⋅
√
𝐹2
(𝑚
𝐿2)
√
𝐹1
(𝑚
𝐿1)
= 𝐿1
𝐿2
⋅√𝐹2
𝐹1
⋅𝐿2
𝐿1
= √𝐹2
𝐹1
⋅𝐿1
𝐿2
Skorzystamy z faktu, że siły napinające struny są wprost proporcjonalne do wydłużeń tych
strun:
𝐹1 = 𝑘Δ𝐿1 oraz 𝐹2 = 𝑘Δ𝐿2 → 𝐹2
𝐹1
= Δ𝐿2
Δ𝐿1
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑓2
𝑓1
= √Δ𝐿2
Δ𝐿1
⋅𝐿1
𝐿2
Wykorzystamy informacje o długościach i wydłużeniach strun:
𝑓2
𝑓1
= √0,03𝐿0
0,01𝐿0
⋅1,01𝐿0
1,03𝐿0
= √3 ⋅1,01
1,03 ≈1,7151 … ≈1,72
Sposób 2.
Poniżej akceptowalne pełne rozwiązanie, w którym zdający używa długości struny
swobodnej do określenia gęstości liniowej.
Zapiszemy związek między częstotliwością fali stojącej (o największej długości) a długością
struny 𝐿 i wartością 𝑣 prędkości fali poprzecznej na strunie:
𝑓= 𝑣
2𝐿
Zapiszemy iloraz
𝑓2
𝑓1:
𝑓2
𝑓1
= 𝐿1
𝐿2
⋅𝑣2
𝑣1
Wykorzystamy wzór na prędkość fali poprzecznej na strunie:
𝑓2
𝑓1
= 𝐿1
𝐿2
⋅
√
𝐹2
(𝑚
𝐿0)
√
𝐹1
(𝑚
𝐿0)
= 𝐿1
𝐿2
⋅√𝐹2
𝐹1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Skorzystamy z faktu, że siły napinające struny są wprost proporcjonalne do wydłużeń tych
identycznych strun:
𝐹2
𝐹1
= Δ𝐿2
Δ𝐿1
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑓2
𝑓1
= 𝐿1
𝐿2
⋅√Δ𝐿2
Δ𝐿1
Wykorzystamy informacje o długościach i wydłużeniach strun:
𝑓2
𝑓1
= 1,01𝐿0
1,03𝐿0
⋅√0,03𝐿0
0,01𝐿0
= 1,01
1,03 √3 = 1,6984 … ≈1,70

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{303}{103}} \\approx 1{,}72$$

\n

Sposób 1 - analityczne wyprowadzenie wzoru na częstotliwość fundamentalną

\n
Krok 1: Wyznacz stosunek sił napinających (prawo Hooke'a)
\n

Siły są wprost proporcjonalne do wydłużeń strun (nie do długości!):

\n

$$\\Delta L_1 = L_1 - L_0 = 1{,}01L_0 - L_0 = 0{,}01\\,L_0$$
$$\\Delta L_2 = L_2 - L_0 = 1{,}03L_0 - L_0 = 0{,}03\\,L_0$$

\n

$$\\frac{F_2}{F_1} = \\frac{\\Delta L_2}{\\Delta L_1} = \\frac{0{,}03\\,L_0}{0{,}01\\,L_0} = 3 \\implies F_2 = 3F_1$$

\n
Krok 2: Najdłuższa fala stojąca na strunie
\n

Struna zaciśnięta na obu końcach - warunek węzłów. Najdłuższa fala stojąca to moda podstawowa (harmoniczna pierwsza):

\n

$$\\lambda_{\\max} = 2L$$

\n

Zatem:
$$\\lambda_1 = 2L_1 = 2 \\cdot 1{,}01\\,L_0, \\qquad \\lambda_2 = 2L_2 = 2 \\cdot 1{,}03\\,L_0$$

\n
Krok 3: Wyprowadź wzór na częstotliwość
\n

Z definicji $f = \\dfrac{v}{\\lambda}$ i ze wzoru informacyjnego $v = \\sqrt{\\dfrac{F}{\\mu}}$ przy $\\mu = \\dfrac{m}{L}$:

\n

$$f = \\frac{v}{\\lambda} = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F}{\\mu}} = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F \\cdot L}{m}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F}{m \\cdot L}}$$

\n

Stąd:
$$f_1 = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_1}{m \\cdot L_1}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_1}{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}}$$

\n

$$f_2 = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{F_2}{m \\cdot L_2}} = \\frac{1}{2}\\sqrt{\\frac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0}}$$

\n
Krok 4: Oblicz iloraz
\n

$$\\frac{f_2}{f_1} = \\frac{\\frac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0}}}{\\frac{1}{2}\\sqrt{\\dfrac{F_1}{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}}} = \\sqrt{\\frac{3F_1}{m \\cdot 1{,}03\\,L_0} \\cdot \\frac{m \\cdot 1{,}01\\,L_0}{F_1}}$$

\n

$$\\boxed{\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{3 \\times 1{,}01}{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx \\sqrt{2{,}942} \\approx 1{,}72}$$

\n

Sposób 2 - przez prędkości (krok po kroku, bez skrótu)

\n

Oblicz prędkości i długości fal osobno, potem podstaw.

\n

Gęstości liniowe:
$$\\mu_1 = \\frac{m}{L_1} = \\frac{m}{1{,}01\\,L_0}, \\qquad \\mu_2 = \\frac{m}{L_2} = \\frac{m}{1{,}03\\,L_0}$$

\n

Prędkości fal:
$$v_1 = \\sqrt{\\frac{F_1}{\\mu_1}} = \\sqrt{\\frac{F_1 \\cdot 1{,}01\\,L_0}{m}}$$

\n

$$v_2 = \\sqrt{\\frac{F_2}{\\mu_2}} = \\sqrt{\\frac{3F_1 \\cdot 1{,}03\\,L_0}{m}}$$

\n

Częstotliwości (\\(\\lambda = 2L\\)):
$$f_1 = \\frac{v_1}{2L_1} = \\frac{\\sqrt{F_1 \\cdot 1{,}01\\,L_0 / m}}{2 \\cdot 1{,}01\\,L_0}$$

\n

$$f_2 = \\frac{v_2}{2L_2} = \\frac{\\sqrt{3F_1 \\cdot 1{,}03\\,L_0 / m}}{2 \\cdot 1{,}03\\,L_0}$$

\n

Iloraz (czynniki $m$, $L_0$, $F_1$ redukują się):

\n

$$\\frac{f_2}{f_1} = \\frac{\\sqrt{3 \\cdot 1{,}03}}{1{,}03} \\cdot \\frac{1{,}01}{\\sqrt{1{,}01}} = \\frac{\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{1{,}01}}{\\sqrt{1{,}03}} = \\sqrt{\\frac{3 \\cdot 1{,}01}{1{,}03}} \\approx 1{,}72$$

\n

Wynik identyczny - wzajemna weryfikacja obu sposobów.

\n

Sposób 3 - analiza wymiarowa i skalowanie

\n

Ogólny wzór na modę podstawową struny:

\n

$$f = \\frac{1}{2L}\\sqrt{\\frac{F}{\\mu}} \\propto \\frac{1}{L}\\sqrt{\\frac{F}{m/L}} = \\frac{1}{\\sqrt{mL}}\\sqrt{F} \\propto \\sqrt{\\frac{F}{L}}$$

\n

(przy stałej masie $m$). Zatem:

\n

$$\\frac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\frac{F_2/L_2}{F_1/L_1}} = \\sqrt{\\frac{F_2}{F_1} \\cdot \\frac{L_1}{L_2}} = \\sqrt{3 \\cdot \\frac{1{,}01\\,L_0}{1{,}03\\,L_0}} = \\sqrt{\\frac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx 1{,}72$$

\n

Ten sposób jest najszybszy - od razu widać że częstotliwość rośnie jak $\\sqrt{F/L}$, co pozwala skonstruować iloraz bez pośrednich obliczeń.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 10.2, max 4 pkt):

- 1 pkt - poprawne wyznaczenie stosunku sił: \\(F_2 = 3F_1\\) (z proporcjonalności sił do wydłużeń)
- 1 pkt - poprawne określenie warunku na najdłuższą falę stojącą: \\(\\lambda = 2L\\) (moda podstawowa)
- 1 pkt - poprawne zbudowanie wyrażenia na iloraz \\(\\dfrac{f_2}{f_1}\\) z uwzględnieniem zmiennego \\(\\mu\\) i \\(\\lambda\\)
- 1 pkt - poprawny wynik numeryczny: \\(\\dfrac{f_2}{f_1} = \\sqrt{\\dfrac{3{,}03}{1{,}03}} \\approx 1{,}72\\)

Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się wynik \\(\\approx 1{,}715\\) lub \\(\\approx 1{,}72\\); ❌ Nie uznaje się pominięcia zmiany $\\mu$ (użycie $\\mu = m/L_0$ zamiast $m/L$)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Informacja do zadania (podana w arkuszu):
$$v = \\sqrt{\\frac{F}{\\mu}}, \\qquad \\mu = \\frac{m}{L}$$
Użyto bezpośrednio w Sposobach 1 i 2.
\n
📖 Karta wzorów CKE - fale stojące:
Warunek rezonansu na strunie obu końcach utwierdzonych: \\(\\lambda_n = \\dfrac{2L}{n}\\), \\(n = 1, 2, 3, \\ldots\\)
Dla najdłuższej fali stojącej: \\(n=1\\), zatem \\(\\lambda_{\\max} = 2L\\).
\n
📖 Prawo Hooke'a (wiedza ogólna, nie z karty wzorów):
\\(F = k \\cdot \\Delta L\\) - kluczowe do wyznaczenia \\(F_2/F_1 = 3\\).
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - wydłużenie vs. długość całkowita: Siły proporcjonalne są do wydłużeń \\(\\Delta L = L - L_0\\), a nie do długości całkowitych \\(L\\)! Błędne użycie \\(F_2/F_1 = L_2/L_1 = 1{,}03/1{,}01\\) to najczęstszy błąd (daje wynik $\\approx 1{,}01$ - nonsens fizyczny).
\n
⚠️ Pułapka 2 - stałe $\\mu$ zamiast zmiennego: Gęstość liniowa \\(\\mu = m/L\\) zmienia się przy rozciąganiu! Użycie \\(\\mu = m/L_0\\) (jak dla wolnej struny) zawyża prędkość i zniekształca wynik. To traci 1 punkt w kluczu CKE.
\n
⚠️ Pułapka 3 - najdłuższa fala to $\\lambda = L$, nie $\\lambda = 2L$: Część uczniów myli warunek na węzły - dla struny utwierdzonej obustronnie moda podstawowa ma POŁOWĘ długości fali równą długości struny, czyli \\(\\lambda = 2L\\), nie \\(\\lambda = L\\).
\n
⚠️ Pułapka 4 - brak redukcji $F_1$, $m$, $L_0$: Przy tworzeniu ilorazu wszystkie wspólne czynniki (masa $m$, $L_0$, siła $F_1$) muszą się skrócić algebraicznie - jeśli uczeń podstawia liczby przed uproszczeniem, ryzykuje błąd arytmetyczny i utratę czytelności rozwiązania.
"}]}