{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9.1","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9.1","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.1. (0-3)\nGdy ekran ustawiono w odległości 𝑑1 = 49 cm od przedmiotu P, to - przy pewnym położeniu\nsoczewki - zaobserwowano na ekranie ostry i powiększony obraz P′ przedmiotu P (zobacz\nrysunek). Powiększenie obrazu względem przedmiotu było równe 𝑝= 2,5.\nRysunek\nOblicz ogniskową 𝒇 soczewki.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n8.1.\n8.2.\n9.1.\nMaks. liczba pkt\n1\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\nP\nE\nP′\nS\n𝑑1\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.1. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n10.5) […] wyjaśnia konstrukcje tworzenia\nobrazów rzeczywistych […] otrzymywane za\npomocą soczewek skupiających […];\n10.6) stosuje równanie soczewki, wyznacza\npołożenie i powiększenie otrzymanych\nobrazów.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia ogniskowej soczewki oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - poprawne zapisanie równania soczewki oraz dwóch równań wiążących odległość\nprzedmiotu od soczewki z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:\n1\n𝑓= 1\n𝑥+ 1\n𝑦 oraz 𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦\n𝑥= 2,5\nLUB\n- poprawne zapisanie dwóch równań wiążących odległość przedmiotu od soczewki\nz odległością obrazu przedmiotu od soczewki oraz prawidłowe rozwiązanie tego\nukładu równań i podanie obu odległości, np. zapisy:\n𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦\n𝑥= 2,5 oraz 𝑥= 14 cm oraz 𝑦= 35 cm\n1 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań wiążących odległość przedmiotu od soczewki\nz odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:\n𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦\n𝑥= 2,5\nLUB\n- poprawne zapisanie równania soczewki oraz jednego z równań wiążących odległość\nprzedmiotu od soczewki z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:\n1\n𝑓= 1\n𝑥+ 1\n𝑦 oraz ( 𝑥+ 𝑦= 49 cm albo 𝑦\n𝑥= 2,5 )\n0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.\nPrzykładowe rozwiązanie\nOgniskową soczewki 𝑓 obliczymy z równania soczewki:\n1\n𝑓= 1\n𝑥+ 1\n𝑦\ngdzie 𝑥= |𝑃𝑆| i 𝑦= |𝑆𝐸| są odpowiednio odległościami przedmiotu od soczewki i obrazu od\nsoczewki. Wielkości te wyznaczymy z układu równań:\n{\n𝑑1 = 𝑥+ 𝑦\n𝑦\n𝑥= 𝑝 → {\n𝑥+ 𝑦= 49 cm\n𝑦\n𝑥= 2,5\n{𝑥+ 2,5𝑥= 49 cm\n𝑦= 2,5𝑥 → {3,5𝑥= 49 cm\n𝑦= 2,5𝑥\n{𝑥= 14 cm\n𝑦= 35 cm\nObliczymy ogniskową soczewki:\n1\n𝑓=\n1\n14 cm +\n1\n35 cm =\n49\n490 cm =\n1\n10 cm\n𝑓= 10 cm","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}$$\n\n## Sposób 1 - Układ równań: powiększenie + suma odległości\n\n**Dane i definicje:**\n\nNiech \\(u\\) = odległość przedmiotu od soczewki, \\(v\\) = odległość obrazu od soczewki.\n\nZ rysunku: \\(u + v = d_1\\), bo przedmiot, soczewka i ekran leżą na jednej osi, a \\(d_1\\) to całkowita odległość P-E.\n\n**Krok 1 - Równanie powiększenia.**\n\nDla obrazu rzeczywistego wytworzonego przez soczewkę skupiającą:\n\\[\np = \\frac{v}{u} \\implies v = p \\cdot u = 2{,}5 \\cdot u\n\\]\n\n**Krok 2 - Równanie odległości P-E.**\n\\[\nu + v = d_1 \\implies u + 2{,}5u = 49 \\ \\text{cm} \\implies 3{,}5u = 49 \\ \\text{cm}\n\\]\n\\[\nu = 14 \\ \\text{cm}, \\qquad v = 2{,}5 \\cdot 14 = 35 \\ \\text{cm}\n\\]\n\n**Krok 3 - Równanie soczewki cienkie.**\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v} = \\frac{1}{14} + \\frac{1}{35} = \\frac{5}{70} + \\frac{2}{70} = \\frac{7}{70} = \\frac{1}{10}\n\\]\n\\[\n\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}\n\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(f < u < 2f \\implies 10 < 14 < 20\\) ✓ (przedmiot między \\(f\\) a \\(2f\\) daje obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony - zgodnie z rysunkiem).\n\n## Sposób 2 - Wzór bezpośredni: $f$ z $d_1$ i $p$ (metoda analityczna)\n\nWyprowadźmy wzór zamknięty, eliminując \\(u\\) i \\(v\\) algebraicznie.\n\nZ \\(v = pu\\) i \\(u + v = d_1\\):\n\\[\nu = \\frac{d_1}{1+p}, \\qquad v = \\frac{p \\cdot d_1}{1+p}\n\\]\n\nPodstawiamy do równania soczewki:\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v} = \\frac{1+p}{d_1} + \\frac{1+p}{p \\cdot d_1} = \\frac{(1+p)}{d_1}\\left(1 + \\frac{1}{p}\\right) = \\frac{(1+p)^2}{p \\cdot d_1}\n\\]\n\nStąd:\n\\[\nf = \\frac{p \\cdot d_1}{(1+p)^2}\n\\]\n\nPodstawiamy \\(p = 2{,}5\\), \\(d_1 = 49 \\ \\text{cm}\\):\n\\[\nf = \\frac{2{,}5 \\cdot 49}{(1 + 2{,}5)^2} = \\frac{122{,}5}{(3{,}5)^2} = \\frac{122{,}5}{12{,}25} = 10 \\ \\text{cm}\n\\]\n\\[\n\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}\n\\]\n\n> **Zaleta tej metody:** wzór \\(f = \\frac{p \\cdot d_1}{(1+p)^2}\\) jest gotowym narzędziem - na maturze pozwala liczyć bez wyznaczania \\(u\\) i \\(v\\) osobno.\n\n## Sposób 3 - Metoda Bessela (kontekst fizyczny - dwie pozycje soczewki)\n\nMetoda Bessela to klasyczna technika laboratoryjna: przy **stałej** odległości \\(d_1 > 4f\\) soczewkę przesuwa się i szuka **dwóch** ostrych ustawień. Tu mamy tylko jedno, ale warto znać warunek:\n\nWarunek istnienia ostrych obrazów rzeczywistych:\n\\[\nd_1 \\geq 4f \\implies f \\leq \\frac{d_1}{4} = \\frac{49}{4} = 12{,}25 \\ \\text{cm}\n\\]\n\nNasze \\(f = 10 \\ \\text{cm} < 12{,}25 \\ \\text{cm}\\) - warunek spełniony ✓. Gdyby wynik wyszedł \\(f > 12{,}25 \\ \\text{cm}\\), oznaczałoby to błąd w rachunkach (fizycznie niemożliwy obraz ostry przy danym \\(d_1\\)).\n\n> **Zastosowanie:** to szybka weryfikacja sensowności wyniku na egzaminie.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 3 pkt):**\n>\n> - **1 pkt** - poprawne zapisanie związku między odległościami przedmiotu i obrazu a powiększeniem: \\(p = v/u\\) lub \\(v = p \\cdot u\\)\n> - **1 pkt** - poprawne wyznaczenie \\(u\\) i \\(v\\) z układu równań (lub równoważne podstawienie do wzoru na \\(f\\))\n> - **1 pkt** - poprawne zastosowanie równania soczewki i otrzymanie \\(f = 10 \\ \\text{cm}\\)\n>\n> - **0 pkt** - odpowiedź bez uzasadnienia lub błędna metoda\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się zapis \\(u\\) jako \\(x\\) lub inna litera; ✅ Akceptuje się \\(f = 0{,}10 \\ \\text{m}\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE (sekcja FIZYKA) - Optyka:**\n>\n> **Równanie soczewki cienkiej:**\n> \\[\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v}\\]\n>\n> **Powiększenie liniowe:**\n> \\[p = \\frac{v}{u}\\]\n>\n> Oba wzory dostępne na karcie - **nie trzeba ich pamiętać**, tylko umiejętnie połączyć.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Powiększenie \\(p = v/u\\), **nie** \\(p = u/v\\) - częsty błąd to odwrócenie ułamka. Sprawdź: obraz dalej od soczewki niż przedmiot (\\(v > u\\)) → \\(p > 1\\) ✓\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(d_1\\) to odległość **P od E** (cała ława), **nie** odległość P od soczewki ani E od soczewki! Błąd: podstawienie \\(d_1 = 49\\) jako \\(u\\) wprost do wzoru soczewki.\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Obraz rzeczywisty ma \\(v > 0\\) (po tej samej stronie co ekran) - wzory działają bez znaków, gdy trzymamy konwencję „odległości jako wartości bezwzględne\". Na poziomie rozszerzonym oba podejścia (z znakami i bez) są akceptowane.\n>\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić powiększenia \\(p = 2{,}5\\) z tym, że obraz jest **2,5× wyższy od przedmiotu** - to jest \\(|p|\\), i tyle, bo obraz jest odwrócony (strzałka w dół na rysunku). CKE nie pyta o znak powiększenia wprost, ale fizycznie obraz jest rzeczywiście odwrócony.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.1.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.1. (0-3)
Gdy ekran ustawiono w odległości 𝑑1 = 49 cm od przedmiotu P, to - przy pewnym położeniu
soczewki - zaobserwowano na ekranie ostry i powiększony obraz P′ przedmiotu P (zobacz
rysunek). Powiększenie obrazu względem przedmiotu było równe 𝑝= 2,5.
Rysunek
Oblicz ogniskową 𝒇 soczewki.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
8.1.
8.2.
9.1.
Maks. liczba pkt
1
2
3
Uzyskana liczba pkt
P
E
P′
S
𝑑1
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9.1. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Planowanie i wykonywanie prostych
doświadczeń i analiza ich wyników.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
10.5) […] wyjaśnia konstrukcje tworzenia
obrazów rzeczywistych […] otrzymywane za
pomocą soczewek skupiających […];
10.6) stosuje równanie soczewki, wyznacza
położenie i powiększenie otrzymanych
obrazów.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia ogniskowej soczewki oraz podanie prawidłowego
wyniku liczbowego z jednostką.
2 pkt - poprawne zapisanie równania soczewki oraz dwóch równań wiążących odległość
przedmiotu od soczewki z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:
1
𝑓= 1
𝑥+ 1
𝑦 oraz 𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦
𝑥= 2,5
LUB

\n\n

z odległością obrazu przedmiotu od soczewki oraz prawidłowe rozwiązanie tego
układu równań i podanie obu odległości, np. zapisy:
𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦
𝑥= 2,5 oraz 𝑥= 14 cm oraz 𝑦= 35 cm
1 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań wiążących odległość przedmiotu od soczewki
z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:
𝑥+ 𝑦= 49 cm oraz 𝑦
𝑥= 2,5
LUB

\n\n

przedmiotu od soczewki z odległością obrazu przedmiotu od soczewki, np. zapisy:
1
𝑓= 1
𝑥+ 1
𝑦 oraz ( 𝑥+ 𝑦= 49 cm albo 𝑦
𝑥= 2,5 )
0 pkt - brak spełnienia powyższych kryteriów.
Przykładowe rozwiązanie
Ogniskową soczewki 𝑓 obliczymy z równania soczewki:
1
𝑓= 1
𝑥+ 1
𝑦
gdzie 𝑥= |𝑃𝑆| i 𝑦= |𝑆𝐸| są odpowiednio odległościami przedmiotu od soczewki i obrazu od
soczewki. Wielkości te wyznaczymy z układu równań:
{
𝑑1 = 𝑥+ 𝑦
𝑦
𝑥= 𝑝 → {
𝑥+ 𝑦= 49 cm
𝑦
𝑥= 2,5
{𝑥+ 2,5𝑥= 49 cm
𝑦= 2,5𝑥 → {3,5𝑥= 49 cm
𝑦= 2,5𝑥
{𝑥= 14 cm
𝑦= 35 cm
Obliczymy ogniskową soczewki:
1
𝑓=
1
14 cm +
1
35 cm =
49
490 cm =
1
10 cm
𝑓= 10 cm

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}$$

\n

Sposób 1 - Układ równań: powiększenie + suma odległości

\n

Dane i definicje:

\n

Niech \\(u\\) = odległość przedmiotu od soczewki, \\(v\\) = odległość obrazu od soczewki.

\n

Z rysunku: \\(u + v = d_1\\), bo przedmiot, soczewka i ekran leżą na jednej osi, a \\(d_1\\) to całkowita odległość P-E.

\n

Krok 1 - Równanie powiększenia.

\n

Dla obrazu rzeczywistego wytworzonego przez soczewkę skupiającą:
\\[
p = \\frac{v}{u} \\implies v = p \\cdot u = 2{,}5 \\cdot u
\\]

\n

Krok 2 - Równanie odległości P-E.
\\[
u + v = d_1 \\implies u + 2{,}5u = 49 \\ \\text{cm} \\implies 3{,}5u = 49 \\ \\text{cm}
\\]
\\[
u = 14 \\ \\text{cm}, \\qquad v = 2{,}5 \\cdot 14 = 35 \\ \\text{cm}
\\]

\n

Krok 3 - Równanie soczewki cienkie.
\\[
\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v} = \\frac{1}{14} + \\frac{1}{35} = \\frac{5}{70} + \\frac{2}{70} = \\frac{7}{70} = \\frac{1}{10}
\\]
\\[
\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}
\\]

\n

Weryfikacja: \\(f < u < 2f \\implies 10 < 14 < 20\\) ✓ (przedmiot między \\(f\\) a \\(2f\\) daje obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony - zgodnie z rysunkiem).

\n

Sposób 2 - Wzór bezpośredni: $f$ z $d_1$ i $p$ (metoda analityczna)

\n

Wyprowadźmy wzór zamknięty, eliminując \\(u\\) i \\(v\\) algebraicznie.

\n

Z \\(v = pu\\) i \\(u + v = d_1\\):
\\[
u = \\frac{d_1}{1+p}, \\qquad v = \\frac{p \\cdot d_1}{1+p}
\\]

\n

Podstawiamy do równania soczewki:
\\[
\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v} = \\frac{1+p}{d_1} + \\frac{1+p}{p \\cdot d_1} = \\frac{(1+p)}{d_1}\\left(1 + \\frac{1}{p}\\right) = \\frac{(1+p)^2}{p \\cdot d_1}
\\]

\n

Stąd:
\\[
f = \\frac{p \\cdot d_1}{(1+p)^2}
\\]

\n

Podstawiamy \\(p = 2{,}5\\), \\(d_1 = 49 \\ \\text{cm}\\):
\\[
f = \\frac{2{,}5 \\cdot 49}{(1 + 2{,}5)^2} = \\frac{122{,}5}{(3{,}5)^2} = \\frac{122{,}5}{12{,}25} = 10 \\ \\text{cm}
\\]
\\[
\\boxed{f = 10 \\ \\text{cm}}
\\]

\n
Zaleta tej metody: wzór \\(f = \\frac{p \\cdot d_1}{(1+p)^2}\\) jest gotowym narzędziem - na maturze pozwala liczyć bez wyznaczania \\(u\\) i \\(v\\) osobno.
\n

Sposób 3 - Metoda Bessela (kontekst fizyczny - dwie pozycje soczewki)

\n

Metoda Bessela to klasyczna technika laboratoryjna: przy stałej odległości \\(d_1 > 4f\\) soczewkę przesuwa się i szuka dwóch ostrych ustawień. Tu mamy tylko jedno, ale warto znać warunek:

\n

Warunek istnienia ostrych obrazów rzeczywistych:
\\[
d_1 \\geq 4f \\implies f \\leq \\frac{d_1}{4} = \\frac{49}{4} = 12{,}25 \\ \\text{cm}
\\]

\n

Nasze \\(f = 10 \\ \\text{cm} < 12{,}25 \\ \\text{cm}\\) - warunek spełniony ✓. Gdyby wynik wyszedł \\(f > 12{,}25 \\ \\text{cm}\\), oznaczałoby to błąd w rachunkach (fizycznie niemożliwy obraz ostry przy danym \\(d_1\\)).

\n
Zastosowanie: to szybka weryfikacja sensowności wyniku na egzaminie.
\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.1, max 3 pkt):

- 1 pkt - poprawne zapisanie związku między odległościami przedmiotu i obrazu a powiększeniem: \\(p = v/u\\) lub \\(v = p \\cdot u\\)
- 1 pkt - poprawne wyznaczenie \\(u\\) i \\(v\\) z układu równań (lub równoważne podstawienie do wzoru na \\(f\\))
- 1 pkt - poprawne zastosowanie równania soczewki i otrzymanie \\(f = 10 \\ \\text{cm}\\)

- 0 pkt - odpowiedź bez uzasadnienia lub błędna metoda
- Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się zapis \\(u\\) jako \\(x\\) lub inna litera; ✅ Akceptuje się \\(f = 0{,}10 \\ \\text{m}\\)
\n

Wzory z karty CKE - czego MASZ użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE (sekcja FIZYKA) - Optyka:

Równanie soczewki cienkiej:
\\[\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v}\\]

Powiększenie liniowe:
\\[p = \\frac{v}{u}\\]

Oba wzory dostępne na karcie - nie trzeba ich pamiętać, tylko umiejętnie połączyć.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Powiększenie \\(p = v/u\\), nie \\(p = u/v\\) - częsty błąd to odwrócenie ułamka. Sprawdź: obraz dalej od soczewki niż przedmiot (\\(v > u\\)) → \\(p > 1\\) ✓

⚠️ Uwaga: \\(d_1\\) to odległość P od E (cała ława), nie odległość P od soczewki ani E od soczewki! Błąd: podstawienie \\(d_1 = 49\\) jako \\(u\\) wprost do wzoru soczewki.

⚠️ Uwaga: Obraz rzeczywisty ma \\(v > 0\\) (po tej samej stronie co ekran) - wzory działają bez znaków, gdy trzymamy konwencję „odległości jako wartości bezwzględne". Na poziomie rozszerzonym oba podejścia (z znakami i bez) są akceptowane.

⚠️ Uwaga: Nie mylić powiększenia \\(p = 2{,}5\\) z tym, że obraz jest 2,5× wyższy od przedmiotu - to jest \\(|p|\\), i tyle, bo obraz jest odwrócony (strzałka w dół na rysunku). CKE nie pyta o znak powiększenia wprost, ale fizycznie obraz jest rzeczywiście odwrócony.
"}]}