Zadanie 8.1. (0-1)
Dokończ zdanie. Wpisz właściwą liczbę w wykropkowanym miejscu, w zaokrągleniu
do trzech cyfr znaczących.
Częstotliwość zmian natężenia prądu w opisanym obwodzie jest równa Hz.
Brudnopis do zadania 8.1.
Zadanie 8.1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
9.11) opisuje prąd przemienny (natężenie,
napięcie, częstotliwość […]).
Zasady oceniania
1 pkt - wpisanie prawidłowej częstotliwości zmian natężenia prądu w obwodzie.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
Częstotliwość zmian natężenia prądu w opisanym obwodzie jest równa
Hz.
1,59
Częstotliwość zmian natężenia prądu w opisanym obwodzie jest równa 1,59 Hz.
\nNapięcie prądnicy ma postać:
\n\\[U(t) = U_{\\max} \\cdot \\sin(\\omega t)\\]
\ngdzie \\(\\omega\\) to pulsacja (częstość kołowa) wyrażona w \\(\\text{rad/s}\\).
\nPorównując z danym wzorem:
\n\\[U(t) = 7{,}50\\ \\text{V} \\cdot \\sin\\!\\left(10{,}0\\ \\frac{1}{\\text{s}} \\cdot t\\right)\\]
\nodczytujemy wprost:
\n\\[\\omega = 10{,}0\\ \\frac{\\text{rad}}{\\text{s}}\\]
\nZwiązek pulsacji z częstotliwością:
\n\\[\\omega = 2\\pi f \\implies f = \\frac{\\omega}{2\\pi}\\]
\n\\[f = \\frac{10{,}0\\ \\frac{\\text{rad}}{\\text{s}}}{2\\pi} = \\frac{10{,}0}{6{,}2832\\ldots}\\ \\text{Hz} \\approx 1{,}5915\\ldots\\ \\text{Hz}\\]
\nZaokrąglenie do 3 cyfr znaczących:
\n\\[\\boxed{f = 1{,}59\\ \\text{Hz}}\\]
\nPonieważ opornik jest elementem liniowym, natężenie prądu wynosi \\(I(t) = \\frac{U(t)}{R}\\) - jest proporcjonalne do napięcia, więc zmienia się z tą samą częstotliwością co napięcie.
\nWyznaczamy okres \\(T\\) z warunku, że argument sinusa musi przejść pełny obrót \\(2\\pi\\):
\n\\[\\omega \\cdot T = 2\\pi \\implies T = \\frac{2\\pi}{\\omega} = \\frac{2\\pi}{10{,}0\\ \\frac{1}{\\text{s}}} \\approx 0{,}6283\\ \\text{s}\\]
\nCzęstotliwość to odwrotność okresu:
\n\\[f = \\frac{1}{T} = \\frac{1}{0{,}6283\\ \\text{s}} \\approx 1{,}59\\ \\text{Hz}\\]
\nWynik identyczny - 1,59 Hz.
\n📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 8.1, max 1 pkt):\n
- 1 pkt - uczeń wpisał wartość \\(1{,}59\\ \\text{Hz}\\) (lub równoważnie uzyskaną ze wzoru \\(f = \\omega / 2\\pi\\))
- 0 pkt - odpowiedź niespełniająca wymagań lub brak odpowiedzi
- Akceptowane warianty: \\(1{,}59\\ \\text{Hz}\\); dopuszczalne \\(1{,}592\\ \\text{Hz}\\) (4 cyfry znaczące - zaokrąglenie prawidłowe, uczeń zaokrąglił do 3 cyfr znaczących)
- Uwagi (orientacyjne): ❌ Nie uznaje się wpisania samej pulsacji \\(\\omega = 10{,}0\\ \\text{rad/s}\\) jako odpowiedzi na częstotliwość
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA (drgania i fale / prąd przemienny):\n
Pulsacja a częstotliwość:
\\[\\omega = 2\\pi f\\]
Okres a częstotliwość:
\\[T = \\frac{1}{f}\\]
Postać ogólna napięcia przemiennego:
\\[U(t) = U_{\\max} \\cdot \\sin(\\omega t + \\varphi_0)\\]
Użyliśmy w obu sposobach do odczytania \\(\\omega\\) z podanego wzoru i przeliczenia na \\(f\\).
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - podanie \\(\\omega = 10{,}0\\ \\text{rad/s}\\) jako odpowiedzi na częstotliwość. Pulsacja i częstotliwość to różne wielkości: \\(\\omega\\) jest \\(2\\pi\\) razy większa od \\(f\\).\n
⚠️ Uwaga: Błąd zaokrąglenia - wynik \\(1{,}5915…\\) zaokrąglamy do 3 cyfr znaczących (jak poleca treść), czyli \\(1{,}59\\ \\text{Hz}\\), nie \\(1{,}6\\ \\text{Hz}\\) (to tylko 2 cyfry znaczące).\n
⚠️ Uwaga: Pułapka na myślenie "natężenie prądu zmienia się 2 razy szybciej" - to nieprawda dla natężenia \\(I(t)\\). Dwa razy szybciej zmienia się moc chwilowa \\(P(t) = I^2 R\\) (cosinus drugiej harmonicznej), ale nie samo natężenie prądu."},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"
$1,59 \\text{ Hz}$
"}]}