{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/7.3","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"7.3","points":1,"ptype":"closed","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7.3. (0-1)\nDokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.\nIloraz\nv𝐴\nv𝐵 , czyli stosunek wartości prędkości liniowej sondy A do wartości prędkości liniowej\nsondy B, wynosi (w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku)\nA. v𝐴\nv𝐵\n≈0,92 B. v𝐴\nv𝐵\n≈1,08 C. v𝐴\nv𝐵\n≈0,96 D. v𝐴\nv𝐵\n≈1,04\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.1.\n7.2.\n7.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\n1\nUzyskana liczba pkt\nA\nS\nZ\nB\n𝛼\nRysunek 2.\nEFAP-R0_100","answer":"D","answer_text":"Zadanie 7.3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.2) (P) opisuje zależności między siłą\ndośrodkową a masą, prędkością liniową\ni promieniem oraz wskazuje przykłady sił\npełniących rolę siły dośrodkowej.\n4.1) wykorzystuje prawo powszechnego\nciążenia do obliczenia siły oddziaływań\ngrawitacyjnych między masami punktowymi\ni sferycznie symetrycznymi;\n4.6) wyjaśnia pojęcie pierwszej […] prędkości\nkosmicznej; oblicza ich wartości dla różnych\nciał niebieskich.\nZasady oceniania\n1 pkt - poprawna odpowiedź.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n**Odpowiedź D:** \\(\\dfrac{v_A}{v_B} \\approx 1{,}04\\)\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}} = \\sqrt{\\frac{1{,}043}{0{,}962}} = \\sqrt{1{,}0842} \\approx 1{,}04\n\\]\n\n## Sposób 1 - Prędkość kołowa z prawa grawitacji\n\n**Krok 1 - Dane z preambuły zadania 7 (podpunkt 7.1).**\n\nObie sondy poruszają się po orbitach kołowych dookoła Słońca jedynie pod wpływem jego grawitacji:\n\n\\[\nr_A = 0{,}962\\ \\text{au}, \\qquad r_B = 1{,}043\\ \\text{au}\n\\]\n\n**Krok 2 - Warunek ruchu po okręgu.**\n\nSiła grawitacji Słońca jest siłą dośrodkową utrzymującą sondę na orbicie kołowej:\n\n\\[\n\\frac{G M m}{r^2} = \\frac{m v^2}{r}\n\\]\n\nPo skróceniu masy sondy \\(m\\) i jednego \\(r\\):\n\n\\[\nv^2 = \\frac{G M}{r} \\quad \\Rightarrow \\quad v = \\sqrt{\\frac{G M}{r}}\n\\]\n\n**Wniosek:** prędkość liniowa na orbicie kołowej jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z promienia orbity:\n\n\\[\nv \\propto \\frac{1}{\\sqrt{r}}\n\\]\n\nIm dalej od Słońca, tym wolniej sonda się porusza. Sonda A jest bliżej (\\(r_A < r_B\\)), więc \\(v_A > v_B\\) - iloraz musi być \\(> 1\\). To od razu eliminuje odpowiedzi A i C.\n\n**Krok 3 - Iloraz prędkości.**\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{\\sqrt{GM/r_A}}{\\sqrt{GM/r_B}} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}}\n\\]\n\nStała \\(GM\\) (masa Słońca i stała grawitacji) skraca się - nie trzeba jej znać!\n\n**Krok 4 - Podstawienie.**\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\sqrt{\\frac{1{,}043}{0{,}962}} = \\sqrt{1{,}0842} \\approx 1{,}0413 \\approx 1{,}04\n\\]\n\n**Odpowiedź: D.**\n\n## Sposób 2 - Przez III prawo Keplera (\\(v = 2\\pi r / T\\))\n\nPrędkość liniowa na orbicie kołowej to obwód podzielony przez okres:\n\n\\[\nv = \\frac{2\\pi r}{T}\n\\]\n\nZatem:\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{2\\pi r_A / T_A}{2\\pi r_B / T_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\frac{T_B}{T_A}\n\\]\n\nZ III prawa Keplera \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\) wynika \\(T \\propto r^{3/2}\\), więc:\n\n\\[\n\\frac{T_B}{T_A} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2}\n\\]\n\nPodstawiamy:\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{-1} \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{1/2} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}}\n\\]\n\nIdentyczny wzór jak w Sposobie 1 - weryfikacja poprawna. ✓\n\nMożna też skorzystać z wyniku z 7.1 (\\(T_A = 344\\) dób, \\(T_B \\approx 388\\) dób):\n\n\\[\n\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\frac{T_B}{T_A} = \\frac{0{,}962}{1{,}043} \\cdot \\frac{388}{344} \\approx 0{,}9223 \\cdot 1{,}1279 \\approx 1{,}04 \\;✓\n\\]\n\n## Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne\n\n| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(\\approx 0{,}92\\) | Odwrócony stosunek promieni: \\(r_A/r_B = 0{,}962/1{,}043 \\approx 0{,}92\\) - bez pierwiastka i w złą stronę (to byłby iloraz \\(T_A/T_B \\cdot \\dots\\) lub po prostu \\(r_A/r_B\\)) |\n| **B** \\(\\approx 1{,}08\\) | Użycie \\(r_B/r_A = 1{,}043/0{,}962 \\approx 1{,}08\\) bez pierwiastka - zapomnienie, że \\(v \\propto 1/\\sqrt{r}\\), a nie \\(1/r\\) |\n| **C** \\(\\approx 0{,}96\\) | Odwrócony pierwiastek: \\(\\sqrt{r_A/r_B} = \\sqrt{0{,}962/1{,}043} \\approx 0{,}96\\) - sonda bliższa miałaby być wolniejsza, co jest fizycznie błędne |\n| **D** \\(\\approx 1{,}04\\) | **Poprawnie:** \\(\\sqrt{r_B/r_A} \\approx 1{,}04\\), sonda A (bliżej Słońca) porusza się szybciej |\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Grawitacja:**\n>\n> **Prędkość na orbicie kołowej (pierwsza prędkość kosmiczna dla promienia r):**\n> \\[v = \\sqrt{\\frac{GM}{r}}\\]\n> wynika z porównania siły grawitacji \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\) z siłą dośrodkową \\(F = \\dfrac{mv^2}{r}\\).\n>\n> **Związek prędkości z okresem:** \\(v = \\dfrac{2\\pi r}{T}\\)\n>\n> **III prawo Keplera:** \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\)\n>\n> W ilorazie \\(v_A/v_B\\) stała \\(GM\\) się skraca - nie potrzebujemy masy Słońca.\n\n## Orientacyjny schemat oceniania (nieoficjalny)\n\n> 📋 **Propozycja punktowania (zadanie 7.3, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - zaznaczenie odpowiedzi **D** (\\(v_A/v_B \\approx 1{,}04\\))\n> - **0 pkt** - dowolna inna odpowiedź\n>\n> Zadanie zamknięte - liczy się tylko zaznaczona litera.\n>\n> *(Pole `_klucz_cke` dla tego podpunktu jest puste - schemat orientacyjny, nie pochodzi z oficjalnego klucza CKE.)*\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Pułapka 1 - brak pierwiastka:** \\(v \\propto 1/\\sqrt{r}\\), więc iloraz to \\(\\sqrt{r_B/r_A}\\), a nie samo \\(r_B/r_A\\). Pominięcie pierwiastka daje błędną odpowiedź B (1,08).\n\n> ⚠️ **Pułapka 2 - odwrócony kierunek:** Sonda bliżej Słońca (\\(r_A < r_B\\)) porusza się **szybciej** (większa siła grawitacji = większa prędkość dośrodkowa). Dlatego \\(v_A > v_B\\) i iloraz \\(> 1\\). Odpowiedzi A i C (\\(< 1\\)) są fizycznie sprzeczne z tą logiką.\n\n> ⚠️ **Pułapka 3 - mylenie z okresami:** Dla okresów jest odwrotnie: \\(T \\propto r^{3/2}\\), więc \\(T_A < T_B\\). Ale prędkość liniowa to nie to samo co okres - sonda dalsza ma dłuższy okres I mniejszą prędkość liniową jednocześnie.\n\n> ⚠️ **Pułapka 4 - zbędne jednostki:** Promienie podano w au; w ilorazie jednostki się skracają, więc nie trzeba przeliczać na metry. Wystarczy stosunek liczb 1,043 / 0,962.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-7.3.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":13,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7.3. (0-1)
Dokończ zdanie. Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloraz
v𝐴
v𝐵 , czyli stosunek wartości prędkości liniowej sondy A do wartości prędkości liniowej
sondy B, wynosi (w zaokrągleniu do dwóch miejsc po przecinku)
A. v𝐴
v𝐵
≈0,92 B. v𝐴
v𝐵
≈1,08 C. v𝐴
v𝐵
≈0,96 D. v𝐴
v𝐵
≈1,04
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
7.1.
7.2.
7.3.
Maks. liczba pkt
2
3
1
Uzyskana liczba pkt
A
S
Z
B
𝛼
Rysunek 2.
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 7.3. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
1.2) (P) opisuje zależności między siłą
dośrodkową a masą, prędkością liniową
i promieniem oraz wskazuje przykłady sił
pełniących rolę siły dośrodkowej.
4.1) wykorzystuje prawo powszechnego
ciążenia do obliczenia siły oddziaływań
grawitacyjnych między masami punktowymi
i sferycznie symetrycznymi;
4.6) wyjaśnia pojęcie pierwszej […] prędkości
kosmicznej; oblicza ich wartości dla różnych
ciał niebieskich.
Zasady oceniania
1 pkt - poprawna odpowiedź.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
D

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

Odpowiedź D: \\(\\dfrac{v_A}{v_B} \\approx 1{,}04\\)

\n

\\[
\\frac{v_A}{v_B} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}} = \\sqrt{\\frac{1{,}043}{0{,}962}} = \\sqrt{1{,}0842} \\approx 1{,}04
\\]

\n

Sposób 1 - Prędkość kołowa z prawa grawitacji

\n

Krok 1 - Dane z preambuły zadania 7 (podpunkt 7.1).

\n

Obie sondy poruszają się po orbitach kołowych dookoła Słońca jedynie pod wpływem jego grawitacji:

\n

\\[
r_A = 0{,}962\\ \\text{au}, \\qquad r_B = 1{,}043\\ \\text{au}
\\]

\n

Krok 2 - Warunek ruchu po okręgu.

\n

Siła grawitacji Słońca jest siłą dośrodkową utrzymującą sondę na orbicie kołowej:

\n

\\[
\\frac{G M m}{r^2} = \\frac{m v^2}{r}
\\]

\n

Po skróceniu masy sondy \\(m\\) i jednego \\(r\\):

\n

\\[
v^2 = \\frac{G M}{r} \\quad \\Rightarrow \\quad v = \\sqrt{\\frac{G M}{r}}
\\]

\n

Wniosek: prędkość liniowa na orbicie kołowej jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka z promienia orbity:

\n

\\[
v \\propto \\frac{1}{\\sqrt{r}}
\\]

\n

Im dalej od Słońca, tym wolniej sonda się porusza. Sonda A jest bliżej (\\(r_A < r_B\\)), więc \\(v_A > v_B\\) - iloraz musi być \\(> 1\\). To od razu eliminuje odpowiedzi A i C.

\n

Krok 3 - Iloraz prędkości.

\n

\\[
\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{\\sqrt{GM/r_A}}{\\sqrt{GM/r_B}} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}}
\\]

\n

Stała \\(GM\\) (masa Słońca i stała grawitacji) skraca się - nie trzeba jej znać!

\n

Krok 4 - Podstawienie.

\n

\\[
\\frac{v_A}{v_B} = \\sqrt{\\frac{1{,}043}{0{,}962}} = \\sqrt{1{,}0842} \\approx 1{,}0413 \\approx 1{,}04
\\]

\n

Odpowiedź: D.

\n

Sposób 2 - Przez III prawo Keplera (\\(v = 2\\pi r / T\\))

\n

Prędkość liniowa na orbicie kołowej to obwód podzielony przez okres:

\n

\\[
v = \\frac{2\\pi r}{T}
\\]

\n

Zatem:

\n

\\[
\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{2\\pi r_A / T_A}{2\\pi r_B / T_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\frac{T_B}{T_A}
\\]

\n

Z III prawa Keplera \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\) wynika \\(T \\propto r^{3/2}\\), więc:

\n

\\[
\\frac{T_B}{T_A} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2}
\\]

\n

Podstawiamy:

\n

\\[
\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{-1} \\cdot \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{3/2} = \\left(\\frac{r_B}{r_A}\\right)^{1/2} = \\sqrt{\\frac{r_B}{r_A}}
\\]

\n

Identyczny wzór jak w Sposobie 1 - weryfikacja poprawna. ✓

\n

Można też skorzystać z wyniku z 7.1 (\\(T_A = 344\\) dób, \\(T_B \\approx 388\\) dób):

\n

\\[
\\frac{v_A}{v_B} = \\frac{r_A}{r_B} \\cdot \\frac{T_B}{T_A} = \\frac{0{,}962}{1{,}043} \\cdot \\frac{388}{344} \\approx 0{,}9223 \\cdot 1{,}1279 \\approx 1{,}04 \\;✓
\\]

\n

Dlaczego pozostałe odpowiedzi są błędne

\n

| Wariant | Typowy błąd prowadzący do tej odpowiedzi |
| A \\(\\approx 0{,}92\\) | Odwrócony stosunek promieni: \\(r_A/r_B = 0{,}962/1{,}043 \\approx 0{,}92\\) - bez pierwiastka i w złą stronę (to byłby iloraz \\(T_A/T_B \\cdot \\dots\\) lub po prostu \\(r_A/r_B\\)) |
| B \\(\\approx 1{,}08\\) | Użycie \\(r_B/r_A = 1{,}043/0{,}962 \\approx 1{,}08\\) bez pierwiastka - zapomnienie, że \\(v \\propto 1/\\sqrt{r}\\), a nie \\(1/r\\) |
| C \\(\\approx 0{,}96\\) | Odwrócony pierwiastek: \\(\\sqrt{r_A/r_B} = \\sqrt{0{,}962/1{,}043} \\approx 0{,}96\\) - sonda bliższa miałaby być wolniejsza, co jest fizycznie błędne |
| D \\(\\approx 1{,}04\\) | Poprawnie: \\(\\sqrt{r_B/r_A} \\approx 1{,}04\\), sonda A (bliżej Słońca) porusza się szybciej |

\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Grawitacja:

Prędkość na orbicie kołowej (pierwsza prędkość kosmiczna dla promienia r):
\\[v = \\sqrt{\\frac{GM}{r}}\\]
wynika z porównania siły grawitacji \\(F = \\dfrac{GMm}{r^2}\\) z siłą dośrodkową \\(F = \\dfrac{mv^2}{r}\\).

Związek prędkości z okresem: \\(v = \\dfrac{2\\pi r}{T}\\)

III prawo Keplera: \\(\\dfrac{T^2}{r^3} = \\text{const}\\)

W ilorazie \\(v_A/v_B\\) stała \\(GM\\) się skraca - nie potrzebujemy masy Słońca.
\n

Orientacyjny schemat oceniania (nieoficjalny)

\n
📋 Propozycja punktowania (zadanie 7.3, max 1 pkt):
- 1 pkt - zaznaczenie odpowiedzi D (\\(v_A/v_B \\approx 1{,}04\\))
- 0 pkt - dowolna inna odpowiedź

Zadanie zamknięte - liczy się tylko zaznaczona litera.

(Pole _klucz_cke dla tego podpunktu jest puste - schemat orientacyjny, nie pochodzi z oficjalnego klucza CKE.)
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Pułapka 1 - brak pierwiastka: \\(v \\propto 1/\\sqrt{r}\\), więc iloraz to \\(\\sqrt{r_B/r_A}\\), a nie samo \\(r_B/r_A\\). Pominięcie pierwiastka daje błędną odpowiedź B (1,08).
\n
⚠️ Pułapka 2 - odwrócony kierunek: Sonda bliżej Słońca (\\(r_A < r_B\\)) porusza się szybciej (większa siła grawitacji = większa prędkość dośrodkowa). Dlatego \\(v_A > v_B\\) i iloraz \\(> 1\\). Odpowiedzi A i C (\\(< 1\\)) są fizycznie sprzeczne z tą logiką.
\n
⚠️ Pułapka 3 - mylenie z okresami: Dla okresów jest odwrotnie: \\(T \\propto r^{3/2}\\), więc \\(T_A < T_B\\). Ale prędkość liniowa to nie to samo co okres - sonda dalsza ma dłuższy okres I mniejszą prędkość liniową jednocześnie.
\n
⚠️ Pułapka 4 - zbędne jednostki: Promienie podano w au; w ilorazie jednostki się skracają, więc nie trzeba przeliczać na metry. Wystarczy stosunek liczb 1,043 / 0,962.
"}]}