Zadanie 3.2. (0-4)
Wyznacz współrzędną 𝑻𝒙 siły tarcia 𝑻⃗⃗ w zależności tylko od wartości 𝑭 siły 𝑭⃗⃗ .
Na podstawie otrzymanego wyniku zweryfikuj, czy zwrot siły tarcia 𝑻⃗⃗ - przyjęty
w rozwiązaniu - jest poprawny. Następnie na rysunku 3. (na stronie 10) narysuj siłę
tarcia 𝑻⃗⃗ przyłożoną w punkcie 𝑪 walca - uwzględnij jej poprawny kierunek i zwrot.
Wskazówka: Przyjmij, że gdy wektor jest skierowany zgodnie ze zwrotem osi 𝑥, to jego
współrzędna jest dodatnia, a gdy wektor jest skierowany przeciwnie do zwrotu osi 𝑥, to jego
współrzędna jest ujemna.
3.1.
0-1-2
3.2.
0-1-
2-3-4
MFAP_R0_100
Rysunek 3.
𝑆
𝐹Ԧ
𝐶
𝑥
MFAP_R0_100
Zadanie 3.2. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
II.13) stosuje zasady dynamiki do opisu
zachowania się ciał;
II.17) opisuje opory ruchu ([…] tarcie statyczne,
[…]); […] omawia rolę tarcia na wybranych
przykładach.
III.2) stosuje pojęcie bryły sztywnej; opisuje ruch
obrotowy bryły sztywnej wokół osi;
III.4) stosuje zasady dynamiki dla ruchu
obrotowego; posługuje się pojęciami
przyspieszenia kątowego oraz momentu
bezwładności jako wielkości zależnej od
rozkładu mas, wraz z ich jednostkami.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 1.)
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑇𝑥 siły tarcia tylko za pomocą 𝐹 oraz
poprawna weryfikacja założenia o zwrocie siły tarcia oraz poprawne narysowanie siły
tarcia.
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑇𝑥 siły tarcia (zgodnie z założonym
zwrotem siły tarcia) tylko za pomocą 𝐹 oraz zapisanie prawidłowego wyniku
równoważnego poniższemu:
|𝑇𝑥| = 1
3𝐹 lub (𝑇= -1
3 𝐹 gdy założono 𝑇𝑥= -𝑇)
2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki
dla ruchu obrotowego walca, oraz zapisanie siły wypadkowej i wypadkowego
momentu sił w obu równaniach ruchu zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia, oraz
uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem
kątowym walca, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑎= 𝐹-𝑇 oraz 𝐼0 ⋅𝑎
𝑅= 𝑅(𝐹+ 𝑇)
1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki
dla ruchu obrotowego walca względem osi symetrii, oraz zapisanie wartości siły
wypadkowej jako 𝐹𝑤= 𝐹-𝑇 lub zapisanie wzoru na wypadkowy moment sił
𝑀= 𝑅(𝐹+ 𝑇), wszystko zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia (przeciwnym do
zwrotu osi 𝑥), np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑎= 𝐹-𝑇 oraz 𝐼0𝜖= 𝑀
albo
𝑚𝑎= 𝐹𝑤 oraz 𝐼0𝜖= 𝑅(𝐹+ 𝑇)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑇𝑥 siły tarcia tylko za pomocą 𝐹 oraz
poprawna weryfikacja założenia o zwrocie siły tarcia oraz poprawne narysowanie tej siły.
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia współrzędnej 𝑇𝑥 siły tarcia (zgodnie z założonym
zwrotem siły tarcia) tylko za pomocą 𝐹 oraz zapisanie wyniku równoważnego
poniższemu:
|𝑇𝑥| = 1
3𝐹 lub (𝑇= 1
3 𝐹 gdy założono 𝑇𝑥= 𝑇)
2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki
dla ruchu obrotowego walca, oraz zapisanie siły wypadkowej i wypadkowego
momentu sił w obu równaniach ruchu zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia, oraz
uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem
kątowym walca, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑎= 𝐹+ 𝑇 oraz 𝐼0 ⋅𝑎
𝑅= 𝑅(𝐹-𝑇)
1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego walca oraz zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki
dla ruchu obrotowego walca względem osi symetrii, oraz zapisanie wartości siły
wypadkowej jako 𝐹𝑤= 𝐹+ 𝑇 lub zapisanie wzoru na wypadkowy moment sił
𝑀= 𝑅(𝐹-𝑇), wszystko zgodnie z założonym zwrotem siły tarcia (zgodnym ze
zwrotem osi 𝑥), np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑎= 𝐹+ 𝑇 oraz 𝐼0𝜖= 𝑀
albo
𝑚𝑎= 𝐹𝑤 oraz 𝐼0𝜖= 𝑅(𝐹-𝑇)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Na walec w kierunku poziomym działają siły: siła tarcia statycznego 𝑇⃗⃗ oraz siła 𝐹⃗. Obie siły
mają niezerowe momenty względem osi obrotu walca.
Przyjmiemy arbitralnie, że siła tarcia statycznego ma zwrot przeciwny do zwrotu osi 𝑥.
Zatem przyjmiemy do równań ruchu, że:
𝑇𝑥= -𝑇
dla pewnej liczby 𝑇 (o której początkowo myślimy jako o wartości siły tarcia). Nasze założenie
zweryfikujemy na podstawie analizy znaku wyznaczonej współrzędnej 𝑇𝑥 siły tarcia 𝑇⃗⃗.
Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz dla
ruchu obrotowego walca (względem osi symetrii). Przy założeniu, że siła tarcia ma przeciwny
zwrot do siły 𝐹⃗, to wartości obu sił się odejmą, a wartości momentów obu sił się dodadzą
(obie siły „kręcą” prawoskrętnie):
{ 𝑚𝑎= 𝐹-𝑇
𝐼0𝜖= 𝑅(𝐹+ 𝑇)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym
w przypadku toczenia się bez poślizgu oraz wzór na moment bezwładności walca:
{
𝑚𝑎= 𝐹-𝑇
1
2 𝑚𝑅2 𝑎
𝑅 = 𝑅(𝐹+ 𝑇) → {
𝑚𝑎= 𝐹-𝑇
1
2 𝑚𝑎 = 𝐹+ 𝑇
Z powyższego układu równań wyznaczymy 𝑇:
1
2 (𝐹-𝑇) = 𝐹+ 𝑇 → 1
2 𝐹-1
2 𝑇= 𝐹+ 𝑇 → -1
2 𝐹= 3
2 𝑇
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑇= -1
3 𝐹
Ustalenie zwrotu siły tarcia
Przeanalizujemy znak współrzędnej siły tarcia. Zweryfikujemy nasze założenie o zwrocie siły
tarcia z wynikiem, który otrzymaliśmy po rozwiązaniu równań:
(𝑇𝑥= -𝑇 oraz 𝑇= -1
3 𝐹) → 𝑇𝑥= 1
3 𝐹
Współrzędna 𝑇𝑥 siły tarcia okazała się dodatnia, zatem siła tarcia ma zwrot zgodny ze
zwrotem osi 𝑥.
Sposób 2.
Na walec w kierunku poziomym działają siły: siła tarcia statycznego 𝑇⃗⃗ oraz siła 𝐹⃗. Obie siły
mają niezerowe momenty względem osi obrotu walca.
Przyjmiemy arbitralnie, że siła tarcia statycznego ma zwrot zgodny ze zwrotem osi 𝑥. Zatem
przyjmiemy do równań ruchu, że:
𝑇𝑥= +𝑇
dla pewnej liczby 𝑇 (o której początkowo myślimy jako o wartości siły tarcia). Nasze założenie
zweryfikujemy na podstawie analizy znaku wyznaczonej współrzędnej 𝑇𝑥 siły tarcia 𝑇⃗⃗.
Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca oraz dla
ruchu obrotowego walca (względem osi symetrii). Przy założeniu, że siła tarcia ma ten sam
zwrot co siła 𝐹⃗, to wartości obu sił się dodadzą, a wartości momentów obu sił się odejmą
(siła 𝐹⃗ „kręci” prawoskrętnie, a 𝑇⃗⃗ „kręci” lewoskrętnie):
𝑆
𝐹Ԧ
𝐶
𝑇ሬԦ
𝑥
{ 𝑚𝑎= 𝐹+ 𝑇
𝐼0𝜖= 𝑅(𝐹-𝑇)
Zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym
w przypadku toczenia się bez poślizgu oraz wzór na moment bezwładności walca:
{
𝑚𝑎= 𝐹+ 𝑇
1
2 𝑚𝑅2 𝑎
𝑅 = 𝑅(𝐹-𝑇) → {
𝑚𝑎= 𝐹+ 𝑇
1
2 𝑚𝑎 = 𝐹-𝑇
Z powyższego układu równań wyznaczymy wartość 𝑇 siły tarcia:
1
2 (𝐹+ 𝑇) = 𝐹-𝑇 → 1
2 𝐹+ 1
2 𝑇= 𝐹-𝑇 → 3
2 𝑇= 1
2 𝐹
Ostatecznie otrzymujemy:
𝑇= 1
3 𝐹
Ustalenie zwrotu siły tarcia
Przeanalizujemy znak współrzędnej siły tarcia. Zweryfikujemy nasze założenie o zwrocie siły
tarcia z wynikiem, który otrzymaliśmy po rozwiązaniu równań:
(𝑇𝑥= +𝑇 oraz 𝑇= 1
3 𝐹) → 𝑇𝑥= 1
3 𝐹
Współrzędna 𝑇𝑥 siły tarcia okazała się dodatnia, zatem siła tarcia ma zwrot zgodny ze
zwrotem osi 𝑥.
𝑆
𝐹Ԧ
𝐶
𝑇ሬԦ
𝑥
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$T_x = \\dfrac{1}{3}F$ (zwrot zgodny ze zwrotem osi $x$)
"}]}