Zadanie 1.1. (0-2)
Wyprowadź wzór v𝟐= v𝟎
𝟐-𝟐𝒂𝒔 podany we wstępie do zadania 1. Zapisz odpowiednie
równania oraz przekształcenia prowadzące do uzyskania powyższej postaci tego wzoru.
EFAP-R0_100
Zadanie 1.1. (0-2)
Zasady oceniania1
(dla rozwiązania sposobem 1. i sposobem 2.)
2 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru v2 = v0
2 -2𝑎𝑠 (zastosowanie równań ruchu
jednostajnie opóźnionego) oraz podanie prawidłowej postaci tego wzoru.
1 pkt - poprawne zapisanie zależności drogi od czasu i prędkości od czasu (lub
przyśpieszenia od czasu) dla ruchu jednostajnie opóźnionego, z poprawnym
uwzględnieniem znaku przy wartości przyśpieszenia, np. zapisy lub zapisy
równoważne:
𝑠= 𝑣0𝑡-
1
2 𝑎𝑡2 i 𝑣= 𝑣0 -𝑎𝑡
albo
𝑠= 1
2 (𝑣0 + 𝑣)𝑡 i 𝑎= 𝑣0 -𝑣
𝑡
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 3.)
2 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru v2 = v0
2 -2𝑎𝑠 (zastosowanie twierdzenia
o pracy i energii kinetycznej) oraz podanie prawidłowej postaci tego wzoru.
1 pkt - zapisanie równania wynikającego z twierdzenia o pracy siły wypadkowej i energii
kinetycznej oraz wyrażenie siły wypadkowej na podstawie II zasady dynamiki, np.
zapisy lub zapisy równoważne:
𝑊𝐹𝑤= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑐-𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑐𝑧 oraz 𝐹𝑤= 𝑎𝑚
albo
𝑎𝑚𝑠= |𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑐-𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑐𝑧|
LUB
kinetycznej oraz zastosowanie wzoru na energię kinetyczną i pracę
-𝐹𝑤𝑠= 1
2 𝑚𝑣2 -1
2 𝑚𝑣0
2
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga! Powyższe zasady uwzględniają fakt, że zdający może zidentyfikować siłę
wypadkową działającą na kulkę na dywanie jako konkretną siłę - siłę oporów ruchu
(np. zamiast używania oznaczenia 𝐹𝑤 będzie oznaczenie 𝐹𝑜𝑝).
1 Pod opisem warunków za przyznanie punktów, w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub
przykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązanie
Sposób 1.
Zapiszemy równania ruchu, tzn. zależność drogi od czasu oraz zależność prędkości od
czasu w ruchu jednostajnie opóźnionym. Następnie wyeliminujemy czas i wyprowadzimy
związek między drogą 𝑠, prędkością początkową 𝑣0, prędkością końcową 𝑣 oraz wartością
bezwzględną przyśpieszenia 𝑎.
{𝑠= 𝑣0𝑡-1
2 𝑎𝑡2
𝑣= 𝑣0 -𝑎𝑡
→ {
𝑠= 𝑣0𝑡-1
2 𝑎𝑡2
𝑡= 𝑣0 -𝑣
𝑎
→ 𝑠= 𝑣0 (𝑣0 -𝑣
𝑎
) -1
2 𝑎(𝑣0 -𝑣
𝑎
)
2
→
𝑠= 𝑣0
2 -𝑣0𝑣
𝑎
-𝑣0
2 -2𝑣𝑜𝑣+ 𝑣2
2𝑎
= 2𝑣0
2 -2𝑣0𝑣-(𝑣0
2 -2𝑣𝑜𝑣+ 𝑣2)
2𝑎
→
𝑠= 2𝑣0
2 -2𝑣0𝑣-𝑣0
2 + 2𝑣𝑜𝑣-𝑣2
2𝑎
= 𝑣0
2 -𝑣2
2𝑎
→ 2𝑎𝑠= 𝑣0
2 -𝑣2
Sposób 2.
Zapiszemy zależność drogi od czasu oraz wzór na przyśpieszenie w ruchu jednostajnie
opóźnionym. Zależność drogi od czasu podamy w wersji z prędkością początkową i końcową
(na podstawie twierdzenia o drodze jako polu pod wykresem prędkości od czasu).
{
𝑠= 1
2 (𝑣0 + 𝑣)𝑡
𝑎= 𝑣0 -𝑣
𝑡
Pomnożymy przez siebie obie strony tych równań, wykonamy przekształcenia prowadzące
do otrzymania związku między drogą 𝑠, prędkością początkową 𝑣0, prędkością końcową 𝑣
oraz wartością bezwzględną przyśpieszenia 𝑎.
𝑎⋅𝑠= 1
2 (𝑣0 + 𝑣)𝑡⋅(𝑣0 -𝑣)
𝑡
→ 2𝑎𝑠= (𝑣0 + 𝑣)(𝑣0 -𝑣) → 2𝑎𝑠= 𝑣0
2 -𝑣2
Sposób 3.
Skorzystamy z twierdzenia o pracy i energii kinetycznej: Praca siły wypadkowej działającej
na ciało jest równa zmianie energii kinetycznej ciała. Siłę wypadkową wyrazimy na podstawie
II zasady dynamiki. We wzorze na pracę uwzględnimy, że siła wypadkowa działa przeciwnie
do przemieszczenia (kulka hamuje). Zatem:
𝑊𝐹𝑤= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑘𝑜𝑛𝑐-𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑐𝑧 → -𝐹𝑊⋅𝑠= 1
2 𝑚𝑣2 -1
2 𝑚𝑣0
2
-𝑚𝑎⋅𝑠= 1
2 𝑚𝑣2 -1
2 𝑚𝑣0
2 → 2𝑎𝑠= 𝑣2 -𝑣0
2