{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/4.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"4.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.3. (0-3)\nWyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć v𝒎𝒂𝒙 - wartość prędkości, z jaką kulka opada\nw cieczy ruchem jednostajnym prostoliniowym - w zależności od: promienia kulki 𝑹,\ngęstości cieczy 𝝆𝒄, gęstości kulki 𝝆𝒌, przyśpieszenia ziemskiego 𝒈 oraz stałej 𝑨.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…].\nZdający:\n1.4) (G) opisuje zachowanie się ciał na\npodstawie pierwszej zasady dynamiki\nNewtona;\n1.12) (G) opisuje wpływ oporów ruchu na\nporuszające się ciała.\n3.8) (G) analizuje i porównuje wartości sił\nwyporu dla ciał zanurzonych w cieczy lub\ngazie;\n3.9) (G) wyjaśnia pływanie ciał na podstawie\nprawa Archimedesa.\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na prędkość opadania oraz podanie\nprawidłowej postaci wzoru.\n2 pkt - poprawne zapisanie warunku równowagi sił: grawitacji, oporu i wyporu,\nz uwzględnieniem prawidłowych zwrotów tych sił, oraz zastosowanie wzorów na\nwartości siły wyporu i siły grawitacji oraz zastosowanie związku między masą kulki\na jej objętością i gęstością.\n1 pkt - poprawne zapisanie równania I zasady dynamiki, tzn. zapisanie warunku równowagi\nsił: grawitacji, oporu i wyporu, z uwzględnieniem prawidłowych zwrotów tych sił, np.\nzapis: 𝐹𝑜+ 𝐹𝑤= 𝐹𝑔.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nGdy kulka opada w cieczy ze stała prędkością v𝑚𝑎𝑥, to działające na nią siły: grawitacji,\noporu i wyporu, równoważą się. Siła oporu jest przeciwnie skierowana do prędkości kulki,\nzatem:\n𝐹𝑜+ 𝐹𝑤= 𝐹𝑔\nZastosujemy wzory na wartości siły oporu, siły wyporu i siły grawitacji.\n𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥+ 𝜌𝑐𝑉𝑘𝑔= 𝑚𝑔\nZastosujemy wzór na objętość kuli, związek między masą kulki a jej gęstością i objętością,\na następnie wykonamy odpowiednie przekształcenia.\n𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥+ 𝜌𝑐\n4\n3 𝜋𝑅3 𝑔= 𝜌𝑘\n4\n3 𝜋𝑅3𝑔 → 𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥=\n4\n3 𝜋𝑅3 𝑔(𝜌𝑘-𝜌𝑐)\nv𝑚𝑎𝑥= 4𝜋\n3𝐴𝑅2𝑔(𝜌𝑘-𝜌𝑐)","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[\n\\boxed{v_{max} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}}\n\\]\n\n## Sposób 1 - Równoważenie sił (II zasada Newtona przy ruchu jednostajnym)\n\n**Krok 1 - Identyfikacja sił działających na kulkę.**\n\nKulka opada ruchem jednostajnym prostoliniowym → przyspieszenie = 0 → wypadkowa sił = 0.\n\nTrzy siły wzdłuż osi pionowej (oś \\(y\\), zwrot w dół dodatni):\n\n| Siła | Wzór | Zwrot |\n| Ciężar (grawitacja) | \\(F_g = \\rho_k \\cdot V \\cdot g\\) | ↓ (dodatni) |\n| Wypór Archimedesa | \\(F_w = \\rho_c \\cdot V \\cdot g\\) | ↑ (ujemny) |\n| Opór cieczy (lepkościowy) | \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v_{max}\\) | ↑ (ujemny) |\n\n**Krok 2 - Równanie dynamiczne (II ZN, ruch jednostajny).**\n\n\\[\n\\sum F = 0 \\implies F_g - F_w - F_{op} = 0\n\\]\n\n\\[\n\\rho_k V g - \\rho_c V g - A \\cdot R \\cdot v_{max} = 0\n\\]\n\n**Krok 3 - Wyznaczenie objętości kulki (kula o promieniu \\(R\\)).**\n\n\\[\nV = \\frac{4}{3}\\pi R^3\n\\]\n\n**Krok 4 - Podstawienie i wyłączenie \\(V\\) przed nawias.**\n\n\\[\n(\\rho_k - \\rho_c)\\cdot\\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g = A \\cdot R \\cdot v_{max}\n\\]\n\n**Krok 5 - Wyznaczenie \\(v_{max}\\) - dzielimy obie strony przez \\(A \\cdot R\\).**\n\n\\[\nv_{max} = \\frac{(\\rho_k - \\rho_c)\\cdot\\dfrac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g}{A \\cdot R} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza wymiarowa (weryfikacja poprawności wzoru)\n\nSprawdzamy, czy wymiary obu stron się zgadzają.\n\nLewa strona: \\([v_{max}] = \\text{m/s}\\)\n\nPrawa strona: \\(\\dfrac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\\)\n\nZnamy wymiary:\n- \\([\\rho] = \\text{kg/m}^3\\)\n- \\([g] = \\text{m/s}^2\\)\n- \\([R^2] = \\text{m}^2\\)\n- \\([A \\cdot R \\cdot v] = \\text{N} = \\text{kg·m/s}^2\\) → \\([A] = \\dfrac{\\text{kg·m/s}^2}{\\text{m} \\cdot \\text{m/s}} = \\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}\\)\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\n\\left[\\frac{(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{A}\\right] = \\frac{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot \\dfrac{\\text{m}}{\\text{s}^2} \\cdot \\text{m}^2}{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}} = \\frac{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{m·s}^2}}{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}} = \\frac{\\text{kg}}{\\text{m·s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{1}{\\text{m·s}} \\cdot \\text{s} \\cdot \\frac{\\text{m}}{\\text{m}^0}\n\\]\n\nProściej krok po kroku:\n\n\\[\n= \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{m}^2}{\\text{m}^3 \\cdot \\text{s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m}^3}{\\text{m}^3 \\cdot \\text{s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} \\cdot \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} = \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}\n\\]\n\n**Wymiary się zgadzają** → wzór jest wymiarowo poprawny. ✓\n\n## Sposób 3 - Wyprowadzenie przez jawny schemat sił z opisem fizycznym\n\n**Dlaczego ruch staje się jednostajny?**\n\nKulka zaczyna opadać z \\(v = 0\\). W miarę wzrostu prędkości rośnie siła oporu \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v\\). W pewnym momencie:\n\n\\[\nF_{op} = F_g - F_w \\quad \\Leftrightarrow \\quad A \\cdot R \\cdot v_{max} = (\\rho_k - \\rho_c) \\cdot \\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g\n\\]\n\nKulka osiąga **graniczną prędkość opadania** \\(v_{max}\\) i nie przyspiesza dalej. Z powyższego:\n\n\\[\nv_{max} = \\frac{(\\rho_k - \\rho_c) \\cdot \\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g}{A \\cdot R}\n\\]\n\nSkracamy \\(R\\) z \\(R^3\\):\n\n\\[\nv_{max} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\n\\]\n\n**Wniosek fizyczny:** \\(v_{max} \\propto R^2\\) - kulka dwa razy większa opada **cztery razy szybciej** (jeśli A jest stałe). Wzrost gęstości kulki zwiększa \\(v_{max}\\); wzrost gęstości cieczy (większy wypór) zmniejsza \\(v_{max}\\).\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.3, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - zapisanie równania równowagi sił: \\(F_g - F_w - F_{op} = 0\\) (lub równoważna postać \\(\\rho_k V g = \\rho_c V g + ARv\\))\n> - **1 pkt** - poprawne podstawienie wzoru na objętość kuli \\(V = \\frac{4}{3}\\pi R^3\\)\n> - **1 pkt** - poprawnie wyprowadzony wzór końcowy: \\(v_{max} = \\dfrac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)gR^2}{3A}\\)\n>\n> - **Akceptowane warianty:** \\(v_{max} = \\dfrac{4\\pi gR^2(\\rho_k - \\rho_c)}{3A}\\) - kolejność czynników dowolna\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ❌ Nie uznaje się wzoru bez podstawienia objętości (tzn. odpowiedź z \\(V\\) jako symbolem niewyraźonym przez \\(R\\)); ❌ Nie uznaje się wzoru z błędnym znakiem: np. \\((\\rho_c - \\rho_k)\\) bez wyjaśnienia odwrócenia zwrotu.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE str. 17-18 - Mechanika cieczy:**\n>\n> - **Siła wyporu (prawo Archimedesa):** \\(F_w = \\rho_c \\cdot V \\cdot g\\) - ciśnienie hydrostatyczne i wypór\n> - **Objętość kuli:** \\(V = \\frac{4}{3}\\pi R^3\\) - geometria brył obrotowych\n> - **Siła oporu (prawo Stokesa, tu w postaci uogólnionej):** \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v\\) - dla sfery w cieczy lepkiej stała \\(A = 6\\pi\\eta\\), gdzie \\(\\eta\\) to lepkość dynamiczna [Pa·s]\n>\n> Wyprowadzenie opiera się na **II zasadzie Newtona** dla \\(a = 0\\) (ruch jednostajny) - karta wzorów str. 16 sekcja Dynamika.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapomnienie o sile wyporu - uczniowie piszą tylko \\(F_g = F_{op}\\), pomijając \\(F_w\\). Skutkuje wzorem bez różnicy gęstości: \\(v_{max} = \\frac{4\\pi\\rho_k gR^2}{3A}\\) - **błąd 1 pkt**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nieuproszczenie \\(R^3 / R = R^2\\) - zostaje \\(v_{max} = \\frac{(\\rho_k-\\rho_c)\\frac{4}{3}\\pi R^3 g}{AR}\\) - wzór formalnie poprawny, ale CKE może nie przyznać ostatniego punktu jeśli nie jest w \"najprostszej postaci\". **Zawsze skracaj**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Błędne podstawienie \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\) z \\(r\\) zamiast \\(R\\) - problem z nazewnictwem. Jeśli zadanie daje symbol \\(R\\), używaj konsekwentnie \\(R\\) w całym wyprowadzeniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pominięcie kroku \"ruch jednostajny → \\(\\sum F = 0\\)\" - bez tego zdania wyprowadzenie jest niekompletne (brak uzasadnienia warunku równoważenia sił). **Zawsze napisz jedno zdanie wstępne o warunku ruchu jednostajnego**.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-4.3.webp","solution_image":null,"topics":"Hydrostatyka","page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.3. (0-3)
Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć v𝒎𝒂𝒙 - wartość prędkości, z jaką kulka opada
w cieczy ruchem jednostajnym prostoliniowym - w zależności od: promienia kulki 𝑹,
gęstości cieczy 𝝆𝒄, gęstości kulki 𝝆𝒌, przyśpieszenia ziemskiego 𝒈 oraz stałej 𝑨.

","answer_text_html":"

Zadanie 4.3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
[…].
Zdający:
1.4) (G) opisuje zachowanie się ciał na
podstawie pierwszej zasady dynamiki
Newtona;
1.12) (G) opisuje wpływ oporów ruchu na
poruszające się ciała.
3.8) (G) analizuje i porównuje wartości sił
wyporu dla ciał zanurzonych w cieczy lub
gazie;
3.9) (G) wyjaśnia pływanie ciał na podstawie
prawa Archimedesa.
1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej
zasady dynamiki Newtona.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na prędkość opadania oraz podanie
prawidłowej postaci wzoru.
2 pkt - poprawne zapisanie warunku równowagi sił: grawitacji, oporu i wyporu,
z uwzględnieniem prawidłowych zwrotów tych sił, oraz zastosowanie wzorów na
wartości siły wyporu i siły grawitacji oraz zastosowanie związku między masą kulki
a jej objętością i gęstością.
1 pkt - poprawne zapisanie równania I zasady dynamiki, tzn. zapisanie warunku równowagi
sił: grawitacji, oporu i wyporu, z uwzględnieniem prawidłowych zwrotów tych sił, np.
zapis: 𝐹𝑜+ 𝐹𝑤= 𝐹𝑔.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Gdy kulka opada w cieczy ze stała prędkością v𝑚𝑎𝑥, to działające na nią siły: grawitacji,
oporu i wyporu, równoważą się. Siła oporu jest przeciwnie skierowana do prędkości kulki,
zatem:
𝐹𝑜+ 𝐹𝑤= 𝐹𝑔
Zastosujemy wzory na wartości siły oporu, siły wyporu i siły grawitacji.
𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥+ 𝜌𝑐𝑉𝑘𝑔= 𝑚𝑔
Zastosujemy wzór na objętość kuli, związek między masą kulki a jej gęstością i objętością,
a następnie wykonamy odpowiednie przekształcenia.
𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥+ 𝜌𝑐
4
3 𝜋𝑅3 𝑔= 𝜌𝑘
4
3 𝜋𝑅3𝑔 → 𝐴𝑅v𝑚𝑎𝑥=
4
3 𝜋𝑅3 𝑔(𝜌𝑘-𝜌𝑐)
v𝑚𝑎𝑥= 4𝜋
3𝐴𝑅2𝑔(𝜌𝑘-𝜌𝑐)

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[
\\boxed{v_{max} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}}
\\]

\n

Sposób 1 - Równoważenie sił (II zasada Newtona przy ruchu jednostajnym)

\n

Krok 1 - Identyfikacja sił działających na kulkę.

\n

Kulka opada ruchem jednostajnym prostoliniowym → przyspieszenie = 0 → wypadkowa sił = 0.

\n

Trzy siły wzdłuż osi pionowej (oś \\(y\\), zwrot w dół dodatni):

\n

| Siła | Wzór | Zwrot |
| Ciężar (grawitacja) | \\(F_g = \\rho_k \\cdot V \\cdot g\\) | ↓ (dodatni) |
| Wypór Archimedesa | \\(F_w = \\rho_c \\cdot V \\cdot g\\) | ↑ (ujemny) |
| Opór cieczy (lepkościowy) | \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v_{max}\\) | ↑ (ujemny) |

\n

Krok 2 - Równanie dynamiczne (II ZN, ruch jednostajny).

\n

\\[
\\sum F = 0 \\implies F_g - F_w - F_{op} = 0
\\]

\n

\\[
\\rho_k V g - \\rho_c V g - A \\cdot R \\cdot v_{max} = 0
\\]

\n

Krok 3 - Wyznaczenie objętości kulki (kula o promieniu \\(R\\)).

\n

\\[
V = \\frac{4}{3}\\pi R^3
\\]

\n

Krok 4 - Podstawienie i wyłączenie \\(V\\) przed nawias.

\n

\\[
(\\rho_k - \\rho_c)\\cdot\\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g = A \\cdot R \\cdot v_{max}
\\]

\n

Krok 5 - Wyznaczenie \\(v_{max}\\) - dzielimy obie strony przez \\(A \\cdot R\\).

\n

\\[
v_{max} = \\frac{(\\rho_k - \\rho_c)\\cdot\\dfrac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g}{A \\cdot R} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}
\\]

\n

Sposób 2 - Analiza wymiarowa (weryfikacja poprawności wzoru)

\n

Sprawdzamy, czy wymiary obu stron się zgadzają.

\n

Lewa strona: \\([v_{max}] = \\text{m/s}\\)

\n

Prawa strona: \\(\\dfrac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}\\)

\n

Znamy wymiary:

\n\n

Podstawiamy:

\n

\\[
\\left[\\frac{(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{A}\\right] = \\frac{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{m}^3} \\cdot \\dfrac{\\text{m}}{\\text{s}^2} \\cdot \\text{m}^2}{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}} = \\frac{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{m·s}^2}}{\\dfrac{\\text{kg}}{\\text{s}}} = \\frac{\\text{kg}}{\\text{m·s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{1}{\\text{m·s}} \\cdot \\text{s} \\cdot \\frac{\\text{m}}{\\text{m}^0}
\\]

\n

Prościej krok po kroku:

\n

\\[
= \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m} \\cdot \\text{m}^2}{\\text{m}^3 \\cdot \\text{s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{\\text{kg} \\cdot \\text{m}^3}{\\text{m}^3 \\cdot \\text{s}^2} \\cdot \\frac{\\text{s}}{\\text{kg}} = \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} \\cdot \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot \\text{s} = \\frac{\\text{m}}{\\text{s}}
\\]

\n

Wymiary się zgadzają → wzór jest wymiarowo poprawny. ✓

\n

Sposób 3 - Wyprowadzenie przez jawny schemat sił z opisem fizycznym

\n

Dlaczego ruch staje się jednostajny?

\n

Kulka zaczyna opadać z \\(v = 0\\). W miarę wzrostu prędkości rośnie siła oporu \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v\\). W pewnym momencie:

\n

\\[
F_{op} = F_g - F_w \\quad \\Leftrightarrow \\quad A \\cdot R \\cdot v_{max} = (\\rho_k - \\rho_c) \\cdot \\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g
\\]

\n

Kulka osiąga graniczną prędkość opadania \\(v_{max}\\) i nie przyspiesza dalej. Z powyższego:

\n

\\[
v_{max} = \\frac{(\\rho_k - \\rho_c) \\cdot \\frac{4}{3}\\pi R^3 \\cdot g}{A \\cdot R}
\\]

\n

Skracamy \\(R\\) z \\(R^3\\):

\n

\\[
v_{max} = \\frac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)\\,g\\,R^2}{3A}
\\]

\n

Wniosek fizyczny: \\(v_{max} \\propto R^2\\) - kulka dwa razy większa opada cztery razy szybciej (jeśli A jest stałe). Wzrost gęstości kulki zwiększa \\(v_{max}\\); wzrost gęstości cieczy (większy wypór) zmniejsza \\(v_{max}\\).

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 4.3, max 3 pkt):

- 1 pkt - zapisanie równania równowagi sił: \\(F_g - F_w - F_{op} = 0\\) (lub równoważna postać \\(\\rho_k V g = \\rho_c V g + ARv\\))
- 1 pkt - poprawne podstawienie wzoru na objętość kuli \\(V = \\frac{4}{3}\\pi R^3\\)
- 1 pkt - poprawnie wyprowadzony wzór końcowy: \\(v_{max} = \\dfrac{4\\pi(\\rho_k - \\rho_c)gR^2}{3A}\\)

- Akceptowane warianty: \\(v_{max} = \\dfrac{4\\pi gR^2(\\rho_k - \\rho_c)}{3A}\\) - kolejność czynników dowolna
- Uwagi (orientacyjne): ❌ Nie uznaje się wzoru bez podstawienia objętości (tzn. odpowiedź z \\(V\\) jako symbolem niewyraźonym przez \\(R\\)); ❌ Nie uznaje się wzoru z błędnym znakiem: np. \\((\\rho_c - \\rho_k)\\) bez wyjaśnienia odwrócenia zwrotu.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE str. 17-18 - Mechanika cieczy:

- Siła wyporu (prawo Archimedesa): \\(F_w = \\rho_c \\cdot V \\cdot g\\) - ciśnienie hydrostatyczne i wypór
- Objętość kuli: \\(V = \\frac{4}{3}\\pi R^3\\) - geometria brył obrotowych
- Siła oporu (prawo Stokesa, tu w postaci uogólnionej): \\(F_{op} = A \\cdot R \\cdot v\\) - dla sfery w cieczy lepkiej stała \\(A = 6\\pi\\eta\\), gdzie \\(\\eta\\) to lepkość dynamiczna [Pa·s]

Wyprowadzenie opiera się na II zasadzie Newtona dla \\(a = 0\\) (ruch jednostajny) - karta wzorów str. 16 sekcja Dynamika.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zapomnienie o sile wyporu - uczniowie piszą tylko \\(F_g = F_{op}\\), pomijając \\(F_w\\). Skutkuje wzorem bez różnicy gęstości: \\(v_{max} = \\frac{4\\pi\\rho_k gR^2}{3A}\\) - błąd 1 pkt.
\n
⚠️ Uwaga: Nieuproszczenie \\(R^3 / R = R^2\\) - zostaje \\(v_{max} = \\frac{(\\rho_k-\\rho_c)\\frac{4}{3}\\pi R^3 g}{AR}\\) - wzór formalnie poprawny, ale CKE może nie przyznać ostatniego punktu jeśli nie jest w "najprostszej postaci". Zawsze skracaj.
\n
⚠️ Uwaga: Błędne podstawienie \\(V = \\frac{4}{3}\\pi r^3\\) z \\(r\\) zamiast \\(R\\) - problem z nazewnictwem. Jeśli zadanie daje symbol \\(R\\), używaj konsekwentnie \\(R\\) w całym wyprowadzeniu.
\n
⚠️ Uwaga: Pominięcie kroku "ruch jednostajny → \\(\\sum F = 0\\)" - bez tego zdania wyprowadzenie jest niekompletne (brak uzasadnienia warunku równoważenia sił). Zawsze napisz jedno zdanie wstępne o warunku ruchu jednostajnego.
"}]}