{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/12.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"12.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nŚrednią aktywnością izotopu promieniotwórczego w czasie Δ𝑡 nazwiemy iloraz\n𝐴Δ𝑡= Δ𝑁\nΔ𝑡\ngdzie Δ𝑁 jest liczbą jąder, które uległy rozpadowi (przemianie) w tym czasie.\nOblicz stosunek średniej aktywności badanej próbki w czasie od 𝒕= 𝟏𝟐𝟎 𝐦𝐢𝐧 do\n𝒕= 𝟏𝟔𝟎 𝐦𝐢𝐧 do średniej aktywności badanej próbki w czasie od 𝒕= 𝟎 do 𝒕= 𝟒𝟎 𝐦𝐢𝐧.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.1. 12.2. 12.3.\nMaks. liczba pkt\n3\n2\n1\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Analiza tekstów popularnonaukowych\ni ocena ich treści.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\ntabel, wykresów […].\nZdający:\n12.3) przeprowadza złożone obliczenia\nliczbowe, posługując się kalkulatorem;\n12.4) interpoluje, ocenia orientacyjnie wartość\npośrednią (interpolowaną) między danymi\nw tabeli, także za pomocą wykresu.\n3.4) (P) opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego, posługując się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu […].\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 1. lub 2.)\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu średnich aktywności oraz podanie prawidłowego\nwyniku.\n1 pkt - poprawne obliczenie średniej aktywności w jednym z dwóch przedziałów czasu.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 3.)\n2 pkt - poprawna metoda oszacowania ilorazu średnich aktywności oraz podanie\nprawidłowego wyniku.\n1 pkt - oszacowanie ilorazu aktywności na podstawie prawa zaniku promieniotwórczego\nz wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu tzn. zapisanie wyrażenia\nrównoważnego do:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n= (\n1\n2)\n120\n27\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nZgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabeli średnia aktywność badanej próbki w czasie\nod 𝑡= 120 min do 𝑡= 160 min wynosi:\n𝐴120_160 =\n1966 -1903\n160 min -120 min =\n63\n40 min = 1,575\nmin\nZgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabeli średnia aktywność badanej próbki w czasie\nod 𝑡= 0 do 𝑡= 40 min wynosi:\n𝐴0_40 =\n1275\n40 min -0 min = 1275\n40 min = 31,875\nmin\nObliczymy stosunek średnich aktywności:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n= 1,575\n31,875 ≈0,05\nSposób 2.\nIloraz aktywności średnich obliczymy zgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabelki:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n1966 -1903\n40 min\n1275 -0\n40 min\n63\n40 min\n1275\n40 min\n63\n1275 ≈0,05\nSposób 3. (szacowanie z wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu)\nWykorzystamy fakt, że aktywność pierwiastka promieniotwórczego zmienia się w czasie\nw taki sam sposób, jak zmienia się w czasie liczba jąder pierwiastka promieniotwórczego:\n𝐴(𝑡)\n𝐴0\n= (1\n2)\n𝑡\n𝑇\nŚrednią aktywność w danym przedziale czasu oszacujemy aktywnością w chwili połowy tego\nprzedziału czasowego:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n≈𝐴(140 min)\n𝐴(20 min) ≈(1\n2)\n140 min\n27 min\n: (1\n2)\n20 min\n27 min\n≈(1\n2)\n120\n27\n≈(1\n2)\n4,44\n≈(1\n2)\n4,5\nWynik oszacowaliśmy z nadmiarem, aby obliczyć pierwiastek bez kalkulatora naukowego\nZatem:\n𝐴120_160\n𝐴0_40\n≈(\n1\n2)\n4,5\n= (\n1\n2)\n4\n⋅(\n1\n2)\n1\n2\n1\n16 ⋅√1\n2 ≈0,04","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{1}{8}$$\n\n## Sposób 1 - Bezpośrednie użycie definicji średniej aktywności z prawa rozpadu\n\n**Kluczowa obserwacja:** oba przedziały czasu mają tę samą długość \\(\\Delta t = 40\\ \\text{min}\\). Zatem:\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{\\Delta N_{120-160}/\\Delta t}{\\Delta N_{0-40}/\\Delta t} = \\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}}$$\n\nWystarczy znaleźć, ile jąder rozpadło się w każdym przedziale.\n\n**Dane z wykresu N(t) - odczyt:** Wykres zadania 12 pokazuje, że czas połowicznego rozpadu to \\(T_{1/2} = 40\\ \\text{min}\\).\n\nNiech \\(N_0\\) = liczba jąder w \\(t = 0\\).\n\n| Czas \\(t\\) [min] | Liczba połówek | Liczba jąder \\(N(t)\\) |\n| 0 | 0 | \\(N_0\\) |\n| 40 | 1 | \\(\\dfrac{N_0}{2}\\) |\n| 80 | 2 | \\(\\dfrac{N_0}{4}\\) |\n| 120 | 3 | \\(\\dfrac{N_0}{8}\\) |\n| 160 | 4 | \\(\\dfrac{N_0}{16}\\) |\n\n**Liczba rozpadów w przedziale [0, 40 min]:**\n\n$$\\Delta N_{0-40} = N(0) - N(40) = N_0 - \\frac{N_0}{2} = \\frac{N_0}{2}$$\n\n**Liczba rozpadów w przedziale [120, 160 min]:**\n\n$$\\Delta N_{120-160} = N(120) - N(160) = \\frac{N_0}{8} - \\frac{N_0}{16} = \\frac{N_0}{16}$$\n\n**Stosunek:**\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}} = \\frac{N_0/16}{N_0/2} = \\frac{N_0}{16} \\cdot \\frac{2}{N_0} = \\frac{2}{16} = \\boxed{\\frac{1}{8}}$$\n\n## Sposób 2 - Wzór ogólny prawa rozpadu: \\(N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}\\)\n\nAktywność chwilowa: \\(A(t) = \\lambda N(t) = \\lambda N_0 e^{-\\lambda t}\\)\n\nŚrednia aktywność w przedziale \\([t_1, t_2]\\):\n\n$$A_{\\Delta t} = \\frac{\\Delta N}{\\Delta t} = \\frac{N(t_1) - N(t_2)}{t_2 - t_1} = \\frac{N_0\\,e^{-\\lambda t_1}(1 - e^{-\\lambda \\Delta t})}{\\Delta t}$$\n\nPonieważ \\(\\Delta t\\) jest takie samo w obu przypadkach, czynnik \\(\\dfrac{(1 - e^{-\\lambda \\Delta t})}{\\Delta t}\\) się skraca:\n\n$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{N_0\\,e^{-\\lambda \\cdot 120}}{N_0\\,e^{-\\lambda \\cdot 0}} = e^{-\\lambda \\cdot 120}$$\n\nPodstawiamy \\(\\lambda = \\dfrac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\dfrac{\\ln 2}{40\\ \\text{min}}\\):\n\n$$e^{-\\lambda \\cdot 120} = e^{-\\frac{\\ln 2}{40} \\cdot 120} = e^{-3\\ln 2} = \\frac{1}{2^3} = \\frac{1}{8}$$\n\n$$\\boxed{\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{1}{8}}$$\n\n## Sposób 3 - Intuicja \"połówkowa\" (rozumowanie bez wzoru)\n\nPrzedział [0, 40 min] = dokładnie **jeden okres połowicznego rozpadu**.\nW tym czasie rozpada się **połowa** wszystkich jąder istniejących w \\(t = 0\\).\n\nPrzedział [120, 160 min] = dokładnie **jeden okres połowicznego rozpadu** - ale zaczynamy od jąder, które przetrwały 3 okresy \\(T_{1/2}\\).\n\nPo 3 × 40 min = 120 min pozostaje \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}\\) jąder wyjściowych.\n\nW przedziale [120, 160] rozpada się **połowa** z tej reszty, czyli \\(\\dfrac{1}{8} \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot N_0 = \\dfrac{N_0}{16}\\).\n\nPorównując:\n\n$$\\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}} = \\frac{N_0/16}{N_0/2} = \\frac{1}{8}$$\n\n> **Kluczowy wniosek:** skoro oba przedziały mają tę samą długość co \\(T_{1/2}\\), stosunek aktywności = stosunek populacji na początku każdego przedziału = \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.2, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń poprawnie obliczył wartości \\(\\Delta N\\) dla obu przedziałów (lub równoważnie posłużył się wzorem na \\(N(t)\\)) **i** otrzymał poprawny wynik \\(\\dfrac{1}{8}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie wyznaczył \\(\\Delta N\\) dla jednego przedziału lub zastosował poprawną metodę z błędem rachunkowym prowadzącym do niepoprawnego ostatecznego wyniku\n> - **0 pkt** - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań\n> - **Akceptowane warianty:** \\(\\dfrac{1}{8}\\), \\(0{,}125\\), \\(2^{-3}\\)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się odczyt wartości \\(N(t)\\) z wykresu lub obliczenie ze wzoru \\(N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Jądro atomowe:**\n>\n> \\[N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}, \\qquad T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}\\]\n>\n> Użyliśmy w Sposobie 2 do wyrażenia \\(\\Delta N\\) przez \\(\\lambda\\) i \\(T_{1/2}\\).\n>\n> W Sposobach 1 i 3 wystarczył wzór \\(N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}}\\) - równoważny, ale bardziej intuicyjny.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - porównanie aktywności **chwilowej** zamiast **średniej**. Definicja z zadania mówi o \\(\\Delta N / \\Delta t\\) - trzeba liczyć, ile jąder rozpadło się **w całym przedziale**, nie tylko w jednym momencie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie faktu, że \\(\\Delta t\\) się skraca. Wielu uczniów komplikuje obliczenia, podstawiając \\(\\Delta t = 40\\ \\text{min}\\) do licznika i mianownika, nie zauważając, że iloraz daje po prostu \\(\\Delta N_{120-160} / \\Delta N_{0-40}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie \\(\\Delta N\\) (liczba **rozpadów**) z \\(N(t)\\) (liczba **pozostałych** jąder). \\(\\Delta N_{0-40} = N(0) - N(40)\\) - to **różnica**, nie wartość w jednym punkcie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Odpowiedź \\(\\dfrac{1}{4}\\) - typowy błąd przy założeniu, że [120-160] to 2. a nie 4. przedział. Zawsze przelicz: 120 min = 3 × 40 min = **trzy** okresy półrozpadu od \\(t = 0\\).","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-12.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fizyka współczesna","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 12.2. (0-2)
Średnią aktywnością izotopu promieniotwórczego w czasie Δ𝑡 nazwiemy iloraz
𝐴Δ𝑡= Δ𝑁
Δ𝑡
gdzie Δ𝑁 jest liczbą jąder, które uległy rozpadowi (przemianie) w tym czasie.
Oblicz stosunek średniej aktywności badanej próbki w czasie od 𝒕= 𝟏𝟐𝟎 𝐦𝐢𝐧 do
𝒕= 𝟏𝟔𝟎 𝐦𝐢𝐧 do średniej aktywności badanej próbki w czasie od 𝒕= 𝟎 do 𝒕= 𝟒𝟎 𝐦𝐢𝐧.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
12.1. 12.2. 12.3.
Maks. liczba pkt
3
2
1
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 12.2. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Analiza tekstów popularnonaukowych
i ocena ich treści.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
tabel, wykresów […].
Zdający:
12.3) przeprowadza złożone obliczenia
liczbowe, posługując się kalkulatorem;
12.4) interpoluje, ocenia orientacyjnie wartość
pośrednią (interpolowaną) między danymi
w tabeli, także za pomocą wykresu.
3.4) (P) opisuje rozpad izotopu
promieniotwórczego, posługując się pojęciem
czasu połowicznego rozpadu […].
Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 1. lub 2.)
2 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu średnich aktywności oraz podanie prawidłowego
wyniku.
1 pkt - poprawne obliczenie średniej aktywności w jednym z dwóch przedziałów czasu.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 3.)
2 pkt - poprawna metoda oszacowania ilorazu średnich aktywności oraz podanie
prawidłowego wyniku.
1 pkt - oszacowanie ilorazu aktywności na podstawie prawa zaniku promieniotwórczego
z wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu tzn. zapisanie wyrażenia
równoważnego do:
𝐴120_160
𝐴0_40
= (
1
2)
120
27
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Zgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabeli średnia aktywność badanej próbki w czasie
od 𝑡= 120 min do 𝑡= 160 min wynosi:
𝐴120_160 =
1966 -1903
160 min -120 min =
63
40 min = 1,575
min
Zgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabeli średnia aktywność badanej próbki w czasie
od 𝑡= 0 do 𝑡= 40 min wynosi:
𝐴0_40 =
1275
40 min -0 min = 1275
40 min = 31,875
min
Obliczymy stosunek średnich aktywności:
𝐴120_160
𝐴0_40
= 1,575
31,875 ≈0,05
Sposób 2.
Iloraz aktywności średnich obliczymy zgodnie z definicją i danymi odczytanymi z tabelki:
𝐴120_160
𝐴0_40
1966 -1903
40 min
1275 -0
40 min
63
40 min
1275
40 min
63
1275 ≈0,05
Sposób 3. (szacowanie z wykorzystaniem czasu połowicznego rozpadu)
Wykorzystamy fakt, że aktywność pierwiastka promieniotwórczego zmienia się w czasie
w taki sam sposób, jak zmienia się w czasie liczba jąder pierwiastka promieniotwórczego:
𝐴(𝑡)
𝐴0
= (1
2)
𝑡
𝑇
Średnią aktywność w danym przedziale czasu oszacujemy aktywnością w chwili połowy tego
przedziału czasowego:
𝐴120_160
𝐴0_40
≈𝐴(140 min)
𝐴(20 min) ≈(1
2)
140 min
27 min
: (1
2)
20 min
27 min
≈(1
2)
120
27
≈(1
2)
4,44
≈(1
2)
4,5
Wynik oszacowaliśmy z nadmiarem, aby obliczyć pierwiastek bez kalkulatora naukowego
Zatem:
𝐴120_160
𝐴0_40
≈(
1
2)
4,5
= (
1
2)
4
⋅(
1
2)
1
2
1
16 ⋅√1
2 ≈0,04

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{1}{8}$$

\n

Sposób 1 - Bezpośrednie użycie definicji średniej aktywności z prawa rozpadu

\n

Kluczowa obserwacja: oba przedziały czasu mają tę samą długość \\(\\Delta t = 40\\ \\text{min}\\). Zatem:

\n

$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{\\Delta N_{120-160}/\\Delta t}{\\Delta N_{0-40}/\\Delta t} = \\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}}$$

\n

Wystarczy znaleźć, ile jąder rozpadło się w każdym przedziale.

\n

Dane z wykresu N(t) - odczyt: Wykres zadania 12 pokazuje, że czas połowicznego rozpadu to \\(T_{1/2} = 40\\ \\text{min}\\).

\n

Niech \\(N_0\\) = liczba jąder w \\(t = 0\\).

\n

| Czas \\(t\\) [min] | Liczba połówek | Liczba jąder \\(N(t)\\) |
| 0 | 0 | \\(N_0\\) |
| 40 | 1 | \\(\\dfrac{N_0}{2}\\) |
| 80 | 2 | \\(\\dfrac{N_0}{4}\\) |
| 120 | 3 | \\(\\dfrac{N_0}{8}\\) |
| 160 | 4 | \\(\\dfrac{N_0}{16}\\) |

\n

Liczba rozpadów w przedziale [0, 40 min]:

\n

$$\\Delta N_{0-40} = N(0) - N(40) = N_0 - \\frac{N_0}{2} = \\frac{N_0}{2}$$

\n

Liczba rozpadów w przedziale [120, 160 min]:

\n

$$\\Delta N_{120-160} = N(120) - N(160) = \\frac{N_0}{8} - \\frac{N_0}{16} = \\frac{N_0}{16}$$

\n

Stosunek:

\n

$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}} = \\frac{N_0/16}{N_0/2} = \\frac{N_0}{16} \\cdot \\frac{2}{N_0} = \\frac{2}{16} = \\boxed{\\frac{1}{8}}$$

\n

Sposób 2 - Wzór ogólny prawa rozpadu: \\(N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}\\)

\n

Aktywność chwilowa: \\(A(t) = \\lambda N(t) = \\lambda N_0 e^{-\\lambda t}\\)

\n

Średnia aktywność w przedziale \\([t_1, t_2]\\):

\n

$$A_{\\Delta t} = \\frac{\\Delta N}{\\Delta t} = \\frac{N(t_1) - N(t_2)}{t_2 - t_1} = \\frac{N_0\\,e^{-\\lambda t_1}(1 - e^{-\\lambda \\Delta t})}{\\Delta t}$$

\n

Ponieważ \\(\\Delta t\\) jest takie samo w obu przypadkach, czynnik \\(\\dfrac{(1 - e^{-\\lambda \\Delta t})}{\\Delta t}\\) się skraca:

\n

$$\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{N_0\\,e^{-\\lambda \\cdot 120}}{N_0\\,e^{-\\lambda \\cdot 0}} = e^{-\\lambda \\cdot 120}$$

\n

Podstawiamy \\(\\lambda = \\dfrac{\\ln 2}{T_{1/2}} = \\dfrac{\\ln 2}{40\\ \\text{min}}\\):

\n

$$e^{-\\lambda \\cdot 120} = e^{-\\frac{\\ln 2}{40} \\cdot 120} = e^{-3\\ln 2} = \\frac{1}{2^3} = \\frac{1}{8}$$

\n

$$\\boxed{\\frac{A_{120-160}}{A_{0-40}} = \\frac{1}{8}}$$

\n

Sposób 3 - Intuicja "połówkowa" (rozumowanie bez wzoru)

\n

Przedział [0, 40 min] = dokładnie jeden okres połowicznego rozpadu.
W tym czasie rozpada się połowa wszystkich jąder istniejących w \\(t = 0\\).

\n

Przedział [120, 160 min] = dokładnie jeden okres połowicznego rozpadu - ale zaczynamy od jąder, które przetrwały 3 okresy \\(T_{1/2}\\).

\n

Po 3 × 40 min = 120 min pozostaje \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}\\) jąder wyjściowych.

\n

W przedziale [120, 160] rozpada się połowa z tej reszty, czyli \\(\\dfrac{1}{8} \\cdot \\dfrac{1}{2} \\cdot N_0 = \\dfrac{N_0}{16}\\).

\n

Porównując:

\n

$$\\frac{\\Delta N_{120-160}}{\\Delta N_{0-40}} = \\frac{N_0/16}{N_0/2} = \\frac{1}{8}$$

\n
Kluczowy wniosek: skoro oba przedziały mają tę samą długość co \\(T_{1/2}\\), stosunek aktywności = stosunek populacji na początku każdego przedziału = \\(\\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^3 = \\dfrac{1}{8}\\).
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 12.2, max 2 pkt):
- 2 pkt - uczeń poprawnie obliczył wartości \\(\\Delta N\\) dla obu przedziałów (lub równoważnie posłużył się wzorem na \\(N(t)\\)) i otrzymał poprawny wynik \\(\\dfrac{1}{8}\\)
- 1 pkt - uczeń poprawnie wyznaczył \\(\\Delta N\\) dla jednego przedziału lub zastosował poprawną metodę z błędem rachunkowym prowadzącym do niepoprawnego ostatecznego wyniku
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca powyższych wymagań
- Akceptowane warianty: \\(\\dfrac{1}{8}\\), \\(0{,}125\\), \\(2^{-3}\\)
- Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się odczyt wartości \\(N(t)\\) z wykresu lub obliczenie ze wzoru \\(N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}}\\)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Jądro atomowe:

\\[N(t) = N_0 \\cdot e^{-\\lambda t}, \\qquad T_{1/2} = \\frac{\\ln 2}{\\lambda}\\]

Użyliśmy w Sposobie 2 do wyrażenia \\(\\Delta N\\) przez \\(\\lambda\\) i \\(T_{1/2}\\).

W Sposobach 1 i 3 wystarczył wzór \\(N(t) = N_0 \\cdot \\left(\\dfrac{1}{2}\\right)^{t/T_{1/2}}\\) - równoważny, ale bardziej intuicyjny.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - porównanie aktywności chwilowej zamiast średniej. Definicja z zadania mówi o \\(\\Delta N / \\Delta t\\) - trzeba liczyć, ile jąder rozpadło się w całym przedziale, nie tylko w jednym momencie.
\n
⚠️ Uwaga: Pominięcie faktu, że \\(\\Delta t\\) się skraca. Wielu uczniów komplikuje obliczenia, podstawiając \\(\\Delta t = 40\\ \\text{min}\\) do licznika i mianownika, nie zauważając, że iloraz daje po prostu \\(\\Delta N_{120-160} / \\Delta N_{0-40}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie \\(\\Delta N\\) (liczba rozpadów) z \\(N(t)\\) (liczba pozostałych jąder). \\(\\Delta N_{0-40} = N(0) - N(40)\\) - to różnica, nie wartość w jednym punkcie.
\n
⚠️ Uwaga: Odpowiedź \\(\\dfrac{1}{4}\\) - typowy błąd przy założeniu, że [120-160] to 2. a nie 4. przedział. Zawsze przelicz: 120 min = 3 × 40 min = trzy okresy półrozpadu od \\(t = 0\\).
"}]}