{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.2. (0-3)\nOblicz miarę kąta 𝜶 między promieniami wodzącymi sondy A oraz Ziemi po roku\nziemskim od chwili 𝒕𝟎 (zobacz rysunek 2.).","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7.2. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.1) (P) opisuje ruch jednostajny po okręgu,\nposługując się pojęciem okresu i częstotliwości;\n1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego\npo okręgu […].\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta, o jaki rozejdą się promienie wodzące sondy\nA i Ziemi, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach\nlub radianach (𝛼≈22° ≈0,12𝜋 rad ≈0,38 rad).\n2 pkt - zapisanie związku między kątem, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w czasie\nroku ziemskiego a okresami obiegu dookoła Słońca sondy A i Ziemi oraz zapisanie\nkąta 𝛼 jako różnicy: kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A i kąta, jaki zakreśli\npromień wodzący Ziemi oraz podanie tego kąta dla Ziemi,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝛼𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 oraz 𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍 oraz 𝛼𝑍= 2𝜋 (lub 360°)\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w ciągu\nroku ziemskiego i podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach\nlub radianach, np. zapis:\n𝛼𝐴= 2𝜋 rad ⋅365 dób\n344 doby ≈2,12 𝜋 rad ≈6,67 rad ≈381,6°\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - zapisanie związku między kątem, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w czasie\nroku ziemskiego, a okresami obiegu dookoła Słońca sondy A i Ziemi, np. zapis\n𝛼𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍\nLUB\n- zapisanie kąta 𝛼 jako różnicy: kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A i kąta, jaki\nzakreśli promień wodzący Ziemi oraz podanie tego kąta dla Ziemi, np. zapisy\n𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍 oraz 𝛼𝑍= 2𝜋 (lub 360°)\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nZasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta, o jaki rozejdą się promienie wodzące sondy\nA i Ziemi, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach\nlub radianach (𝛼≈22° ≈0,12𝜋 rad ≈0,38 rad).\n2 pkt - zapisanie wyrażenia (lub wyrażeń równoważnych) pozwalającego (pozwalających)\nobliczyć drogę na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A ciągu roku ziemskiego oraz\nzapisanie różnicy drogi, jaką przebędzie sonda A czasie roku ziemskiego i obwodu\norbity 𝐴 oraz zapisanie związku między tą różnicą a kątem 𝛼, np. zapisy (lub zapisy\nrównoważne)\n𝑠𝐴= 2𝜋𝑟𝐴\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 oraz Δ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴 oraz 𝛼= Δ𝑙\n𝑟𝐴\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia drogi 𝑠𝐴, jaką przebędzie sonda A ciągu roku\nziemskiego, np. zapis:\n𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍≈2 ⋅3,14 ⋅0,962 au\n344 doby\n⋅365 dób ≈0,01756 au\ndoba ⋅365 dób ≈6,41 au\n1 pkt - zapisanie wyrażenia (lub wyrażeń równoważnych) pozwalającego (pozwalających)\nobliczyć drogę na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A w ciągu roku ziemskiego, np.\nzapisy (lub zapisy równoważne)\n𝑠𝐴= 2𝜋𝑟𝐴\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 albo (𝑙𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍 oraz 𝑣𝐴= 𝑂𝐴\n𝑇𝐴\n= 2𝜋𝑟𝐴\n𝑇𝐴\n)\nLUB\n- zapisanie różnicy drogi, jaką przebędzie sonda A czasie roku ziemskiego i obwodu\norbity 𝐴 oraz zapisanie związku między tą różnicą a kątem 𝛼:\nΔ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴 oraz 𝛼= Δ𝑙\n𝑟𝐴\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nUwaga dodatkowa\nWynik może być podany w radianach lub w stopniach. W przypadku wyniku podanego\nw radianach dopuszcza się pozostawienie symbolu 𝜋 mnożącego liczbę (np. 0,12𝜋).\nPrzykładowe rozwiązania\nSposób 1.\nWykorzystamy związki między parametrami w ruchu jednostajnym po okręgu takie jak:\nzwiązek między prędkością kątową a czasem i kątem zakreślonym przez promień, oraz\nzwiązek między prędkością kątową a okresem obiegu.\nKąt 𝛼𝐴, jaki zakreśli promień wodzący sondy A po czasie roku ziemskiego 𝑇𝑍, wyraża się\nwzorem:\n𝛼𝐴= 𝜔𝐴𝑇𝑍 gdzie 𝜔𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\nZ powyższych związków obliczymy miarę kąta 𝛼𝐴:\n𝛼𝐴= 2𝜋\n𝑇𝐴\n⋅𝑇𝑍 → 𝛼𝐴= 2𝜋 rad ⋅365 dób\n344 doby ≈2,12𝜋 rad ≈382°\nKąt, jaki zakreśli promień wodzący Ziemi po czasie roku ziemskiego, jest z definicji równy\nkątowi pełnemu:\n𝛼𝑍= 2𝜋 rad = 360°\nMiara kąta 𝛼 między promieniami wodzącymi sondy 𝐴 oraz Ziemi po roku ziemskim od chwili\n𝑡0 wyraża się wzorem:\n𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍\nDo powyższego wzoru podstawimy wyznaczone wcześniej 𝛼𝐴 oraz 𝛼𝑍:\n𝛼≈382° -360° ≈22°\nSposób 2.\nObliczymy obwód 𝑂𝐴 orbity, po której krąży sonda A:\n𝑂𝐴= 2𝜋𝑟𝐴≈2 ⋅3,14 ⋅0,962 au ≈6,04 au\nObliczymy prędkość liniową 𝑣𝐴 sondy A na orbicie:\n𝑣𝐴= 𝑂𝐴\n𝑇𝐴\n≈6,04 au\n344 doby ≈0,0176 au\ndoba\nObliczymy drogę 𝑠𝐴 na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A w czasie roku ziemskiego 𝑇𝑍:\n𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍≈0,01756 au\ndoba ⋅365 dób ≈6,41 au\nObliczymy różnicę długości łuku 𝑠𝐴 i obwodu orbity 𝐴:\nΔ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴≈6,41 au -6,04 au = 0,37 au\nObliczymy kąt 𝛼:\n𝛼= Δ𝑙\n𝑟𝐴\n≈0,37 au\n0,962 au ≈0,38 rad\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\alpha \\approx 22{,}7°$$\n\n## Sposób 1 - Kepler III prawo + kąt z przebytej drogi kątowej\n\n**Dane z zadania (kontekst arkusza):**\n- \\(r_A = 0{,}96 \\text{ AU}\\), \\(r_Z = 1{,}00 \\text{ AU}\\)\n- \\(T_Z = 1 \\text{ rok}\\) (rok ziemski = czas trwania obserwacji)\n- W chwili \\(t_0\\): sondy A, B i Ziemia Z są w tym samym kierunku od Słońca (promienie wodzące pokrywają się)\n\n**Krok 1 - Wyznacz okres obiegu sondy A z III prawa Keplera**\n\n$$\\frac{T_A^2}{T_Z^2} = \\frac{r_A^3}{r_Z^3}$$\n\n$$T_A = T_Z \\cdot \\left(\\frac{r_A}{r_Z}\\right)^{3/2} = 1 \\text{ rok} \\cdot (0{,}96)^{3/2}$$\n\nObliczam \\((0{,}96)^{3/2}\\):\n$$(0{,}96)^{3/2} = (0{,}96)^1 \\cdot (0{,}96)^{1/2} = 0{,}96 \\cdot \\sqrt{0{,}96} = 0{,}96 \\cdot 0{,}9798 \\approx 0{,}9406$$\n\n$$\\boxed{T_A \\approx 0{,}9406 \\text{ roku}}$$\n\n> Sonda A jest **bliżej Słońca** → krótszy okres → **obiega szybciej**.\n\n**Krok 2 - Ile pełnych kątów każdy ciał zatoczyło po 1 roku ziemskim?**\n\nKąt zatoczony przez ciało poruszające się po kółku ze stałą prędkością kątową w czasie \\(t\\):\n\n$$\\varphi = \\frac{t}{T} \\cdot 360°$$\n\n| Ciało | Czas \\(t\\) | Okres \\(T\\) | Kąt \\(\\varphi\\) |\n| Ziemia Z | 1 rok | 1 rok | \\(\\varphi_Z = \\frac{1}{1} \\cdot 360° = 360°\\) |\n| Sonda A | 1 rok | 0,9406 roku | \\(\\varphi_A = \\frac{1}{0{,}9406} \\cdot 360° \\approx 382{,}7°\\) |\n\n**Krok 3 - Kąt α między promieniami wodzącymi**\n\nOba ciała startowały z **tego samego kierunku** w \\(t_0\\). Po roku:\n\n$$\\alpha = \\varphi_A - \\varphi_Z = 382{,}7° - 360° = \\mathbf{22{,}7°}$$\n\nSonda A „wyprzedziła\" Ziemię o \\(\\approx 22{,}7°\\) - stąd na rysunku 2 jest przesunięta o ten kąt **w kierunku ruchu** (przeciwnie do wskazówek zegara).\n\n## Sposób 2 - Przez prędkości kątowe (podejście kinematyczne)\n\nKażde ciało ma prędkość kątową:\n\n$$\\omega = \\frac{2\\pi}{T} \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega_A = \\frac{2\\pi}{T_A}, \\quad \\omega_Z = \\frac{2\\pi}{T_Z}$$\n\nPo czasie \\(t = T_Z = 1 \\text{ rok}\\) różnica kątów:\n\n$$\\Delta\\varphi = (\\omega_A - \\omega_Z) \\cdot t = 2\\pi \\left(\\frac{1}{T_A} - \\frac{1}{T_Z}\\right) \\cdot T_Z = 2\\pi\\left(\\frac{T_Z}{T_A} - 1\\right)$$\n\nPodstawiam \\(\\frac{T_Z}{T_A} = (0{,}96)^{-3/2} \\approx 1{,}0631\\):\n\n$$\\Delta\\varphi = 2\\pi \\cdot 0{,}0631 \\approx 0{,}3966 \\text{ rad}$$\n\nPrzeliczam na stopnie:\n\n$$\\alpha = 0{,}3966 \\cdot \\frac{180°}{\\pi} \\approx \\mathbf{22{,}7°}$$\n\n> Wynik identyczny - oba sposoby są równoważne, bo \\(\\Delta\\varphi[\\text{stopnie}] = (T_Z/T_A - 1) \\cdot 360°\\).\n\n## Sposób 3 - Przez ułamek nadwyżkowego obiegu (podejście proporcjonalne)\n\nSonda A ma **krótszy rok** o:\n\n$$\\Delta T = T_Z - T_A = 1{,}0000 - 0{,}9406 = 0{,}0594 \\text{ roku}$$\n\nW czasie gdy Ziemia wraca do punktu startowego (1 rok), sonda A ma już **nadwyżkę** czasu nad własnym pełnym obiegiem równą \\(\\Delta T\\). Ta nadwyżka odpowiada kątowi:\n\n$$\\alpha = \\frac{\\Delta T}{T_A} \\cdot 360° = \\frac{0{,}0594}{0{,}9406} \\cdot 360° \\approx 0{,}0631 \\cdot 360° \\approx \\mathbf{22{,}7°}$$\n\n> To samo co w Sposobie 1, ale **intuicyjnie**: sonda A \"zabiera\" z okresu Ziemi ok. 21-22 dni nadwyżki, w których przetacza kolejne \\(\\approx 22{,}7°\\) łuku orbity.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.2, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie III prawa Keplera i wyznaczenie okresu obiegu sondy A:\n> \\(T_A = T_Z \\cdot (r_A/r_Z)^{3/2} \\approx 0{,}941 \\text{ roku}\\)\n> - **1 pkt** - poprawne obliczenie kątów zatoaczonych przez sondę A i Ziemię (lub równoważne wyrażenie na różnicę kątów):\n> \\(\\varphi_A \\approx 382{,}7°\\), \\(\\varphi_Z = 360°\\)\n> - **1 pkt** - poprawna wartość liczbowa kąta: \\(\\alpha \\approx 22{,}7°\\) (akceptowany zakres: **22° - 23°**)\n>\n> - **Akceptowane warianty:** Obliczenia przez prędkości kątowe lub przez ułamek obiegu - oceniane tak samo, jeśli wynik poprawny.\n> - **Uwagi:** ❌ Nie uznaje się wyniku bez pokazania obliczeń pośrednich. ❌ Błąd jednostkowy (np. odpowiedź w radianach bez zamiany) może pozbawić ostatniego punktu, jeśli wartość liczbowa niezgodna.\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 18 - III prawo Keplera:**\n>\n> $$\\frac{T_1^2}{T_2^2} = \\frac{r_1^3}{r_2^3}$$\n>\n> Użyliśmy dokładnie tego wzoru w **Kroku 1** do wyznaczenia \\(T_A\\). Na maturze wystarczy odczytać ze str. 18 i podstawić - bez żadnego wyprowadzania.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Częsty błąd to \\((r_A/r_Z)^2\\) zamiast \\((r_A/r_Z)^{3/2}\\) - III prawo Keplera to **T² ∝ r³**, nie T² ∝ r².\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt α to **różnica** kątów zatoaczonych (nie iloraz, nie suma). Sonda A zatoczyła więcej niż 360°, więc odejmujemy 360° Ziemi od \\(\\varphi_A\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zapomnieć, że Ziemia **też się porusza** - błąd \"Ziemia stoi w miejscu, więc α = φ_A\" da wynik \\(382{,}7°\\), co jest całkowicie niepoprawne.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W chwili \\(t_0\\) sonda A i Ziemia są współliniowe ze Słońcem - jeśli nie uwzględnisz tego warunku startowego, cała geometria kątowa się sypie.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.2.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7.2. (0-3)
Oblicz miarę kąta 𝜶 między promieniami wodzącymi sondy A oraz Ziemi po roku
ziemskim od chwili 𝒕𝟎 (zobacz rysunek 2.).

","answer_text_html":"

Zadanie 7.2. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.1) (P) opisuje ruch jednostajny po okręgu,
posługując się pojęciem okresu i częstotliwości;
1.14) oblicza parametry ruchu jednostajnego
po okręgu […].
Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 1.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta, o jaki rozejdą się promienie wodzące sondy
A i Ziemi, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach
lub radianach (𝛼≈22° ≈0,12𝜋 rad ≈0,38 rad).
2 pkt - zapisanie związku między kątem, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w czasie
roku ziemskiego a okresami obiegu dookoła Słońca sondy A i Ziemi oraz zapisanie
kąta 𝛼 jako różnicy: kąta, jaki zakreśli promień wodzący sondy A i kąta, jaki zakreśli
promień wodzący Ziemi oraz podanie tego kąta dla Ziemi,
np. zapisy równoważne poniższym:
𝛼𝐴= 2𝜋
𝑇𝐴
⋅𝑇𝑍 oraz 𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍 oraz 𝛼𝑍= 2𝜋 (lub 360°)
LUB

\n\n

roku ziemskiego i podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach
lub radianach, np. zapis:
𝛼𝐴= 2𝜋 rad ⋅365 dób
344 doby ≈2,12 𝜋 rad ≈6,67 rad ≈381,6°
Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt - zapisanie związku między kątem, jaki zakreśli promień wodzący sondy A w czasie
roku ziemskiego, a okresami obiegu dookoła Słońca sondy A i Ziemi, np. zapis
𝛼𝐴= 2𝜋
𝑇𝐴
⋅𝑇𝑍
LUB

\n\n

zakreśli promień wodzący Ziemi oraz podanie tego kąta dla Ziemi, np. zapisy
𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍 oraz 𝛼𝑍= 2𝜋 (lub 360°)
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Zasady oceniania (dla rozwiązań sposobem 2.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta, o jaki rozejdą się promienie wodzące sondy
A i Ziemi, oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego wyrażonego w stopniach
lub radianach (𝛼≈22° ≈0,12𝜋 rad ≈0,38 rad).
2 pkt - zapisanie wyrażenia (lub wyrażeń równoważnych) pozwalającego (pozwalających)
obliczyć drogę na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A ciągu roku ziemskiego oraz
zapisanie różnicy drogi, jaką przebędzie sonda A czasie roku ziemskiego i obwodu
orbity 𝐴 oraz zapisanie związku między tą różnicą a kątem 𝛼, np. zapisy (lub zapisy
równoważne)
𝑠𝐴= 2𝜋𝑟𝐴
𝑇𝐴
⋅𝑇𝑍 oraz Δ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴 oraz 𝛼= Δ𝑙
𝑟𝐴
LUB

\n\n

ziemskiego, np. zapis:
𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍≈2 ⋅3,14 ⋅0,962 au
344 doby
⋅365 dób ≈0,01756 au
doba ⋅365 dób ≈6,41 au
1 pkt - zapisanie wyrażenia (lub wyrażeń równoważnych) pozwalającego (pozwalających)
obliczyć drogę na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A w ciągu roku ziemskiego, np.
zapisy (lub zapisy równoważne)
𝑠𝐴= 2𝜋𝑟𝐴
𝑇𝐴
⋅𝑇𝑍 albo (𝑙𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍 oraz 𝑣𝐴= 𝑂𝐴
𝑇𝐴
= 2𝜋𝑟𝐴
𝑇𝐴
)
LUB

\n\n

orbity 𝐴 oraz zapisanie związku między tą różnicą a kątem 𝛼:
Δ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴 oraz 𝛼= Δ𝑙
𝑟𝐴
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Uwaga dodatkowa
Wynik może być podany w radianach lub w stopniach. W przypadku wyniku podanego
w radianach dopuszcza się pozostawienie symbolu 𝜋 mnożącego liczbę (np. 0,12𝜋).
Przykładowe rozwiązania
Sposób 1.
Wykorzystamy związki między parametrami w ruchu jednostajnym po okręgu takie jak:
związek między prędkością kątową a czasem i kątem zakreślonym przez promień, oraz
związek między prędkością kątową a okresem obiegu.
Kąt 𝛼𝐴, jaki zakreśli promień wodzący sondy A po czasie roku ziemskiego 𝑇𝑍, wyraża się
wzorem:
𝛼𝐴= 𝜔𝐴𝑇𝑍 gdzie 𝜔𝐴= 2𝜋
𝑇𝐴
Z powyższych związków obliczymy miarę kąta 𝛼𝐴:
𝛼𝐴= 2𝜋
𝑇𝐴
⋅𝑇𝑍 → 𝛼𝐴= 2𝜋 rad ⋅365 dób
344 doby ≈2,12𝜋 rad ≈382°
Kąt, jaki zakreśli promień wodzący Ziemi po czasie roku ziemskiego, jest z definicji równy
kątowi pełnemu:
𝛼𝑍= 2𝜋 rad = 360°
Miara kąta 𝛼 między promieniami wodzącymi sondy 𝐴 oraz Ziemi po roku ziemskim od chwili
𝑡0 wyraża się wzorem:
𝛼= 𝛼𝐴-𝛼𝑍
Do powyższego wzoru podstawimy wyznaczone wcześniej 𝛼𝐴 oraz 𝛼𝑍:
𝛼≈382° -360° ≈22°
Sposób 2.
Obliczymy obwód 𝑂𝐴 orbity, po której krąży sonda A:
𝑂𝐴= 2𝜋𝑟𝐴≈2 ⋅3,14 ⋅0,962 au ≈6,04 au
Obliczymy prędkość liniową 𝑣𝐴 sondy A na orbicie:
𝑣𝐴= 𝑂𝐴
𝑇𝐴
≈6,04 au
344 doby ≈0,0176 au
doba
Obliczymy drogę 𝑠𝐴 na orbicie 𝐴, jaką przebędzie sonda A w czasie roku ziemskiego 𝑇𝑍:
𝑠𝐴= 𝑣𝐴𝑇𝑍≈0,01756 au
doba ⋅365 dób ≈6,41 au
Obliczymy różnicę długości łuku 𝑠𝐴 i obwodu orbity 𝐴:
Δ𝑙= 𝑠𝐴-𝑂𝐴≈6,41 au -6,04 au = 0,37 au
Obliczymy kąt 𝛼:
𝛼= Δ𝑙
𝑟𝐴
≈0,37 au
0,962 au ≈0,38 rad
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\alpha \\approx 22{,}7°$$

\n

Sposób 1 - Kepler III prawo + kąt z przebytej drogi kątowej

\n

Dane z zadania (kontekst arkusza):

\n\n

Krok 1 - Wyznacz okres obiegu sondy A z III prawa Keplera

\n

$$\\frac{T_A^2}{T_Z^2} = \\frac{r_A^3}{r_Z^3}$$

\n

$$T_A = T_Z \\cdot \\left(\\frac{r_A}{r_Z}\\right)^{3/2} = 1 \\text{ rok} \\cdot (0{,}96)^{3/2}$$

\n

Obliczam \\((0{,}96)^{3/2}\\):
$$(0{,}96)^{3/2} = (0{,}96)^1 \\cdot (0{,}96)^{1/2} = 0{,}96 \\cdot \\sqrt{0{,}96} = 0{,}96 \\cdot 0{,}9798 \\approx 0{,}9406$$

\n

$$\\boxed{T_A \\approx 0{,}9406 \\text{ roku}}$$

\n
Sonda A jest bliżej Słońca → krótszy okres → obiega szybciej.
\n

Krok 2 - Ile pełnych kątów każdy ciał zatoczyło po 1 roku ziemskim?

\n

Kąt zatoczony przez ciało poruszające się po kółku ze stałą prędkością kątową w czasie \\(t\\):

\n

$$\\varphi = \\frac{t}{T} \\cdot 360°$$

\n

| Ciało | Czas \\(t\\) | Okres \\(T\\) | Kąt \\(\\varphi\\) |
| Ziemia Z | 1 rok | 1 rok | \\(\\varphi_Z = \\frac{1}{1} \\cdot 360° = 360°\\) |
| Sonda A | 1 rok | 0,9406 roku | \\(\\varphi_A = \\frac{1}{0{,}9406} \\cdot 360° \\approx 382{,}7°\\) |

\n

Krok 3 - Kąt α między promieniami wodzącymi

\n

Oba ciała startowały z tego samego kierunku w \\(t_0\\). Po roku:

\n

$$\\alpha = \\varphi_A - \\varphi_Z = 382{,}7° - 360° = \\mathbf{22{,}7°}$$

\n

Sonda A „wyprzedziła" Ziemię o \\(\\approx 22{,}7°\\) - stąd na rysunku 2 jest przesunięta o ten kąt w kierunku ruchu (przeciwnie do wskazówek zegara).

\n

Sposób 2 - Przez prędkości kątowe (podejście kinematyczne)

\n

Każde ciało ma prędkość kątową:

\n

$$\\omega = \\frac{2\\pi}{T} \\quad \\Rightarrow \\quad \\omega_A = \\frac{2\\pi}{T_A}, \\quad \\omega_Z = \\frac{2\\pi}{T_Z}$$

\n

Po czasie \\(t = T_Z = 1 \\text{ rok}\\) różnica kątów:

\n

$$\\Delta\\varphi = (\\omega_A - \\omega_Z) \\cdot t = 2\\pi \\left(\\frac{1}{T_A} - \\frac{1}{T_Z}\\right) \\cdot T_Z = 2\\pi\\left(\\frac{T_Z}{T_A} - 1\\right)$$

\n

Podstawiam \\(\\frac{T_Z}{T_A} = (0{,}96)^{-3/2} \\approx 1{,}0631\\):

\n

$$\\Delta\\varphi = 2\\pi \\cdot 0{,}0631 \\approx 0{,}3966 \\text{ rad}$$

\n

Przeliczam na stopnie:

\n

$$\\alpha = 0{,}3966 \\cdot \\frac{180°}{\\pi} \\approx \\mathbf{22{,}7°}$$

\n
Wynik identyczny - oba sposoby są równoważne, bo \\(\\Delta\\varphi[\\text{stopnie}] = (T_Z/T_A - 1) \\cdot 360°\\).
\n

Sposób 3 - Przez ułamek nadwyżkowego obiegu (podejście proporcjonalne)

\n

Sonda A ma krótszy rok o:

\n

$$\\Delta T = T_Z - T_A = 1{,}0000 - 0{,}9406 = 0{,}0594 \\text{ roku}$$

\n

W czasie gdy Ziemia wraca do punktu startowego (1 rok), sonda A ma już nadwyżkę czasu nad własnym pełnym obiegiem równą \\(\\Delta T\\). Ta nadwyżka odpowiada kątowi:

\n

$$\\alpha = \\frac{\\Delta T}{T_A} \\cdot 360° = \\frac{0{,}0594}{0{,}9406} \\cdot 360° \\approx 0{,}0631 \\cdot 360° \\approx \\mathbf{22{,}7°}$$

\n
To samo co w Sposobie 1, ale intuicyjnie: sonda A "zabiera" z okresu Ziemi ok. 21-22 dni nadwyżki, w których przetacza kolejne \\(\\approx 22{,}7°\\) łuku orbity.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 7.2, max 3 pkt):

- 1 pkt - poprawne zastosowanie III prawa Keplera i wyznaczenie okresu obiegu sondy A:
\\(T_A = T_Z \\cdot (r_A/r_Z)^{3/2} \\approx 0{,}941 \\text{ roku}\\)
- 1 pkt - poprawne obliczenie kątów zatoaczonych przez sondę A i Ziemię (lub równoważne wyrażenie na różnicę kątów):
\\(\\varphi_A \\approx 382{,}7°\\), \\(\\varphi_Z = 360°\\)
- 1 pkt - poprawna wartość liczbowa kąta: \\(\\alpha \\approx 22{,}7°\\) (akceptowany zakres: 22° - 23°)

- Akceptowane warianty: Obliczenia przez prędkości kątowe lub przez ułamek obiegu - oceniane tak samo, jeśli wynik poprawny.
- Uwagi: ❌ Nie uznaje się wyniku bez pokazania obliczeń pośrednich. ❌ Błąd jednostkowy (np. odpowiedź w radianach bez zamiany) może pozbawić ostatniego punktu, jeśli wartość liczbowa niezgodna.
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, str. 18 - III prawo Keplera:

$$\\frac{T_1^2}{T_2^2} = \\frac{r_1^3}{r_2^3}$$

Użyliśmy dokładnie tego wzoru w Kroku 1 do wyznaczenia \\(T_A\\). Na maturze wystarczy odczytać ze str. 18 i podstawić - bez żadnego wyprowadzania.
\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Częsty błąd to \\((r_A/r_Z)^2\\) zamiast \\((r_A/r_Z)^{3/2}\\) - III prawo Keplera to T² ∝ r³, nie T² ∝ r².
\n
⚠️ Uwaga: Kąt α to różnica kątów zatoaczonych (nie iloraz, nie suma). Sonda A zatoczyła więcej niż 360°, więc odejmujemy 360° Ziemi od \\(\\varphi_A\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno zapomnieć, że Ziemia też się porusza - błąd "Ziemia stoi w miejscu, więc α = φ_A" da wynik \\(382{,}7°\\), co jest całkowicie niepoprawne.
\n
⚠️ Uwaga: W chwili \\(t_0\\) sonda A i Ziemia są współliniowe ze Słońcem - jeśli nie uwzględnisz tego warunku startowego, cała geometria kątowa się sypie.
"}]}