Zadanie 4.3. (0-4)
Pracę, jaką musi wykonać siła ciągu silników satelity SA, aby przenieść go z orbity OA na
orbitę OB, na której będzie poruszał się z wyłączonymi silnikami, oznaczymy jako 𝑊𝐴𝐵.
W obliczeniach pomiń zmianę masy satelity podczas działania silników odrzutowych.
Wyznacz 𝑾𝑨𝑩 w zależności tylko od wielkości: promienia 𝒓𝑨 orbity OA, masy 𝒎
satelity SA, masy 𝑴𝒁 Ziemi oraz stałej grawitacji 𝑮.
Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝑾𝑨𝑩.
4.3.
0-1-
2-3-4
MFAP_R0_100
Zadanie 4.3. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
II.20) […] wykorzystuje równość między pracą
siły wypadkowej i zmianą energii kinetycznej
oraz zasadę zachowania energii mechanicznej
do obliczeń.
IV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza
wartość prędkości na orbicie kołowej
o dowolnym promieniu […];
IV.7) oblicza zmiany energii potencjalnej
grawitacji i stosuje zasadę zachowania energii
do ruchu pod wpływem siły grawitacji […].
Zasady oceniania
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia pracy 𝑊𝐴𝐵 siły ciągu silników tylko przez wielkości:
𝑟𝐴, 𝑚, 𝑀𝑍, 𝐺 oraz podanie prawidłowego wzoru:
𝑊𝐴𝐵= 𝐺𝑀𝑍𝑚
3𝑟𝐴
3 pkt - zapisanie pracy siły ciągu silników jako różnicy energii mechanicznych oraz
zapisanie energii mechanicznej satelity SA (na orbicie OA oraz na orbicie OB) jako
sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej grawitacji, oraz poprawne
zastosowanie wzorów (zgodnie z oznaczeniami) na oba rodzaje energii, oraz
identyfikacja siły grawitacji jako siły dośrodkowej z wykorzystaniem wzorów na te siły
(albo zapisanie wzoru na prędkość orbitalną), np. zapisy równoważne poniższym:
𝑊𝐴𝐵= (1
2 𝑚𝑣𝐵
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐵
)) -(1
2 𝑚𝑣𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
))
oraz
(𝑚𝑣𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
albo 𝑣𝐴= √𝐺𝑀𝑍
𝑟𝐴
)
LUB
wzoru na energię mechaniczną z wyeliminowaną prędkością (na orbicie OA lub na
orbicie OB), np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝐴= 1
2 𝑚𝑣𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
) oraz (𝑚𝑣𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
albo 𝑣𝐴= √𝐺𝑀𝑍
𝑟𝐴
) →
𝐸𝐴= -1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
Zasady oceniania rozwiązań zadań
2 pkt - zapisanie pracy siły ciągu silników jako różnicy energii mechanicznych oraz
zapisanie energii mechanicznej satelity SA (na orbicie OA oraz na orbicie OB) jako
sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej grawitacji, oraz poprawne
zastosowanie wzorów (zgodnie z oznaczeniami) na oba rodzaje energii, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑊𝐴𝐵= (1
2 𝑚𝑣𝐵
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐵
)) -(1
2 𝑚𝑣𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
))
LUB
energii kinetycznej i energii potencjalnej grawitacji oraz poprawne zastosowanie
wzorów (zgodnie z oznaczeniami) na oba rodzaje energii, oraz identyfikacja siły
grawitacji jako siły dośrodkowej z wykorzystaniem wzorów na te siły (albo zapisanie
wzoru na prędkość orbitalną), np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝐴= 1
2 𝑚𝑣𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
) oraz (𝑚𝑣𝐴
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
albo 𝑣𝐴= √𝐺𝑀𝑍
𝑟𝐴
)
1 pkt - zapisanie pracy siły ciągu silników jako różnicy energii mechanicznych (z oznaczenia
lub innych zapisów musi wynikać, że chodzi o energię mechaniczną), np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑊𝐴𝐵= 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝐵-𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝐴 albo (𝑊𝐴𝐵= 𝐸𝐵-𝐸𝐴 oraz 𝐸𝐴= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝐴+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟 𝐴)
LUB
energii kinetycznej i energii potencjalnej grawitacji oraz poprawne zastosowanie
wzorów (zgodnie z oznaczeniami) na oba rodzaje energii, np. zapisy równoważne
poniższym:
𝐸𝐴= 1
2 𝑚𝑣𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
)
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Praca, jaką wykonała siła ciągu silników podczas przemieszczania satelity SA z orbity OA na
orbitę OB, jest równa różnicy energii mechanicznych 𝐸𝐵 i 𝐸𝐴, jakie ma satelita na orbitach OB
i OA. Zatem:
Wyprowadzimy wyrażenie na energię mechaniczną, gdy satelita porusza się swobodnie
z prędkością orbitalną o wartości 𝑣𝐴 po orbicie OA.
Energia mechaniczna jest równa sumie energii kinetycznej i energii potencjalnej grawitacji:
2 𝑚𝑣𝐴
2 + (-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
)
Następnie wyznaczymy wartość prędkości orbitalnej 𝑣𝐴. Wykorzystamy fakt, że siła grawitacji
pełni rolę siły dośrodkowej:
2
𝑟𝐴
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
2
→ 3𝑎) 𝑣𝐴
2 = 𝐺𝑀𝑍
𝑟𝐴
Związek 3a) podstawimy do wzoru 2) na energię mechaniczną satelity na orbicie OA:
2 𝑚𝐺𝑀𝑍
𝑟𝐴
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
= -1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
Analogiczny wzór na energię mechaniczną obowiązuje dla satelity krążącego po orbicie OB:
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐵
Wyznaczymy pracę 𝑊𝐴𝐵, jaką wykonała siła ciągu silników podczas przemieszczania satelity
SA z orbity OA na orbitę OB. Wzory 4) i 5) podstawimy do 1) oraz uwzględnimy relację
pomiędzy promieniami orbit:
𝑊𝐴𝐵= -1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐵
-(-1
2
𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
) = 𝐺𝑀𝑍𝑚
2
(1
𝑟𝐴
-1
𝑟𝐵
)
𝑊𝐴𝐵= 𝐺𝑀𝑍𝑚
2
(1
𝑟𝐴
-1
3𝑟𝐴
) = 𝐺𝑀𝑍𝑚
2𝑟𝐴
(1 -1
2𝑟𝐴
⋅2
3 = 𝐺𝑀𝑍𝑚
3𝑟𝐴
$W_{AB} = \\dfrac{GM_Z m}{3r_A}$
"}]}