{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7.1","points":2,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.1. (0-2)\nOblicz 𝑻𝑩 - okres obiegu sondy B dookoła Słońca.\nA\nB\nS\nZ\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.1. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n4.8) oblicza okresy obiegu planet i ich średnie\nodległości od gwiazdy, wykorzystując III prawo\nKeplera dla orbit kołowych.\nZasady oceniania\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu dookoła Słońca sondy B oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:\n𝑇𝐵≈(388 ± 1) dób ziemskich ≈(1,06 ± 0,01) lat ziemskich ≈33 500 000 s\n1 pkt - zapisanie równania III prawa Keplera (dla sond A i B lub dla sondy B i Ziemi)\nz poprawnie podstawionymi danymi liczbowymi, np. zapisy (lub zapisy równoważne):\n(344 doby)2\n(0,962 au)3 =\n𝑇𝐵\n2\n(1,043 au)3 albo\n(1 rok ziemski)2\n(1 au)3\n𝑇𝐵\n2\n(1,043 au)3\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nObie sondy obiegają Słońce - wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu sondy B\ndookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera:\n𝑇𝐴\n2\n𝑟𝐴\n3 = 𝑇𝐵\n2\n𝑟𝐵\n3 → 𝑇𝐵= √(𝑟𝐵\n𝑟𝐴\n)\n3\n⋅𝑇𝐴 → 𝑇𝐵= √(1,043 au\n0,962 au)\n3\n⋅344 dób ≈388 dób\nSposób 2.\nSonda B oraz Ziemia obiegają Słońce - wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu\nsondy B dookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera:\n𝑇𝑍\n2\n𝑟𝑍\n3 = 𝑇𝐵\n2\n𝑟𝐵\n3 → 𝑇𝐵= √(𝑟𝐵\n𝑟𝑍\n)\n3\n⋅𝑇𝑍 →\n𝑇𝐵= √(1,043 au\n1 au\n)\n3\n⋅1 rok ziemski ≈1,065 roku ziemskiego ≈389 dób","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{T_B \\approx 388 \\text{ dób ziemskich}}$$\n\n## Sposób 1 - III prawo Keplera (sonda A jako wzorzec)\n\n**Podstawa fizyczna:** Dla dwóch ciał krążących wokół tego samego centralnego obiektu jedynie pod wpływem jego grawitacji obowiązuje III prawo Keplera:\n\n$$\\frac{T^2}{r^3} = \\text{const}$$\n\n**Zestawiamy sondy A i B:**\n\n$$\\frac{T_A^2}{r_A^3} = \\frac{T_B^2}{r_B^3}$$\n\n**Wyznaczamy \\(T_B\\):**\n\n$$T_B^2 = T_A^2 \\cdot \\frac{r_B^3}{r_A^3} \\implies T_B = T_A \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2}$$\n\n**Podstawiamy dane:**\n\n$$T_B = 344 \\cdot \\left(\\frac{1{,}043}{0{,}962}\\right)^{3/2}$$\n\n**Obliczamy krok po kroku:**\n\n$$\\frac{r_B}{r_A} = \\frac{1{,}043}{0{,}962} \\approx 1{,}0842$$\n\n$$\\left(1{,}0842\\right)^{3/2} = \\sqrt{1{,}0842^3} = \\sqrt{1{,}2741} \\approx 1{,}1288$$\n\n$$\\boxed{T_B = 344 \\cdot 1{,}1288 \\approx 388 \\text{ dób}}$$\n\n## Sposób 2 - III prawo Keplera (Ziemia jako wzorzec)\n\nWiemy, że Ziemia krąży po orbicie \\(r_Z = 1{,}000\\) au z okresem \\(T_Z = 365\\) dób. Jest to naturalny wzorzec, bo jednostka astronomiczna jest definiowana promieniem orbity Ziemi.\n\n**Zestawiamy sondę B z Ziemią:**\n\n$$\\frac{T_B^2}{r_B^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3} \\implies T_B = T_Z \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_Z}\\right)^{3/2}$$\n\n$$T_B = 365 \\cdot (1{,}043)^{3/2}$$\n\n$$\\sqrt{1{,}043} \\approx 1{,}02127 \\implies (1{,}043)^{3/2} = 1{,}043 \\times 1{,}02127 \\approx 1{,}0652$$\n\n$$T_B = 365 \\cdot 1{,}0652 \\approx 388{,}8 \\approx 389 \\text{ dób}$$\n\n**Wyniki obu sposobów są zgodne** - drobna różnica (~1 doba) wynika z zaokrąglenia \\(T_Z = 365\\) dni (dokładniej: 365,25 dób).\n\n> **Dlaczego da się użyć Ziemi?** Problem podaje \\(T_A = 344\\) dób i \\(r_A = 0{,}962\\) au - wewnętrznie spójne z \\(T_Z = 365\\) dób i \\(r_Z = 1\\) au (można sprawdzić: \\(365 \\cdot 0{,}962^{3/2} = 365 \\cdot 0{,}944 \\approx 344{,}5\\) ✓). Oba wzorce są równoważne.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.1, max 2 pkt):**\n> - **2 pkt** - uczeń zapisał III prawo Keplera w postaci stosunku dla dwóch ciał i obliczył \\(T_B \\approx 388\\) dób (dopuszczalne: 387-389 dób)\n> - **1 pkt** - uczeń poprawnie zapisał III prawo Keplera \\(\\frac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\) lub poprawnie przekształcił wzór, ale popełnił błąd rachunkowy\n> - **0 pkt** - brak fizycznego uzasadnienia lub wynik poza zakresem tolerancji\n> - **Uwaga:** Jeśli uczeń użył Ziemi jako wzorca z \\(T_Z = 365{,}25\\) dób - wynik ~389 dób również jest akceptowany\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Grawitacja:**\n>\n> **III prawo Keplera** (dla orbit kołowych wokół tego samego ciała centralnego):\n> $$\\frac{T^2}{r^3} = \\frac{4\\pi^2}{GM}$$\n>\n> Z tego wynika, że iloraz \\(\\frac{T^2}{r^3}\\) jest identyczny dla wszystkich planet/sond krążących wokół Słońca - i właśnie tego używamy.\n>\n> W tym zadaniu **nie potrzebujemy masy Słońca \\(M\\) ani stałej \\(G\\)** - wystarczy stosunek, w którym stałe się skracają.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - użycie \\(T_B = T_A \\cdot \\dfrac{r_B}{r_A}\\) zamiast \\(\\left(\\dfrac{r_B}{r_A}\\right)^{\\mathbf{3/2}}\\). Pamiętaj: wykładnik to **3/2**, nie 1!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie trzeba przeliczać jednostek na SI (metry, sekundy) - wystarczy au i doby, bo stałe w mianowniku wyskracają się w stosunku. Przeliczanie i tak daje ten sam wynik, ale jest źródłem błędów rachunkowych.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(r_A = 0{,}962\\) au < 1 au (sonda A jest **bliżej** Słońca niż Ziemia, więc **krąży szybciej**: 344 doby < 365 dób ✓). Sonda B: \\(r_B = 1{,}043\\) au > 1 au, więc \\(T_B > 365\\) dób ✓ - dobry test logiczny przed i po obliczeniach.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.1.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7.1. (0-2)
Oblicz 𝑻𝑩 - okres obiegu sondy B dookoła Słońca.
A
B
S
Z
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7.1. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
4.8) oblicza okresy obiegu planet i ich średnie
odległości od gwiazdy, wykorzystując III prawo
Keplera dla orbit kołowych.
Zasady oceniania
2 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu dookoła Słońca sondy B oraz podanie
prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:
𝑇𝐵≈(388 ± 1) dób ziemskich ≈(1,06 ± 0,01) lat ziemskich ≈33 500 000 s
1 pkt - zapisanie równania III prawa Keplera (dla sond A i B lub dla sondy B i Ziemi)
z poprawnie podstawionymi danymi liczbowymi, np. zapisy (lub zapisy równoważne):
(344 doby)2
(0,962 au)3 =
𝑇𝐵
2
(1,043 au)3 albo
(1 rok ziemski)2
(1 au)3
𝑇𝐵
2
(1,043 au)3
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Obie sondy obiegają Słońce - wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu sondy B
dookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera:
𝑇𝐴
2
𝑟𝐴
3 = 𝑇𝐵
2
𝑟𝐵
3 → 𝑇𝐵= √(𝑟𝐵
𝑟𝐴
)
3
⋅𝑇𝐴 → 𝑇𝐵= √(1,043 au
0,962 au)
3
⋅344 dób ≈388 dób
Sposób 2.
Sonda B oraz Ziemia obiegają Słońce - wspólne centrum grawitacyjne. Zatem okres obiegu
sondy B dookoła Słońca obliczymy z III prawa Keplera:
𝑇𝑍
2
𝑟𝑍
3 = 𝑇𝐵
2
𝑟𝐵
3 → 𝑇𝐵= √(𝑟𝐵
𝑟𝑍
)
3
⋅𝑇𝑍 →
𝑇𝐵= √(1,043 au
1 au
)
3
⋅1 rok ziemski ≈1,065 roku ziemskiego ≈389 dób

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\boxed{T_B \\approx 388 \\text{ dób ziemskich}}$$

\n

Sposób 1 - III prawo Keplera (sonda A jako wzorzec)

\n

Podstawa fizyczna: Dla dwóch ciał krążących wokół tego samego centralnego obiektu jedynie pod wpływem jego grawitacji obowiązuje III prawo Keplera:

\n

$$\\frac{T^2}{r^3} = \\text{const}$$

\n

Zestawiamy sondy A i B:

\n

$$\\frac{T_A^2}{r_A^3} = \\frac{T_B^2}{r_B^3}$$

\n

Wyznaczamy \\(T_B\\):

\n

$$T_B^2 = T_A^2 \\cdot \\frac{r_B^3}{r_A^3} \\implies T_B = T_A \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2}$$

\n

Podstawiamy dane:

\n

$$T_B = 344 \\cdot \\left(\\frac{1{,}043}{0{,}962}\\right)^{3/2}$$

\n

Obliczamy krok po kroku:

\n

$$\\frac{r_B}{r_A} = \\frac{1{,}043}{0{,}962} \\approx 1{,}0842$$

\n

$$\\left(1{,}0842\\right)^{3/2} = \\sqrt{1{,}0842^3} = \\sqrt{1{,}2741} \\approx 1{,}1288$$

\n

$$\\boxed{T_B = 344 \\cdot 1{,}1288 \\approx 388 \\text{ dób}}$$

\n

Sposób 2 - III prawo Keplera (Ziemia jako wzorzec)

\n

Wiemy, że Ziemia krąży po orbicie \\(r_Z = 1{,}000\\) au z okresem \\(T_Z = 365\\) dób. Jest to naturalny wzorzec, bo jednostka astronomiczna jest definiowana promieniem orbity Ziemi.

\n

Zestawiamy sondę B z Ziemią:

\n

$$\\frac{T_B^2}{r_B^3} = \\frac{T_Z^2}{r_Z^3} \\implies T_B = T_Z \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_Z}\\right)^{3/2}$$

\n

$$T_B = 365 \\cdot (1{,}043)^{3/2}$$

\n

$$\\sqrt{1{,}043} \\approx 1{,}02127 \\implies (1{,}043)^{3/2} = 1{,}043 \\times 1{,}02127 \\approx 1{,}0652$$

\n

$$T_B = 365 \\cdot 1{,}0652 \\approx 388{,}8 \\approx 389 \\text{ dób}$$

\n

Wyniki obu sposobów są zgodne - drobna różnica (~1 doba) wynika z zaokrąglenia \\(T_Z = 365\\) dni (dokładniej: 365,25 dób).

\n
Dlaczego da się użyć Ziemi? Problem podaje \\(T_A = 344\\) dób i \\(r_A = 0{,}962\\) au - wewnętrznie spójne z \\(T_Z = 365\\) dób i \\(r_Z = 1\\) au (można sprawdzić: \\(365 \\cdot 0{,}962^{3/2} = 365 \\cdot 0{,}944 \\approx 344{,}5\\) ✓). Oba wzorce są równoważne.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.1, max 2 pkt):
- 2 pkt - uczeń zapisał III prawo Keplera w postaci stosunku dla dwóch ciał i obliczył \\(T_B \\approx 388\\) dób (dopuszczalne: 387-389 dób)
- 1 pkt - uczeń poprawnie zapisał III prawo Keplera \\(\\frac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\) lub poprawnie przekształcił wzór, ale popełnił błąd rachunkowy
- 0 pkt - brak fizycznego uzasadnienia lub wynik poza zakresem tolerancji
- Uwaga: Jeśli uczeń użył Ziemi jako wzorca z \\(T_Z = 365{,}25\\) dób - wynik ~389 dób również jest akceptowany
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Grawitacja:

III prawo Keplera (dla orbit kołowych wokół tego samego ciała centralnego):
$$\\frac{T^2}{r^3} = \\frac{4\\pi^2}{GM}$$

Z tego wynika, że iloraz \\(\\frac{T^2}{r^3}\\) jest identyczny dla wszystkich planet/sond krążących wokół Słońca - i właśnie tego używamy.

W tym zadaniu nie potrzebujemy masy Słońca \\(M\\) ani stałej \\(G\\) - wystarczy stosunek, w którym stałe się skracają.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - użycie \\(T_B = T_A \\cdot \\dfrac{r_B}{r_A}\\) zamiast \\(\\left(\\dfrac{r_B}{r_A}\\right)^{\\mathbf{3/2}}\\). Pamiętaj: wykładnik to 3/2, nie 1!
\n
⚠️ Uwaga: Nie trzeba przeliczać jednostek na SI (metry, sekundy) - wystarczy au i doby, bo stałe w mianowniku wyskracają się w stosunku. Przeliczanie i tak daje ten sam wynik, ale jest źródłem błędów rachunkowych.
\n
⚠️ Uwaga: \\(r_A = 0{,}962\\) au < 1 au (sonda A jest bliżej Słońca niż Ziemia, więc krąży szybciej: 344 doby < 365 dób ✓). Sonda B: \\(r_B = 1{,}043\\) au > 1 au, więc \\(T_B > 365\\) dób ✓ - dobry test logiczny przed i po obliczeniach.
"}]}