{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/11.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"11.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.1. (0-3)\nNa rysunku przedstawiającym widmo zidentyfikuj jedną z linii widmowych, która\npochodzi od wodoru. Zapisz niezbędne obliczenia, które pozwalają zidentyfikować tę\nlinię. Postaw znak X na zidentyfikowanej linii.\nPrzyjmij do obliczeń:\nℎ≈6,626 ⋅10-34 J ⋅s\n(stała Plancka),\n𝑐≈2,998 ⋅108 m/s\n(wartość prędkości światła w próżni),\n𝑒≈1,602 ⋅10-19 C\n(ładunek elektryczny elementarny),\n𝐸1 ≈-13,61 eV\n(energia stanu podstawowego atomu wodoru).\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu\n[…] i rysunków.\nZdający:\n2.2) (P) interpretuje linie widmowe jako\nprzejścia między poziomami energetycznymi\natomów;\n2.3) (P) opisuje budowę atomu wodoru, stan\npodstawowy i stany wzbudzone.\n11.2) stosuje zależność między energią fotonu\na częstotliwością i długością fali;\n11.3) stosuje zasadę zachowania energii do\nwyznaczenia częstotliwości promieniowania\nemitowanego i absorbowanego przez atomy.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia długości fali fotonu emitowanego podczas przejścia\n𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz podanie poprawnego wyniku liczbowego oraz zaznaczenie\nodpowiadającej linii widmowej na rysunku.\n2 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla przejścia\n𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz zastosowanie wzorów na energie elektronu w atomie wodoru\ndla rozważanych stanów, oraz zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu oraz\nwyrażenie częstotliwości fotonu poprzez długość fali, oraz podstawienie wszystkich\nwartości liczbowych stałych, np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\n-13,61 eV\n9\n--13,61 eV\n4\n= 6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m/s\n𝜆\nLUB\n- poprawna metoda wyprowadzenia wzoru pozwalającego obliczyć długość fali fotonu\nemitowanego podczas przejścia 𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz zapisanie tego wzoru\nw postaci równania, w którym po lewej stronie jest tylko długość fali, np.\n[poprawna metoda] oraz 𝜆𝑛2 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n𝑛2 -1\n22)\nLUB\n- obliczenie energii fotonu emitowanego podczas przejścia 𝑛∈{3,4,5,6} →2\n(wystarczy w eV) oraz zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu (wystarczy\nwzór z częstotliwością) np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\nℎ𝑓32 = -13,61 eV\n9\n--13,61 eV\n4\n≈1,89 eV\n1 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla procesu przejścia\nelektronu z poziomu energetycznego 𝑛∈{3,4,5,6} na poziom 𝑛= 2 oraz\nzastosowanie wzorów na energie elektronu w atomie wodoru dla rozważanych\nstanów, np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\n𝐸3 -𝐸2 = 𝐸𝑓𝑜𝑡 oraz 𝐸2 = 𝐸1\n4 oraz 𝐸3 = 𝐸1\n9\nLUB\n- zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla procesu przejścia\nelektronu z poziomu energetycznego 𝑛∈{3,4,5,6} na poziom 𝑛= 2 oraz\nzastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu oraz wyrażenie częstotliwości fotonu\npoprzez długość fali np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):\n𝐸3 -𝐸2 = ℎ𝑐\n𝜆\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 3 →2. Zgodnie z zasadą\nzachowania energii energia emitowanego fotonu jest równa różnicy energii elektronu\nw atomie wodoru przed i po emisji fotonu:\n𝐸3 -𝐸2 = 𝐸𝑓𝑜𝑡\nSkorzystamy ze wzorów na energię elektronu w atomie wodoru oraz ze wzoru Plancka na\nenergię fotonu oraz ze związku między prędkością światła a długością i częstotliwością fali:\n𝐸1\n32 -𝐸1\n22 = ℎ𝑓32 oraz 𝑐= 𝜆32𝑓32\n𝐸1 ( 1\n32 -1\n22) = ℎ𝑐\n𝜆32\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWyznaczymy długość fali fotonu emitowanego podczas przejścia 3 →2. Przekształcimy\npowyższe wyrażenie, podstawimy wartości stałych fizycznych i wykonamy obliczenia.\n𝜆32 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n32 -1\n22)\n𝜆32 =\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n32 -1\n22)\n≈6,56 ⋅10-7 m ≈656 nm\nSposób 2.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 4 →2.\n[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]\n𝜆42 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n42 -1\n22)\n≈\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n42 -1\n22)\n≈4,86 ⋅10-7 m ≈486 nm\nSposób 3.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 5 →2.\n[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]\n𝜆52 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n52 -1\n22)\n≈\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n52 -1\n22)\n≈4,34 ⋅10-7 m ≈434 nm\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\n400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm\nSposób 4.\nZidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 6 →2.\n[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]\n𝜆62 =\nℎ𝑐\n𝐸1 ( 1\n62 -1\n22)\n≈\n6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m\ns\n-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1\n62 -1\n22)\n≈4,10 ⋅10-7 m ≈410 nm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\nKażda z czterech linii Balmera odpowiada emisji wodoru - uczeń wybiera **jedną** i stawia X:\n\n| Przejście | Obliczona \\(\\lambda\\) | Kolor |\n| \\(n=3 \\to 2\\) | **656 nm** | czerwona |\n| \\(n=4 \\to 2\\) | **486 nm** | niebiesko-zielona |\n| \\(n=5 \\to 2\\) | **434 nm** | fioletowa |\n| \\(n=6 \\to 2\\) | **410 nm** | fioletowa |\n\nZnak X stawiamy na linii o jednej z powyższych długości fali - **najłatwiej rozpoznać 656 nm** (wyraźna czerwona linia H-α, daleka od klastra helowego).\n\n## Sposób 1 - Obliczenie \\(\\lambda\\) z poziomów energetycznych atomu wodoru\n\n**Krok 1 - Energia poziomu n-tego:**\n\n\\[\nE_n = \\frac{E_1}{n^2}\n\\]\n\nWartości:\n\n| \\(n\\) | \\(E_n = E_1/n^2\\) |\n| 2 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{4} = -3{,}4025\\ \\text{eV}\\) |\n| 3 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{9} = -1{,}512\\ \\text{eV}\\) |\n| 4 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{16} = -0{,}8506\\ \\text{eV}\\) |\n| 5 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{25} = -0{,}5444\\ \\text{eV}\\) |\n| 6 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{36} = -0{,}3781\\ \\text{eV}\\) |\n\n**Krok 2 - Energia fotonu emitowanego przy przeskoku \\(n \\to 2\\):**\n\nElektron spada z poziomu wyższego (mniej ujemnego) na poziom 2. Energia fotonu to **różnica energii poziomów**:\n\n\\[\nE_\\text{foton} = E_n - E_2 = E_1\\!\\left(\\frac{1}{n^2} - \\frac{1}{4}\\right) \\cdot (-1) = -E_1\\!\\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{n^2}\\right)\n\\]\n\n(Wynik jest dodatni, bo \\(E_1 < 0\\) i \\(\\tfrac{1}{4} > \\tfrac{1}{n^2}\\) dla \\(n > 2\\).)\n\n**Obliczenia dla wszystkich czterech przejść:**\n\n**\\(n=3 \\to 2\\) (linia H-α):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-5}{36}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 5}{36} \\approx 1{,}890\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} = 1{,}890 \\times 1{,}602 \\times 10^{-19} \\approx 3{,}028 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{hc}{E} = \\frac{6{,}626 \\times 10^{-34} \\times 2{,}998 \\times 10^8}{3{,}028 \\times 10^{-19}} = \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{3{,}028 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{6{,}56 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 656\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**\\(n=4 \\to 2\\) (linia H-β):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{16} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-3}{16}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 3}{16} \\approx 2{,}552\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} = 2{,}552 \\times 1{,}602 \\times 10^{-19} \\approx 4{,}088 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}088 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}86 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 486\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**\\(n=5 \\to 2\\) (linia H-γ):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{25} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-21}{100}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 21}{100} \\approx 2{,}858\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} \\approx 4{,}578 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda \\approx \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}578 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}34 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 434\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**\\(n=6 \\to 2\\) (linia H-δ):**\n\n\\[\nE_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{36} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-8}{36}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 8}{36} \\approx 3{,}024\\ \\text{eV}\n\\]\n\n\\[\nE_\\text{foton} \\approx 4{,}844 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda \\approx \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}844 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}10 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 410\\ \\text{nm}}\n\\]\n\n**Wniosek:** Obliczone długości fal - 656, 486, 434 i 410 nm - to **serie Balmera** atomu wodoru. Każda z nich odpowiada jednej linii na widmie. Stawiamy X np. na linii **656 nm** (najłatwiejsza identyfikacja - jedyna wyraźna linia w czerwonej części widma).\n\n## Sposób 2 - Wzór Rydberga (sprawdzenie wyników)\n\nAlternatywna formuła łącząca bezpośrednio długość fali z numerami poziomów:\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda} = R_H \\left(\\frac{1}{n_{\\text{dol}}^2} - \\frac{1}{n_{\\text{gór}}^2}\\right) \\quad \\text{gdzie } R_H = \\frac{m_e e^4}{8 \\varepsilon_0^2 h^3 c} \\approx 1{,}097 \\times 10^7\\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\nDla \\(n_\\text{dol} = 2,\\ n_\\text{gór} = 3\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{\\lambda} = 1{,}097 \\times 10^7 \\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{9}\\right) = 1{,}097 \\times 10^7 \\cdot \\frac{5}{36} = 1{,}524 \\times 10^6\\ \\text{m}^{-1}\n\\]\n\n\\[\n\\lambda = \\frac{1}{1{,}524 \\times 10^6} \\approx 6{,}56 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 656\\ \\text{nm}\\ ✓\n\\]\n\n> **Uwaga do egzaminu:** Wzór Rydberga **nie jest wprost podany w karcie wzorów EM2023** - na maturze bezpieczniej używać Sposobu 1 z danymi \\(E_1\\) i stałymi \\(h, c, e\\), które są podane wprost w treści zadania.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 11.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń zapisuje poprawny wzór na energię fotonu jako różnicę energii poziomów: \\(E_\\text{foton} = E_n - E_2\\) (lub równoważnie) oraz wzór \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń przeprowadza poprawne obliczenie numeryczne długości fali dla co najmniej jednej linii widmowej wodoru, uzyskując wynik zgodny z tabelą Balmera (400-700 nm)\n> - **1 pkt** - uczeń stawia znak X na linii widmowej o długości fali zgodnej z obliczoną wartością (z tolerancją odczytu z wykresu)\n>\n> **Akceptowane warianty:** każde z czterech przejść (n=3,4,5,6 → n=2); wynik zaokrąglony do 3 cyfr znaczących\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się postawienia X bez wyraźnego obliczenia identyfikującego linię / ❌ Nie uznaje się wyniku \\(\\lambda\\) poza zakresem 400-700 nm (przejścia inne niż Balmera)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):**\n> - Energia poziomu atomu wodoru: \\(E_n = E_1/n^2\\), gdzie \\(E_1 = -13{,}6\\ \\text{eV}\\)\n> - Energia fotonu: \\(E = hf = hc/\\lambda\\) → stąd \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)\n> - Stałe \\(h\\), \\(c\\), \\(e\\) podane są wprost w treści zadania (nie trzeba szukać ich w karcie)\n\nUżywamy kolejno: **wzoru na \\(E_n\\)** → obliczamy \\(E_\\text{foton}\\) → podstawiamy do **\\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)**.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Energia \\(E_1 = -13{,}61\\ \\text{eV}\\) jest **ujemna** - pamiętaj, że \\(E_\\text{foton} = E_n - E_2\\), a wynik wychodzi dodatni dzięki temu, że \\(E_n > E_2\\) (poziom wyższy = mniej ujemny). Błąd znaku to najczęstsze potknięcie!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\lambda = hc/E\\) wymaga energii w **dżulach**, nie elektronowoltach - przelicz: \\(E\\ [\\text{J}] = E\\ [\\text{eV}] \\times 1{,}602 \\times 10^{-19}\\). Pominięcie tego kroku daje wynik o 19 rzędów za mały.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Widmo helu ma swoje linie w podobnych miejscach (np. żółta linia He w okolicach 587 nm). Nie należy \"na oko\" wskazywać linii wodoru - **obliczenie jest obowiązkowe** i dopiero ono identyfikuje, która linia należy do H.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Linia H-α (656 nm) jest strategicznie najlepsza do identyfikacji, bo jest jedyna w czerwonej części widma (>600 nm) - helowe linie w tej okolicy są słabsze lub nieobecne w zakresie 400-700 nm.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-11.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 11.1. (0-3)
Na rysunku przedstawiającym widmo zidentyfikuj jedną z linii widmowych, która
pochodzi od wodoru. Zapisz niezbędne obliczenia, które pozwalają zidentyfikować tę
linię. Postaw znak X na zidentyfikowanej linii.
Przyjmij do obliczeń:
ℎ≈6,626 ⋅10-34 J ⋅s
(stała Plancka),
𝑐≈2,998 ⋅108 m/s
(wartość prędkości światła w próżni),
𝑒≈1,602 ⋅10-19 C
(ładunek elektryczny elementarny),
𝐸1 ≈-13,61 eV
(energia stanu podstawowego atomu wodoru).
400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 11.1. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu
[…] i rysunków.
Zdający:
2.2) (P) interpretuje linie widmowe jako
przejścia między poziomami energetycznymi
atomów;
2.3) (P) opisuje budowę atomu wodoru, stan
podstawowy i stany wzbudzone.
11.2) stosuje zależność między energią fotonu
a częstotliwością i długością fali;
11.3) stosuje zasadę zachowania energii do
wyznaczenia częstotliwości promieniowania
emitowanego i absorbowanego przez atomy.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia długości fali fotonu emitowanego podczas przejścia
𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz podanie poprawnego wyniku liczbowego oraz zaznaczenie
odpowiadającej linii widmowej na rysunku.
2 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla przejścia
𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz zastosowanie wzorów na energie elektronu w atomie wodoru
dla rozważanych stanów, oraz zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu oraz
wyrażenie częstotliwości fotonu poprzez długość fali, oraz podstawienie wszystkich
wartości liczbowych stałych, np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):
-13,61 eV
9
--13,61 eV
4
= 6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m/s
𝜆
LUB

\n\n

emitowanego podczas przejścia 𝑛∈{3,4,5,6} →2 oraz zapisanie tego wzoru
w postaci równania, w którym po lewej stronie jest tylko długość fali, np.
[poprawna metoda] oraz 𝜆𝑛2 =
ℎ𝑐
𝐸1 ( 1
𝑛2 -1
22)
LUB

\n\n

(wystarczy w eV) oraz zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu (wystarczy
wzór z częstotliwością) np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):
ℎ𝑓32 = -13,61 eV
9
--13,61 eV
4
≈1,89 eV
1 pkt - zastosowanie zasady zachowania energii układu atom-foton dla procesu przejścia
elektronu z poziomu energetycznego 𝑛∈{3,4,5,6} na poziom 𝑛= 2 oraz
zastosowanie wzorów na energie elektronu w atomie wodoru dla rozważanych
stanów, np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):
𝐸3 -𝐸2 = 𝐸𝑓𝑜𝑡 oraz 𝐸2 = 𝐸1
4 oraz 𝐸3 = 𝐸1
9
LUB

\n\n

elektronu z poziomu energetycznego 𝑛∈{3,4,5,6} na poziom 𝑛= 2 oraz
zastosowanie wzoru Plancka na energię fotonu oraz wyrażenie częstotliwości fotonu
poprzez długość fali np. zapisy (lub zapisy równoważne / zapis równoważny):
𝐸3 -𝐸2 = ℎ𝑐
𝜆
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Zidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 3 →2. Zgodnie z zasadą
zachowania energii energia emitowanego fotonu jest równa różnicy energii elektronu
w atomie wodoru przed i po emisji fotonu:
𝐸3 -𝐸2 = 𝐸𝑓𝑜𝑡
Skorzystamy ze wzorów na energię elektronu w atomie wodoru oraz ze wzoru Plancka na
energię fotonu oraz ze związku między prędkością światła a długością i częstotliwością fali:
𝐸1
32 -𝐸1
22 = ℎ𝑓32 oraz 𝑐= 𝜆32𝑓32
𝐸1 ( 1
32 -1

\n
  1. = ℎ𝑐
\n

𝜆32
400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Wyznaczymy długość fali fotonu emitowanego podczas przejścia 3 →2. Przekształcimy
powyższe wyrażenie, podstawimy wartości stałych fizycznych i wykonamy obliczenia.
𝜆32 =
ℎ𝑐
𝐸1 ( 1
32 -1
22)
𝜆32 =
6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m
s
-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1
32 -1
22)
≈6,56 ⋅10-7 m ≈656 nm
Sposób 2.
Zidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 4 →2.
[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]
𝜆42 =
ℎ𝑐
𝐸1 ( 1
42 -1
22)
≈
6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m
s
-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1
42 -1
22)
≈4,86 ⋅10-7 m ≈486 nm
Sposób 3.
Zidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 5 →2.
[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]
𝜆52 =
ℎ𝑐
𝐸1 ( 1
52 -1
22)
≈
6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m
s
-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1
52 -1
22)
≈4,34 ⋅10-7 m ≈434 nm
400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm
400 450 500 550 600 650 700 𝜆, nm
Sposób 4.
Zidentyfikujemy linię widmową, której odpowiada przejście 6 →2.
[Kolejne zapisy rozwiązania są analogiczne do przedstawionych w sposobie 1.]
𝜆62 =
ℎ𝑐
𝐸1 ( 1
62 -1
22)
≈
6,626 ⋅10-34 J ⋅s ⋅2,998 ⋅108 m
s
-13,61 ⋅1,602 ⋅10-19 J ⋅( 1
62 -1
22)
≈4,10 ⋅10-7 m ≈410 nm

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Każda z czterech linii Balmera odpowiada emisji wodoru - uczeń wybiera jedną i stawia X:

\n

| Przejście | Obliczona \\(\\lambda\\) | Kolor |
| \\(n=3 \\to 2\\) | 656 nm | czerwona |
| \\(n=4 \\to 2\\) | 486 nm | niebiesko-zielona |
| \\(n=5 \\to 2\\) | 434 nm | fioletowa |
| \\(n=6 \\to 2\\) | 410 nm | fioletowa |

\n

Znak X stawiamy na linii o jednej z powyższych długości fali - najłatwiej rozpoznać 656 nm (wyraźna czerwona linia H-α, daleka od klastra helowego).

\n

Sposób 1 - Obliczenie \\(\\lambda\\) z poziomów energetycznych atomu wodoru

\n

Krok 1 - Energia poziomu n-tego:

\n

\\[
E_n = \\frac{E_1}{n^2}
\\]

\n

Wartości:

\n

| \\(n\\) | \\(E_n = E_1/n^2\\) |
| 2 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{4} = -3{,}4025\\ \\text{eV}\\) |
| 3 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{9} = -1{,}512\\ \\text{eV}\\) |
| 4 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{16} = -0{,}8506\\ \\text{eV}\\) |
| 5 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{25} = -0{,}5444\\ \\text{eV}\\) |
| 6 | \\(\\dfrac{-13{,}61}{36} = -0{,}3781\\ \\text{eV}\\) |

\n

Krok 2 - Energia fotonu emitowanego przy przeskoku \\(n \\to 2\\):

\n

Elektron spada z poziomu wyższego (mniej ujemnego) na poziom 2. Energia fotonu to różnica energii poziomów:

\n

\\[
E_\\text{foton} = E_n - E_2 = E_1\\!\\left(\\frac{1}{n^2} - \\frac{1}{4}\\right) \\cdot (-1) = -E_1\\!\\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{n^2}\\right)
\\]

\n

(Wynik jest dodatni, bo \\(E_1 < 0\\) i \\(\\tfrac{1}{4} > \\tfrac{1}{n^2}\\) dla \\(n > 2\\).)

\n

Obliczenia dla wszystkich czterech przejść:

\n

\\(n=3 \\to 2\\) (linia H-α):

\n

\\[
E_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{9} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-5}{36}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 5}{36} \\approx 1{,}890\\ \\text{eV}
\\]

\n

\\[
E_\\text{foton} = 1{,}890 \\times 1{,}602 \\times 10^{-19} \\approx 3{,}028 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}
\\]

\n

\\[
\\lambda = \\frac{hc}{E} = \\frac{6{,}626 \\times 10^{-34} \\times 2{,}998 \\times 10^8}{3{,}028 \\times 10^{-19}} = \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{3{,}028 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{6{,}56 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 656\\ \\text{nm}}
\\]

\n

\\(n=4 \\to 2\\) (linia H-β):

\n

\\[
E_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{16} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-3}{16}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 3}{16} \\approx 2{,}552\\ \\text{eV}
\\]

\n

\\[
E_\\text{foton} = 2{,}552 \\times 1{,}602 \\times 10^{-19} \\approx 4{,}088 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}
\\]

\n

\\[
\\lambda = \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}088 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}86 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 486\\ \\text{nm}}
\\]

\n

\\(n=5 \\to 2\\) (linia H-γ):

\n

\\[
E_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{25} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-21}{100}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 21}{100} \\approx 2{,}858\\ \\text{eV}
\\]

\n

\\[
E_\\text{foton} \\approx 4{,}578 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}
\\]

\n

\\[
\\lambda \\approx \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}578 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}34 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 434\\ \\text{nm}}
\\]

\n

\\(n=6 \\to 2\\) (linia H-δ):

\n

\\[
E_\\text{foton} = (-13{,}61)\\!\\left(\\frac{1}{36} - \\frac{1}{4}\\right) = (-13{,}61) \\cdot \\left(\\frac{-8}{36}\\right) = \\frac{13{,}61 \\times 8}{36} \\approx 3{,}024\\ \\text{eV}
\\]

\n

\\[
E_\\text{foton} \\approx 4{,}844 \\times 10^{-19}\\ \\text{J}
\\]

\n

\\[
\\lambda \\approx \\frac{1{,}986 \\times 10^{-25}}{4{,}844 \\times 10^{-19}} \\approx \\boxed{4{,}10 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 410\\ \\text{nm}}
\\]

\n

Wniosek: Obliczone długości fal - 656, 486, 434 i 410 nm - to serie Balmera atomu wodoru. Każda z nich odpowiada jednej linii na widmie. Stawiamy X np. na linii 656 nm (najłatwiejsza identyfikacja - jedyna wyraźna linia w czerwonej części widma).

\n

Sposób 2 - Wzór Rydberga (sprawdzenie wyników)

\n

Alternatywna formuła łącząca bezpośrednio długość fali z numerami poziomów:

\n

\\[
\\frac{1}{\\lambda} = R_H \\left(\\frac{1}{n_{\\text{dol}}^2} - \\frac{1}{n_{\\text{gór}}^2}\\right) \\quad \\text{gdzie } R_H = \\frac{m_e e^4}{8 \\varepsilon_0^2 h^3 c} \\approx 1{,}097 \\times 10^7\\ \\text{m}^{-1}
\\]

\n

Dla \\(n_\\text{dol} = 2,\\ n_\\text{gór} = 3\\):

\n

\\[
\\frac{1}{\\lambda} = 1{,}097 \\times 10^7 \\left(\\frac{1}{4} - \\frac{1}{9}\\right) = 1{,}097 \\times 10^7 \\cdot \\frac{5}{36} = 1{,}524 \\times 10^6\\ \\text{m}^{-1}
\\]

\n

\\[
\\lambda = \\frac{1}{1{,}524 \\times 10^6} \\approx 6{,}56 \\times 10^{-7}\\ \\text{m} = 656\\ \\text{nm}\\ ✓
\\]

\n
Uwaga do egzaminu: Wzór Rydberga nie jest wprost podany w karcie wzorów EM2023 - na maturze bezpieczniej używać Sposobu 1 z danymi \\(E_1\\) i stałymi \\(h, c, e\\), które są podane wprost w treści zadania.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 11.1, max 3 pkt):

- 1 pkt - uczeń zapisuje poprawny wzór na energię fotonu jako różnicę energii poziomów: \\(E_\\text{foton} = E_n - E_2\\) (lub równoważnie) oraz wzór \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)
- 1 pkt - uczeń przeprowadza poprawne obliczenie numeryczne długości fali dla co najmniej jednej linii widmowej wodoru, uzyskując wynik zgodny z tabelą Balmera (400-700 nm)
- 1 pkt - uczeń stawia znak X na linii widmowej o długości fali zgodnej z obliczoną wartością (z tolerancją odczytu z wykresu)

Akceptowane warianty: każde z czterech przejść (n=3,4,5,6 → n=2); wynik zaokrąglony do 3 cyfr znaczących

Uwagi (orientacyjne): ❌ Nie uznaje się postawienia X bez wyraźnego obliczenia identyfikującego linię / ❌ Nie uznaje się wyniku \\(\\lambda\\) poza zakresem 400-700 nm (przejścia inne niż Balmera)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (str. 16-20):
- Energia poziomu atomu wodoru: \\(E_n = E_1/n^2\\), gdzie \\(E_1 = -13{,}6\\ \\text{eV}\\)
- Energia fotonu: \\(E = hf = hc/\\lambda\\) → stąd \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\)
- Stałe \\(h\\), \\(c\\), \\(e\\) podane są wprost w treści zadania (nie trzeba szukać ich w karcie)
\n

Używamy kolejno: wzoru na \\(E_n\\) → obliczamy \\(E_\\text{foton}\\) → podstawiamy do \\(\\lambda = hc/E_\\text{foton}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Energia \\(E_1 = -13{,}61\\ \\text{eV}\\) jest ujemna - pamiętaj, że \\(E_\\text{foton} = E_n - E_2\\), a wynik wychodzi dodatni dzięki temu, że \\(E_n > E_2\\) (poziom wyższy = mniej ujemny). Błąd znaku to najczęstsze potknięcie!
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\lambda = hc/E\\) wymaga energii w dżulach, nie elektronowoltach - przelicz: \\(E\\ [\\text{J}] = E\\ [\\text{eV}] \\times 1{,}602 \\times 10^{-19}\\). Pominięcie tego kroku daje wynik o 19 rzędów za mały.
\n
⚠️ Uwaga: Widmo helu ma swoje linie w podobnych miejscach (np. żółta linia He w okolicach 587 nm). Nie należy "na oko" wskazywać linii wodoru - obliczenie jest obowiązkowe i dopiero ono identyfikuje, która linia należy do H.
\n
⚠️ Uwaga: Linia H-α (656 nm) jest strategicznie najlepsza do identyfikacji, bo jest jedyna w czerwonej części widma (>600 nm) - helowe linie w tej okolicy są słabsze lub nieobecne w zakresie 400-700 nm.
"}]}