{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nW powyższym układzie współrzędnych (𝒕, 𝑹) narysuj wykres zależności 𝑹(𝒕) oraz\nwyznacz czas 𝑻𝟏\n𝟐\npołowicznego rozpadu izotopu ołowiu\n𝐏𝐛\n𝟐𝟏𝟒\nW tym celu zaznacz punkty pomiarowe, a następnie wykreśl krzywą ciągłą. Wykres\nnarysuj dla przedziału czasu od 𝒕= 𝟎 do 𝒕= 𝟐𝟗𝟎 𝐦𝐢𝐧. Przedstaw (słownie lub za\npomocą oznaczeń na wykresie) tok rozumowania prowadzący do wyznaczenia 𝑻𝟏\n𝟐.\n0\n200\n400\n600\n800\n1000\n1200\n1400\n1600\n1800\n2000\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n200\n220\n240\n260\n280 t, min\nR\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów […].\nZdający:\n12.2) samodzielnie wykonuje poprawne\nwykresy […].\n3.4) (P) opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu; rysuje wykres\nzależności liczby jąder, które uległy rozpadowi\nod czasu.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz poprawne narysowanie\nwykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej) oraz stwierdzenie na\npodstawie wykresu (lub po prostu zaznaczenie na wykresie), że połowa z liczby\njąder, które się rozpadły, jest równa 1000 oraz poprawne odczytanie z wykresu\nargumentu dla wartości 1000 i zapisanie wyniku mieszczącego się w przedziale od\n𝑇1\n2 = 26 min do 𝑇1\n2 = 30 min.\n2 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz poprawne narysowanie\nwykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej) oraz stwierdzenie na\npodstawie wykresu, że połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000\nLUB\n- stwierdzenie na podstawie wyników podanych w tabeli (bez narysowania wykresu),\nże połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000 oraz oszacowanie\nliniowe (np. za pomocą proporcji) na podstawie pierwszego punktu pomiarowego\ntabeli, że 𝑇1\n2 ≈31 min, np. zapisy (lub zapisy równoważne)\n1275\n40\n= 1000\n𝑥\n→ 𝑥= 𝑇1\n2\n= 31 min\nLUB\n- poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz niepoprawne\nnarysowanie wykresu w postaci krzywej łamanej (składającej się fragmentami\nz odcinków) oraz oszacowanie na podstawie sporządzonego wykresu czasu\npołowicznego rozpadu.\n1 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres (co najmniej siedmiu) oraz\npoprawne narysowanie wykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej)\nLUB\n- stwierdzenie na podstawie wyników podanych w tabeli (bez narysowania wykresu),\nże połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nJeżeli zdający narysuje wykres w postaci krzywej ciągłej gładkiej, przechodzącej przez\nwszystkie punkty pomiarowe, i na podstawie tej krzywej odczyta czas połowicznego rozpadu,\nktóry nieznacznie wychodzi poza przedział [26 min, 30 min], to otrzymuje maksymalną liczbę\npunktów.\nPoprawne rozwiązanie\nZ wykresu wynika, że liczba wszystkich jąder, które uległy rozpadowi jest równa 2000.\nPo czasie 𝑡= 𝑇1\n2\n- równym czasowi połowicznego rozpadu - od chwili 𝑡= 0 rozpadnie się\n1000 jąder. Odczytamy z wykresu argument 𝑡, dla którego funkcja 𝑅(𝑡) przyjmuje wartość\n1000:\n𝑡= 𝑇1\n2\n≈27 min\n0\n200\n400\n600\n800\n1000\n1200\n1400\n1600\n1800\n2000\n0\n20\n40\n60\n80\n100\n120\n140\n160\n180\n200\n220\n240\n260\n280\nt, min\nR\n27\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Czas połowicznego rozpadu:** \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\)\n\n(akceptowany zakres orientacyjnie (brak oficjalnego klucza w serwisie): ok. \\(26{-}28\\ \\text{min}\\); wartość tablicowa dla \\(^{214}\\text{Pb}\\): \\(26{,}8\\ \\text{min}\\))\n\n## Sposób 1 - Wyznaczenie \\(T_{1/2}\\) z wykresu R(t): odczyt przy \\(R = R_{\\max}/2\\)\n\n### Krok 1 - Zaznacz punkty pomiarowe i narysuj krzywą\n\nNanosimy 8 punktów \\((t,\\ R)\\) zgodnie z tabelą, a następnie przeprowadzamy **gładką krzywą nasycenia** (nie łamaną!):\n\n| \\(t\\) (min) | 0 | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 |\n| \\(R\\) | 0 | 1275 | 1749 | 1903 | 1966 | 1986 | 1996 | 1998 |\n\nKrzywa ma charakter nasyceniowy - rośnie szybko, potem coraz wolniej, **asymptotycznie dąży do \\(R_{\\max} \\approx 2000\\)**.\n\n### Krok 2 - Zidentyfikuj \\(R_{\\max}\\)\n\nZ tabeli widać, że \\(R\\) coraz wolniej rośnie i \"siada\" przy \\(R_{\\max} \\approx 2000\\). Fizycznie: **skończyły się jądra do rozpadnięcia** - detektor zliczył łącznie wszystkie \\(N_0\\) rozpadów. Zatem:\n\n\\[\nR_{\\max} = N_0 \\approx 2000\n\\]\n\n### Krok 3 - Warunek połowicznego rozpadu\n\nW chwili \\(T_{1/2}\\) połowa wszystkich jąder już się rozpadła. Liczba zliczonych cząstek β⁻ wynosi wtedy dokładnie połowę całkowitej:\n\n\\[\nR(T_{1/2}) = \\frac{R_{\\max}}{2} = \\frac{2000}{2} = 1000\n\\]\n\n> 📋 **Oznaczenie na wykresie:** Zaznaczamy poziomą linię \\(R = 1000\\), przecina ona krzywą w punkcie - rzut na oś \\(t\\) daje \\(T_{1/2}\\).\n\n### Krok 4 - Odczyt z wykresu\n\nZ interpolacji krzywej (między \\(t=0\\), \\(R=0\\) a \\(t=40\\), \\(R=1275\\)) przy \\(R=1000\\):\n\n\\[\n\\boxed{T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Obliczeniowe wyznaczenie \\(\\lambda\\) z danych tabelarycznych (weryfikacja)\n\nKorzystamy ze wzoru na **skumulowaną liczbę rozpadów**:\n\n\\[\nR(t) = N_0\\bigl(1 - e^{-\\lambda t}\\bigr) = R_{\\max}\\bigl(1 - e^{-\\lambda t}\\bigr)\n\\]\n\nPodstawiamy punkt \\(t = 40\\ \\text{min},\\ R = 1275,\\ R_{\\max} = 2000\\):\n\n\\[\n1275 = 2000\\bigl(1 - e^{-40\\lambda}\\bigr)\n\\]\n\\[\ne^{-40\\lambda} = 1 - \\frac{1275}{2000} = 0{,}3625\n\\]\n\\[\n\\lambda = \\frac{-\\ln(0{,}3625)}{40} = \\frac{1{,}015}{40} \\approx 0{,}02538\\ \\text{min}^{-1}\n\\]\n\nStąd czas połowicznego rozpadu:\n\n\\[\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} = \\frac{0{,}6931}{0{,}02538} \\approx \\mathbf{27{,}3\\ \\text{min}}\n\\]\n\n**Weryfikacja z innymi punktami:**\n\n| \\(t\\) (min) | \\(R\\) obliczone | \\(R\\) zmierzone | Zgodność |\n| 80 | \\(2000(1-e^{-2{,}03}) \\approx 1737\\) | 1749 | ✅ |\n| 120 | \\(2000(1-e^{-3{,}05}) \\approx 1905\\) | 1903 | ✅ |\n| 200 | \\(2000(1-e^{-5{,}08}) \\approx 1988\\) | 1986 | ✅ |\n\nDoskonała zgodność potwierdza, że model jest poprawny i \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\).\n\n## Sposób 3 - Linearyzacja: wykres \\(\\ln N(t)\\) vs \\(t\\) (metoda graficzna)\n\n**Idea:** Liczba nierozpadłych jąder maleje eksponencjalnie:\n\\[\nN(t) = N_0 - R(t) \\qquad \\Rightarrow \\qquad \\ln N(t) = \\ln N_0 - \\lambda t\n\\]\n\nObliczamy \\(N(t) = 2000 - R(t)\\):\n\n| \\(t\\) (min) | \\(N = 2000 - R\\) | \\(\\ln N\\) |\n| 0 | 2000 | 7,601 |\n| 40 | 725 | 6,586 |\n| 80 | 251 | 5,525 |\n| 120 | 97 | 4,575 |\n| 160 | 34 | 3,526 |\n| 200 | 14 | 2,639 |\n| 240 | 4 | 1,386 |\n| 280 | 2 | 0,693 |\n\nWykres \\(\\ln N\\) vs \\(t\\) daje **prostą** - nachylenie to \\(-\\lambda\\):\n\n\\[\n\\lambda = -\\frac{\\Delta(\\ln N)}{\\Delta t} = -\\frac{0{,}693 - 7{,}601}{280 - 0} = \\frac{6{,}908}{280} \\approx 0{,}02467\\ \\text{min}^{-1}\n\\]\n\n\\[\nT_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{0{,}02467} \\approx \\mathbf{28{,}1\\ \\text{min}}\n\\]\n\n> Drobna różnica (27 vs 28 min) wynika z błędu odczytu \\(R_{\\max}\\) - gdyby wziąć \\(R_{\\max} = 2000\\) jako dokładną, wyniki zbiegają do \\(\\approx 27\\) min.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zaznaczył punkty pomiarowe i narysował gładką krzywą nasyceniową (nie łamaną!) przechodzącą przez wszystkie lub większość punktów, dochodzącą asymptotycznie do \\(R_{\\max} \\approx 2000\\)\n> - **1 pkt** - uczeń przedstawił poprawny tok rozumowania prowadzący do wyznaczenia \\(T_{1/2}\\): wskazanie \\(R_{\\max}\\) (lub \\(N_0\\)), wyznaczenie chwili gdy \\(R = R_{\\max}/2\\) (lub \\(N = N_0/2\\)); tok rozumowania może być słowny lub zaznaczony na wykresie (linie pomocnicze)\n> - **1 pkt** - uczeń podał wynik \\(T_{1/2}\\) zgodny z narysowanym wykresem, w przybliżeniu \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\) (zakres akceptowany: \\(26{-}28\\ \\text{min}\\))\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):**\n> ✅ Dopuszcza się tok rozumowania zapisany słownie lub graficznie (linie pomocnicze na wykresie)\n> ✅ Akceptuje się \\(T_{1/2}\\) odczytane z wykresu z dokładnością \\(\\pm 2\\ \\text{min}\\)\n> ❌ Nie uznaje się wykresu łamanego (bez interpolacji między punktami) jako poprawnej krzywej\n> ❌ Nie uznaje się wyniku bez pokazania toku rozumowania (samo podanie liczby bez kontekstu)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Jądrowa:**\n>\n> \\[\n> N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}, \\qquad T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}, \\qquad \\lambda T_{1/2} = \\ln 2\n> \\]\n>\n> Używamy w Sposobie 2 (wyznaczenie \\(\\lambda\\)) i Sposobie 3 (linearyzacja).\n>\n> **Związek z cumulative count:** wzór \\(R(t) = N_0(1 - e^{-\\lambda t})\\) to **NIE jest** wprost z karty - wyprowadzamy go z \\(R(t) = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 e^{-\\lambda t}\\). Karta daje blok na \\(N(t)\\), my go uzupełniamy.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - rysowanie **łamanej** zamiast gładkiej krzywej. CKE tego nie uzna! Krzywa musi być płynna i asymptotycznie \"siadać\" przy \\(R_{\\max} = 2000\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(R_{\\max}\\) to **N₀, nie jakaś losowa liczba** - fizycznie to sumaryczna liczba jąder w próbce. Bez jej zidentyfikowania nie można wyznaczyć \\(T_{1/2}\\). Bez tego toku - **brak 1 punktu za rozumowanie**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyznaczamy \\(T_{1/2}\\) przy \\(R = R_{\\max}/2 = 1000\\), **nie** przy \\(t\\), dla którego \\(R\\) jest największe (to błąd interpretacji - \\(R\\) cały czas rośnie, nie ma maksimum!).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Czas \\(T_{1/2}\\) wypada **przed** pierwszym punktem pomiarowym (\\(t=40\\) min) - trzeba go odczytać z przedłużenia krzywej wstecz lub z interpolacji. Wielu uczniów błędnie szuka \\(T_{1/2}\\) \"między punktami\" i odczytuje \\(t=40\\) jako wynik.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.1. (0-3)
W powyższym układzie współrzędnych (𝒕, 𝑹) narysuj wykres zależności 𝑹(𝒕) oraz
wyznacz czas 𝑻𝟏
𝟐
połowicznego rozpadu izotopu ołowiu
𝐏𝐛
𝟐𝟏𝟒
W tym celu zaznacz punkty pomiarowe, a następnie wykreśl krzywą ciągłą. Wykres
narysuj dla przedziału czasu od 𝒕= 𝟎 do 𝒕= 𝟐𝟗𝟎 𝐦𝐢𝐧. Przedstaw (słownie lub za
pomocą oznaczeń na wykresie) tok rozumowania prowadzący do wyznaczenia 𝑻𝟏
𝟐.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280 t, min
R
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12.1. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Planowanie i wykonywanie prostych
doświadczeń i analiza ich wyników.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów […].
Zdający:
12.2) samodzielnie wykonuje poprawne
wykresy […].
3.4) (P) opisuje rozpad izotopu
promieniotwórczego, posługując się pojęciem
czasu połowicznego rozpadu; rysuje wykres
zależności liczby jąder, które uległy rozpadowi
od czasu.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz poprawne narysowanie
wykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej) oraz stwierdzenie na
podstawie wykresu (lub po prostu zaznaczenie na wykresie), że połowa z liczby
jąder, które się rozpadły, jest równa 1000 oraz poprawne odczytanie z wykresu
argumentu dla wartości 1000 i zapisanie wyniku mieszczącego się w przedziale od
𝑇1
2 = 26 min do 𝑇1
2 = 30 min.
2 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres oraz poprawne narysowanie
wykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej) oraz stwierdzenie na
podstawie wykresu, że połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000
LUB

\n\n

że połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000 oraz oszacowanie
liniowe (np. za pomocą proporcji) na podstawie pierwszego punktu pomiarowego
tabeli, że 𝑇1
2 ≈31 min, np. zapisy (lub zapisy równoważne)
1275
40
= 1000
𝑥
→ 𝑥= 𝑇1
2
= 31 min
LUB

\n\n

narysowanie wykresu w postaci krzywej łamanej (składającej się fragmentami
z odcinków) oraz oszacowanie na podstawie sporządzonego wykresu czasu
połowicznego rozpadu.
1 pkt - poprawne naniesienie punktów pomiarowych na wykres (co najmniej siedmiu) oraz
poprawne narysowanie wykresu funkcji 𝑅(𝑡) (w postaci gładkiej krzywej ciągłej)
LUB

\n\n

że połowa z liczby jąder, które się rozpadły, jest równa 1000.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa
Jeżeli zdający narysuje wykres w postaci krzywej ciągłej gładkiej, przechodzącej przez
wszystkie punkty pomiarowe, i na podstawie tej krzywej odczyta czas połowicznego rozpadu,
który nieznacznie wychodzi poza przedział [26 min, 30 min], to otrzymuje maksymalną liczbę
punktów.
Poprawne rozwiązanie
Z wykresu wynika, że liczba wszystkich jąder, które uległy rozpadowi jest równa 2000.
Po czasie 𝑡= 𝑇1
2

\n\n

1000 jąder. Odczytamy z wykresu argument 𝑡, dla którego funkcja 𝑅(𝑡) przyjmuje wartość
1000:
𝑡= 𝑇1
2
≈27 min
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
t, min
R
27
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Czas połowicznego rozpadu: \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\)

\n

(akceptowany zakres orientacyjnie (brak oficjalnego klucza w serwisie): ok. \\(26{-}28\\ \\text{min}\\); wartość tablicowa dla \\(^{214}\\text{Pb}\\): \\(26{,}8\\ \\text{min}\\))

\n

Sposób 1 - Wyznaczenie \\(T_{1/2}\\) z wykresu R(t): odczyt przy \\(R = R_{\\max}/2\\)

\n
Krok 1 - Zaznacz punkty pomiarowe i narysuj krzywą
\n

Nanosimy 8 punktów \\((t,\\ R)\\) zgodnie z tabelą, a następnie przeprowadzamy gładką krzywą nasycenia (nie łamaną!):

\n

| \\(t\\) (min) | 0 | 40 | 80 | 120 | 160 | 200 | 240 | 280 |
| \\(R\\) | 0 | 1275 | 1749 | 1903 | 1966 | 1986 | 1996 | 1998 |

\n

Krzywa ma charakter nasyceniowy - rośnie szybko, potem coraz wolniej, asymptotycznie dąży do \\(R_{\\max} \\approx 2000\\).

\n
Krok 2 - Zidentyfikuj \\(R_{\\max}\\)
\n

Z tabeli widać, że \\(R\\) coraz wolniej rośnie i "siada" przy \\(R_{\\max} \\approx 2000\\). Fizycznie: skończyły się jądra do rozpadnięcia - detektor zliczył łącznie wszystkie \\(N_0\\) rozpadów. Zatem:

\n

\\[
R_{\\max} = N_0 \\approx 2000
\\]

\n
Krok 3 - Warunek połowicznego rozpadu
\n

W chwili \\(T_{1/2}\\) połowa wszystkich jąder już się rozpadła. Liczba zliczonych cząstek β⁻ wynosi wtedy dokładnie połowę całkowitej:

\n

\\[
R(T_{1/2}) = \\frac{R_{\\max}}{2} = \\frac{2000}{2} = 1000
\\]

\n
📋 Oznaczenie na wykresie: Zaznaczamy poziomą linię \\(R = 1000\\), przecina ona krzywą w punkcie - rzut na oś \\(t\\) daje \\(T_{1/2}\\).
\n
Krok 4 - Odczyt z wykresu
\n

Z interpolacji krzywej (między \\(t=0\\), \\(R=0\\) a \\(t=40\\), \\(R=1275\\)) przy \\(R=1000\\):

\n

\\[
\\boxed{T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}}
\\]

\n

Sposób 2 - Obliczeniowe wyznaczenie \\(\\lambda\\) z danych tabelarycznych (weryfikacja)

\n

Korzystamy ze wzoru na skumulowaną liczbę rozpadów:

\n

\\[
R(t) = N_0\\bigl(1 - e^{-\\lambda t}\\bigr) = R_{\\max}\\bigl(1 - e^{-\\lambda t}\\bigr)
\\]

\n

Podstawiamy punkt \\(t = 40\\ \\text{min},\\ R = 1275,\\ R_{\\max} = 2000\\):

\n

\\[
1275 = 2000\\bigl(1 - e^{-40\\lambda}\\bigr)
\\]
\\[
e^{-40\\lambda} = 1 - \\frac{1275}{2000} = 0{,}3625
\\]
\\[
\\lambda = \\frac{-\\ln(0{,}3625)}{40} = \\frac{1{,}015}{40} \\approx 0{,}02538\\ \\text{min}^{-1}
\\]

\n

Stąd czas połowicznego rozpadu:

\n

\\[
T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda} = \\frac{0{,}6931}{0{,}02538} \\approx \\mathbf{27{,}3\\ \\text{min}}
\\]

\n

Weryfikacja z innymi punktami:

\n

| \\(t\\) (min) | \\(R\\) obliczone | \\(R\\) zmierzone | Zgodność |
| 80 | \\(2000(1-e^{-2{,}03}) \\approx 1737\\) | 1749 | ✅ |
| 120 | \\(2000(1-e^{-3{,}05}) \\approx 1905\\) | 1903 | ✅ |
| 200 | \\(2000(1-e^{-5{,}08}) \\approx 1988\\) | 1986 | ✅ |

\n

Doskonała zgodność potwierdza, że model jest poprawny i \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\).

\n

Sposób 3 - Linearyzacja: wykres \\(\\ln N(t)\\) vs \\(t\\) (metoda graficzna)

\n

Idea: Liczba nierozpadłych jąder maleje eksponencjalnie:
\\[
N(t) = N_0 - R(t) \\qquad \\Rightarrow \\qquad \\ln N(t) = \\ln N_0 - \\lambda t
\\]

\n

Obliczamy \\(N(t) = 2000 - R(t)\\):

\n

| \\(t\\) (min) | \\(N = 2000 - R\\) | \\(\\ln N\\) |
| 0 | 2000 | 7,601 |
| 40 | 725 | 6,586 |
| 80 | 251 | 5,525 |
| 120 | 97 | 4,575 |
| 160 | 34 | 3,526 |
| 200 | 14 | 2,639 |
| 240 | 4 | 1,386 |
| 280 | 2 | 0,693 |

\n

Wykres \\(\\ln N\\) vs \\(t\\) daje prostą - nachylenie to \\(-\\lambda\\):

\n

\\[
\\lambda = -\\frac{\\Delta(\\ln N)}{\\Delta t} = -\\frac{0{,}693 - 7{,}601}{280 - 0} = \\frac{6{,}908}{280} \\approx 0{,}02467\\ \\text{min}^{-1}
\\]

\n

\\[
T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{0{,}02467} \\approx \\mathbf{28{,}1\\ \\text{min}}
\\]

\n
Drobna różnica (27 vs 28 min) wynika z błędu odczytu \\(R_{\\max}\\) - gdyby wziąć \\(R_{\\max} = 2000\\) jako dokładną, wyniki zbiegają do \\(\\approx 27\\) min.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.1, max 3 pkt):

- 1 pkt - uczeń poprawnie zaznaczył punkty pomiarowe i narysował gładką krzywą nasyceniową (nie łamaną!) przechodzącą przez wszystkie lub większość punktów, dochodzącą asymptotycznie do \\(R_{\\max} \\approx 2000\\)
- 1 pkt - uczeń przedstawił poprawny tok rozumowania prowadzący do wyznaczenia \\(T_{1/2}\\): wskazanie \\(R_{\\max}\\) (lub \\(N_0\\)), wyznaczenie chwili gdy \\(R = R_{\\max}/2\\) (lub \\(N = N_0/2\\)); tok rozumowania może być słowny lub zaznaczony na wykresie (linie pomocnicze)
- 1 pkt - uczeń podał wynik \\(T_{1/2}\\) zgodny z narysowanym wykresem, w przybliżeniu \\(T_{1/2} \\approx 27\\ \\text{min}\\) (zakres akceptowany: \\(26{-}28\\ \\text{min}\\))

Uwagi (orientacyjne):
✅ Dopuszcza się tok rozumowania zapisany słownie lub graficznie (linie pomocnicze na wykresie)
✅ Akceptuje się \\(T_{1/2}\\) odczytane z wykresu z dokładnością \\(\\pm 2\\ \\text{min}\\)
❌ Nie uznaje się wykresu łamanego (bez interpolacji między punktami) jako poprawnej krzywej
❌ Nie uznaje się wyniku bez pokazania toku rozumowania (samo podanie liczby bez kontekstu)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Jądrowa:

\\[
N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}, \\qquad T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}, \\qquad \\lambda T_{1/2} = \\ln 2
\\]

Używamy w Sposobie 2 (wyznaczenie \\(\\lambda\\)) i Sposobie 3 (linearyzacja).

Związek z cumulative count: wzór \\(R(t) = N_0(1 - e^{-\\lambda t})\\) to NIE jest wprost z karty - wyprowadzamy go z \\(R(t) = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 e^{-\\lambda t}\\). Karta daje blok na \\(N(t)\\), my go uzupełniamy.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - rysowanie łamanej zamiast gładkiej krzywej. CKE tego nie uzna! Krzywa musi być płynna i asymptotycznie "siadać" przy \\(R_{\\max} = 2000\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(R_{\\max}\\) to N₀, nie jakaś losowa liczba - fizycznie to sumaryczna liczba jąder w próbce. Bez jej zidentyfikowania nie można wyznaczyć \\(T_{1/2}\\). Bez tego toku - brak 1 punktu za rozumowanie.
\n
⚠️ Uwaga: Wyznaczamy \\(T_{1/2}\\) przy \\(R = R_{\\max}/2 = 1000\\), nie przy \\(t\\), dla którego \\(R\\) jest największe (to błąd interpretacji - \\(R\\) cały czas rośnie, nie ma maksimum!).
\n
⚠️ Uwaga: Czas \\(T_{1/2}\\) wypada przed pierwszym punktem pomiarowym (\\(t=40\\) min) - trzeba go odczytać z przedłużenia krzywej wstecz lub z interpolacji. Wielu uczniów błędnie szuka \\(T_{1/2}\\) "między punktami" i odczytuje \\(t=40\\) jako wynik.
"}]}