{"id":"fizyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/8.3","paper_id":"fizyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"8.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2023,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 8.3. (0-3)\nPromień orbity, po której porusza się dookoła Jowisza jego księżyc Europa, oraz okres\nobiegu tego księżyca po orbicie, wynoszą odpowiednio:\n𝑟𝐸≈6,711 ⋅105 km 𝑇𝐸≈3,551 dób ziemskich\nOblicz masę Jowisza. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 8.3. (0-3)\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia masy Jowisza (np. jak w krokach 1.-3.) oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.\n2 pkt - doprowadzenie do jednego wyrażenia, z którego można bezpośrednio obliczyć masę\nJowisza jedynie na podstawie stałych oraz promienia orbity 𝑟𝐸 i okresu 𝑇𝐸 (np.\nzapisanie wyrażenia jak w kroku 2.)\nLUB\n- zapisanie (od razu bez wyprowadzenia) III prawa Keplera łącznie z poprawnie\nokreśloną stałą:\n𝑇𝐸\n2\n𝑟𝐸\n3 =\n4𝜋2\n𝐺𝑀 oraz zidentyfikowanie wielkości w tym wzorze (np. poprzez\nużycie odpowiednich symboli z indeksami lub opis użytych symboli lub podstawienie\nwartości liczbowych).\n1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na księżyc Europa jako siłę\ndośrodkową, z uwzględnieniem wzorów na te siły (np. jak w kroku 1. w sposobie 1.)\nLUB\n- skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną, łącznie z zastosowaniem wzoru na\nprędkość w ruchu jednostajnym po okręgu (np. jak w kroku 1. w sposobie 2.).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nKrok 1. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie\nz uwzględnieniem wzorów na te siły:\n𝑚𝐸\n𝑣𝐸\n2\n𝑟𝐸\n= 𝐺𝑚𝐸𝑀\n𝑟𝐸\n2\nKrok 2. Wyprowadzimy wyrażenie pozwalające na bezpośrednie obliczenie masy Jowisza\nz parametrów ruchu orbitalnego księżyca. W tym celu do powyższego równania podstawimy\nwzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu: 𝑣𝐸=\n2𝜋𝑟𝐸\n𝑇𝐸.\n𝑚𝐸\n(2𝜋𝑟𝐸\n𝑇𝐸)\n2\n𝑟𝐸\n= 𝐺𝑚𝐸𝑀\n𝑟𝐸\n2\n→ 4𝜋2𝑟𝐸\n𝑇𝐸\n2\n= 𝐺𝑀\n𝑟𝐸\n2 → 𝑀= 4𝜋2\n𝐺\n𝑟𝐸\n3\n𝑇𝐸\n2\nDo otrzymanego wyrażenia podstawiamy parametry ruchu orbitalnego Europy:\n𝑟𝐸≈6,711 ⋅105 km 𝑇𝐸≈ 3,551 dób ziemskich\nZatem\n𝑀=\n4 ∙(3,142)2\n6,674 ∙10-11 N∙m2\nkg2\n∙(6,711 ⋅105 km)3\n(3,551 dób)2\nKrok 3. Wykonujemy obliczenia, przy czym kilometry wyrazimy w metrach, a dobę wyrazimy\nsekundach.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑀=\n4 ∙(3,142)2\n6,674 ∙10-11 N∙m2\nkg2\n∙\n(6,711 ⋅108 m)3\n(3,551 ∙2,4 ∙101 ∙3,6 ∙103 s)2 ≈1,899848 … ∙1027 kg\n𝑀≈1,90 ∙1027 kg\nSposób 2.\nKrok 1. Skorzystamy ze wzoru na prędkość w ruchu po orbicie kołowej oraz zastosujemy\nwzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu.\n𝑣𝐸= √𝐺𝑀\n𝑟𝐸\n𝑣𝐸= 2𝜋𝑟𝐸\n𝑇𝐸\nKrok 2. Z powyższych równań wyprowadzamy wzór pozwalający na obliczenie masy Jowisza\nz parametrów ruchu orbitalnego księżyca Europa:\n2𝜋𝑟𝐸\n𝑇𝐸\n= √𝐺𝑀\n𝑟𝐸\n→ 4𝜋2𝑟𝐸\n2\n𝑇𝐸\n2\n= 𝐺𝑀\n𝑟𝐸\n→ 𝑀= 4𝜋2\n𝐺\n𝑟𝐸\n3\n𝑇𝐸\n2\nKrok 3. Wykonujemy obliczenia (patrz krok 3. w sposobie 1.).","solution":null,"image":"img/fizyka-2023-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-8.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":20,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 8.3. (0-3)
Promień orbity, po której porusza się dookoła Jowisza jego księżyc Europa, oraz okres
obiegu tego księżyca po orbicie, wynoszą odpowiednio:
𝑟𝐸≈6,711 ⋅105 km 𝑇𝐸≈3,551 dób ziemskich
Oblicz masę Jowisza. Wynik podaj zaokrąglony do trzech cyfr znaczących.
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 8.3. (0-3)
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia masy Jowisza (np. jak w krokach 1.-3.) oraz podanie
prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką.
2 pkt - doprowadzenie do jednego wyrażenia, z którego można bezpośrednio obliczyć masę
Jowisza jedynie na podstawie stałych oraz promienia orbity 𝑟𝐸 i okresu 𝑇𝐸 (np.
zapisanie wyrażenia jak w kroku 2.)
LUB

\n\n

określoną stałą:
𝑇𝐸
2
𝑟𝐸
3 =
4𝜋2
𝐺𝑀 oraz zidentyfikowanie wielkości w tym wzorze (np. poprzez
użycie odpowiednich symboli z indeksami lub opis użytych symboli lub podstawienie
wartości liczbowych).
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na księżyc Europa jako siłę
dośrodkową, z uwzględnieniem wzorów na te siły (np. jak w kroku 1. w sposobie 1.)
LUB

\n\n

prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu (np. jak w kroku 1. w sposobie 2.).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Krok 1. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie
z uwzględnieniem wzorów na te siły:
𝑚𝐸
𝑣𝐸
2
𝑟𝐸
= 𝐺𝑚𝐸𝑀
𝑟𝐸
2
Krok 2. Wyprowadzimy wyrażenie pozwalające na bezpośrednie obliczenie masy Jowisza
z parametrów ruchu orbitalnego księżyca. W tym celu do powyższego równania podstawimy
wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu: 𝑣𝐸=
2𝜋𝑟𝐸
𝑇𝐸.
𝑚𝐸
(2𝜋𝑟𝐸
𝑇𝐸)
2
𝑟𝐸
= 𝐺𝑚𝐸𝑀
𝑟𝐸
2
→ 4𝜋2𝑟𝐸
𝑇𝐸
2
= 𝐺𝑀
𝑟𝐸
2 → 𝑀= 4𝜋2
𝐺
𝑟𝐸
3
𝑇𝐸
2
Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy parametry ruchu orbitalnego Europy:
𝑟𝐸≈6,711 ⋅105 km 𝑇𝐸≈ 3,551 dób ziemskich
Zatem
𝑀=
4 ∙(3,142)2
6,674 ∙10-11 N∙m2
kg2
∙(6,711 ⋅105 km)3
(3,551 dób)2
Krok 3. Wykonujemy obliczenia, przy czym kilometry wyrazimy w metrach, a dobę wyrazimy
sekundach.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑀=
4 ∙(3,142)2
6,674 ∙10-11 N∙m2
kg2
∙
(6,711 ⋅108 m)3
(3,551 ∙2,4 ∙101 ∙3,6 ∙103 s)2 ≈1,899848 … ∙1027 kg
𝑀≈1,90 ∙1027 kg
Sposób 2.
Krok 1. Skorzystamy ze wzoru na prędkość w ruchu po orbicie kołowej oraz zastosujemy
wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu.
𝑣𝐸= √𝐺𝑀
𝑟𝐸
𝑣𝐸= 2𝜋𝑟𝐸
𝑇𝐸
Krok 2. Z powyższych równań wyprowadzamy wzór pozwalający na obliczenie masy Jowisza
z parametrów ruchu orbitalnego księżyca Europa:
2𝜋𝑟𝐸
𝑇𝐸
= √𝐺𝑀
𝑟𝐸
→ 4𝜋2𝑟𝐸
2
𝑇𝐸
2
= 𝐺𝑀
𝑟𝐸
→ 𝑀= 4𝜋2
𝐺
𝑟𝐸
3
𝑇𝐸
2
Krok 3. Wykonujemy obliczenia (patrz krok 3. w sposobie 1.).

","solutions":[]}