{"id":"fizyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"fizyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona","number":"3.3","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"przykladowy","year":2023,"month":null,"level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nMasa gwiazdy 𝒢 wynosi 𝑀𝒢= 2𝑀𝒮, gdzie 𝑀𝒮 jest masą Słońca.\nOblicz okres obiegu ciała 𝓝 dookoła gwiazdy 𝓖. Wynik podaj w latach ziemskich.\nZapisz obliczenia.\nWskazówki: (1) Okres obiegu ciała po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej 𝑎 jest równy\nokresowi obiegu (dookoła tej samej masy) ciała po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎.\n(2) Obliczenia ułatwi wykorzystanie parametrów ruchu orbitalnego Ziemi (𝒵) dookoła Słońca,\nprzy założeniu, że ta orbita jest kołowa, a jej promień i okres obiegu wynoszą:\n𝑎𝒵= 1 au oraz 𝑇𝒵= 1 rok.\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Posługiwanie się informacjami\npochodzącymi z analizy materiałów\nźródłowych, w tym tekstów\npopularnonaukowych.\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk\noraz ilustracji praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.2) posługuje się materiałami pomocniczymi,\nw tym […] kartą wybranych wzorów i stałych\nfizykochemicznych.\nIV.3) analizuje jakościowo wpływ siły grawitacji\nSłońca na niejednostajny ruch planet po\norbitach eliptycznych […];\nIV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę\ndośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza\nwartość prędkości na orbicie kołowej\no dowolnym promieniu […];\nIV.5) interpretuje III prawo Keplera jako\nkonsekwencję prawa powszechnego ciążenia;\nstosuje do obliczeń III prawo Keplera dla orbit\nkołowych.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu ciała 𝒩 dookoła gwiazdy 𝒢 (np. jak\nw krokach 1.-3. przykładowych rozwiązań) oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego z jednostką.\n2 pkt - wyprowadzenie lub zapisanie jednego poprawnego wyrażenia (do którego zdający\nbezpośrednio podstawia wartości liczbowe albo na którym kończy rozwiązanie),\nz którego można bezpośrednio obliczyć okres obiegu pewnego ciała 𝒞 dookoła\ngwiazdy 𝒢 (po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎) jedynie na podstawie odpowiednich\nstałych, masy gwiazdy 𝒢 oraz promienia orbity (np. zapisanie wyrażenia na 𝑇𝒞 jak\nw kroku 2. w sposobach 1.-3.)\nLUB\n- wyprowadzenie wyrażenia pozwalającego bezpośrednio obliczyć stosunek okresów\n𝑇𝒞 (pewnego ciała 𝒞 obiegającego gwiazdę 𝒢 po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎)\ni 𝑇𝒵 za pomocą tylko 𝑎, 𝑎𝒵, 𝑀𝒢 oraz 𝑀𝒮 (np. zapisanie wyrażenia na\n𝑇𝒞\n𝑇𝒵\njak w\nostatnim etapie kroku 2. w sposobie 1.).\n1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na pewne ciało 𝒞\n(obiegające gwiazdę 𝒢 po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎) jako siłę dośrodkową\n(lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako przyśpieszenie\ngrawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia) (np. jak\nw kroku 1. w sposobie 1. lub w sposobie 2.)\nLUB\n- skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną (pewnego ciała 𝒞 obiegającego gwiazdę\n𝒢 po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎), łącznie z zastosowaniem wzoru na prędkość\nw ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity (np. jak w kroku 1. w sposobie 3.).\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nWykorzystamy wskazówkę (1): okres obiegu ciała po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej\nrównej 𝑎 jest równy okresowi obiegu ciała po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎. Rozważmy\nwięc hipotetyczne ciało 𝒞 poruszające się po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎. Wtedy:\n𝑇𝒞= 𝑇𝒩\nSposób 1. (z wykorzystaniem parametrów ruchu orbitalnego Ziemi)\nKrok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇𝒞 obiegu ciała 𝒞 po orbicie kołowej a masą\n𝑀𝒢 gwiazdy 𝒢. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową,\nłącznie z uwzględnieniem wzorów na te siły:\n𝑚𝒞\nv𝒞\n2\n𝑎= 𝐺𝑚𝒞𝑀𝒢\n𝑎2\nKrok 2. Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po\nokręgu: v𝒞=\n2𝜋𝑎\n𝑇𝒞 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez 𝑚𝒞. Następnie\nrównanie przekształcimy i wyznaczymy okres 𝑇𝒞:\n(2𝜋𝑎\n𝑇𝒞 )\n2\n𝑎\n𝐺𝑀𝒢\n𝑎2 → 4𝜋2𝑎\n𝑇𝒞\n2 =\n𝐺𝑀𝒢\n𝑎2 → 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑎3\n𝐺𝑀𝒢\nPodobnie można wyznaczyć okres obiegu Ziemi dookoła Słońca:\n𝑇𝒵= 2𝜋√𝑎𝒵\n3\n𝐺𝑀𝒮\nObliczenia ułatwi wskazówka (2) zamieszczona do zadania 3.3. Obliczymy stosunek\nokresów 𝑇𝒞 i 𝑇𝒵 z wykorzystaniem parametrów ruchu orbitalnego Ziemi:\n𝑇𝒞\n𝑇𝒵\n2𝜋√𝑎3\n𝐺𝑀𝒢\n2𝜋√𝑎𝒵\n3\n𝐺𝑀𝒮\n√𝑎3\n𝑀𝒢\n√𝑎𝒵\n3\n𝑀𝒮\n= √𝑎3\n𝑀𝒢\n⋅𝑀𝒮\n𝑎𝒵\n3 = √( 𝑎\n𝑎𝒵\n)\n3\n⋅𝑀𝒮\n𝑀𝒢\nKrok 3. Podstawimy dane do otrzymanego ilorazu okresów i obliczymy 𝑇𝒞:\n𝑇𝒞\n1 rok = √63 ⋅1\n2 ≈10,4 → 𝑇𝒞≈10,4 lat\nPonieważ 𝑇𝒞= 𝑇𝒩, zatem\n𝑇𝒩≈10,4 lat\nArkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z fizyki\nSposób 2. (z wykorzystaniem masy Słońca i jednostki astronomicznej podanych w tablicach)\nKrok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇𝒞 obiegu ciała 𝒞 po orbicie kołowej a masą\n𝑀𝒢 gwiazdy 𝒢. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową,\nłącznie z uwzględnieniem wzorów na te siły:\n𝑚𝒞\nv𝒞\n2\n𝑎=\n𝐺𝑚𝒞𝑀𝒢\n𝑎2\nKrok 2. Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po\nokręgu: v𝒞=\n2𝜋𝑎\n𝑇𝒞 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez 𝑚𝒞. Następnie\nrównanie przekształcimy i wyznaczymy okres 𝑇𝒞:\n(2𝜋𝑎\n𝑇𝒞 )\n2\n𝑎\n= 𝐺𝑀𝒢\n𝑎2 → 4𝜋2𝑎\n𝑇𝒞\n2 = 𝐺𝑀𝒢\n𝑎2 → 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑎3\n𝐺𝑀𝒢\nKrok 3. Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy dane z treści zadania oraz z Wybranych\nwzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki:\n𝑇𝒞= 2 ⋅3,142√\n(6 ⋅1,50 ⋅1011 m)3\n6,67 ∙10-11 N∙m2\nkg2 ⋅2 ⋅1,99 ⋅1030 kg\nWykonujemy obliczenia:\n𝑇𝒞= 6,284√27,46 ⋅1014 s ≈32,9 ⋅107 s\n𝑇𝒞≈\n32,9 ⋅107 s\n3,6 ⋅103 ⋅2,4 ⋅101 ⋅3,65 ⋅102 s\nrok\n≈1,04 ⋅101 lat ≈10,4 lat\nPonieważ 𝑇𝒞= 𝑇𝒩, zatem\n𝑇𝒩≈10,4 lat\nSposób 3. (z wykorzystaniem wzoru na prędkość orbitalną)\nKrok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇𝒞 obiegu ciała 𝒞 po orbicie kołowej a masą\n𝑀𝒢 gwiazdy 𝒢. Skorzystamy z gotowego wzoru na prędkość ciała 𝒞 w ruchu po orbicie\nkołowej o promieniu 𝑟= 𝑎 oraz zastosujemy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po\nokręgu.\nv𝒞= √𝐺𝑀𝒢\n𝑎\noraz v𝒞= 2𝜋𝑎\n𝑇𝒞\nKrok 2. Z powyższych równań wyznaczymy 𝑇𝒞:\n2𝜋𝑎\n𝑇𝒞\n= √𝐺𝑀𝒢\n𝑎\n→ 4𝜋2𝑎2\n𝑇𝒞\n2\n𝐺𝑀𝒢\n𝑎\n→ 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑎3\n𝐺𝑀𝒢\nKrok 3. Okres obliczamy podobnie jak w sposobie 1. lub sposobie 2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2023-przykladowy-arkusz-cke-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":"Grawitacja i astronomia","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Arkusz przykładowy · 2023 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Arkusz przykładowy","text_html":"

Zadanie 3.3. (0-3)
Masa gwiazdy 𝒢 wynosi 𝑀𝒢= 2𝑀𝒮, gdzie 𝑀𝒮 jest masą Słońca.
Oblicz okres obiegu ciała 𝓝 dookoła gwiazdy 𝓖. Wynik podaj w latach ziemskich.
Zapisz obliczenia.
Wskazówki: (1) Okres obiegu ciała po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej 𝑎 jest równy
okresowi obiegu (dookoła tej samej masy) ciała po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎.
(2) Obliczenia ułatwi wykorzystanie parametrów ruchu orbitalnego Ziemi (𝒵) dookoła Słońca,
przy założeniu, że ta orbita jest kołowa, a jej promień i okres obiegu wynoszą:
𝑎𝒵= 1 au oraz 𝑇𝒵= 1 rok.
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 3.3. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Posługiwanie się informacjami
pochodzącymi z analizy materiałów
źródłowych, w tym tekstów
popularnonaukowych.
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk
oraz ilustracji praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.2) posługuje się materiałami pomocniczymi,
w tym […] kartą wybranych wzorów i stałych
fizykochemicznych.
IV.3) analizuje jakościowo wpływ siły grawitacji
Słońca na niejednostajny ruch planet po
orbitach eliptycznych […];
IV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza
wartość prędkości na orbicie kołowej
o dowolnym promieniu […];
IV.5) interpretuje III prawo Keplera jako
konsekwencję prawa powszechnego ciążenia;
stosuje do obliczeń III prawo Keplera dla orbit
kołowych.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu obiegu ciała 𝒩 dookoła gwiazdy 𝒢 (np. jak
w krokach 1.-3. przykładowych rozwiązań) oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego z jednostką.
2 pkt - wyprowadzenie lub zapisanie jednego poprawnego wyrażenia (do którego zdający
bezpośrednio podstawia wartości liczbowe albo na którym kończy rozwiązanie),
z którego można bezpośrednio obliczyć okres obiegu pewnego ciała 𝒞 dookoła
gwiazdy 𝒢 (po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎) jedynie na podstawie odpowiednich
stałych, masy gwiazdy 𝒢 oraz promienia orbity (np. zapisanie wyrażenia na 𝑇𝒞 jak
w kroku 2. w sposobach 1.-3.)
LUB

\n\n

𝑇𝒞 (pewnego ciała 𝒞 obiegającego gwiazdę 𝒢 po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎)
i 𝑇𝒵 za pomocą tylko 𝑎, 𝑎𝒵, 𝑀𝒢 oraz 𝑀𝒮 (np. zapisanie wyrażenia na
𝑇𝒞
𝑇𝒵
jak w
ostatnim etapie kroku 2. w sposobie 1.).
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji działającą na pewne ciało 𝒞
(obiegające gwiazdę 𝒢 po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎) jako siłę dośrodkową
(lub relacji identyfikującej przyśpieszenie dośrodkowe jako przyśpieszenie
grawitacyjne) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia) (np. jak
w kroku 1. w sposobie 1. lub w sposobie 2.)
LUB

\n\n

𝒢 po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎), łącznie z zastosowaniem wzoru na prędkość
w ruchu jednostajnym po okręgu dla tej orbity (np. jak w kroku 1. w sposobie 3.).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Wykorzystamy wskazówkę (1): okres obiegu ciała po orbicie eliptycznej o półosi wielkiej
równej 𝑎 jest równy okresowi obiegu ciała po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎. Rozważmy
więc hipotetyczne ciało 𝒞 poruszające się po orbicie kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎. Wtedy:
𝑇𝒞= 𝑇𝒩
Sposób 1. (z wykorzystaniem parametrów ruchu orbitalnego Ziemi)
Krok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇𝒞 obiegu ciała 𝒞 po orbicie kołowej a masą
𝑀𝒢 gwiazdy 𝒢. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową,
łącznie z uwzględnieniem wzorów na te siły:
𝑚𝒞
v𝒞
2
𝑎= 𝐺𝑚𝒞𝑀𝒢
𝑎2
Krok 2. Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po
okręgu: v𝒞=
2𝜋𝑎
𝑇𝒞 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez 𝑚𝒞. Następnie
równanie przekształcimy i wyznaczymy okres 𝑇𝒞:
(2𝜋𝑎
𝑇𝒞 )
2
𝑎
𝐺𝑀𝒢
𝑎2 → 4𝜋2𝑎
𝑇𝒞
2 =
𝐺𝑀𝒢
𝑎2 → 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑎3
𝐺𝑀𝒢
Podobnie można wyznaczyć okres obiegu Ziemi dookoła Słońca:
𝑇𝒵= 2𝜋√𝑎𝒵
3
𝐺𝑀𝒮
Obliczenia ułatwi wskazówka (2) zamieszczona do zadania 3.3. Obliczymy stosunek
okresów 𝑇𝒞 i 𝑇𝒵 z wykorzystaniem parametrów ruchu orbitalnego Ziemi:
𝑇𝒞
𝑇𝒵
2𝜋√𝑎3
𝐺𝑀𝒢
2𝜋√𝑎𝒵
3
𝐺𝑀𝒮
√𝑎3
𝑀𝒢
√𝑎𝒵
3
𝑀𝒮
= √𝑎3
𝑀𝒢
⋅𝑀𝒮
𝑎𝒵
3 = √( 𝑎
𝑎𝒵
)
3
⋅𝑀𝒮
𝑀𝒢
Krok 3. Podstawimy dane do otrzymanego ilorazu okresów i obliczymy 𝑇𝒞:
𝑇𝒞
1 rok = √63 ⋅1
2 ≈10,4 → 𝑇𝒞≈10,4 lat
Ponieważ 𝑇𝒞= 𝑇𝒩, zatem
𝑇𝒩≈10,4 lat
Arkusz pokazowy z egzaminu maturalnego z fizyki
Sposób 2. (z wykorzystaniem masy Słońca i jednostki astronomicznej podanych w tablicach)
Krok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇𝒞 obiegu ciała 𝒞 po orbicie kołowej a masą
𝑀𝒢 gwiazdy 𝒢. Zapiszemy równanie identyfikujące siłę grawitacji jako siłę dośrodkową,
łącznie z uwzględnieniem wzorów na te siły:
𝑚𝒞
v𝒞
2
𝑎=
𝐺𝑚𝒞𝑀𝒢
𝑎2
Krok 2. Do powyższego równania podstawimy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po
okręgu: v𝒞=
2𝜋𝑎
𝑇𝒞 i jednocześnie obie strony równania podzielimy przez 𝑚𝒞. Następnie
równanie przekształcimy i wyznaczymy okres 𝑇𝒞:
(2𝜋𝑎
𝑇𝒞 )
2
𝑎
= 𝐺𝑀𝒢
𝑎2 → 4𝜋2𝑎
𝑇𝒞
2 = 𝐺𝑀𝒢
𝑎2 → 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑎3
𝐺𝑀𝒢
Krok 3. Do otrzymanego wyrażenia podstawiamy dane z treści zadania oraz z Wybranych
wzorów i stałych fizykochemicznych na egzamin maturalny z biologii, chemii i fizyki:
𝑇𝒞= 2 ⋅3,142√
(6 ⋅1,50 ⋅1011 m)3
6,67 ∙10-11 N∙m2
kg2 ⋅2 ⋅1,99 ⋅1030 kg
Wykonujemy obliczenia:
𝑇𝒞= 6,284√27,46 ⋅1014 s ≈32,9 ⋅107 s
𝑇𝒞≈
32,9 ⋅107 s
3,6 ⋅103 ⋅2,4 ⋅101 ⋅3,65 ⋅102 s
rok
≈1,04 ⋅101 lat ≈10,4 lat
Ponieważ 𝑇𝒞= 𝑇𝒩, zatem
𝑇𝒩≈10,4 lat
Sposób 3. (z wykorzystaniem wzoru na prędkość orbitalną)
Krok 1. Wyznaczymy związek między okresem 𝑇𝒞 obiegu ciała 𝒞 po orbicie kołowej a masą
𝑀𝒢 gwiazdy 𝒢. Skorzystamy z gotowego wzoru na prędkość ciała 𝒞 w ruchu po orbicie
kołowej o promieniu 𝑟= 𝑎 oraz zastosujemy wzór na prędkość w ruchu jednostajnym po
okręgu.
v𝒞= √𝐺𝑀𝒢
𝑎
oraz v𝒞= 2𝜋𝑎
𝑇𝒞
Krok 2. Z powyższych równań wyznaczymy 𝑇𝒞:
2𝜋𝑎
𝑇𝒞
= √𝐺𝑀𝒢
𝑎
→ 4𝜋2𝑎2
𝑇𝒞
2
𝐺𝑀𝒢
𝑎
→ 𝑇𝒞= 2𝜋√𝑎3
𝐺𝑀𝒢
Krok 3. Okres obliczamy podobnie jak w sposobie 1. lub sposobie 2.
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}