{"id":"fizyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/6.3","paper_id":"fizyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"6.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2024,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6.3. (0-4)\nWyprowadź poniższy wzór na sprawność 𝜼 silnika o cyklu opisanym w zadaniu 6.:\n𝜼= 𝟐𝒑𝒙-𝟐𝒑𝟏\n𝟖𝒑𝒙-𝟑𝒑𝟏\nEFAP_R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6.3. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na sprawność cyklu oraz podanie\nprawidłowego wyniku wynikającego z wyprowadzenia.\n3 pkt - zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako\nróżnicy pracy siły parcia w przemianie 𝐵→𝐶 i pracy przeciwko sile parcia\nw przemianie 𝐷→𝐴 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), oraz zapisanie\nciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶, oraz\nwykorzystanie wzorów na pracę w przemianach izobarycznych, oraz wykorzystanie\nwzorów na ciepła w przemianach izochorycznej i izobarycznej, oraz wykorzystanie\nrównania stanu do obliczenia różnic temperatur Δ𝑇𝐴𝐵 i Δ𝑇𝐵𝐶, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒\noraz\n𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= 𝑝𝑥(2𝑉1 -𝑉1) -𝑝1(2𝑉1 -𝑉1) oraz\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛5\n2 𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 oraz\nΔ𝑝𝐴𝐵𝑉1 = 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶= 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶\n2 pkt - zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako\nróżnicy pracy siły parcia w przemianie 𝐵→𝐶 i pracy przeciwko sile parcia w\nprzemianie 𝐷→𝐴 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), oraz zapisanie\nciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶, oraz\nwykorzystanie wzorów na pracę w przemianach izobarycznych oraz wykorzystanie\nwzorów na ciepła w przemianach izochorycznej i izobarycznej, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒\noraz\n𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶-𝑝1Δ𝑉𝐷𝐴 oraz\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛5\n2 𝑅Δ𝑇𝐵𝐶\n1 pkt - zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako\nróżnicy pracy siły parcia w przemianie 𝐵→𝐶 i pracy przeciwko sile parcia w\nprzemianie 𝐷→𝐴 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒\noraz 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= |𝑊𝐵𝐶| -|𝑊𝐷𝐴|\nLUB\n- zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie ciepła pobranego\njako sumy ciepeł pobranych w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒\noraz 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑄𝐴𝐵+ 𝑄𝐵𝐶\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapiszemy definicję sprawności silnika cieplnego:\n1) 𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎\n𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒\nPraca całkowita jest równa różnicy wartości bezwzględnych prac podczas rozprężania\nizobarycznego i sprężania izobarycznego:\n2) 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= |𝑊𝐵𝐶| -|𝑊𝐷𝐴| → 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘= 𝑝𝑥(2𝑉1 -𝑉1) -𝑝1(2𝑉1 -𝑉1)\n2𝑎) 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= (𝑝𝑥-𝑝1)𝑉1\nCiepło pobrane z otoczenia w cyklu jest równe sumie ciepeł pobranych z otoczenia\nw przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶:\n3) 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑄𝐴𝐵+ 𝑄𝐵𝐶\nWykorzystamy wzory na ciepła w przemianach izochorycznej oraz izobarycznej:\n4) 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛𝐶𝑉Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛𝐶𝑝Δ𝑇𝐵𝐶\nWykorzystamy związek między ciepłem molowym przy stałej objętości a ciepłem molowym\nprzy stałym ciśnieniu:\n5) 𝐶𝑝= 𝐶𝑉+ 𝑅 zatem\n6) 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛3\n2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛5\n2 𝑅Δ𝑇𝐵𝐶\nWykorzystamy związki wynikające z równania stanu gazu doskonałego oraz własności\nprzemiany izochorycznej 𝐴→𝐵 oraz własności przemiany izobarycznej 𝐵→𝐶:\n7) 𝑝𝑉= 𝑛𝑅𝑇 zatem\n8) Δ𝑝𝐴𝐵𝑉1 = 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵\n9) 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶= 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶\nZwiązki 8) i 9) podstawimy do równania 6):\n10) 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 3\n2 Δ𝑝𝐴𝐵𝑉1 + 5\n2 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶\n10𝑎) 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 3\n2 (𝑝𝑥-𝑝1)𝑉1 + 5\n2 𝑝𝑥𝑉1 = 8\n2 𝑝𝑥𝑉1 -3\n2 𝑝1𝑉1\nWyniki otrzymane w 10a) oraz 2a) podstawimy do wzoru 1):\n11) 𝜂=\n(𝑝𝑥-𝑝1)𝑉1\n(8\n2 𝑝𝑥-3\n2 𝑝1) 𝑉1\n𝑝𝑥-𝑝1\n8\n2 𝑝𝑥-3\n2 𝑝1\n= 2𝑝𝑥-2𝑝1\n8𝑝𝑥-3𝑝1\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2024-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-6.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 6.3. (0-4)<br>Wyprowadź poniższy wzór na sprawność 𝜼 silnika o cyklu opisanym w zadaniu 6.:<br>𝜼= 𝟐𝒑𝒙-𝟐𝒑𝟏<br>𝟖𝒑𝒙-𝟑𝒑𝟏<br>EFAP_R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 6.3. (0-4)<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda wyprowadzenia wzoru na sprawność cyklu oraz podanie<br>prawidłowego wyniku wynikającego z wyprowadzenia.<br>3 pkt - zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako<br>różnicy pracy siły parcia w przemianie 𝐵→𝐶 i pracy przeciwko sile parcia<br>w przemianie 𝐷→𝐴 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), oraz zapisanie<br>ciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶, oraz<br>wykorzystanie wzorów na pracę w przemianach izobarycznych, oraz wykorzystanie<br>wzorów na ciepła w przemianach izochorycznej i izobarycznej, oraz wykorzystanie<br>równania stanu do obliczenia różnic temperatur Δ𝑇𝐴𝐵 i Δ𝑇𝐵𝐶, np. zapisy równoważne<br>poniższym:<br>𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎<br>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒<br>oraz<br>𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= 𝑝𝑥(2𝑉1 -𝑉1) -𝑝1(2𝑉1 -𝑉1) oraz<br>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛3<br>2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛5<br>2 𝑅Δ𝑇𝐵𝐶 oraz<br>Δ𝑝𝐴𝐵𝑉1 = 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶= 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶<br>2 pkt - zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako<br>różnicy pracy siły parcia w przemianie 𝐵→𝐶 i pracy przeciwko sile parcia w<br>przemianie 𝐷→𝐴 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), oraz zapisanie<br>ciepła pobranego jako sumy ciepeł pobranych w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶, oraz<br>wykorzystanie wzorów na pracę w przemianach izobarycznych oraz wykorzystanie<br>wzorów na ciepła w przemianach izochorycznej i izobarycznej, np. zapisy<br>równoważne poniższym:<br>𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎<br>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒<br>oraz<br>𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶-𝑝1Δ𝑉𝐷𝐴 oraz<br>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛3<br>2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛5<br>2 𝑅Δ𝑇𝐵𝐶<br>1 pkt - zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie pracy całkowitej jako<br>różnicy pracy siły parcia w przemianie 𝐵→𝐶 i pracy przeciwko sile parcia w<br>przemianie 𝐷→𝐴 (lub jako pola figury ograniczonej krzywą cyklu), np. zapisy<br>równoważne poniższym:<br>𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎<br>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒<br>oraz 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= |𝑊𝐵𝐶| -|𝑊𝐷𝐴|<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru na sprawność silnika cieplnego oraz zapisanie ciepła pobranego</li></ul>\n<p>jako sumy ciepeł pobranych w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶, np. zapisy równoważne<br>poniższym:<br>𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎<br>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒<br>oraz 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑄𝐴𝐵+ 𝑄𝐵𝐶<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Zapiszemy definicję sprawności silnika cieplnego:</p>\n<ol><li>𝜂= 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎</li></ol>\n<p>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒<br>Praca całkowita jest równa różnicy wartości bezwzględnych prac podczas rozprężania<br>izobarycznego i sprężania izobarycznego:</p>\n<ol><li>𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= |𝑊𝐵𝐶| -|𝑊𝐷𝐴| → 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘= 𝑝𝑥(2𝑉1 -𝑉1) -𝑝1(2𝑉1 -𝑉1)</li></ol>\n<p>2𝑎) 𝑊𝑐𝑎𝑙𝑘𝑜𝑤𝑖𝑡𝑎= (𝑝𝑥-𝑝1)𝑉1<br>Ciepło pobrane z otoczenia w cyklu jest równe sumie ciepeł pobranych z otoczenia<br>w przemianach 𝐴→𝐵 i 𝐵→𝐶:</p>\n<ol><li>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑄𝐴𝐵+ 𝑄𝐵𝐶</li></ol>\n<p>Wykorzystamy wzory na ciepła w przemianach izochorycznej oraz izobarycznej:</p>\n<ol><li>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛𝐶𝑉Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛𝐶𝑝Δ𝑇𝐵𝐶</li></ol>\n<p>Wykorzystamy związek między ciepłem molowym przy stałej objętości a ciepłem molowym<br>przy stałym ciśnieniu:</p>\n<ol><li>𝐶𝑝= 𝐶𝑉+ 𝑅 zatem</li><li>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 𝑛3</li></ol>\n<p>2 𝑅Δ𝑇𝐴𝐵+ 𝑛5<br>2 𝑅Δ𝑇𝐵𝐶<br>Wykorzystamy związki wynikające z równania stanu gazu doskonałego oraz własności<br>przemiany izochorycznej 𝐴→𝐵 oraz własności przemiany izobarycznej 𝐵→𝐶:</p>\n<ol><li>𝑝𝑉= 𝑛𝑅𝑇 zatem</li><li>Δ𝑝𝐴𝐵𝑉1 = 𝑛𝑅Δ𝑇𝐴𝐵</li><li>𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶= 𝑛𝑅Δ𝑇𝐵𝐶</li></ol>\n<p>Związki 8) i 9) podstawimy do równania 6):</p>\n<ol><li>𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 3</li></ol>\n<p>2 Δ𝑝𝐴𝐵𝑉1 + 5<br>2 𝑝𝑥Δ𝑉𝐵𝐶<br>10𝑎) 𝑄𝑝𝑜𝑏𝑟𝑎𝑛𝑒= 3<br>2 (𝑝𝑥-𝑝1)𝑉1 + 5<br>2 𝑝𝑥𝑉1 = 8<br>2 𝑝𝑥𝑉1 -3<br>2 𝑝1𝑉1<br>Wyniki otrzymane w 10a) oraz 2a) podstawimy do wzoru 1):</p>\n<ol><li>𝜂=</li></ol>\n<p>(𝑝𝑥-𝑝1)𝑉1<br>(8<br>2 𝑝𝑥-3<br>2 𝑝1) 𝑉1<br>𝑝𝑥-𝑝1<br>8<br>2 𝑝𝑥-3<br>2 𝑝1<br>= 2𝑝𝑥-2𝑝1<br>8𝑝𝑥-3𝑝1<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[]}