{"id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad/9.2","paper_id":"fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona","number":"9.2","points":1,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2022,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9.2. (0-1)\nW kolejnym doświadczeniu ekran i przedmiot ustawiono względem siebie w pewnej ustalonej\nodległości 𝑑2. Gdy soczewkę umieszczono w odległości 𝑥2 od przedmiotu P, to na ekranie\nzaobserwowano ostry, powiększony obraz tego przedmiotu, a gdy soczewkę umieszczono\nw odległości 𝑥3 od przedmiotu P, to na ekranie zaobserwowano ostry, pomniejszony obraz\ntego przedmiotu.\nZapisz w wyznaczonym poniżej miejscu wyrażenie pozwalające wyznaczyć 𝒙𝟑 tylko za\npomocą 𝒅𝟐 oraz 𝒙𝟐.\nBrudnopis do zadania 9.2.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9.2. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Planowanie i wykonywanie prostych\ndoświadczeń i analiza ich wyników.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n10.6) stosuje równanie soczewki, wyznacza\npołożenie i powiększenie otrzymanych\nobrazów.\nZasady oceniania\n1 pkt - wpisanie prawidłowej postaci wyrażenia.\n0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.\nPoprawna odpowiedź\n𝑥3 = 𝑑2 -𝑥2\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź\n\n$$\\boxed{x_3 = d_2 - x_2}$$\n\n## Sposób 1 - Równanie soczewki dla obu położeń (algebraiczny)\n\nDla **obu** przypadków odległość ekran-przedmiot wynosi \\(d_2\\) i soczewka jest ta sama (ta sama ogniskowa \\(f\\)).\n\n**Przypadek 1** (obraz powiększony, soczewka w odległości \\(x_2\\) od przedmiotu):\n- odległość przedmiotu: \\(u_1 = x_2\\)\n- odległość obrazu: \\(v_1 = d_2 - x_2\\)\n\nRównanie soczewki:\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x_2} + \\frac{1}{d_2 - x_2} = \\frac{d_2}{x_2(d_2 - x_2)}\n\\]\n\n**Przypadek 2** (obraz pomniejszony, soczewka w odległości \\(x_3\\) od przedmiotu):\n- odległość przedmiotu: \\(u_2 = x_3\\)\n- odległość obrazu: \\(v_2 = d_2 - x_3\\)\n\nRównanie soczewki:\n\\[\n\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x_3} + \\frac{1}{d_2 - x_3} = \\frac{d_2}{x_3(d_2 - x_3)}\n\\]\n\nPonieważ \\(f\\) jest **takie samo** w obu przypadkach:\n\\[\n\\frac{d_2}{x_2(d_2 - x_2)} = \\frac{d_2}{x_3(d_2 - x_3)}\n\\]\n\\[\nx_2(d_2 - x_2) = x_3(d_2 - x_3)\n\\]\n\\[\nx_2 d_2 - x_2^2 = x_3 d_2 - x_3^2\n\\]\n\\[\nx_3^2 - x_2^2 - d_2(x_3 - x_2) = 0\n\\]\n\\[\n(x_3 - x_2)(x_3 + x_2) - d_2(x_3 - x_2) = 0\n\\]\n\\[\n(x_3 - x_2)\\underbrace{(x_3 + x_2 - d_2)}_{\\text{to musi być zerem}} = 0\n\\]\n\nPonieważ \\(x_3 \\neq x_2\\) (to dwa **różne** położenia soczewki):\n\\[\nx_3 + x_2 - d_2 = 0 \\implies \\boxed{x_3 = d_2 - x_2}\n\\]\n\n## Sposób 2 - Zasada odwracalności drogi światła (fizyczne rozumowanie)\n\nTo **kluczowa zasada optyki geometrycznej**: jeśli promień tworzy ostry obraz w pewnym układzie, to zamiana miejscami przedmiotu i obrazu (czyli „odwrócenie\" biegu promieni) też daje ostry obraz - dla tej samej soczewki i tej samej ogniskowej.\n\nW przypadku 1:\n- przedmiot w odległości \\(x_2\\) od soczewki\n- obraz w odległości \\(d_2 - x_2\\) od soczewki\n\nAby zamienić przedmiot i obraz, przesuwamy soczewkę tak, żeby teraz:\n- przedmiot był w odległości \\(d_2 - x_2\\) od soczewki → soczewka jest w odległości \\(d_2 - x_2\\) od P\n\nCzyli nowa odległość soczewki od P:\n\\[\nx_3 = d_2 - x_2\n\\]\n\n**Dlaczego obraz jest teraz pomniejszony?** Przy \\(x_2 < \\frac{d_2}{2}\\) (obraz powiększony: obraz dalej niż przedmiot). Po zamianie: przedmiot dalej, obraz bliżej → powiększenie \\(|m| = \\frac{d_2 - x_3}{x_3} = \\frac{x_2}{d_2 - x_2} < 1\\) → obraz **pomniejszony**. ✓\n\n## Sposób 3 - Symetria funkcji \\(x(d_2 - x)\\) wokół \\(\\frac{d_2}{2}\\)\n\nIloczyn \\(x(d_2 - x)\\) jest parabolą symetryczną względem \\(x = \\frac{d_2}{2}\\). Jeśli \\(x_2\\) daje tę samą wartość co \\(x_3\\), to obie wartości muszą być symetryczne względem środka:\n\n\\[\nx_2 + x_3 = 2 \\cdot \\frac{d_2}{2} = d_2 \\implies x_3 = d_2 - x_2\n\\]\n\nTo jest geometryczna interpretacja: dwa położenia soczewki dające ostry obraz na ekranie są **lustrzanymi odbiciami względem środka odcinka** przedmiot-ekran.\n\n## Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)\n\n> 📋 **Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.2, max 1 pkt):**\n> - **1 pkt** - uczeń zapisuje poprawne wyrażenie \\(x_3 = d_2 - x_2\\)\n> - **0 pkt** - brak odpowiedzi, odpowiedź niepoprawna lub zawierająca \\(f\\) (niedozwolone - zadanie wymaga wyrażenia **tylko przez \\(d_2\\) i \\(x_2\\)**)\n> - **Uwagi (orientacyjne):** ✅ Dopuszcza się zapis równoważny, np. \\(x_3 = d_2 - x_2\\) lub \\(x_2 + x_3 = d_2\\)\n\n## Wzory z karty CKE - czego masz użyć\n\n> 📖 **Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Optyka:**\n> \\[\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v}\\]\n> gdzie \\(u\\) - odległość przedmiotu od soczewki, \\(v\\) - odległość obrazu od soczewki, \\(f\\) - ogniskowa.\n>\n> Użyliśmy w Sposób 1: zastosowaliśmy równanie dwukrotnie (raz dla \\(x_2\\), raz dla \\(x_3\\)), przyrównaliśmy i upraszczaliśmy.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd - zostawienie \\(f\\) w wyrażeniu końcowym. Zadanie żąda **wyłącznie \\(d_2\\) i \\(x_2\\)**. Musisz wyeliminować \\(f\\) przez przyrównanie obu równań soczewki.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mylenie, które położenie daje obraz powiększony, a które pomniejszony. Obraz powiększony → przedmiot **bliżej** soczewki (niż ognisko bliżej połowy \\(d_2\\)), obraz pomniejszony → przedmiot **dalej** (soczewka po drugiej stronie środka). Stąd \\(x_2 < \\frac{d_2}{2} < x_3\\), co potwierdza \\(x_3 = d_2 - x_2 > \\frac{d_2}{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wolno zakładać, że \\(x_3 = \\frac{d_2}{x_2}\\) lub innej „intuicyjnej\" proporcji - takie odpowiedzi są błędne. Poprawna zależność pochodzi wyłącznie z równania soczewki lub zasady odwracalności.","image":"img/fizyka-2022-maj-matura-rozszerzona/zad-9.2.webp","solution_image":null,"topics":"Fale elektromagnetyczne i optyka","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2022 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9.2. (0-1)
W kolejnym doświadczeniu ekran i przedmiot ustawiono względem siebie w pewnej ustalonej
odległości 𝑑2. Gdy soczewkę umieszczono w odległości 𝑥2 od przedmiotu P, to na ekranie
zaobserwowano ostry, powiększony obraz tego przedmiotu, a gdy soczewkę umieszczono
w odległości 𝑥3 od przedmiotu P, to na ekranie zaobserwowano ostry, pomniejszony obraz
tego przedmiotu.
Zapisz w wyznaczonym poniżej miejscu wyrażenie pozwalające wyznaczyć 𝒙𝟑 tylko za
pomocą 𝒅𝟐 oraz 𝒙𝟐.
Brudnopis do zadania 9.2.

","answer_text_html":"

Zadanie 9.2. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Planowanie i wykonywanie prostych
doświadczeń i analiza ich wyników.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
10.6) stosuje równanie soczewki, wyznacza
położenie i powiększenie otrzymanych
obrazów.
Zasady oceniania
1 pkt - wpisanie prawidłowej postaci wyrażenia.
0 pkt - brak spełnienia powyższego kryterium.
Poprawna odpowiedź
𝑥3 = 𝑑2 -𝑥2
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź

\n

$$\\boxed{x_3 = d_2 - x_2}$$

\n

Sposób 1 - Równanie soczewki dla obu położeń (algebraiczny)

\n

Dla obu przypadków odległość ekran-przedmiot wynosi \\(d_2\\) i soczewka jest ta sama (ta sama ogniskowa \\(f\\)).

\n

Przypadek 1 (obraz powiększony, soczewka w odległości \\(x_2\\) od przedmiotu):

\n\n

Równanie soczewki:
\\[
\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x_2} + \\frac{1}{d_2 - x_2} = \\frac{d_2}{x_2(d_2 - x_2)}
\\]

\n

Przypadek 2 (obraz pomniejszony, soczewka w odległości \\(x_3\\) od przedmiotu):

\n\n

Równanie soczewki:
\\[
\\frac{1}{f} = \\frac{1}{x_3} + \\frac{1}{d_2 - x_3} = \\frac{d_2}{x_3(d_2 - x_3)}
\\]

\n

Ponieważ \\(f\\) jest takie samo w obu przypadkach:
\\[
\\frac{d_2}{x_2(d_2 - x_2)} = \\frac{d_2}{x_3(d_2 - x_3)}
\\]
\\[
x_2(d_2 - x_2) = x_3(d_2 - x_3)
\\]
\\[
x_2 d_2 - x_2^2 = x_3 d_2 - x_3^2
\\]
\\[
x_3^2 - x_2^2 - d_2(x_3 - x_2) = 0
\\]
\\[
(x_3 - x_2)(x_3 + x_2) - d_2(x_3 - x_2) = 0
\\]
\\[
(x_3 - x_2)\\underbrace{(x_3 + x_2 - d_2)}_{\\text{to musi być zerem}} = 0
\\]

\n

Ponieważ \\(x_3 \\neq x_2\\) (to dwa różne położenia soczewki):
\\[
x_3 + x_2 - d_2 = 0 \\implies \\boxed{x_3 = d_2 - x_2}
\\]

\n

Sposób 2 - Zasada odwracalności drogi światła (fizyczne rozumowanie)

\n

To kluczowa zasada optyki geometrycznej: jeśli promień tworzy ostry obraz w pewnym układzie, to zamiana miejscami przedmiotu i obrazu (czyli „odwrócenie" biegu promieni) też daje ostry obraz - dla tej samej soczewki i tej samej ogniskowej.

\n

W przypadku 1:

\n\n

Aby zamienić przedmiot i obraz, przesuwamy soczewkę tak, żeby teraz:

\n\n

Czyli nowa odległość soczewki od P:
\\[
x_3 = d_2 - x_2
\\]

\n

Dlaczego obraz jest teraz pomniejszony? Przy \\(x_2 < \\frac{d_2}{2}\\) (obraz powiększony: obraz dalej niż przedmiot). Po zamianie: przedmiot dalej, obraz bliżej → powiększenie \\(|m| = \\frac{d_2 - x_3}{x_3} = \\frac{x_2}{d_2 - x_2} < 1\\) → obraz pomniejszony. ✓

\n

Sposób 3 - Symetria funkcji \\(x(d_2 - x)\\) wokół \\(\\frac{d_2}{2}\\)

\n

Iloczyn \\(x(d_2 - x)\\) jest parabolą symetryczną względem \\(x = \\frac{d_2}{2}\\). Jeśli \\(x_2\\) daje tę samą wartość co \\(x_3\\), to obie wartości muszą być symetryczne względem środka:

\n

\\[
x_2 + x_3 = 2 \\cdot \\frac{d_2}{2} = d_2 \\implies x_3 = d_2 - x_2
\\]

\n

To jest geometryczna interpretacja: dwa położenia soczewki dające ostry obraz na ekranie są lustrzanymi odbiciami względem środka odcinka przedmiot-ekran.

\n

Orientacyjny schemat punktowania (odtworzony przez AI - NIE oficjalny klucz CKE)

\n
📋 Orientacyjny schemat punktowania (nieoficjalny, odtworzony przez AI) (zadanie 9.2, max 1 pkt):
- 1 pkt - uczeń zapisuje poprawne wyrażenie \\(x_3 = d_2 - x_2\\)
- 0 pkt - brak odpowiedzi, odpowiedź niepoprawna lub zawierająca \\(f\\) (niedozwolone - zadanie wymaga wyrażenia tylko przez \\(d_2\\) i \\(x_2\\))
- Uwagi (orientacyjne): ✅ Dopuszcza się zapis równoważny, np. \\(x_3 = d_2 - x_2\\) lub \\(x_2 + x_3 = d_2\\)
\n

Wzory z karty CKE - czego masz użyć

\n
📖 Karta wzorów CKE - sekcja FIZYKA, Optyka:
\\[\\frac{1}{f} = \\frac{1}{u} + \\frac{1}{v}\\]
gdzie \\(u\\) - odległość przedmiotu od soczewki, \\(v\\) - odległość obrazu od soczewki, \\(f\\) - ogniskowa.

Użyliśmy w Sposób 1: zastosowaliśmy równanie dwukrotnie (raz dla \\(x_2\\), raz dla \\(x_3\\)), przyrównaliśmy i upraszczaliśmy.
\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd - zostawienie \\(f\\) w wyrażeniu końcowym. Zadanie żąda wyłącznie \\(d_2\\) i \\(x_2\\). Musisz wyeliminować \\(f\\) przez przyrównanie obu równań soczewki.
\n
⚠️ Uwaga: Mylenie, które położenie daje obraz powiększony, a które pomniejszony. Obraz powiększony → przedmiot bliżej soczewki (niż ognisko bliżej połowy \\(d_2\\)), obraz pomniejszony → przedmiot dalej (soczewka po drugiej stronie środka). Stąd \\(x_2 < \\frac{d_2}{2} < x_3\\), co potwierdza \\(x_3 = d_2 - x_2 > \\frac{d_2}{2}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Nie wolno zakładać, że \\(x_3 = \\frac{d_2}{x_2}\\) lub innej „intuicyjnej" proporcji - takie odpowiedzi są błędne. Poprawna zależność pochodzi wyłącznie z równania soczewki lub zasady odwracalności.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x_3 = d_2 - x_2$

"}]}