{"id":"fizyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/5.3","paper_id":"fizyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"5.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2023,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.3. (0-3)\nWyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.2.-5.3. w przypadku, gdy orbity\n𝓞𝟏 i 𝓞𝟐 są kołowe.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.2.\n5.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.3. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2023 i 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.6) (P) […] wskazuje siłę grawitacji jako siłę\ndośrodkową, wyznacza zależność okresu ruchu\nod promienia orbity (stosuje III prawo Keplera).\n4.1) wykorzystuje prawo powszechnego\nciążenia do obliczenia siły oddziaływań\ngrawitacyjnych między masami punktowymi\ni sferycznie symetrycznymi;\n4.9) oblicza masę ciała niebieskiego na\npodstawie obserwacji ruchu jego satelity.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na iloraz mas centrów grawitacyjnych,\npoprawne przekształcenia oraz poprawna postać ilorazu - zgodna z podaną w treści\nzadania.\n2 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia lub bezpośrednie zapisanie (np. na mocy III prawa\nKeplera z wyrażeniem zawierającym stałe) jednego poprawnego wyrażenia,\nz którego można bezpośrednio obliczyć masę centrum grawitacyjnego jedynie na\npodstawie odpowiednich stałych, promienia 𝑎 orbity kołowej i okresu 𝑇 obiegu ciała\ndookoła tego centrum, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑖\nv𝑖\n2\n𝑎𝑖\n= 𝐺𝑚𝑖𝑀𝑖\n𝑎𝑖\n2\noraz v𝑖= 2𝜋𝑎𝑖\n𝑇𝑖 ) →[przekształcenia] → 𝑀𝑖= 4𝜋2\n𝐺\n𝑎𝑖\n3\n𝑇𝑖\n2\nLUB\n- zapisanie lub stwierdzenie, z powołaniem się na III prawo Keplera, że zachodzą\nnastępujące proporcje o tym samym współczynniku proporcjonalności:\n𝑎1\n3\n𝑇1\n2 ∝const ⋅𝑀1 oraz 𝑎2\n3\n𝑇2\n2 ∝const ⋅𝑀2\n1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na ciało 𝒞1 (lub 𝒞2) jako siłę\ndośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako\nprzyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub\nprzyśpieszenia), np. zapisy równoważne poniższym\n𝑚1\nv1\n2\n𝑎1\n= 𝐺𝑚1𝑀1\n𝑎1\n2\nalbo 𝑚1𝜔1\n2𝑎1 = 𝐺𝑚1𝑀1\n𝑎1\n2\nalbo 𝜔1\n2𝑎1 = 𝐺𝑀1\n𝑎1\n2\nLUB\n- skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną ciała 𝒞1 (lub 𝒞2) oraz zastosowanie\nwzoru na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity, np. zapisy\nrównoważne poniższym\nv1 = √𝐺𝑀\n𝑎1\noraz v1 = 2𝜋𝑎1\n𝑇1\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nLUB\n- zapisanie lub stwierdzenie, z powołaniem się na III prawo Keplera, że zachodzi\nproporcja:\n𝑎3\n𝑇2 ∝𝑀\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczymy związek między masą 𝑀1 centrum grawitacyjnego a okresem 𝑇1 obiegu\n(dookoła tego centrum) ciała 𝒞1 po orbicie kołowej i promieniem 𝑎1 tej orbity. Zapiszemy\nrównanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie z uwzględnieniem\nwzorów na te siły:\n𝑚1\nv1\n2\n𝑎1\n= 𝐺𝑚1𝑀1\n𝑎1\n2\nDo powyższego równania podstawimy wzór na prędkość ciała 𝒞1 w ruchu jednostajnym po\nokręgu: v1 =\n2𝜋𝑎1\n𝑇1 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez masę ciała 𝑚1.\nNastępnie równanie przekształcimy i wyznaczymy masę 𝑀1 centrum grawitacyjnego:\n(2𝜋𝑎1\n𝑇1 )\n2\n𝑎1\n= 𝐺𝑀1\n𝑎1\n2 → 4𝜋2𝑎1\n𝑇1\n2\n= 𝐺𝑀1\n𝑎1\n2\n𝑀1 = 4𝜋2\n𝐺\n𝑎1\n3\n𝑇1\n2\nAnalogicznie wyznaczymy masę 𝑀2 drugiego centrum grawitacyjnego:\n𝑀2 = 4𝜋2\n𝐺\n𝑎2\n3\n𝑇2\n2\nWyznaczymy iloraz mas obu centrów grawitacyjnych:\n𝑀1\n𝑀2\n4𝜋2\n𝐺\n𝑎1\n3\n𝑇1\n2\n4𝜋2\n𝐺\n𝑎2\n3\n𝑇2\n2\n𝑎1\n3\n𝑇1\n2\n𝑎2\n3\n𝑇2\n2\n= 𝑎1\n3\n𝑇1\n2 ⋅𝑇2\n2\n𝑎2\n3 = (𝑎1\n𝑎2\n)\n3\n⋅(𝑇2\n𝑇1\n)\n2\nSposób 2.\nWyznaczymy związek między masą 𝑀1 centrum grawitacyjnego a okresem 𝑇1 obiegu\n(dookoła tego centrum) ciała 𝒞1 po orbicie kołowej i promieniem 𝑎1 tej orbity. Zapiszemy\nrównanie identyfikujące przyśpieszenie dośrodkowe ciała 𝒞1 na orbicie, jako przyśpieszenie\ngrawitacyjne:\n𝜔1\n2𝑎1 = 𝐺𝑀1\n𝑎1\n2\nDo powyższego równania podstawimy wzór na prędkość kątową ciała 𝒞1 w ruchu\njednostajnym po orbicie kołowej: 𝜔1 =\n2𝜋\n𝑇1 .\nNastępnie wyznaczymy masę 𝑀1 centrum grawitacyjnego:\n(2𝜋\n𝑇1 )\n2\n𝑎1 = 𝐺𝑀1\n𝑎1\n2 → 4𝜋2\n𝑇1\n2 = 𝐺𝑀1\n𝑎1\n3 → 𝑀1 = 4𝜋2\n𝐺\n𝑎1\n3\n𝑇1\n2\nIloraz mas obu centrów grawitacyjnych obliczamy podobnie jak w sposobie 1.","solution":null,"image":"img/fizyka-2023-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-5.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 5.3. (0-3)
Wyprowadź wzór podany w informacji do zadań 5.2.-5.3. w przypadku, gdy orbity
𝓞𝟏 i 𝓞𝟐 są kołowe.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.2.
5.3.
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 5.3. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
1.6) (P) […] wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową, wyznacza zależność okresu ruchu
od promienia orbity (stosuje III prawo Keplera).
4.1) wykorzystuje prawo powszechnego
ciążenia do obliczenia siły oddziaływań
grawitacyjnych między masami punktowymi
i sferycznie symetrycznymi;
4.9) oblicza masę ciała niebieskiego na
podstawie obserwacji ruchu jego satelity.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na iloraz mas centrów grawitacyjnych,
poprawne przekształcenia oraz poprawna postać ilorazu - zgodna z podaną w treści
zadania.
2 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia lub bezpośrednie zapisanie (np. na mocy III prawa
Keplera z wyrażeniem zawierającym stałe) jednego poprawnego wyrażenia,
z którego można bezpośrednio obliczyć masę centrum grawitacyjnego jedynie na
podstawie odpowiednich stałych, promienia 𝑎 orbity kołowej i okresu 𝑇 obiegu ciała
dookoła tego centrum, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑚𝑖
v𝑖
2
𝑎𝑖
= 𝐺𝑚𝑖𝑀𝑖
𝑎𝑖
2
oraz v𝑖= 2𝜋𝑎𝑖
𝑇𝑖 ) →[przekształcenia] → 𝑀𝑖= 4𝜋2
𝐺
𝑎𝑖
3
𝑇𝑖
2
LUB

\n\n

następujące proporcje o tym samym współczynniku proporcjonalności:
𝑎1
3
𝑇1
2 ∝const ⋅𝑀1 oraz 𝑎2
3
𝑇2
2 ∝const ⋅𝑀2
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na ciało 𝒞1 (lub 𝒞2) jako siłę
dośrodkową (lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako
przyśpieszenie grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub
przyśpieszenia), np. zapisy równoważne poniższym
𝑚1
v1
2
𝑎1
= 𝐺𝑚1𝑀1
𝑎1
2
albo 𝑚1𝜔1
2𝑎1 = 𝐺𝑚1𝑀1
𝑎1
2
albo 𝜔1
2𝑎1 = 𝐺𝑀1
𝑎1
2
LUB

\n\n

wzoru na prędkość w ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity, np. zapisy
równoważne poniższym
v1 = √𝐺𝑀
𝑎1
oraz v1 = 2𝜋𝑎1
𝑇1
Zasady oceniania rozwiązań zadań
LUB

\n\n

proporcja:
𝑎3
𝑇2 ∝𝑀
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wyznaczymy związek między masą 𝑀1 centrum grawitacyjnego a okresem 𝑇1 obiegu
(dookoła tego centrum) ciała 𝒞1 po orbicie kołowej i promieniem 𝑎1 tej orbity. Zapiszemy
równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową, łącznie z uwzględnieniem
wzorów na te siły:
𝑚1
v1
2
𝑎1
= 𝐺𝑚1𝑀1
𝑎1
2
Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość ciała 𝒞1 w ruchu jednostajnym po
okręgu: v1 =
2𝜋𝑎1
𝑇1 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez masę ciała 𝑚1.
Następnie równanie przekształcimy i wyznaczymy masę 𝑀1 centrum grawitacyjnego:
(2𝜋𝑎1
𝑇1 )
2
𝑎1
= 𝐺𝑀1
𝑎1
2 → 4𝜋2𝑎1
𝑇1
2
= 𝐺𝑀1
𝑎1
2
𝑀1 = 4𝜋2
𝐺
𝑎1
3
𝑇1
2
Analogicznie wyznaczymy masę 𝑀2 drugiego centrum grawitacyjnego:
𝑀2 = 4𝜋2
𝐺
𝑎2
3
𝑇2
2
Wyznaczymy iloraz mas obu centrów grawitacyjnych:
𝑀1
𝑀2
4𝜋2
𝐺
𝑎1
3
𝑇1
2
4𝜋2
𝐺
𝑎2
3
𝑇2
2
𝑎1
3
𝑇1
2
𝑎2
3
𝑇2
2
= 𝑎1
3
𝑇1
2 ⋅𝑇2
2
𝑎2
3 = (𝑎1
𝑎2
)
3
⋅(𝑇2
𝑇1
)
2
Sposób 2.
Wyznaczymy związek między masą 𝑀1 centrum grawitacyjnego a okresem 𝑇1 obiegu
(dookoła tego centrum) ciała 𝒞1 po orbicie kołowej i promieniem 𝑎1 tej orbity. Zapiszemy
równanie identyfikujące przyśpieszenie dośrodkowe ciała 𝒞1 na orbicie, jako przyśpieszenie
grawitacyjne:
𝜔1
2𝑎1 = 𝐺𝑀1
𝑎1
2
Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość kątową ciała 𝒞1 w ruchu
jednostajnym po orbicie kołowej: 𝜔1 =
2𝜋
𝑇1 .
Następnie wyznaczymy masę 𝑀1 centrum grawitacyjnego:
(2𝜋
𝑇1 )
2
𝑎1 = 𝐺𝑀1
𝑎1
2 → 4𝜋2
𝑇1
2 = 𝐺𝑀1
𝑎1
3 → 𝑀1 = 4𝜋2
𝐺
𝑎1
3
𝑇1
2
Iloraz mas obu centrów grawitacyjnych obliczamy podobnie jak w sposobie 1.

","solutions":[]}