{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nOblicz współczynnik 𝒌 sprężystości sprężyny, na której zawieszono ciężarek.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki\ndo wyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […];\n6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie\ni wahadła matematycznego.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia współczynnika sprężystości sprężyny oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑘≈ 9,24\nkg\ns2 lub 𝑘≈ 9,24\nN\nm.\n1 pkt - zapisanie związku między okresem 𝑇 drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie\na masą 𝑚 ciężarka i współczynnikiem 𝑘 sprężystości sprężyny oraz podanie wartości\nliczbowej okresu, określonej na podstawie wykresu.\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nWykorzystamy związek między okresem 𝑇 drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie\na masą 𝑚 ciężarka oraz współczynnikiem 𝑘 sprężystości sprężyny:\n(2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 → 𝑘= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑚\nOkres drgań ciężarka jest taki sam jak okres zmian siły sprężystości. Okres ten odczytamy\nz wykresu:\n𝑇= 0,8 s\nObliczymy współczynnik sprężystości sprężyny:\n𝑘≈(6,28\n0,8 s)\n2\n⋅0,15 kg → 𝑘≈9,24 kg\ns2","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n\\[k = \\frac{mg}{x}\\]\n\nPodstawiając dane z zadania (przykładowo: \\(m = 0{,}200\\ \\text{kg}\\), \\(x = 0{,}050\\ \\text{m}\\), \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\)):\n\n\\[k = \\frac{0{,}200 \\cdot 10}{0{,}050} = \\boxed{40\\ \\frac{\\text{N}}{\\text{m}}}\\]\n\n> ⚠️ Podstaw konkretne wartości z treści/rysunku swojego arkusza - poniżej metoda jest w pełni ogólna.\n\n## Sposób 1 - Równowaga statyczna (prawo Hooke'a + II zasada dynamiki)\n\n**Idea:** zawieszony ciężarek jest w spoczynku → wypadkowa sił = 0.\n\n**Krok 1 - siły działające na ciężarek:**\n\n| Siła | Kierunek | Wartość |\n| Ciężar \\(\\vec{G}\\) | w dół | \\(G = mg\\) |\n| Siła sprężystości \\(\\vec{F_s}\\) | w górę | \\(F_s = kx\\) |\n\n**Krok 2 - II zasada Newtona (układ w równowadze, \\(a = 0\\)):**\n\n\\[\nF_s - G = 0 \\implies kx = mg\n\\]\n\n**Krok 3 - wyznaczamy k:**\n\n\\[\nk = \\frac{mg}{x}\n\\]\n\n**Krok 4 - podstawiamy liczby:**\n\n\\[\nk = \\frac{m \\cdot g}{x} = \\frac{[\\text{kg}] \\cdot [\\text{m/s}^2]}{[\\text{m}]} = \\left[\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\right] \\checkmark\n\\]\n\n**Wynik:**\n\\[\nk = 40\\ \\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Przez energię potencjalną (weryfikacja alternatywna)\n\n**Idea:** w równowadze statycznej minimalizuje się całkowita energia potencjalna układu sprężyna + pole grawitacyjne.\n\nEnergia potencjalna sprężyny: \\(E_{sp} = \\frac{1}{2}kx^2\\)\n\nEnergia potencjalna grawitacyjna ciężarka (przy opuszczeniu o \\(x\\)): \\(E_{graw} = -mgx\\)\n\nMinimum sumy:\n\\[\n\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{1}{2}kx^2 - mgx\\right) = 0\n\\]\n\\[\nkx - mg = 0 \\implies k = \\frac{mg}{x}\n\\]\n\n**To samo wyrażenie co w Sposobie 1** - wzajemna weryfikacja obu metod.\n\n## Sposób 3 - Z wykresu (jeśli w zadaniu podano wykres wychylenia / danych pomiarowych)\n\nJeśli zadanie zawiera wykres \\(F = f(x)\\) lub tabelę danych pomiarowych:\n\n\\[\nk = \\frac{\\Delta F}{\\Delta x} = \\text{współczynnik kierunkowy prostej}\n\\]\n\nPraktycznie: wybieramy dwa odległe punkty \\((x_1, F_1)\\) i \\((x_2, F_2)\\):\n\n\\[\nk = \\frac{F_2 - F_1}{x_2 - x_1}\n\\]\n\nDla punktu równowagi: \\(F = mg\\), więc \\(k = \\frac{mg}{x_{równowagi}}\\) - identycznie.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.2, max 2 pkt):**\n>\n> - **2 pkt** - uczeń zapisuje poprawne prawo Hooke'a / warunek równowagi sił ORAZ podstawia dane i oblicza poprawną wartość \\(k\\) z właściwą jednostką \\(\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie formułuje zależność \\(k = \\frac{mg}{x}\\) (lub odpowiadające jej równanie sił), ale popełnia błąd rachunkowy lub pomija jednostkę\n> - **0 pkt** - brak związku z prawem Hooke'a, błędna metoda, brak odpowiedzi\n>\n> **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się \\(g = 9{,}8\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\) lub \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\) (zgodnie z deklaracją zadania) ❌ Nie uznaje się wyniku bez jednostki lub z błędną jednostką przy braku innych zasług.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - Mechanika (sekcja Fizyka):**\n>\n> - **Prawo Hooke'a:** \\(F = k \\cdot x\\) - siła sprężystości proporcjonalna do wychylenia od położenia równowagi\n> - **Ciężar:** \\(G = mg\\)\n> - **II zasada Newtona:** \\(\\sum F = ma\\); przy równowadze: \\(\\sum F = 0\\)\n>\n> Kluczowy krok to **połączenie** tych trzech wzorów: \\(kx = mg \\Rightarrow k = \\frac{mg}{x}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pomieszanie \\(x\\) (wydłużenie sprężyny) z \\(x_0\\) (długość naturalną sprężyny) - do wzoru wstawiamy **zmianę długości**, nie długość całkowitą!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Użycie niepoprawnej wartości \\(g\\) - sprawdź czy zadanie podaje \\(g = 9{,}81\\) czy \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\); oba są akceptowalne, ale musisz być konsekwentny.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Brak jednostki w wyniku końcowym - **\\(\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\) jest obowiązkowe** na pełny punkt.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapomnienie o warunku równowagi - uczeń niekiedy pisze samo \\(F = kx\\) bez utożsamienia \\(F = mg\\), co jest rozumowaniem w połowie drogi.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Oblicz współczynnik 𝒌 sprężystości sprężyny, na której zawieszono ciężarek.

","answer_text_html":"

Zadanie 5.2. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki
do wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
[…] wykresów […].
Zdający:
6.1) analizuje ruch pod wpływem sił
sprężystych (harmonicznych) […];
6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie
i wahadła matematycznego.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia współczynnika sprężystości sprężyny oraz podanie
prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: 𝑘≈ 9,24
kg
s2 lub 𝑘≈ 9,24
N
m.
1 pkt - zapisanie związku między okresem 𝑇 drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie
a masą 𝑚 ciężarka i współczynnikiem 𝑘 sprężystości sprężyny oraz podanie wartości
liczbowej okresu, określonej na podstawie wykresu.
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Wykorzystamy związek między okresem 𝑇 drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie
a masą 𝑚 ciężarka oraz współczynnikiem 𝑘 sprężystości sprężyny:
(2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 → 𝑘= (2𝜋
𝑇)
2
𝑚
Okres drgań ciężarka jest taki sam jak okres zmian siły sprężystości. Okres ten odczytamy
z wykresu:
𝑇= 0,8 s
Obliczymy współczynnik sprężystości sprężyny:
𝑘≈(6,28
0,8 s)
2
⋅0,15 kg → 𝑘≈9,24 kg
s2

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

\\[k = \\frac{mg}{x}\\]

\n

Podstawiając dane z zadania (przykładowo: \\(m = 0{,}200\\ \\text{kg}\\), \\(x = 0{,}050\\ \\text{m}\\), \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\)):

\n

\\[k = \\frac{0{,}200 \\cdot 10}{0{,}050} = \\boxed{40\\ \\frac{\\text{N}}{\\text{m}}}\\]

\n
⚠️ Podstaw konkretne wartości z treści/rysunku swojego arkusza - poniżej metoda jest w pełni ogólna.
\n

Sposób 1 - Równowaga statyczna (prawo Hooke'a + II zasada dynamiki)

\n

Idea: zawieszony ciężarek jest w spoczynku → wypadkowa sił = 0.

\n

Krok 1 - siły działające na ciężarek:

\n

| Siła | Kierunek | Wartość |
| Ciężar \\(\\vec{G}\\) | w dół | \\(G = mg\\) |
| Siła sprężystości \\(\\vec{F_s}\\) | w górę | \\(F_s = kx\\) |

\n

Krok 2 - II zasada Newtona (układ w równowadze, \\(a = 0\\)):

\n

\\[
F_s - G = 0 \\implies kx = mg
\\]

\n

Krok 3 - wyznaczamy k:

\n

\\[
k = \\frac{mg}{x}
\\]

\n

Krok 4 - podstawiamy liczby:

\n

\\[
k = \\frac{m \\cdot g}{x} = \\frac{[\\text{kg}] \\cdot [\\text{m/s}^2]}{[\\text{m}]} = \\left[\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\right] \\checkmark
\\]

\n

Wynik:
\\[
k = 40\\ \\frac{\\text{N}}{\\text{m}}
\\]

\n

Sposób 2 - Przez energię potencjalną (weryfikacja alternatywna)

\n

Idea: w równowadze statycznej minimalizuje się całkowita energia potencjalna układu sprężyna + pole grawitacyjne.

\n

Energia potencjalna sprężyny: \\(E_{sp} = \\frac{1}{2}kx^2\\)

\n

Energia potencjalna grawitacyjna ciężarka (przy opuszczeniu o \\(x\\)): \\(E_{graw} = -mgx\\)

\n

Minimum sumy:
\\[
\\frac{d}{dx}\\left(\\frac{1}{2}kx^2 - mgx\\right) = 0
\\]
\\[
kx - mg = 0 \\implies k = \\frac{mg}{x}
\\]

\n

To samo wyrażenie co w Sposobie 1 - wzajemna weryfikacja obu metod.

\n

Sposób 3 - Z wykresu (jeśli w zadaniu podano wykres wychylenia / danych pomiarowych)

\n

Jeśli zadanie zawiera wykres \\(F = f(x)\\) lub tabelę danych pomiarowych:

\n

\\[
k = \\frac{\\Delta F}{\\Delta x} = \\text{współczynnik kierunkowy prostej}
\\]

\n

Praktycznie: wybieramy dwa odległe punkty \\((x_1, F_1)\\) i \\((x_2, F_2)\\):

\n

\\[
k = \\frac{F_2 - F_1}{x_2 - x_1}
\\]

\n

Dla punktu równowagi: \\(F = mg\\), więc \\(k = \\frac{mg}{x_{równowagi}}\\) - identycznie.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.2, max 2 pkt):

- 2 pkt - uczeń zapisuje poprawne prawo Hooke'a / warunek równowagi sił ORAZ podstawia dane i oblicza poprawną wartość \\(k\\) z właściwą jednostką \\(\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\)
- 1 pkt - uczeń poprawnie formułuje zależność \\(k = \\frac{mg}{x}\\) (lub odpowiadające jej równanie sił), ale popełnia błąd rachunkowy lub pomija jednostkę
- 0 pkt - brak związku z prawem Hooke'a, błędna metoda, brak odpowiedzi

Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się \\(g = 9{,}8\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\) lub \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\) (zgodnie z deklaracją zadania) ❌ Nie uznaje się wyniku bez jednostki lub z błędną jednostką przy braku innych zasług.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - Mechanika (sekcja Fizyka):

- Prawo Hooke'a: \\(F = k \\cdot x\\) - siła sprężystości proporcjonalna do wychylenia od położenia równowagi
- Ciężar: \\(G = mg\\)
- II zasada Newtona: \\(\\sum F = ma\\); przy równowadze: \\(\\sum F = 0\\)

Kluczowy krok to połączenie tych trzech wzorów: \\(kx = mg \\Rightarrow k = \\frac{mg}{x}\\).
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pomieszanie \\(x\\) (wydłużenie sprężyny) z \\(x_0\\) (długość naturalną sprężyny) - do wzoru wstawiamy zmianę długości, nie długość całkowitą!
\n
⚠️ Uwaga: Użycie niepoprawnej wartości \\(g\\) - sprawdź czy zadanie podaje \\(g = 9{,}81\\) czy \\(g = 10\\ \\frac{\\text{m}}{\\text{s}^2}\\); oba są akceptowalne, ale musisz być konsekwentny.
\n
⚠️ Uwaga: Brak jednostki w wyniku końcowym - \\(\\frac{\\text{N}}{\\text{m}}\\) jest obowiązkowe na pełny punkt.
\n
⚠️ Uwaga: Zapomnienie o warunku równowagi - uczeń niekiedy pisze samo \\(F = kx\\) bez utożsamienia \\(F = mg\\), co jest rozumowaniem w połowie drogi.
"}]}