Zadanie 6.2. (0-4)
Ustal wielkości dotyczące prądu zmiennego przepływającego przez opornik 𝑹:
• amplitudę 𝑰𝒎𝒂𝒙 natężenia prądu
• okres 𝑻 zmian natężenia prądu
• natężenie prądu w chwili 𝒕= 𝟎 𝐬 (równoważnie - fazę początkową 𝝓𝟎)
Zapisz wartości tych wielkości i niezbędne obliczenia dotyczące 𝑰𝒎𝒂𝒙 oraz 𝑻.
Następnie, w poniższym układzie współrzędnych (𝒕, 𝑰), w przedziale czasu od 𝒕𝟎= 𝟎 𝐬
do 𝒕= 𝟎, 𝟎𝟒 𝐬, narysuj wykres zależności natężenia 𝑰 prądu przepływającego przez
opornik 𝑹 od czasu 𝒕.
Przyjmij, że w chwili 𝑡0 = 0 s natężenie prądu płynącego przez opornik 𝑅 jest dodatnie.
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
0,01
0,02
0,03
0,04
t, s
I, A
6.2.
0-1-
2-3-4
MFAP_R0_100
Zadanie 6.2. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
III. Planowanie i przeprowadzanie
obserwacji oraz doświadczeń
i wnioskowanie na podstawie ich
wyników.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.6) tworzy […] wykresy […] zilustrowania
zjawisk bądź problemu […];
I.7) wyodrębnia z tekstów […] rysunków
schematycznych […] informacje kluczowe dla
opisywanego zjawiska bądź problemu;
przedstawia te informacje w różnych postaciach.
IX.2) […] analizuje oddziaływanie pola
magnetycznego na przewodnik z prądem oraz
na poruszającą się cząstkę naładowaną (siła
elektrodynamiczna, siła Lorentza);
IX.11) oblicza siłę elektromotoryczną indukcji
jako szybkość zmiany strumienia;
IX.12) opisuje cechy prądu przemiennego;
posługuje się pojęciem napięcia i natężenia
skutecznego; oblicza napięcie i natężenie
skuteczne dla przebiegu sinusoidalnego.
𝑅
𝑈(𝑡)
X
Y
𝐵ሬԦ
vሬԦ
X
Y
A
B
C
D
𝐼
Zasady oceniania
4 pkt - poprawne ustalenie trzech wielkości: 𝐼𝑚𝑎𝑥 oraz 𝑇, oraz 𝐼(𝑡= 0), oraz prawidłowe
narysowanie wykresu - o kształcie sinusoidy - zależności natężenia prądu od czasu.
3 pkt - poprawne ustalenie trzech wielkości: 𝐼𝑚𝑎𝑥 oraz 𝑇, oraz 𝐼(𝑡= 0):
𝐼𝑚𝑎𝑥≈3,4 A, 𝑇= 0,02 s, 𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥
LUB
konsekwentne z tym (tzn. z błędnym 𝐼𝑚𝑎𝑥 albo błędnym 𝐼(𝑡= 0)) narysowanie
wykresu - o kształcie sinusoidy - zależności natężenia prądu od czasu.
2 pkt - poprawne ustalenie dwóch wielkości spośród: 𝐼𝑚𝑎𝑥, 𝑇, 𝐼(𝑡= 0)
LUB
konsekwentne z tym narysowanie wykresu zależności natężenia prądu od czasu.
1 pkt - poprawne ustalenie jednej wielkości: 𝐼𝑚𝑎𝑥 albo 𝑇 albo 𝐼(𝑡= 0).
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga dodatkowa
Ustalenie fazy początkowej jest równoważne ustaleniu napięcia lub natężenia prądu w chwili
𝑡= 0 s, np. poniższe zapisy są równoważne:
𝜙0 = 𝜋
2 lub 𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥 lub 𝑈(𝑡= 0) = 𝑈𝑚𝑎𝑥
Przykładowe pełne rozwiązanie
Ustalimy wielkości dotyczące prądu zmiennego przepływającego przez opornik 𝑅:
Obliczymy amplitudę 𝐼𝑚𝑎𝑥 natężenia prądu. W tym celu najpierw obliczymy amplitudę
napięcia:
𝑈𝑚𝑎𝑥= √2𝑈𝑠𝑘 → 𝑈𝑚𝑎𝑥= √2 ⋅24 V ≈33,9 V
zatem
𝐼𝑚𝑎𝑥= 𝑈𝑚𝑎𝑥
𝑅
→ 𝐼𝑚𝑎𝑥≈33,9 V
10 Ω ≈3,4 A
Obliczymy okres 𝑇 zmian natężenia prądu:
𝜔= 2𝜋
𝑇 → 𝑇= 2𝜋
𝜔=
2𝜋 rad
100𝜋 rad
s
= 0,02 s
Określimy natężenie prądu w chwili 𝑡= 0 (równoważnie - fazę początkową):
𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥
Narysujemy wykres zależności natężenia prądu od czasu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Poniżej przedstawiamy dodatkowy komentarz dotyczący sposobu ustalenia natężenia
prądu w chwili 𝒕= 𝟎 𝐬 (równoważnie - ustalenia fazy początkowej).
Sposób 1.
Rozważamy ruch boku AB ramki w polu magnetycznym. Napięcie indukowane na boku AB
zależy od składowej prędkości prostopadłej do linii pola magnetycznego 𝐵⃗⃗. W sytuacji
zilustrowanej na rysunku 2. (w chwili 𝑡= 0 s) wektor prędkości jest prostopadły do linii pola
magnetycznego (wartość składowej prędkości prostopadłej do pola jest największa). Zatem
napięcie indukowane na boku ramki jest wtedy największe. Z tego wynika też, że:
𝑈(𝑡= 0) = 𝑈𝑚𝑎𝑥 → 𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥
Sposób 2.
Rozważamy ruch ładunku elektrycznego 𝑞 w polu magnetycznym - ładunku wyodrębnionego
w boku AB ramki. Siła Lorentza działająca na ten ładunek zależy od składowej prędkości
prostopadłej do linii pola magnetycznego 𝐵⃗⃗. W sytuacji zilustrowanej na rysunku 2. (w chwili
𝑡= 0) wektor prędkości jest prostopadły do linii pola magnetycznego. Zatem siła Lorentza
działająca na ładunek będzie wtedy największa. Z tego wynika, że:
𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥
Sposób 3.
Przeanalizujemy wzór na siłę elektromotoryczną prądnicy:
𝑈𝑖𝑛𝑑= 𝑈𝑚𝑎𝑥sin ∠(𝑆⃗, 𝐵⃗⃗) gdzie ∠(𝑆⃗, 𝐵⃗⃗) = 𝜔𝑡+ 𝜙0
(𝑆⃗ oznacza wektor prostopadły do powierzchni ramki). Z rysunku 2. wynika, że w chwili 𝑡= 0
mamy:
∠(𝑆⃗, 𝐵⃗⃗) = 𝜙0 = 90°
Zatem:
𝑈𝑖𝑛𝑑(𝑡= 0) = 𝑈(𝑡= 0) = 𝑈𝑚𝑎𝑥sin(𝜔⋅0 + 90°) = 𝑈𝑚𝑎𝑥
Z tego (oraz z założenia o pominięciu indukcyjności obwodu) wynika, że:
𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
0,01
0,02
0,03
0,04
t, s
I, A
Sposób 4.
Zastosujemy prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya. Siła elektromotoryczna indukcji
(napięcie indukowane) w obwodzie zamkniętym jest równa co do wartości bezwzględnej
szybkości zmiany strumienia pola magnetycznego przez powierzchnię obwodu (ramki):
|𝑈𝑖𝑛𝑑| = lim
Δ𝑡→0
Δ(𝐵𝑆cos 𝛼)
Δ𝑡
= lim
Δ𝑡→0
𝐵Δ𝑆⊥
Δ𝑡
Pole magnetyczne jest stałe, zatem szybkość zmiany strumienia będzie proporcjonalna do
szybkości zmiany pola powierzchni (ramki), w płaszczyźnie prostopadłej do pola
magnetycznego, które to pole przenika tę powierzchnię.
Rozważmy obrót ramki widzianej z boku (wierzchołki oznaczone w nawiasach są w głębi),
gdy ramka przechodzi przez położenie równoległe do linii pola (rysunek 1.) oraz w sytuacji,
gdy ramka przechodzi przez położenie prostopadłe do linii pola (rysunek 2.).
W każdej z tych sytuacji na rysunkach 1.-2. pokazano ustawienie ramki w pewnej chwili i po
upływie krótkiego - ustalonego dla obu sytuacji - czasu Δ𝑡. Ponadto pionowym zielonym
odcinkiem zaznaczono Δ𝑆⊥ - zmianę powierzchni (ramki) w płaszczyźnie prostopadłej do
pola magnetycznego, które przenika powierzchnię ramki, w czasie Δ𝑡.
Rysunek 1.
Rysunek 2.
Widzimy, że największa Δ𝑆⊥ - zmiana (w czasie Δ𝑡) pola powierzchni (ramki) w płaszczyźnie
prostopadłej do linii pola magnetycznego, które przenika ramkę - jest w sytuacji na
rysunku 1. (porównaj zielone odcinki - na rysunku 2. jest on bardzo krótki).
W sytuacji na rysunku 2., zmiana ta jest bliska zero (gdy Δ𝑡 dąży do zera, to zmiana jest
równa zero).
Z powyższej geometrycznej analizy prawa Faradaya wynika, że 𝑈𝑖𝑛𝑑 jest maksymalne
w chwili, gdy ramka przechodzi przez położenie równoległe do linii pola magnetycznego -
w zadaniu jest to m.in. chwila 𝑡= 0 s. Zatem:
𝐼(𝑡= 0) = 𝐼𝑚𝑎𝑥
A(B)
D(C)
Δ𝑆⊥
A(B)
Δ𝑆⊥ ≈0
D(C)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
$I_{max} \\approx 3{,}4\\text{ A}$, $T = 0{,}02\\text{ s}$, $I(t=0) = I_{max}$
"}]}