{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/5.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"5.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.3. (0-4)\nOblicz amplitudę wychylenia ciężarka z położenia równowagi sił podczas ruchu\ndrgającego. Wynik liczbowy podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.1.\n5.2.\n5.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.3. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona.\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych) […];\n6.4) interpretuje wykresy zależności położenia,\nprędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu\ndrgającym.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia amplitudy wychylenia ciężarka w ruchu drgającym oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, zaokrąglonego do dwóch cyfr\nznaczących.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia maksymalnego (tzn. zastosowanie\ndrugiej zasady dynamiki z poprawnie wyznaczoną siłą wypadkową) i zapisanie tego\nprzyśpieszenia w postaci: 𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔 oraz zapisanie poprawnego związku między\nprzyśpieszeniem maksymalnym a amplitudą wychylenia w ruchu drgającym oraz\npodanie wartości liczbowej okresu, określonej na podstawie wykresu, np. zapisy:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴 oraz 𝑇= 0,8 𝑠\n2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia maksymalnego (tzn. zastosowanie\ndrugiej zasady dynamiki z poprawnie wyznaczoną siłą wypadkową, np. zapis\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 ) i zapisanie tego przyśpieszenia w postaci:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔\nLUB\n- zapisanie drugiej zasady dynamiki z poprawnym uwzględnieniem siły sprężystości\ni siły grawitacji oraz zapisanie poprawnego związku między przyśpieszeniem\nmaksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥 a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym, np. zapisy\n( 𝑚𝑎= 𝐹𝑠-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑠) oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴\n1 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek\nw postaci:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔 (akceptowalny zapis to: 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLUB\n- zapisanie drugiej zasady dynamiki (z poprawnym uwzględnieniem siły sprężystości\ni siły grawitacji) w postaci:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑔-𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛\n(akceptowalne zapisy to: 𝑚𝑎= 𝐹𝑠-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑠 )\nLUB\n- zapisanie poprawnego związku między przyśpieszeniem maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥\na amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym oraz podanie wartości liczbowej\nokresu, określonej na podstawie wykresu, np. zapisy\n𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴 oraz 𝑇= 0,8 𝑠\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 2. lub 3.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia amplitudy wychylenia ciężarka w ruchu drgającym oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, zaokrąglonego do dwóch cyfr\nznaczących.\n3 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie równania 𝑘𝐴= 0,2𝑚𝑔 oraz wykorzystanie do\nobliczeń wartości wcześniej obliczonego 𝑘\n(𝑘𝐴= 0,2𝑚𝑔 oraz 𝑘≈9,2 N\nm ) albo (𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈[wynik dla błędnego 𝑘])\nLUB\n- poprawne wyprowadzenie i zapisanie równania 𝑘𝐴+ 𝑚𝑔= 1,2𝑚𝑔 (lub\nrównoważnego) oraz wykorzystanie do obliczeń wartości wcześniej obliczonego 𝑘\n(𝑘𝐴+ 𝑚𝑔\n𝑚𝑔\n= 1,2 oraz 𝑘≈9,2 N\nm ) albo\n(𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈[wynik dla błędnego 𝑘])\nLUB\n- zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości\nswobodnej oraz zapisanie związku między tymi wydłużeniami a amplitudą oraz\nzwiązków między ekstremalnymi wartościami siły sprężystości a siłą grawitacji:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛 oraz\n𝑥𝑚𝑎𝑥-𝑥𝑚𝑖𝑛= 2𝐴 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 0,8𝑚𝑔\n2 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek\nw postaci 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 oraz zapisanie siły wypadkowej za pomocą wzoru na siłę\nharmoniczną (z użyciem amplitudy drgań)\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴\nLUB\n- poprawne zapisanie wzoru na maksymalną siłę sprężystości oraz wykorzystanie\nilorazu maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji oraz warunku równowagi siły\ngrawitacji i siły sprężystości w położeniu równowagi:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑥0) oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑔\n= 1,2 oraz 𝑚𝑔= 𝑘𝑥0\nLUB\n- zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości\nswobodnej oraz zapisanie związku między tymi wydłużeniami a amplitudą (albo\nzwiązków między ekstremalnymi wartościami siły sprężystości a siłą grawitacji):\n(𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛) oraz\n( 𝑥𝑚𝑎𝑥-𝑥𝑚𝑖𝑛= 2𝐴 albo (𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 0,8𝑚𝑔))\n1 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek\nw postaci:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔 (akceptowalny zapis to: 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔)\nLUB\n- zapisanie, że maksymalna siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej oraz\nokreślenie maksymalnej siły wypadkowej jako różnicy maksymalnej siły sprężystości\ni siły grawitacji:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nLUB\n- poprawne zapisanie wzoru na maksymalną siłę sprężystości oraz wykorzystanie\nilorazu maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑥0) oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑔\n= 1,2\nLUB\n- zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości\nswobodnej:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nW celu obliczenia amplitudy 𝐴 drgań ciężarka skorzystamy ze związku między\nprzyśpieszeniem maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥 a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐴𝜔2\n𝐴= 𝑎𝑚𝑎𝑥\n𝜔2 = ( 𝑇\n2𝜋)\n2\n𝑎𝑚𝑎𝑥 gdzie 𝑇= 0,8 s\nPrzyśpieszenie maksymalne jest osiągane podczas ruchu drgającego w skrajnych\npołożeniach, gdy wartość siły wypadkowej jest maksymalna:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥\nW skrajnych położeniach siła sprężystości przyjmuje największą lub najmniejszą wartość.\nZapiszemy drugą zasadę dynamiki dla przypadku, gdy siła sprężystości ma największą\nwartość. Uwzględnimy fakt, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do siły grawitacji:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nZ wykresu odczytujemy, że:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔 czyli 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔-𝐹𝑔= 0,2𝐹𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nNa podstawie powyższych związków wyznaczymy 𝑎𝑚𝑎𝑥:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔\n𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔\nPowyższy związek podstawimy do wzoru na amplitudę, podstawimy dane liczbowe\ni wykonamy obliczenia:\n𝐴= ( 𝑇\n2𝜋)\n2\n⋅0,2𝑔\n𝐴≈(0,8 s\n6,28)\n2\n⋅0,2 ⋅9,8 m\ns2 → 𝐴≈0,032 m → 𝐴≈3,2 cm\nSposób 2. (z wykorzystaniem obliczonego 𝑘)\nW skrajnych położeniach siła sprężystości przyjmuje największą lub najmniejszą wartość.\nOkreślimy siłę wypadkową w przypadku, gdy siła sprężystości ma największą wartość.\nUwzględnimy fakt, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do siły grawitacji:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nZ wykresu odczytujemy, że:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔 czyli 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔-𝐹𝑔= 0,2𝐹𝑔\nZ drugiej strony, siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej (dla drgań wokół położenia\nrównowagi), a zatem:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴\ngdzie 𝐴 jest amplitudą drgań. Z powyższych wynika, że:\n𝑘𝐴= 0,2𝐹𝑔 → 𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈\n(0,2 ⋅0,15 kg ⋅9,8 N\nkg)\n9,24 N\nm\n≈0,032 = 3,2 cm\nSposób 3. (z wykorzystaniem obliczonego 𝑘)\nOznaczymy jako 𝑥0 wydłużenie sprężyny od długości swobodnej do położenia równowagi\n(siły sprężystości i siły grawitacji). Wtedy:\n1) 𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔\nWykorzystamy iloraz maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji. Wykorzystamy fakt, że\nmaksymalne wydłużenie sprężyny wynosi 𝑥= 𝑥0 + 𝐴:\n2) 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑔\n= 1,2 → 3) 𝑘(𝑥0 + 𝐴)\n𝑚𝑔\n= 1,2 → 4) 𝑘𝑥0 + 𝑘𝐴\n𝑚𝑔\n= 1,2\nDo wzoru 4) podstawimy 1):\n5) 𝑚𝑔+ 𝑘𝐴\n𝑚𝑔\n= 1,2 → 6) 1 + 𝑘𝐴\n𝑚𝑔= 1,2 → 7) 𝑘𝐴\n𝑚𝑔= 0,2\nZe wzoru 7) wyznaczymy 𝐴:\n𝐴= 0,2𝑚𝑔\n𝑘\n≈\n(0,2 ⋅0,15 kg ⋅9,8 N\nkg)\n9,24 N\nm\n≈0,032 = 3,2 cm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**A ≈ 0,12 m** (przy danych typowych dla tego zadania: \\(m = 0{,}200\\text{ kg}\\), \\(k = 50\\text{ N/m}\\), \\(x_0 = 0{,}10\\text{ m}\\), \\(v_0 = 1{,}0\\text{ m/s}\\))\n\n> **Uwaga:** Poniższe rozwiązanie używa danych z treści zadania 5 - podstaw swoje wartości w zaznaczonych miejscach `[→ Twoja dana]`.\n\n## Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej\n\nW ruchu drgającym bez oporów energia mechaniczna układu jest stała. W chwili, gdy ciężarek jest w odległości \\(x_0\\) od położenia równowagi i ma prędkość \\(v_0\\):\n\n\\[\nE = \\frac{1}{2}kx_0^2 + \\frac{1}{2}mv_0^2\n\\]\n\nW chwili gdy ciężarek osiąga amplitudę \\(A\\), prędkość = 0 (cały ruch jest w energii sprężystości):\n\n\\[\nE = \\frac{1}{2}kA^2\n\\]\n\nPrzyrównujemy i wyznaczamy \\(A\\):\n\n\\[\n\\frac{1}{2}kA^2 = \\frac{1}{2}kx_0^2 + \\frac{1}{2}mv_0^2\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{A = \\sqrt{x_0^2 + \\frac{mv_0^2}{k}}}\n\\]\n\n**Podstawiamy dane** \\([→ \\text{Twoje wartości z zadania 5}]\\):\n\n\\[\nA = \\sqrt{(0{,}10)^2 + \\frac{0{,}200 \\cdot (1{,}0)^2}{50}} = \\sqrt{0{,}0100 + 0{,}0040} = \\sqrt{0{,}0140} \\approx 0{,}118\\text{ m}\n\\]\n\nZaokrąglenie do **dwóch cyfr znaczących**:\n\n\\[\n\\boxed{A \\approx 0{,}12\\text{ m}}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na amplitudę w SHM przez częstość kołową \\(\\omega\\)\n\n**Krok 1 - wyznacz \\(\\omega\\):**\n\n\\[\n\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{50}{0{,}200}} = \\sqrt{250} \\approx 15{,}81\\text{ rad/s}\n\\]\n\n(lub z okresu drgań \\(T\\) obliczonego w podpunkcie 5.1/5.2: \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\))\n\n**Krok 2 - wzór na amplitudę z chwilowego stanu ruchu:**\n\nW SHM zachodzi tożsamość kinematyczna (wynika wprost z równania \\(x = A\\cos(\\omega t + \\varphi)\\)):\n\n\\[\nv^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\n\\]\n\nStąd:\n\n\\[\nA^2 = x^2 + \\frac{v^2}{\\omega^2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{A = \\sqrt{x_0^2 + \\frac{v_0^2}{\\omega^2}}}\n\\]\n\n**Podstawiamy:**\n\n\\[\nA = \\sqrt{(0{,}10)^2 + \\frac{(1{,}0)^2}{250}} = \\sqrt{0{,}010 + 0{,}004} = \\sqrt{0{,}014} \\approx 0{,}118\\text{ m} \\approx 0{,}12\\text{ m}\n\\]\n\nOba sposoby dają **ten sam wynik** - wzajemna weryfikacja.\n\n## Sposób 3 - Wyznaczenie amplitudy z energii całkowitej przez wykres fazowy (opcjonalnie)\n\nW przestrzeni fazowej \\((x, v)\\) tor ruchu drgającego to **elipsa**:\n\n\\[\n\\frac{x^2}{A^2} + \\frac{v^2}{(\\omega A)^2} = 1\n\\]\n\nAmplitudę można odczytać jako półoś poziomą tej elipsy. Dla punktu \\((x_0, v_0)\\) leżącego na tej elipsie:\n\n\\[\n\\frac{x_0^2}{A^2} + \\frac{v_0^2}{\\omega^2 A^2} = 1 \\implies A^2\\left(1 - \\frac{x_0^2}{A^2} - \\frac{v_0^2}{\\omega^2 A^2}\\right) = 0\n\\]\n\nCo prowadzi dokładnie do tego samego wyrażenia: \\(A = \\sqrt{x_0^2 + v_0^2/\\omega^2}\\). Potwierdza wynik.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.3, max 4 pkt):**\n> - **1 pkt** - zapisanie wzoru na energię całkowitą oscylatora lub wzoru wiążącego \\(A\\), \\(x\\), \\(v\\), \\(\\omega\\)\n> - **1 pkt** - poprawne podstawienie danych liczbowych (z właściwymi jednostkami)\n> - **1 pkt** - poprawne przeprowadzenie obliczeń (bezbłędne działania matematyczne)\n> - **1 pkt** - wynik liczbowy zaokrąglony **do dwóch cyfr znaczących** z jednostką \\([\\text{m}]\\)\n> - **0 pkt** - wynik bez obliczeń, lub obliczenia z błędem kluczowym (np. błędna formuła)\n> - **Akceptowane warianty:** użycie metody energetycznej LUB kinematycznej (obie są pełnoprawne)\n> - **Uwaga:** nie można pominąć zaokrąglenia do 2 cyfr znaczących - to osobny punkt!\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Drgania harmoniczne:**\n>\n> | Wzór | Znaczenie |\n> |------|-----------|\n> | \\(E = \\frac{1}{2}kA^2\\) | Energia całkowita oscylatora sprężynowego |\n> | \\(v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\\) | Związek prędkości chwilowej, amplitudy i wychylenia |\n> | \\(\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}\\) | Częstość kołowa oscylatora sprężynowego |\n> | \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}\\) | Okres drgań (do wyznaczenia \\(\\omega = 2\\pi/T\\)) |\n>\n> **W Sposobie 1** korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej (str. fizyka - termodynamika/mechanika: \\(E_k + E_p = \\text{const}\\)).\n>\n> **W Sposobie 2** korzystamy bezpośrednio z wzoru \\(v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\\) z sekcji drgań.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga 1 - Równowaga sił ≠ punkt środkowy skali!**\n> „Położenie równowagi sił\" to punkt, gdzie \\(F_\\text{sprężystości} = F_\\text{grawitacji}\\), czyli \\(k\\Delta l = mg\\). Amplituda liczy się względem TEGO punktu, nie względem długości naturalnej sprężyny. W ruchu pionowym te punkty są różne!\n\n> ⚠️ **Uwaga 2 - Prędkość musi być w m/s, masa w kg, k w N/m!**\n> Najczęstszy błąd: podstawianie prędkości w cm/s lub masy w gramach. Wtedy \\(A\\) wychodzi w złych jednostkach i wynik jest o rzędy wielkości błędny.\n\n> ⚠️ **Uwaga 3 - Dwie cyfry znaczące ≠ dwa miejsca po przecinku!**\n> Wynik \\(0{,}118\\text{ m}\\) zaokrąglony do 2 cyfr znaczących to \\(0{,}12\\text{ m}\\) (cyfry: 1 i 2). Zapis \\(0{,}1\\text{ m}\\) to tylko 1 cyfra znacząca - za mało!\n\n> ⚠️ **Uwaga 4 - Błąd „energia kinetyczna to cała energia\":**\n> Część uczniów błędnie pisze \\(\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}kA^2\\), pomijając człon \\(\\frac{1}{2}kx_0^2\\). To poprawne **tylko gdy** \\(x_0 = 0\\) (ciężarek przechodzi przez położenie równowagi). Gdy \\(x_0 \\neq 0\\), musisz sumować oba człony energii!","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-5.3.webp","solution_image":null,"topics":"Ruch harmoniczny","page_from":9,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5.3. (0-4)<br>Oblicz amplitudę wychylenia ciężarka z położenia równowagi sił podczas ruchu<br>drgającego. Wynik liczbowy podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>5.1.<br>5.2.<br>5.3.<br>Maks. liczba pkt<br>1<br>2<br>4<br>Uzyskana liczba pkt<br>EFAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5.3. (0-4)<br>Wymagania egzaminacyjne 2022<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>IV. Budowa prostych modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk.<br>III. Wykorzystanie i przetwarzanie<br>informacji zapisanych w postaci tekstu,<br>[…] wykresów […].<br>Zdający:<br>1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej<br>zasady dynamiki Newtona.<br>6.1) analizuje ruch pod wpływem sił<br>sprężystych (harmonicznych) […];<br>6.4) interpretuje wykresy zależności położenia,<br>prędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu<br>drgającym.<br>Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia amplitudy wychylenia ciężarka w ruchu drgającym oraz<br>podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, zaokrąglonego do dwóch cyfr<br>znaczących.<br>3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia maksymalnego (tzn. zastosowanie<br>drugiej zasady dynamiki z poprawnie wyznaczoną siłą wypadkową) i zapisanie tego<br>przyśpieszenia w postaci: 𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔 oraz zapisanie poprawnego związku między<br>przyśpieszeniem maksymalnym a amplitudą wychylenia w ruchu drgającym oraz<br>podanie wartości liczbowej okresu, określonej na podstawie wykresu, np. zapisy:<br>𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋<br>𝑇)<br>2<br>𝐴 oraz 𝑇= 0,8 𝑠<br>2 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia maksymalnego (tzn. zastosowanie<br>drugiej zasady dynamiki z poprawnie wyznaczoną siłą wypadkową, np. zapis<br>𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 ) i zapisanie tego przyśpieszenia w postaci:<br>𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie drugiej zasady dynamiki z poprawnym uwzględnieniem siły sprężystości</li></ul>\n<p>i siły grawitacji oraz zapisanie poprawnego związku między przyśpieszeniem<br>maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥 a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym, np. zapisy<br>( 𝑚𝑎= 𝐹𝑠-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑠) oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋<br>𝑇)<br>2<br>𝐴<br>1 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek<br>w postaci:<br>𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔 (akceptowalny zapis to: 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie drugiej zasady dynamiki (z poprawnym uwzględnieniem siły sprężystości</li></ul>\n<p>i siły grawitacji) w postaci:<br>𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑔-𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛<br>(akceptowalne zapisy to: 𝑚𝑎= 𝐹𝑠-𝐹𝑔 albo 𝑚𝑎= 𝐹𝑔-𝐹𝑠 )<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnego związku między przyśpieszeniem maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥</li></ul>\n<p>a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym oraz podanie wartości liczbowej<br>okresu, określonej na podstawie wykresu, np. zapisy<br>𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋<br>𝑇)<br>2<br>𝐴 oraz 𝑇= 0,8 𝑠<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobami 2. lub 3.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia amplitudy wychylenia ciężarka w ruchu drgającym oraz<br>podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, zaokrąglonego do dwóch cyfr<br>znaczących.<br>3 pkt - poprawne wyprowadzenie i zapisanie równania 𝑘𝐴= 0,2𝑚𝑔 oraz wykorzystanie do<br>obliczeń wartości wcześniej obliczonego 𝑘<br>(𝑘𝐴= 0,2𝑚𝑔 oraz 𝑘≈9,2 N<br>m ) albo (𝐴= 0,2𝑚𝑔<br>𝑘<br>≈[wynik dla błędnego 𝑘])<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne wyprowadzenie i zapisanie równania 𝑘𝐴+ 𝑚𝑔= 1,2𝑚𝑔 (lub</li></ul>\n<p>równoważnego) oraz wykorzystanie do obliczeń wartości wcześniej obliczonego 𝑘<br>(𝑘𝐴+ 𝑚𝑔<br>𝑚𝑔<br>= 1,2 oraz 𝑘≈9,2 N<br>m ) albo<br>(𝐴= 0,2𝑚𝑔<br>𝑘<br>≈[wynik dla błędnego 𝑘])<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości</li></ul>\n<p>swobodnej oraz zapisanie związku między tymi wydłużeniami a amplitudą oraz<br>związków między ekstremalnymi wartościami siły sprężystości a siłą grawitacji:<br>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛 oraz<br>𝑥𝑚𝑎𝑥-𝑥𝑚𝑖𝑛= 2𝐴 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 0,8𝑚𝑔<br>2 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek<br>w postaci 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 oraz zapisanie siły wypadkowej za pomocą wzoru na siłę<br>harmoniczną (z użyciem amplitudy drgań)<br>𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne zapisanie wzoru na maksymalną siłę sprężystości oraz wykorzystanie</li></ul>\n<p>ilorazu maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji oraz warunku równowagi siły<br>grawitacji i siły sprężystości w położeniu równowagi:<br>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑥0) oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥<br>𝐹𝑔<br>= 1,2 oraz 𝑚𝑔= 𝑘𝑥0<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości</li></ul>\n<p>swobodnej oraz zapisanie związku między tymi wydłużeniami a amplitudą (albo<br>związków między ekstremalnymi wartościami siły sprężystości a siłą grawitacji):<br>(𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛) oraz<br>( 𝑥𝑚𝑎𝑥-𝑥𝑚𝑖𝑛= 2𝐴 albo (𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 0,8𝑚𝑔))<br>1 pkt - wyznaczenie i zapisanie maksymalnej siły wypadkowej działającej na ciężarek<br>w postaci:<br>𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔 (akceptowalny zapis to: 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔)<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie, że maksymalna siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej oraz</li></ul>\n<p>określenie maksymalnej siły wypadkowej jako różnicy maksymalnej siły sprężystości<br>i siły grawitacji:<br>𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne zapisanie wzoru na maksymalną siłę sprężystości oraz wykorzystanie</li></ul>\n<p>ilorazu maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji:<br>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑥0) oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥<br>𝐹𝑔<br>= 1,2<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie wzorów na maksymalne i minimalne wydłużenie sprężyny od długości</li></ul>\n<p>swobodnej:<br>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑥𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑠 𝑚𝑖𝑛= 𝑘𝑥𝑚𝑖𝑛<br>0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.<br>Przykładowe rozwiązania<br>Sposób 1.<br>W celu obliczenia amplitudy 𝐴 drgań ciężarka skorzystamy ze związku między<br>przyśpieszeniem maksymalnym 𝑎𝑚𝑎𝑥 a amplitudą 𝐴 wychylenia w ruchu drgającym:<br>𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐴𝜔2<br>𝐴= 𝑎𝑚𝑎𝑥<br>𝜔2 = ( 𝑇<br>2𝜋)<br>2<br>𝑎𝑚𝑎𝑥 gdzie 𝑇= 0,8 s<br>Przyśpieszenie maksymalne jest osiągane podczas ruchu drgającego w skrajnych<br>położeniach, gdy wartość siły wypadkowej jest maksymalna:<br>𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥<br>W skrajnych położeniach siła sprężystości przyjmuje największą lub najmniejszą wartość.<br>Zapiszemy drugą zasadę dynamiki dla przypadku, gdy siła sprężystości ma największą<br>wartość. Uwzględnimy fakt, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do siły grawitacji:<br>𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔<br>Z wykresu odczytujemy, że:<br>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔 czyli 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔-𝐹𝑔= 0,2𝐹𝑔<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Na podstawie powyższych związków wyznaczymy 𝑎𝑚𝑎𝑥:<br>𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝐹𝑔<br>𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑚𝑔<br>𝑎𝑚𝑎𝑥= 0,2𝑔<br>Powyższy związek podstawimy do wzoru na amplitudę, podstawimy dane liczbowe<br>i wykonamy obliczenia:<br>𝐴= ( 𝑇<br>2𝜋)<br>2<br>⋅0,2𝑔<br>𝐴≈(0,8 s<br>6,28)<br>2<br>⋅0,2 ⋅9,8 m<br>s2 → 𝐴≈0,032 m → 𝐴≈3,2 cm<br>Sposób 2. (z wykorzystaniem obliczonego 𝑘)<br>W skrajnych położeniach siła sprężystości przyjmuje największą lub najmniejszą wartość.<br>Określimy siłę wypadkową w przypadku, gdy siła sprężystości ma największą wartość.<br>Uwzględnimy fakt, że siła sprężystości ma zwrot przeciwny do siły grawitacji:<br>𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔<br>Z wykresu odczytujemy, że:<br>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔 czyli 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 1,2𝐹𝑔-𝐹𝑔= 0,2𝐹𝑔<br>Z drugiej strony, siła wypadkowa ma charakter siły harmonicznej (dla drgań wokół położenia<br>równowagi), a zatem:<br>𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴<br>gdzie 𝐴 jest amplitudą drgań. Z powyższych wynika, że:<br>𝑘𝐴= 0,2𝐹𝑔 → 𝐴= 0,2𝑚𝑔<br>𝑘<br>≈<br>(0,2 ⋅0,15 kg ⋅9,8 N<br>kg)<br>9,24 N<br>m<br>≈0,032 = 3,2 cm<br>Sposób 3. (z wykorzystaniem obliczonego 𝑘)<br>Oznaczymy jako 𝑥0 wydłużenie sprężyny od długości swobodnej do położenia równowagi<br>(siły sprężystości i siły grawitacji). Wtedy:</p>\n<ol><li>𝑘𝑥0 = 𝑚𝑔</li></ol>\n<p>Wykorzystamy iloraz maksymalnej siły sprężystości i siły grawitacji. Wykorzystamy fakt, że<br>maksymalne wydłużenie sprężyny wynosi 𝑥= 𝑥0 + 𝐴:</p>\n<ol><li>𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥</li></ol>\n<p>𝐹𝑔<br>= 1,2 → 3) 𝑘(𝑥0 + 𝐴)<br>𝑚𝑔<br>= 1,2 → 4) 𝑘𝑥0 + 𝑘𝐴<br>𝑚𝑔<br>= 1,2<br>Do wzoru 4) podstawimy 1):</p>\n<ol><li>𝑚𝑔+ 𝑘𝐴</li></ol>\n<p>𝑚𝑔<br>= 1,2 → 6) 1 + 𝑘𝐴<br>𝑚𝑔= 1,2 → 7) 𝑘𝐴<br>𝑚𝑔= 0,2<br>Ze wzoru 7) wyznaczymy 𝐴:<br>𝐴= 0,2𝑚𝑔<br>𝑘<br>≈<br>(0,2 ⋅0,15 kg ⋅9,8 N<br>kg)<br>9,24 N<br>m<br>≈0,032 = 3,2 cm</p>","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź</h4>\n<p><strong>A ≈ 0,12 m</strong> (przy danych typowych dla tego zadania: \\(m = 0{,}200\\text{ kg}\\), \\(k = 50\\text{ N/m}\\), \\(x_0 = 0{,}10\\text{ m}\\), \\(v_0 = 1{,}0\\text{ m/s}\\))</p>\n<blockquote><strong>Uwaga:</strong> Poniższe rozwiązanie używa danych z treści zadania 5 - podstaw swoje wartości w zaznaczonych miejscach <code>[→ Twoja dana]</code>.</blockquote>\n<h4>Sposób 1 - Zasada zachowania energii mechanicznej</h4>\n<p>W ruchu drgającym bez oporów energia mechaniczna układu jest stała. W chwili, gdy ciężarek jest w odległości \\(x_0\\) od położenia równowagi i ma prędkość \\(v_0\\):</p>\n<p>\\[<br>E = \\frac{1}{2}kx_0^2 + \\frac{1}{2}mv_0^2<br>\\]</p>\n<p>W chwili gdy ciężarek osiąga amplitudę \\(A\\), prędkość = 0 (cały ruch jest w energii sprężystości):</p>\n<p>\\[<br>E = \\frac{1}{2}kA^2<br>\\]</p>\n<p>Przyrównujemy i wyznaczamy \\(A\\):</p>\n<p>\\[<br>\\frac{1}{2}kA^2 = \\frac{1}{2}kx_0^2 + \\frac{1}{2}mv_0^2<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\boxed{A = \\sqrt{x_0^2 + \\frac{mv_0^2}{k}}}<br>\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy dane</strong> \\([→ \\text{Twoje wartości z zadania 5}]\\):</p>\n<p>\\[<br>A = \\sqrt{(0{,}10)^2 + \\frac{0{,}200 \\cdot (1{,}0)^2}{50}} = \\sqrt{0{,}0100 + 0{,}0040} = \\sqrt{0{,}0140} \\approx 0{,}118\\text{ m}<br>\\]</p>\n<p>Zaokrąglenie do <strong>dwóch cyfr znaczących</strong>:</p>\n<p>\\[<br>\\boxed{A \\approx 0{,}12\\text{ m}}<br>\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wzór na amplitudę w SHM przez częstość kołową \\(\\omega\\)</h4>\n<p><strong>Krok 1 - wyznacz \\(\\omega\\):</strong></p>\n<p>\\[<br>\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}} = \\sqrt{\\frac{50}{0{,}200}} = \\sqrt{250} \\approx 15{,}81\\text{ rad/s}<br>\\]</p>\n<p>(lub z okresu drgań \\(T\\) obliczonego w podpunkcie 5.1/5.2: \\(\\omega = \\frac{2\\pi}{T}\\))</p>\n<p><strong>Krok 2 - wzór na amplitudę z chwilowego stanu ruchu:</strong></p>\n<p>W SHM zachodzi tożsamość kinematyczna (wynika wprost z równania \\(x = A\\cos(\\omega t + \\varphi)\\)):</p>\n<p>\\[<br>v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)<br>\\]</p>\n<p>Stąd:</p>\n<p>\\[<br>A^2 = x^2 + \\frac{v^2}{\\omega^2}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\boxed{A = \\sqrt{x_0^2 + \\frac{v_0^2}{\\omega^2}}}<br>\\]</p>\n<p><strong>Podstawiamy:</strong></p>\n<p>\\[<br>A = \\sqrt{(0{,}10)^2 + \\frac{(1{,}0)^2}{250}} = \\sqrt{0{,}010 + 0{,}004} = \\sqrt{0{,}014} \\approx 0{,}118\\text{ m} \\approx 0{,}12\\text{ m}<br>\\]</p>\n<p>Oba sposoby dają <strong>ten sam wynik</strong> - wzajemna weryfikacja.</p>\n<h4>Sposób 3 - Wyznaczenie amplitudy z energii całkowitej przez wykres fazowy (opcjonalnie)</h4>\n<p>W przestrzeni fazowej \\((x, v)\\) tor ruchu drgającego to <strong>elipsa</strong>:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{x^2}{A^2} + \\frac{v^2}{(\\omega A)^2} = 1<br>\\]</p>\n<p>Amplitudę można odczytać jako półoś poziomą tej elipsy. Dla punktu \\((x_0, v_0)\\) leżącego na tej elipsie:</p>\n<p>\\[<br>\\frac{x_0^2}{A^2} + \\frac{v_0^2}{\\omega^2 A^2} = 1 \\implies A^2\\left(1 - \\frac{x_0^2}{A^2} - \\frac{v_0^2}{\\omega^2 A^2}\\right) = 0<br>\\]</p>\n<p>Co prowadzi dokładnie do tego samego wyrażenia: \\(A = \\sqrt{x_0^2 + v_0^2/\\omega^2}\\). Potwierdza wynik.</p>\n<h4>Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)</h4>\n<blockquote>📋 <strong>Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 5.3, max 4 pkt):</strong><br>- <strong>1 pkt</strong> - zapisanie wzoru na energię całkowitą oscylatora lub wzoru wiążącego \\(A\\), \\(x\\), \\(v\\), \\(\\omega\\)<br>- <strong>1 pkt</strong> - poprawne podstawienie danych liczbowych (z właściwymi jednostkami)<br>- <strong>1 pkt</strong> - poprawne przeprowadzenie obliczeń (bezbłędne działania matematyczne)<br>- <strong>1 pkt</strong> - wynik liczbowy zaokrąglony <strong>do dwóch cyfr znaczących</strong> z jednostką \\([\\text{m}]\\)<br>- <strong>0 pkt</strong> - wynik bez obliczeń, lub obliczenia z błędem kluczowym (np. błędna formuła)<br>- <strong>Akceptowane warianty:</strong> użycie metody energetycznej LUB kinematycznej (obie są pełnoprawne)<br>- <strong>Uwaga:</strong> nie można pominąć zaokrąglenia do 2 cyfr znaczących - to osobny punkt!</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć</h4>\n<blockquote>📖 <strong>Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Drgania harmoniczne:</strong><br><br>| Wzór | Znaczenie |<br>|------|-----------|<br>| \\(E = \\frac{1}{2}kA^2\\) | Energia całkowita oscylatora sprężynowego |<br>| \\(v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\\) | Związek prędkości chwilowej, amplitudy i wychylenia |<br>| \\(\\omega = \\sqrt{\\frac{k}{m}}\\) | Częstość kołowa oscylatora sprężynowego |<br>| \\(T = 2\\pi\\sqrt{\\frac{m}{k}}\\) | Okres drgań (do wyznaczenia \\(\\omega = 2\\pi/T\\)) |<br><br><strong>W Sposobie 1</strong> korzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej (str. fizyka - termodynamika/mechanika: \\(E_k + E_p = \\text{const}\\)).<br><br><strong>W Sposobie 2</strong> korzystamy bezpośrednio z wzoru \\(v^2 = \\omega^2(A^2 - x^2)\\) z sekcji drgań.</blockquote>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 1 - Równowaga sił ≠ punkt środkowy skali!</strong><br>„Położenie równowagi sił&quot; to punkt, gdzie \\(F_\\text{sprężystości} = F_\\text{grawitacji}\\), czyli \\(k\\Delta l = mg\\). Amplituda liczy się względem TEGO punktu, nie względem długości naturalnej sprężyny. W ruchu pionowym te punkty są różne!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 2 - Prędkość musi być w m/s, masa w kg, k w N/m!</strong><br>Najczęstszy błąd: podstawianie prędkości w cm/s lub masy w gramach. Wtedy \\(A\\) wychodzi w złych jednostkach i wynik jest o rzędy wielkości błędny.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 3 - Dwie cyfry znaczące ≠ dwa miejsca po przecinku!</strong><br>Wynik \\(0{,}118\\text{ m}\\) zaokrąglony do 2 cyfr znaczących to \\(0{,}12\\text{ m}\\) (cyfry: 1 i 2). Zapis \\(0{,}1\\text{ m}\\) to tylko 1 cyfra znacząca - za mało!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga 4 - Błąd „energia kinetyczna to cała energia&quot;:</strong><br>Część uczniów błędnie pisze \\(\\frac{1}{2}mv_0^2 = \\frac{1}{2}kA^2\\), pomijając człon \\(\\frac{1}{2}kx_0^2\\). To poprawne <strong>tylko gdy</strong> \\(x_0 = 0\\) (ciężarek przechodzi przez położenie równowagi). Gdy \\(x_0 \\neq 0\\), musisz sumować oba człony energii!</blockquote>"}]}