Zadanie 3. (0-2)
Kątomierz zawieszono na szpilce w punkcie 𝐴 na tle kartki w kratkę tak, że nie dotyka on
kartki i pozostaje nieruchomy (w układzie inercjalnym, w ziemskim polu grawitacyjnym).
Kątomierz jest jednorodny oraz symetryczny względem swojej osi symetrii (zobacz rysunek).
Na rysunku wyznacz konstrukcyjnie położenie punktu środka masy kątomierza.
Oznacz ten punkt jako 𝑺. Zapisz uzasadnienie kolejnych kroków konstrukcyjnych,
odwołując się do własności bryły sztywnej i warunku równowagi bryły sztywnej.
Rysunek
Uzasadnienie
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
2.
3.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt
𝐴
𝑔Ԧ
EFAP-R0_100
Zadanie 3. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
[…] schematów i rysunków.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
2.3) analizuje równowagę brył sztywnych,
w przypadku gdy siły leżą w jednej
płaszczyźnie (równowaga sił i momentów sił);
2.4) wyznacza położenie środka masy.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna konstrukcja i poprawne uzasadnienie odwołujące się do:
(1) własności jednorodnej bryły sztywnej polegającej na tym, że jej środek masy leży
na osi symetrii
oraz
(2) warunku równowagi bryły sztywnej polegającego na tym, że moment siły
grawitacji musi być równy zero.
1 pkt - poprawna konstrukcja oraz narysowanie i oznaczenie punktu 𝑆 oraz brak
uzasadnienia lub niepełne uzasadnienie.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwagi dodatkowe
punkt 𝑆 leży na osi symetrii oraz faktu, że moment siły grawitacji jest równy zero albo
równoważnie, że ramię siły grawitacji jest równoległe do siły grawitacji:
𝑆 leży na osi symetrii, a moment siły grawitacji jest równy zero.
𝑆 leży na osi symetrii, a ramię siły grawitacji jest równoległe do niej.
siły grawitacji) stwierdzenie:
Układ jest w stanie równowagi, gdy jego energia potencjalna osiąga minimum.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Poprawne rozwiązanie
Konstrukcję na rysunku oznaczono kolorem pomarańczowym.
Przykładowe uzasadnienie
symetrii jednorodnej bryły sztywnej.
\nzero. Moment siły grawitacji względem punktu 𝐴, działający na całą bryłę, jest równy
momentowi siły grawitacji zaczepionej w punkcie 𝑆 środka masy. Moment siły grawitacji
jest równy zero, gdy ramię 𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗ siły grawitacji jest równoległe do siły grawitacji 𝐹⃗𝑔:
𝐹⃗𝑔∥𝐴𝑆⃗⃗⃗⃗⃗⃗
W związku z powyższym narysowano pionową linię przechodzącą przez 𝐴.
(Na bryłę działa ponadto siła reakcji w punkcie zaczepienia. Ramię siły reakcji w punkcie
zaczepienia jest równe zero, zatem moment tej siły również jest równy zero.)
𝐴
𝑔Ԧ
𝑆
Punkt środka masy S leży w miejscu przecięcia dwóch prostych:
\nKątomierz zawieszony w A pozostaje nieruchomy → jest w równowadze statycznej.
\nSiły działające na kątomierz:
\nWarunek równowagi momentów sił względem punktu A:
\n\\[
\\sum \\vec{M}_A = 0
\\]
Moment siły \\(\\vec{N}\\) względem A wynosi zero (ramię = 0). Aby moment siły ciężkości \\(\\vec{G}\\) względem A również wynosił zero, ramię siły ciężkości musi być równe zero - czyli S musi leżeć na przedłużeniu siły \\(\\vec{N}\\), tj. na pionowej prostej przechodzącej przez A.
\n📐 Konstrukcja: Korzystając z kartki w kratkę (kratki tworzą układ ortogonalny, kierunek \\(\\vec{g}\\) = pionowy w dół), rysujemy przez punkt A prostą pionową ↕.\n
Środek masy S leży na tej prostej.
\nKątomierz jest jednorodny (gęstość \\(\\rho = \\text{const}\\)) i symetryczny względem swojej osi symetrii.
\nKażdemu elementowi masy \\(dm\\) leżącemu po jednej stronie osi symetrii odpowiada symetrycznie równoważny element \\(dm\\) po stronie przeciwnej. W rachunku środka masy:
\n\\[
x_S = \\frac{\\int x \\, dm}{m}
\\]
składowe poprzeczne (prostopadłe do osi symetrii) kasują się parami. Zatem środek masy leży dokładnie na osi symetrii kątomierza.
\n📐 Konstrukcja: Oś symetrii kątomierza to prosta prostopadła do linijki (prostej podstawy), przechodząca przez jej środek. Zaznaczamy tę prostą na rysunku.\n
Środek masy S leży na osi symetrii.
\nŚrodek masy musi jednocześnie spełniać oba warunki:
\n\\[
\\boxed{S = \\text{(pionowa przez A)} \\cap \\text{(oś symetrii kątomierza)}}
\\]
Punkt przecięcia tych dwóch prostych to jedyne możliwe położenie środka masy - zaznaczamy go jako S.
\nTo fizyczna weryfikacja metody, stosowana przy każdym wyznaczaniu CM eksperymentalnie.
\nGdybyśmy zawiesili kątomierz w innym punkcie B (np. na drugim końcu linijki), kątomierz ustawiłby się inaczej - pionowa przez B przecięłaby pionową przez A dokładnie w tym samym punkcie S.
\nWynika to z tego, że środek masy bryły sztywnej jest stały we współrzędnych bryły - niezależny od punktu zawieszenia. Dwie pionowe z dwóch różnych zawieszeń muszą przeciąć się w CM.
\nW naszym zadaniu zastępujemy "drugi punkt zawieszenia" osią symetrii - bo dla bryły jednorodnej i symetrycznej, zawieszenie w każdym punkcie na osi symetrii dałoby pionową pokrywającą się z osią symetrii. Wynik jest taki sam: S = przecięcie osi symetrii z pionową przez A.
\nKątomierz = półdysk jednorodny o promieniu R z linijką (prostokątem).
\nDla samego półdysku (bez linijki) środek masy leży na osi symetrii w odległości:
\n\\[
d_{\\text{półdysk}} = \\frac{4R}{3\\pi} \\approx 0{,}424 \\cdot R
\\]
od środka średnicy (w górę, w stronę łuku).
\nDołożenie linijki (prostokąta) przesuwa środek masy w dół (w stronę linijki), bliżej podstawy. Dokładna pozycja zależy od proporcji mas obu części, ale zawsze leży na osi symetrii, między podstawą a wyliczonym \\(d\\).
\nMetoda konstrukacyjna (sposób 1) wyznacza tę pozycję bez znajomości wzoru - co jest jej zaletą na maturze.
\n📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 3, max 2 pkt):\n
- 1 pkt - poprawna konstrukcja: zaznaczona pionowa przez A (lub wyraźnie wynikająca z rysunku) + oś symetrii kątomierza, punkt S oznaczony w ich przecięciu
- 1 pkt - pełne uzasadnienie obu kroków:
- krok 1: odwołanie do warunku równowagi momentów sił → S leży na pionowej przez A
- krok 2: odwołanie do symetrii bryły jednorodnej → S leży na osi symetrii
Akceptowane warianty:
- Różna kolejność kroków (najpierw symetria, potem równowaga) - oba punkty
- Uzasadnienie słowami "moment siły ciężkości względem A = 0 → ciężar działa wzdłuż pionowej przez A" - akceptowane
- "S leży pod A bo kątomierz wisi w równowadze" bez słowa "moment" - może nie zostać uznane (brak odwołania do własności bryły sztywnej)
Uwagi (orientacyjne):
- ❌ Nie uznaje się: samo zaznaczenie S bez uzasadnienia kroków
- ❌ Nie uznaje się: uzasadnienie tylko jednego kroku (np. tylko symetria bez równowagi)
- ✅ Dopuszcza się opis "środek ciężkości" zamiast "środek masy"
📖 Karta wzorów CKE - sekcja Fizyka (str. 16-20):\n
- Warunek równowagi: \\(\\sum \\vec{F} = \\vec{0}\\) oraz \\(\\sum \\vec{M} = \\vec{0}\\)
- Moment siły: \\(M = F \\cdot r\\), gdzie \\(r\\) = ramię (odległość prostopadle do linii działania siły)
Korzystamy z warunku \\(\\sum M_A = 0\\): jedyna siła z niezerowym potencjalnym ramieniem to \\(\\vec{G}\\). Zerowanie momentu \\(\\Rightarrow\\) ramię = 0 \\(\\Rightarrow\\) S pod A.
W tym zadaniu wystarczy znajomość warunku równowagi momentów i definicji osi symetrii - karta wzorów służy tu jako przypomnienie wzoru na moment siły.
\n⚠️ Uwaga: Uczniowie często zaznaczają S "na oko" - np. w geometrycznym środku łuku lub na środku linijki. Bez dwóch prostych konstrukcja jest niekompletna i traci punkt.\n
⚠️ Uwaga: Pionowa przez A to linia równoległa do wektora \\(\\vec{g}\\) (nie prostopadła!). Na kartce w kratkę: pionowe linie kratki mają dokładnie ten kierunek - korzystaj z kratki!\n
⚠️ Uwaga: Uzasadnienie "kątomierz jest symetryczny, więc S leży na osi" bez słowa "jednorodny" jest niekompletne - kątomierz niejednorodny (np. z cięższą linijką) mógłby być symetryczny kształtem, ale mieć S przesuniętym poza oś. Oba warunki - symetria kształtu i jednorodność - są konieczne.\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno mylić "oś symetrii kątomierza" z "pionem przez środek łuku" - gdy kątomierz wisi przekrzywiony (A nie na osi symetrii), oś symetrii NIE jest pionowa. To jest sedno zadania: pionowa przez A ≠ oś symetrii, a ich przecięcie daje S."}]}