{"id":"fizyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1","paper_id":"fizyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-4)\nSamochód policyjny 𝒫 jechał ze stałą prędkością o wartości v0𝒫= 20 m/s. W pewnej chwili\nzostał on wyprzedzony przez samochód osobowy ℱ, jadący w tym samym kierunku ze stałą\nprędkością o wartości vℱ= 35 m/s (zobacz rysunek 1.).\nRysunek 1.\nW chwili 𝑡0 = 0, gdy odległość między samochodami 𝒫 i ℱ zwiększyła się do 𝑑0 = 40 m,\nsamochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyśpieszeniem o wartości 𝑎= 6 m/s2\n(zobacz rysunek 2.).\nRysunek 2. (𝑡0 = 0)\nOdległość 𝑑 między samochodami 𝒫 i ℱ jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili\nosiągnęła wartość maksymalną 𝑑𝑚𝑎𝑥, a następnie zaczęła maleć.\nPrzyjmij, że:\nod chwili 𝑡0 = 0 samochód policyjny 𝒫 poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym\nprostoliniowym\nsamochód ℱ cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym\nodległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi\npunktami na przednich zderzakach.\nOblicz 𝒅𝒎𝒂𝒙 - maksymalną odległość pomiędzy samochodami 𝓟 i 𝓕 podczas pościgu.\nZapisz obliczenia.\n𝑑0\nvሬԦℱ\n𝑎Ԧ\nvሬԦ0𝒫\nℱ\n𝒫\nvሬԦℱ\nEFAP-R0_100\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n1.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 20241\nWymagania ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy\npołożeniem, prędkością i przyspieszeniem\nw ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym\ndo obliczania parametrów ruchu.\nZasady oceniania2\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda (opisana w warunku za 3 pkt) obliczenia maksymalnej odległości\npomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:\n𝑑𝑚𝑎𝑥= 58,75 m.\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu 𝑡𝑚𝑎𝑥, w którym\nodległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości\nprędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym)\noraz zapisanie odległości maksymalnej jako różnicy położeń samochodów w chwili\n𝑡𝑚𝑎𝑥, oraz zapisanie wyrażeń (na symbolach lub z podstawionymi danymi)\npoprawnie określających położenia samochodów (tzn. skorzystanie z równań ruchu\njednostajnie przyśpieszonego i ruchu jednostajnego prostoliniowego), np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= (40 + 35𝑡𝑚𝑎𝑥) -(20𝑡𝑚𝑎𝑥+ 3𝑡𝑚𝑎𝑥\n2\n)\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu 𝑡𝑚𝑎𝑥, w którym\nodległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości\nprędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym)\noraz zapisanie odległości maksymalnej jako różnicy położeń samochodów w chwili\n𝑡𝑚𝑎𝑥 (lub sumy położenia początkowego 𝑑0 i różnicy Δ𝑠 dróg, jakie przebyły oba\nsamochody do wyrównania prędkości) np. zapisy równoważne poniższym:\n20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 oraz {𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑥ℱ(𝑡𝑚𝑎𝑥) - 𝑥𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) lub 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + Δ𝑠}\nLUB\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 1 sierpnia 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla\negzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U.2022 poz. 1698).\n2 Pod opisem warunków za przyznanie punktów, w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub\nprzykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu 𝑡𝑚𝑎𝑥, w którym\nodległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości\nprędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym)\noraz zapisanie wyrażenia (na symbolach lub z podstawionymi danymi) poprawnie\nokreślającego położenie jednego z samochodów dla dowolnego 𝑡 bądź\nwyznaczonego 𝑡𝑚𝑎𝑥 (tzn. skorzystanie z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego\nlub ruchu jednostajnego prostoliniowego), np. zapisy równoważne poniższym:\n20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 oraz { 𝑥ℱ(𝑡) = 40 + 35𝑡 lub 𝑥𝒫(𝑡) = 20𝑡+ 3𝑡2}\n1 pkt - opisanie strategii rozwiązania (bez wykonania dalszych obliczeń): stwierdzenie, że\nmaksymalna odległość pomiędzy samochodami jest w chwili, w której wartości\nprędkości samochodów są sobie równe, a odległość między nimi jest równa różnicy\npołożeń\nLUB\n- przyrównanie wartości prędkości obu samochodów oraz zastosowanie wzoru na\nprędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla samochodu 𝒫 (na symbolach\nwielkości lub z podstawionymi danymi), np. zapisy równoważne poniższym:\n{v𝒫= vℱ oraz v𝒫= v0𝒫+ 𝑎𝑡}\nalbo\n20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35\nalbo\n𝑎= vℱ-v0𝒫\n𝑡𝑚𝑎𝑥\n(w jednym zapisie)\nLUB\n- przyrównanie wartości prędkości obu samochodów oraz zapisanie odległości\nmaksymalnej między samochodami jako różnicy położeń samochodów w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥\n(bądź sumy położenia początkowego i różnicy dróg, jakie przebyły oba samochody\ndo wyrównania prędkości), np. zapisy równoważne poniższym:\nv𝒫= vℱ oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑥ℱ(𝑡𝑚𝑎𝑥) - 𝑥𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥)\nalbo\nv𝒫= vℱ oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + Δ𝑠\nLUB\n- poprawne zapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów\nz wykorzystaniem równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego dla\nsamochodu 𝒫 i równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla samochodu ℱ, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝑥𝒫= 20𝑡+ 3𝑡2 oraz 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n4 pkt - poprawna metoda (opisana w warunkach za 3 pkt i 2 pkt) obliczenia maksymalnej\nodległości pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego\nz jednostką: 𝑑𝑚𝑎𝑥= 58,75 m.\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia zależności 𝑑(𝑡) (funkcji 𝑑(𝑡)) jako różnicy położeń\nsamochodów od czasu oraz zapisanie prawidłowej postaci tej funkcji, oraz\nprawidłowa metoda obliczenia wartości maksymalnej funkcji 𝑑(𝑡), np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑑(𝑡) = (40 + 35𝑡) -(20𝑡+ 3𝑡2) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= -Δ\n4𝐴\n2 pkt - zapisanie odległości pomiędzy samochodami jako różnicy położeń oraz poprawne\nzapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑑= 𝑥ℱ-𝑥𝒫 oraz 𝑥𝒫= 20𝑡+ 3𝑡2 i 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡\n1 pkt - opisanie strategii rozwiązania: zapisanie odległości pomiędzy samochodami jako\nróżnicy położeń oraz stwierdzenie, że maksymalna odległość będzie największą\nwartością funkcji opisującej zależność różnicy położeń od czasu\nLUB\n- poprawne zapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów\nz wykorzystaniem równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego dla\nsamochodu 𝒫 i równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla samochodu ℱ, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝑥𝒫= 20𝑡+ 3𝑡2 oraz 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 3.)\n4 pkt - poprawna metoda (opisana w warunku za 3 pkt) obliczenia maksymalnej odległości\npomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:\n𝑑𝑚𝑎𝑥= 58,75 m.\n3 pkt - zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym\nz samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy\nsamochodami jest największa, oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy\nodległości początkowej i drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ,\noraz poprawny sposób obliczenia drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie\nodniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym:\nṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + ṽ𝒫(0)2\n2𝑎\n2 pkt - zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym\nz samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy\nsamochodami jest największa, oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy\nodległości początkowej i drogi 𝑠̃, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\nṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym\nz samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy\nsamochodami jest największa, oraz poprawny sposób obliczenia drogi, jaką przebył\nsamochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym:\nṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑠̃ = ṽ𝒫(0)2\n2𝑎\n1 pkt - zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym\nz samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy\nsamochodami jest największa, np. zapisy równoważne poniższym:\nṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0\nLUB\n- zapisanie warunku na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym\nz samochodem ℱ, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa oraz\nzapisanie odległości maksymalnej jako sumy odległości początkowej i drogi 𝑠̃, jaką\nprzebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym:\nṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga dodatkowa do zasad oceniania sposobem 3.\nSposób 3. rozwiązania może pomijać etap obliczenia 𝑡𝑚𝑎𝑥.\nPrzykładowe pełne rozwiązania3\nSposób 1. (z przyrównaniem wartości prędkości samochodów)\nOdległość 𝑑 pomiędzy samochodami zwiększa się (licząc od chwili 𝑡0 = 0) w takim czasie,\nw jakim samochód ℱ ma większą prędkość od samochodu 𝒫. W chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥, gdy wartości\nprędkości obu samochodów zrównają się, ta odległość będzie największa. Wynika to z faktu,\nże licząc od chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥, wartość prędkości samochodu 𝒫 staje się większa od wartości\nprędkości samochodu ℱ, a zatem odległość pomiędzy samochodami będzie malała - do\nmomentu, gdy 𝒫 dogoni ℱ.\nSamochód 𝒫 od chwili 𝑡0 = 0 poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, zatem\nzależność prędkości tego samochodu od czasu dana jest wzorem:\nv𝒫= v0𝒫+ 𝑎𝑡 → v𝒫= 20 + 6𝑡\nWspółczynniki liczbowe w równaniach ruchu wyrażamy w jednostkach podstawowych układu\nSI. Przyrównamy wartości prędkości obu samochodów i obliczymy 𝑡𝑚𝑎𝑥 - czas, po jakim\nodległość pomiędzy samochodami będzie największa:\nv𝒫= vℱ\n20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 → 𝑡𝑚𝑎𝑥= 2,5 s.\n3 Przykładowe rozwiązania mogą zawierać dodatkowe komentarze, które nie podlegają ocenie. Wymagane\nelementy rozwiązania zdającego podlegające ocenie są wyszczególnione i opisane w kryteriach punktacji zasad\noceniania.\nObliczymy odległość 𝑑𝑚𝑎𝑥 pomiędzy samochodami w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥. Przyjmiemy, że w chwili\n𝑡0 = 0 samochód policyjny 𝒫 znajdował się w położeniu 𝑥0𝒫= 0, a samochód osobowy ℱ\nznajdował się w położeniu 𝑥0ℱ= 40 m. Określimy położenia 𝑥𝒫, 𝑥ℱ obu samochodów\nw chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥 (licząc od chwili 𝑡0 = 0).\nSkorzystamy z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego (dla 𝒫) i ruchu\njednostajnego prostoliniowego (dla ℱ):\n𝑥𝒫= v0𝒫𝑡+ 1\n2 𝑎𝑡2 → 𝑥𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 20 ⋅2,5 + 1\n2 ⋅6 ⋅(2,5)2 = 68,75 m\n𝑥ℱ= 𝑑0 + vℱ𝑡 → 𝑥ℱ(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 40 + 35 ⋅2,5 = 127,5 m\nOdległość maksymalna 𝑑𝑚𝑎𝑥 między samochodami jest równa różnicy położeń obu\nsamochodów w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥.\n𝑑𝑚𝑎𝑥= 127,5 m -68,75 m = 58,75 m\nSposób 2. (z obliczeniem maksimum funkcji)\nWyznaczymy odległość 𝑑(𝑡) między samochodami w funkcji czasu i znajdziemy maksimum\ntej funkcji. Funkcję 𝑑(𝑡) określamy w przedziale czasu od chwili 𝑡0 = 0 do momentu, gdy 𝒫\ndogoni ℱ.\nPrzyjmiemy, że w chwili 𝑡0 = 0 samochód policyjny 𝒫 znajdował się w położeniu 𝑥0𝒫= 0,\na samochód osobowy ℱ znajdował się w położeniu 𝑥0ℱ= 𝑑0. Określimy położenia 𝑥𝒫, 𝑥ℱ\nobu samochodów w dowolnej chwili 𝑡, licząc od 𝑡0 = 0 do momentu, gdy 𝒫 dogoni ℱ.\nSkorzystamy z równań ruchu.\nSamochód 𝒫 od chwili 𝑡0 = 0 poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, zatem:\n𝑥𝒫= v0𝒫𝑡+ 1\n2 𝑎𝑡2 → 𝑥𝒫= 20𝑡+ 1\n2 ⋅6𝑡2 = 20𝑡+ 3𝑡2\nSamochód ℱ poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym, zatem:\n𝑥ℱ= 𝑑0 + vℱ𝑡 → 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡\nWspółczynniki liczbowe w równaniach ruchu są wyrażone w jednostkach podstawowych\nukładu SI.\nWyznaczymy odległość między samochodami w funkcji czasu 𝑡. Odległość 𝑑 między\nsamochodami jest równa różnicy położeń obu samochodów w chwili 𝑡:\n𝑑(𝑡) = 𝑥ℱ-𝑥𝒫 → 𝑑(𝑡) = 40 + 35𝑡-(20𝑡+ 3𝑡2)\n𝑑(𝑡) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40\nUwaga!\nFunkcja 𝑑(𝑡) jest określona w przedziale czasu od 𝑡0 = 0 do czasu, po jakim 𝒫 dogoni ℱ.\nBędzie to czas, po którym odległość pomiędzy samochodami jest równa zero:\n𝑑(𝑡) = 0 → -3𝑡2 + 15𝑡+ 40 = 0\n√Δ = √705 ≈26,6 s → 𝑡1 ≈-1,9 s 𝑡2 ≈6,9 s\nFunkcję kwadratową 𝑑(𝑡) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40 rozpatrujemy dla 𝑡∈[0, 𝑡2].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZnajdziemy maksimum funkcji kwadratowej 𝑑(𝑡) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40. W tym celu obliczymy\nwspółrzędne (𝑡𝑚𝑎𝑥 , 𝑑𝑚𝑎𝑥) wierzchołka paraboli będącej wykresem 𝑑= 𝑑(𝑡):\n𝑡𝑚𝑎𝑥= -𝐵\n2𝐴= -\n15\n2 ⋅(-3) = 2,5 s 𝑑𝑚𝑎𝑥= -Δ\n4𝐴= -152 -4 ⋅(-3) ⋅40\n4 ⋅(-3)\n= 58,75 m\nNajwiększa odległość pomiędzy samochodami jest równa 58,75 m.\nSposób 3. (z wykorzystaniem prędkości względnej)\nRozważamy ruch samochodu 𝒫 w poruszającym się układzie odniesienia związanym na\nsztywno z samochodem ℱ. Początek tego układu odniesienia określimy w miejscu, gdzie\nznajdował się samochód 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0. Równanie ruchu (na prędkość) samochodu 𝒫\nw układzie odniesienia ℱ ma postać:\nṽ𝒫(𝑡) = v𝑃-v𝐹= 6𝑡-15\nṽ𝒫(0) = -15 m\ns\nDo chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥 (czyli do momentu zrównania się prędkości względem ziemi), samochód 𝒫 -\nw układzie odniesienia samochodu ℱ - oddala się od niego (ℱ jest nieruchomy w swoim\nukładzie odniesienia). Równość prędkości (względem ziemi) oznacza, że w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥,\nprędkość samochodu 𝒫 w układzie ℱ wynosi zero:\nṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0\nOd chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥, samochód 𝒫 będzie się zbliżał do ℱ. Zatem w układzie odniesienia ℱ,\nodległość między samochodami była największa w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥 i wynosiła:\n𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃\ngdzie 𝑠̃ jest drogą, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, od chwili 𝑡0 = 0 do\nchwili 𝑡𝑚𝑎𝑥:\n𝑠̃ = ṽ𝒫(0)2 -ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥)2\n2𝑎\n= ṽ𝒫(0)2\n2𝑎\n𝑠̃ =\n152 m2\ns2\n2 ⋅6 m\ns2\n= 18,75 m\nZatem ostatecznie otrzymujemy:\n𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃ = 40 m + 18,75 m = 58,75 m","solution":null,"image":"img/fizyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-4)
Samochód policyjny 𝒫 jechał ze stałą prędkością o wartości v0𝒫= 20 m/s. W pewnej chwili
został on wyprzedzony przez samochód osobowy ℱ, jadący w tym samym kierunku ze stałą
prędkością o wartości vℱ= 35 m/s (zobacz rysunek 1.).
Rysunek 1.
W chwili 𝑡0 = 0, gdy odległość między samochodami 𝒫 i ℱ zwiększyła się do 𝑑0 = 40 m,
samochód policyjny rozpoczął pościg ze stałym przyśpieszeniem o wartości 𝑎= 6 m/s2
(zobacz rysunek 2.).
Rysunek 2. (𝑡0 = 0)
Odległość 𝑑 między samochodami 𝒫 i ℱ jeszcze przez pewien czas rosła, w pewnej chwili
osiągnęła wartość maksymalną 𝑑𝑚𝑎𝑥, a następnie zaczęła maleć.
Przyjmij, że:
od chwili 𝑡0 = 0 samochód policyjny 𝒫 poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym
prostoliniowym
samochód ℱ cały czas poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym
odległość pomiędzy samochodami traktujemy jako odległość pomiędzy ustalonymi
punktami na przednich zderzakach.
Oblicz 𝒅𝒎𝒂𝒙 - maksymalną odległość pomiędzy samochodami 𝓟 i 𝓕 podczas pościgu.
Zapisz obliczenia.
𝑑0
vሬԦℱ
𝑎Ԧ
vሬԦ0𝒫
ℱ
𝒫
vሬԦℱ
EFAP-R0_100
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
1.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 20241
Wymagania ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy
położeniem, prędkością i przyspieszeniem
w ruchu jednostajnym i jednostajnie zmiennym
do obliczania parametrów ruchu.
Zasady oceniania2
(dla rozwiązania sposobem 1.)
4 pkt - poprawna metoda (opisana w warunku za 3 pkt) obliczenia maksymalnej odległości
pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:
𝑑𝑚𝑎𝑥= 58,75 m.
3 pkt - poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu 𝑡𝑚𝑎𝑥, w którym
odległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości
prędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym)
oraz zapisanie odległości maksymalnej jako różnicy położeń samochodów w chwili
𝑡𝑚𝑎𝑥, oraz zapisanie wyrażeń (na symbolach lub z podstawionymi danymi)
poprawnie określających położenia samochodów (tzn. skorzystanie z równań ruchu
jednostajnie przyśpieszonego i ruchu jednostajnego prostoliniowego), np. zapisy
równoważne poniższym:
20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= (40 + 35𝑡𝑚𝑎𝑥) -(20𝑡𝑚𝑎𝑥+ 3𝑡𝑚𝑎𝑥
2
)
2 pkt - poprawna metoda obliczenia (lub wyznaczenia na symbolach) czasu 𝑡𝑚𝑎𝑥, w którym
odległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości
prędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym)
oraz zapisanie odległości maksymalnej jako różnicy położeń samochodów w chwili
𝑡𝑚𝑎𝑥 (lub sumy położenia początkowego 𝑑0 i różnicy Δ𝑠 dróg, jakie przebyły oba
samochody do wyrównania prędkości) np. zapisy równoważne poniższym:
20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 oraz {𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑥ℱ(𝑡𝑚𝑎𝑥) - 𝑥𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) lub 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + Δ𝑠}
LUB
1 Rozporządzenie Ministra Edukacji i Nauki z dnia 1 sierpnia 2022 r. w sprawie wymagań egzaminacyjnych dla
egzaminu maturalnego przeprowadzanego w roku szkolnym 2022/2023 i 2023/2024 (Dz.U.2022 poz. 1698).
2 Pod opisem warunków za przyznanie punktów, w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub
przykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

odległość między samochodami jest maksymalna (tzn. przyrównanie wartości
prędkości i skorzystanie ze wzoru na prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym)
oraz zapisanie wyrażenia (na symbolach lub z podstawionymi danymi) poprawnie
określającego położenie jednego z samochodów dla dowolnego 𝑡 bądź
wyznaczonego 𝑡𝑚𝑎𝑥 (tzn. skorzystanie z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego
lub ruchu jednostajnego prostoliniowego), np. zapisy równoważne poniższym:
20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 oraz { 𝑥ℱ(𝑡) = 40 + 35𝑡 lub 𝑥𝒫(𝑡) = 20𝑡+ 3𝑡2}
1 pkt - opisanie strategii rozwiązania (bez wykonania dalszych obliczeń): stwierdzenie, że
maksymalna odległość pomiędzy samochodami jest w chwili, w której wartości
prędkości samochodów są sobie równe, a odległość między nimi jest równa różnicy
położeń
LUB

\n\n

prędkość w ruchu jednostajnie przyśpieszonym dla samochodu 𝒫 (na symbolach
wielkości lub z podstawionymi danymi), np. zapisy równoważne poniższym:
{v𝒫= vℱ oraz v𝒫= v0𝒫+ 𝑎𝑡}
albo
20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35
albo
𝑎= vℱ-v0𝒫
𝑡𝑚𝑎𝑥
(w jednym zapisie)
LUB

\n\n

maksymalnej między samochodami jako różnicy położeń samochodów w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥
(bądź sumy położenia początkowego i różnicy dróg, jakie przebyły oba samochody
do wyrównania prędkości), np. zapisy równoważne poniższym:
v𝒫= vℱ oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑥ℱ(𝑡𝑚𝑎𝑥) - 𝑥𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥)
albo
v𝒫= vℱ oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + Δ𝑠
LUB

\n\n

z wykorzystaniem równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego dla
samochodu 𝒫 i równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla samochodu ℱ, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝑥𝒫= 20𝑡+ 3𝑡2 oraz 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
4 pkt - poprawna metoda (opisana w warunkach za 3 pkt i 2 pkt) obliczenia maksymalnej
odległości pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego
z jednostką: 𝑑𝑚𝑎𝑥= 58,75 m.
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia zależności 𝑑(𝑡) (funkcji 𝑑(𝑡)) jako różnicy położeń
samochodów od czasu oraz zapisanie prawidłowej postaci tej funkcji, oraz
prawidłowa metoda obliczenia wartości maksymalnej funkcji 𝑑(𝑡), np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑑(𝑡) = (40 + 35𝑡) -(20𝑡+ 3𝑡2) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= -Δ
4𝐴
2 pkt - zapisanie odległości pomiędzy samochodami jako różnicy położeń oraz poprawne
zapisanie zależności położenia od czasu dla każdego z samochodów, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑑= 𝑥ℱ-𝑥𝒫 oraz 𝑥𝒫= 20𝑡+ 3𝑡2 i 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡
1 pkt - opisanie strategii rozwiązania: zapisanie odległości pomiędzy samochodami jako
różnicy położeń oraz stwierdzenie, że maksymalna odległość będzie największą
wartością funkcji opisującej zależność różnicy położeń od czasu
LUB

\n\n

z wykorzystaniem równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego dla
samochodu 𝒫 i równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla samochodu ℱ, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝑥𝒫= 20𝑡+ 3𝑡2 oraz 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 3.)
4 pkt - poprawna metoda (opisana w warunku za 3 pkt) obliczenia maksymalnej odległości
pomiędzy samochodami oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:
𝑑𝑚𝑎𝑥= 58,75 m.
3 pkt - zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym
z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy
samochodami jest największa, oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy
odległości początkowej i drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ,
oraz poprawny sposób obliczenia drogi, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie
odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym:
ṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + ṽ𝒫(0)2
2𝑎
2 pkt - zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym
z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy
samochodami jest największa, oraz zapisanie odległości maksymalnej jako sumy
odległości początkowej i drogi 𝑠̃, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ,
np. zapisy równoważne poniższym:
ṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy
samochodami jest największa, oraz poprawny sposób obliczenia drogi, jaką przebył
samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym:
ṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑠̃ = ṽ𝒫(0)2
2𝑎
1 pkt - zapisanie wzoru na prędkość ṽ𝑃 samochodu 𝒫 w układzie odniesienia związanym
z samochodem ℱ oraz zapisanie warunku na tę prędkość, gdy odległość pomiędzy
samochodami jest największa, np. zapisy równoważne poniższym:
ṽ𝒫(𝑡) = 6𝑡-15 oraz ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0
LUB

\n\n

z samochodem ℱ, gdy odległość pomiędzy samochodami jest największa oraz
zapisanie odległości maksymalnej jako sumy odległości początkowej i drogi 𝑠̃, jaką
przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, np. zapisy równoważne poniższym:
ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0 oraz 𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga dodatkowa do zasad oceniania sposobem 3.
Sposób 3. rozwiązania może pomijać etap obliczenia 𝑡𝑚𝑎𝑥.
Przykładowe pełne rozwiązania3
Sposób 1. (z przyrównaniem wartości prędkości samochodów)
Odległość 𝑑 pomiędzy samochodami zwiększa się (licząc od chwili 𝑡0 = 0) w takim czasie,
w jakim samochód ℱ ma większą prędkość od samochodu 𝒫. W chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥, gdy wartości
prędkości obu samochodów zrównają się, ta odległość będzie największa. Wynika to z faktu,
że licząc od chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥, wartość prędkości samochodu 𝒫 staje się większa od wartości
prędkości samochodu ℱ, a zatem odległość pomiędzy samochodami będzie malała - do
momentu, gdy 𝒫 dogoni ℱ.
Samochód 𝒫 od chwili 𝑡0 = 0 poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, zatem
zależność prędkości tego samochodu od czasu dana jest wzorem:
v𝒫= v0𝒫+ 𝑎𝑡 → v𝒫= 20 + 6𝑡
Współczynniki liczbowe w równaniach ruchu wyrażamy w jednostkach podstawowych układu
SI. Przyrównamy wartości prędkości obu samochodów i obliczymy 𝑡𝑚𝑎𝑥 - czas, po jakim
odległość pomiędzy samochodami będzie największa:
v𝒫= vℱ
20 + 6𝑡𝑚𝑎𝑥= 35 → 𝑡𝑚𝑎𝑥= 2,5 s.
3 Przykładowe rozwiązania mogą zawierać dodatkowe komentarze, które nie podlegają ocenie. Wymagane
elementy rozwiązania zdającego podlegające ocenie są wyszczególnione i opisane w kryteriach punktacji zasad
oceniania.
Obliczymy odległość 𝑑𝑚𝑎𝑥 pomiędzy samochodami w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥. Przyjmiemy, że w chwili
𝑡0 = 0 samochód policyjny 𝒫 znajdował się w położeniu 𝑥0𝒫= 0, a samochód osobowy ℱ
znajdował się w położeniu 𝑥0ℱ= 40 m. Określimy położenia 𝑥𝒫, 𝑥ℱ obu samochodów
w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥 (licząc od chwili 𝑡0 = 0).
Skorzystamy z równań ruchu jednostajnie przyśpieszonego prostoliniowego (dla 𝒫) i ruchu
jednostajnego prostoliniowego (dla ℱ):
𝑥𝒫= v0𝒫𝑡+ 1
2 𝑎𝑡2 → 𝑥𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 20 ⋅2,5 + 1
2 ⋅6 ⋅(2,5)2 = 68,75 m
𝑥ℱ= 𝑑0 + vℱ𝑡 → 𝑥ℱ(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 40 + 35 ⋅2,5 = 127,5 m
Odległość maksymalna 𝑑𝑚𝑎𝑥 między samochodami jest równa różnicy położeń obu
samochodów w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥.
𝑑𝑚𝑎𝑥= 127,5 m -68,75 m = 58,75 m
Sposób 2. (z obliczeniem maksimum funkcji)
Wyznaczymy odległość 𝑑(𝑡) między samochodami w funkcji czasu i znajdziemy maksimum
tej funkcji. Funkcję 𝑑(𝑡) określamy w przedziale czasu od chwili 𝑡0 = 0 do momentu, gdy 𝒫
dogoni ℱ.
Przyjmiemy, że w chwili 𝑡0 = 0 samochód policyjny 𝒫 znajdował się w położeniu 𝑥0𝒫= 0,
a samochód osobowy ℱ znajdował się w położeniu 𝑥0ℱ= 𝑑0. Określimy położenia 𝑥𝒫, 𝑥ℱ
obu samochodów w dowolnej chwili 𝑡, licząc od 𝑡0 = 0 do momentu, gdy 𝒫 dogoni ℱ.
Skorzystamy z równań ruchu.
Samochód 𝒫 od chwili 𝑡0 = 0 poruszał się ruchem jednostajnie przyśpieszonym, zatem:
𝑥𝒫= v0𝒫𝑡+ 1
2 𝑎𝑡2 → 𝑥𝒫= 20𝑡+ 1
2 ⋅6𝑡2 = 20𝑡+ 3𝑡2
Samochód ℱ poruszał się ruchem jednostajnym prostoliniowym, zatem:
𝑥ℱ= 𝑑0 + vℱ𝑡 → 𝑥ℱ= 40 + 35𝑡
Współczynniki liczbowe w równaniach ruchu są wyrażone w jednostkach podstawowych
układu SI.
Wyznaczymy odległość między samochodami w funkcji czasu 𝑡. Odległość 𝑑 między
samochodami jest równa różnicy położeń obu samochodów w chwili 𝑡:
𝑑(𝑡) = 𝑥ℱ-𝑥𝒫 → 𝑑(𝑡) = 40 + 35𝑡-(20𝑡+ 3𝑡2)
𝑑(𝑡) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40
Uwaga!
Funkcja 𝑑(𝑡) jest określona w przedziale czasu od 𝑡0 = 0 do czasu, po jakim 𝒫 dogoni ℱ.
Będzie to czas, po którym odległość pomiędzy samochodami jest równa zero:
𝑑(𝑡) = 0 → -3𝑡2 + 15𝑡+ 40 = 0
√Δ = √705 ≈26,6 s → 𝑡1 ≈-1,9 s 𝑡2 ≈6,9 s
Funkcję kwadratową 𝑑(𝑡) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40 rozpatrujemy dla 𝑡∈[0, 𝑡2].
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Znajdziemy maksimum funkcji kwadratowej 𝑑(𝑡) = -3𝑡2 + 15𝑡+ 40. W tym celu obliczymy
współrzędne (𝑡𝑚𝑎𝑥 , 𝑑𝑚𝑎𝑥) wierzchołka paraboli będącej wykresem 𝑑= 𝑑(𝑡):
𝑡𝑚𝑎𝑥= -𝐵
2𝐴= -
15
2 ⋅(-3) = 2,5 s 𝑑𝑚𝑎𝑥= -Δ
4𝐴= -152 -4 ⋅(-3) ⋅40
4 ⋅(-3)
= 58,75 m
Największa odległość pomiędzy samochodami jest równa 58,75 m.
Sposób 3. (z wykorzystaniem prędkości względnej)
Rozważamy ruch samochodu 𝒫 w poruszającym się układzie odniesienia związanym na
sztywno z samochodem ℱ. Początek tego układu odniesienia określimy w miejscu, gdzie
znajdował się samochód 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0. Równanie ruchu (na prędkość) samochodu 𝒫
w układzie odniesienia ℱ ma postać:
ṽ𝒫(𝑡) = v𝑃-v𝐹= 6𝑡-15
ṽ𝒫(0) = -15 m
s
Do chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥 (czyli do momentu zrównania się prędkości względem ziemi), samochód 𝒫 -
w układzie odniesienia samochodu ℱ - oddala się od niego (ℱ jest nieruchomy w swoim
układzie odniesienia). Równość prędkości (względem ziemi) oznacza, że w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥,
prędkość samochodu 𝒫 w układzie ℱ wynosi zero:
ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥) = 0
Od chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥, samochód 𝒫 będzie się zbliżał do ℱ. Zatem w układzie odniesienia ℱ,
odległość między samochodami była największa w chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥 i wynosiła:
𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃
gdzie 𝑠̃ jest drogą, jaką przebył samochód 𝒫 w układzie odniesienia ℱ, od chwili 𝑡0 = 0 do
chwili 𝑡𝑚𝑎𝑥:
𝑠̃ = ṽ𝒫(0)2 -ṽ𝒫(𝑡𝑚𝑎𝑥)2
2𝑎
= ṽ𝒫(0)2
2𝑎
𝑠̃ =
152 m2
s2
2 ⋅6 m
s2
= 18,75 m
Zatem ostatecznie otrzymujemy:
𝑑𝑚𝑎𝑥= 𝑑0 + 𝑠̃ = 40 m + 18,75 m = 58,75 m

","solutions":[]}