{"id":"fizyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/3.3","paper_id":"fizyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"3.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2024,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3.3. (0-4)\nOblicz wartość siły sprężystości działającej na ciężarek w chwili, gdy znajduje się on\nw najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n3.2.\n3.3.\nMaks. liczba pkt\n2\n4\nUzyskana liczba pkt\nEFAP_R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 3.3. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2024\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nZdający:\n1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej\nzasady dynamiki Newtona;\n6.1) analizuje ruch pod wpływem sił\nsprężystych (harmonicznych), podaje przykłady\ntakiego ruchu.\n6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie\ni wahadła matematycznego;\n6.4) interpretuje wykresy zależności położenia,\nprędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu\ndrgającym.\n𝑔Ԧ\n0\n𝑦\n𝐴\n-𝐴\n𝐹Ԧ𝑠\n𝐹Ԧ𝑔\n𝑃\n>\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy\nznajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N\n3 pkt - zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka\noraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość\nsiły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz\nwykorzystanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością\nmaksymalną i okresem w ruchu drgającym, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥\nalbo w jednym równaniu:\n𝑚(2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\n2 pkt - zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka\noraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość\nsiły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nLUB\n- zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się\nw najniższym położeniu oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem\nmaksymalnym a prędkością i okresem (albo związków między prędkością\na amplitudą i okresem oraz między przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu\ndrgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥\nalbo\n𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz (𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴)\n1 pkt - zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się\nw najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nLUB\n- zapisanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością i okresem\n(albo związków między prędkością a amplitudą i okresem oraz między\nprzyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu drgającym prostym oraz\nidentyfikacja/określenie okresu z wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥 oraz 𝑇= 0,4 s\nalbo\n(𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴) oraz 𝑇= 0,4 s\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy\nznajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N\n3 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości\ni maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\npoprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań\n(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),\noraz zapisanie warunku równowagi sił, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\nzwiązku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, oraz\nzapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a okresem\ni prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 oraz (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\nalbo w jednym równaniu:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑦0 + 𝑘𝐴= 𝑚𝑔+ (2𝜋\n𝑇) 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości\ni maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\npoprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań\n(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),\noraz zapisanie warunku równowagi sił, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔\nLUB\n- zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości\ni maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\npoprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań\n(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),\noraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości\nsprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚\nLUB\n- zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości\ni maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\npoprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań\n(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),\noraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a\nokresem i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\n1 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości\ni maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\npoprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) 𝑦0 - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy\nznajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N\n3 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości\ni amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy\nciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie\nw równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem\ndrgań, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością\nmaksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔= 𝑘𝐴 oraz (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\nalbo w jednym równaniu:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔= 𝑘𝐴= (2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑚⋅𝑣𝑚𝑎𝑥\n(2𝜋\n𝑇)\n2 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości\ni amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy\nciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie\nw równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem\ndrgań, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚\nalbo w jednym równaniu\n𝑚(2𝜋\n𝑇)\n2\n𝐴= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nLUB\n- zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości\ni amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy\nciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie\nw równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\nalbo w jednym równaniu\n𝑘𝑣𝑚𝑎𝑥\n(2𝜋\n𝑇)\n= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\n1 pkt - zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się\nw najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nLUB\n- zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości\ni amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą\nsprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚\nLUB\n- zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości\ni amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między\nprędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇)𝐴\nUwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności określenia\nsiły wypadkowej.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 4. - energetycznym)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy\nznajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N\n3 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.\nprzyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do\nsumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej\ngrawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne\nwykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, oraz poprawne wykorzystanie\ndwóch związków spośród czterech: 𝑣𝑚𝑎𝑥= (\n2𝜋\n𝑇) 𝐴 lub (\n2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑘\n𝑚 lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔\nlub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:\n1\n2 𝑘(𝑦0 + 𝐴)2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 1\n2 𝑘𝑦0\n2 + 𝑚𝑔𝐴\noraz\n(𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴 lub (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴))\n2 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.\nprzyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do\nsumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej\ngrawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne\nwykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n1\n2 𝑘(𝑦0 + 𝐴)2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 1\n2 𝑘𝑦0\n2 + 𝑚𝑔𝐴\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.\nprzyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do\nsumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej\ngrawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne\nwykorzystanie dwóch związków spośród czterech: 𝑣𝑚𝑎𝑥= (\n2𝜋\n𝑇) 𝐴 lub (\n2𝜋\n𝑇)\n2\n𝑘\n𝑚\nlub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑤 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖 oraz\n(𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴 lub (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴))\n1 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.\nprzyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do\nsumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej\ngrawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑤 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖\nUwaga! W tym kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności wyrażenia tych energii\nwzorami.\nLUB\n- zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.\nw chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie\nrównowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą\nsprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne\nponiższym:\n𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑚𝑎𝑥 𝑤𝑦𝑐ℎ = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖 oraz (2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚\nLUB\n- zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.\nw chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie\nrównowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością\nmaksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑚𝑎𝑥 𝑤𝑦𝑐ℎ = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\nUwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności rozpisania\nenergii mechanicznej jako sumy odpowiednich rodzajów energii, tylko w ogóle sam\nfakt przyrównania energii mechanicznej w danych chwilach.\nLUB\n- zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości\ni maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu\npoprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) 𝑦0 - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nUwaga dodatkowa\nPrzyśpieszenie maksymalne 𝑎𝑚𝑎𝑥 zdający może oszacować na podstawie wykresu, tzn.\njako iloraz małego przyrostu prędkości do czasu w otoczeniu 𝑣≈0, np.:\n𝑎𝑚𝑎𝑥≈Δ𝑣\nΔ𝑡(𝑣≈0) ≈\n0,225 m\ns\n0,025 s = 9 m\ns2\nW takiej sytuacji należy oceniać zgodnie z zasadami oceniania i równoważnie temu, jak\ngdyby zdający wyznaczał przyśpieszenie ze wzoru 𝑎𝑚𝑎𝑥= (\n2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥. Przy takiej metodzie\njako poprawny należy uznać wynik mieszczący się w przedziale od 1,8 N do 2,0 N.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nW najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma\nnajwiększą wartość i ponadto większą od wartości ciężaru ciężarka. Zatem wartość siły\nwypadkowej działającej na ciężarek jest równa:\n𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nZapiszemy równanie wyrażające II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka, gdy\nciężarek znajduje się w najniższym położeniu i uwzględnimy wzór na siłę grawitacji:\n𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nZastosujemy związek między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością maksymalną\ni okresem w ruchu drgającym prostym:\n𝑚(2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nPowyższe równanie przekształcimy, podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły\nsprężystości działającej na ciężarek:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔 → 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑇\n+ 𝑔)\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(\n2 ⋅3,142 ⋅0,6 m\ns\n0,4 s\n+ 9,81 m\ns2) ≈1,92 N\nSposób 2.\nW najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma\nnajwiększą wartość, ponieważ wydłużenie 𝑦𝑚𝑎𝑥 sprężyny ponad długość swobodną jest\nwtedy największe. Wydłużenie 𝑦𝑚𝑎𝑥 jest równe sumie amplitudy drgań (𝐴) i wydłużenia (𝑦0)\nsprężyny ponad jej długość swobodną, gdy znajduje się ona w położeniu równowagi sił.\nZatem siła sprężystości w najniższym położeniu drgań ma wartość:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑦𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑦0) → 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴+ 𝑘𝑦0\nZapiszemy warunek, gdy ciężarek znajduje się w położeniu równowagi sił (sprężystości\ni grawitacji):\n𝐹𝑠 0 = 𝐹𝑔 → 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPowyższy warunek uwzględnimy w równaniu na wartość siły sprężystości w najniższym\npołożeniu:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴+ 𝑚𝑔\nDo powyższego równania zastosujemy związki między stałą sprężystości sprężyny a masą\nciężarka i okresem drgań oraz między prędkością maksymalną a okresem drgań i amplitudą\nw ruchu drgającym prostym:\n(2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\nZatem:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(2𝜋\n𝑇)\n2\n⋅𝑣𝑚𝑎𝑥\n(2𝜋\n𝑇)\n+ 𝑚𝑔= 𝑚(2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔\nDo powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły\nsprężystości działającej na ciężarek:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(\n2 ⋅3,142 ⋅0,6 m\ns\n0,4 s\n+ 9,81 m\ns2) ≈1,92 N\nSposób 3.\nW najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma\nnajwiększą wartość i ponadto większą od wartości ciężaru ciężarka. Zatem wartość siły\nwypadkowej działającej na ciężarek jest równa:\n𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nSiła wypadkowa powoduje drgania harmoniczna, a zatem siła wypadkowa jest siłą\nharmoniczną, czyli jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi.\nZatem w maksymalnym wychyleniu mamy:\n𝑘𝐴= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nDo powyższego równania zastosujemy związki między stałą sprężystości sprężyny a masą\nciężarka i okresem drgań oraz między prędkością maksymalną a okresem drgań i amplitudą\nw ruchu drgającym prostym:\n(2𝜋\n𝑇)\n2\n= 𝑘\n𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋\n𝑇) 𝐴\nZatem:\n𝑚(2𝜋\n𝑇)\n2\n⋅𝑣𝑚𝑎𝑥\n(2𝜋\n𝑇)\n= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nDo powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły\nsprężystości działającej na ciężarek:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(\n2 ⋅3,142 ⋅0,6 m\ns\n0,4 s\n+ 9,81 m\ns2) ≈1,92 N\nSposób 4. (rozwiązanie energetyczne)\nSkorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej układu. Przyrównamy energię\nmechaniczną układu w chwili maksymalnego rozciągnięcia sprężyny do energii\nmechanicznej w chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi. Poziom zera\nenergii potencjalnej grawitacji przyjmiemy w miejscu ciężarka, gdy sprężyna jest\nmaksymalnie rozciągnięta - wtedy także energia kinetyczna jest równa zero. Zapiszemy\nrównanie:\n𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑤 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖\nWykorzystamy wzory na energię potencjalną sprężystości, energię potencjalną grawitacji\noraz energię kinetyczną:\n1\n2 𝑘(𝑦0 + 𝐴)2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 1\n2 𝑘𝑦0\n2 + 𝑚𝑔𝐴\nPrzekształcimy i uprościmy powyższe równanie:\n1\n2 𝑘𝑦0\n2 + 1\n2 2𝑘𝑦0𝐴+ 1\n2 𝑘𝐴2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 1\n2 𝑘𝑦0\n2 + 𝑚𝑔𝐴 →\n𝑘𝑦0𝐴+ 1\n2 𝑘𝐴2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 𝑚𝑔𝐴\nPrzekształcimy lewą stronę równania, aby wykorzystać wzór na maksymalną wartość siły\nsprężystości: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴). Kolejno:\n𝑘𝑦0𝐴+ 𝑘𝐴2 -1\n2 𝑘𝐴2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 𝑚𝑔𝐴\n𝐴𝑘(𝑦0 + 𝐴) -1\n2 𝑘𝐴2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 𝑚𝑔𝐴\n𝐴𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-1\n2 𝑘𝐴2 = 1\n2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n+ 𝑚𝑔𝐴\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝑘𝐴+ 1\n2 𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝐴\n+ 𝑚𝑔\nDo otrzymanego równania zastosujemy związki:\n𝜔2 = 𝑘\n𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝜔𝐴 gdzie 𝜔= 2𝜋\n𝑇\nZatem:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1\n2 𝜔2𝑚⋅𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝜔\n+ 1\n2 𝑚⋅𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔= 1\n2 𝑚𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 1\n2 𝑚𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔= 𝑚(2𝜋\n𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔\nDo powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły\nsprężystości działającej na ciężarek:\n𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(\n2 ⋅3,142 ⋅0,6 m\ns\n0,4 s\n+ 9,81 m\ns2) ≈1,92 N\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2024-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-3.3.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2024 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 3.3. (0-4)
Oblicz wartość siły sprężystości działającej na ciężarek w chwili, gdy znajduje się on
w najniższym położeniu podczas ruchu drgającego. Zapisz obliczenia.
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
3.2.
3.3.
Maks. liczba pkt
2
4
Uzyskana liczba pkt
EFAP_R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 3.3. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2024
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
Zdający:
1.8) wyjaśnia ruch ciał na podstawie drugiej
zasady dynamiki Newtona;
6.1) analizuje ruch pod wpływem sił
sprężystych (harmonicznych), podaje przykłady
takiego ruchu.
6.3) oblicza okres drgań ciężarka na sprężynie
i wahadła matematycznego;
6.4) interpretuje wykresy zależności położenia,
prędkości i przyspieszenia od czasu w ruchu
drgającym.
𝑔Ԧ
0
𝑦
𝐴
-𝐴
𝐹Ԧ𝑠
𝐹Ԧ𝑔
𝑃

\n
\n

Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 1.)
4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy
znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N
3 pkt - zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka
oraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość
siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz
wykorzystanie związku między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością
maksymalną i okresem w ruchu drgającym, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥 oraz 𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥
albo w jednym równaniu:
𝑚(2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
2 pkt - zapisanie równania wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka
oraz zapisanie (lub uwzględnienie w równaniu) poprawnego wyrażenia na wartość
siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
LUB

\n\n

w najniższym położeniu oraz wykorzystanie związku między przyśpieszeniem
maksymalnym a prędkością i okresem (albo związków między prędkością
a amplitudą i okresem oraz między przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu
drgającym prostym, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz 𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥
albo
𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz (𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇)
2
𝐴 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴)
1 pkt - zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się
w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
LUB

\n\n

(albo związków między prędkością a amplitudą i okresem oraz między
przyśpieszeniem a amplitudą i okresem) w ruchu drgającym prostym oraz
identyfikacja/określenie okresu z wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥 oraz 𝑇= 0,4 s
albo
(𝑎𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇)
2
𝐴 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴) oraz 𝑇= 0,4 s
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy
znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N
3 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości
i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań
(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),
oraz zapisanie warunku równowagi sił, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, oraz
zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a okresem
i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy równoważne
poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 oraz (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
albo w jednym równaniu:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑦0 + 𝑘𝐴= 𝑚𝑔+ (2𝜋
𝑇) 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości
i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań
(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),
oraz zapisanie warunku równowagi sił, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔
LUB

\n\n

i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań
(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),
oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą sprężystości
sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚
LUB

\n\n

i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań
(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań),
oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między amplitudą drgań a
okresem i prędkością maksymalną w ruchu drgającym prostym, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
1 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły sprężystości jako iloczynu stałej sprężystości
i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań
Zasady oceniania rozwiązań zadań
(równe sumie wydłużenia sprężyny w położeniu równowagi sił i amplitudy drgań), np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) 𝑦0 - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)
4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy
znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N
3 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości
i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy
ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie
w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem
drgań, oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością
maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔= 𝑘𝐴 oraz (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
albo w jednym równaniu:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔= 𝑘𝐴= (2𝜋
𝑇)
2
𝑚⋅𝑣𝑚𝑎𝑥
(2𝜋
𝑇)
2 pkt - zapisanie maksymalnej wartości siły wypadkowej jako iloczynu stałej sprężystości
i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy
ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie
w równaniu związku między stałą sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem
drgań, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚
albo w jednym równaniu
𝑚(2𝜋
𝑇)
2
𝐴= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
LUB

\n\n

i amplitudy drgania oraz zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy
ciężarek znajduje się w najniższym położeniu, oraz zapisanie/uwzględnienie
w równaniu związku między prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
albo w jednym równaniu
𝑘𝑣𝑚𝑎𝑥
(2𝜋
𝑇)
= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
1 pkt - zapisanie wyrażenia na wartość siły wypadkowej, gdy ciężarek znajduje się
w najniższym położeniu, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
LUB

\n\n

i amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą
sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne
poniższym:
𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚
LUB

\n\n

i amplitudy drgania oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między
prędkością maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇)𝐴
Uwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności określenia
siły wypadkowej.
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 4. - energetycznym)
4 pkt - poprawna metoda obliczenia wartości siły sprężystości działającej na ciężarek, gdy
znajduje się on w najniższym położeniu oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego z jednostką: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥≈1,92 N
3 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.
przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do
sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej
grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne
wykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, oraz poprawne wykorzystanie
dwóch związków spośród czterech: 𝑣𝑚𝑎𝑥= (
2𝜋
𝑇) 𝐴 lub (
2𝜋
𝑇)
2
𝑘
𝑚 lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔
lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:
1
2 𝑘(𝑦0 + 𝐴)2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

2 𝑘𝑦0
2 + 𝑚𝑔𝐴
oraz
(𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴 lub (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴))
2 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.
przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do
sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej
grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne
wykorzystanie wzorów na wszystkie rodzaje energii, np. zapisy równoważne
poniższym:
1
2 𝑘(𝑦0 + 𝐴)2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

2 𝑘𝑦0
2 + 𝑚𝑔𝐴
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do
sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej
grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi oraz poprawne
wykorzystanie dwóch związków spośród czterech: 𝑣𝑚𝑎𝑥= (
2𝜋
𝑇) 𝐴 lub (
2𝜋
𝑇)
2
𝑘
𝑚
lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴), np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑤 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖 oraz
(𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴 lub (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 lub 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔 lub 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴))
1 pkt - zapisanie równości wynikającej z zasady zachowania energii w dwóch chwilach, tzn.
przyrównanie energii potencjalnej sprężystości przy maksymalnym wychyleniu do
sumy energii kinetycznej i energii potencjalnej sprężystości i energii potencjalnej
grawitacji przy przechodzeniu ciężarka przez położenie równowagi, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑤 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖
Uwaga! W tym kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności wyrażenia tych energii
wzorami.
LUB

\n\n

w chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie
równowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między stałą
sprężystości sprężyny a masą ciężarka i okresem drgań, np. zapisy równoważne
poniższym:
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑚𝑎𝑥 𝑤𝑦𝑐ℎ = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖 oraz (2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚
LUB

\n\n

w chwili maksymalnego wychylenia i chwili przechodzenia ciężarka przez położenie
równowagi oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu związku między prędkością
maksymalną a amplitudą i okresem, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑚𝑎𝑥 𝑤𝑦𝑐ℎ = 𝐸𝑚𝑒𝑐ℎ 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
Uwaga! W drugim i trzecim kryterium za 1 pkt nie oceniamy poprawności rozpisania
energii mechanicznej jako sumy odpowiednich rodzajów energii, tylko w ogóle sam
fakt przyrównania energii mechanicznej w danych chwilach.
LUB

\n\n

i maksymalnego rozciągnięcia sprężyny oraz zapisanie/uwzględnienie w równaniu
poprawnego wyrażenia na maksymalne rozciągnięcie sprężyny podczas drgań, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴) 𝑦0 - wydłużenie sprężyny w położeniu równowagi
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwaga dodatkowa
Przyśpieszenie maksymalne 𝑎𝑚𝑎𝑥 zdający może oszacować na podstawie wykresu, tzn.
jako iloraz małego przyrostu prędkości do czasu w otoczeniu 𝑣≈0, np.:
𝑎𝑚𝑎𝑥≈Δ𝑣
Δ𝑡(𝑣≈0) ≈
0,225 m
s
0,025 s = 9 m
s2
W takiej sytuacji należy oceniać zgodnie z zasadami oceniania i równoważnie temu, jak
gdyby zdający wyznaczał przyśpieszenie ze wzoru 𝑎𝑚𝑎𝑥= (
2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥. Przy takiej metodzie
jako poprawny należy uznać wynik mieszczący się w przedziale od 1,8 N do 2,0 N.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
W najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma
największą wartość i ponadto większą od wartości ciężaru ciężarka. Zatem wartość siły
wypadkowej działającej na ciężarek jest równa:
𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
Zapiszemy równanie wyrażające II zasadę dynamiki dla ruchu drgającego ciężarka, gdy
ciężarek znajduje się w najniższym położeniu i uwzględnimy wzór na siłę grawitacji:
𝑚𝑎𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
Zastosujemy związek między przyśpieszeniem maksymalnym a prędkością maksymalną
i okresem w ruchu drgającym prostym:
𝑚(2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
Powyższe równanie przekształcimy, podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły
sprężystości działającej na ciężarek:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔 → 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(2𝜋𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑇

\n\n

𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(
2 ⋅3,142 ⋅0,6 m
s
0,4 s

\n\n

s2) ≈1,92 N
Sposób 2.
W najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma
największą wartość, ponieważ wydłużenie 𝑦𝑚𝑎𝑥 sprężyny ponad długość swobodną jest
wtedy największe. Wydłużenie 𝑦𝑚𝑎𝑥 jest równe sumie amplitudy drgań (𝐴) i wydłużenia (𝑦0)
sprężyny ponad jej długość swobodną, gdy znajduje się ona w położeniu równowagi sił.
Zatem siła sprężystości w najniższym położeniu drgań ma wartość:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝑦𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝐴+ 𝑦0) → 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴+ 𝑘𝑦0
Zapiszemy warunek, gdy ciężarek znajduje się w położeniu równowagi sił (sprężystości
i grawitacji):
𝐹𝑠 0 = 𝐹𝑔 → 𝑘𝑦0 = 𝑚𝑔
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Powyższy warunek uwzględnimy w równaniu na wartość siły sprężystości w najniższym
położeniu:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘𝐴+ 𝑚𝑔
Do powyższego równania zastosujemy związki między stałą sprężystości sprężyny a masą
ciężarka i okresem drgań oraz między prędkością maksymalną a okresem drgań i amplitudą
w ruchu drgającym prostym:
(2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
Zatem:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(2𝜋
𝑇)
2
⋅𝑣𝑚𝑎𝑥
(2𝜋
𝑇)

\n\n

𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔
Do powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły
sprężystości działającej na ciężarek:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(
2 ⋅3,142 ⋅0,6 m
s
0,4 s

\n\n

s2) ≈1,92 N
Sposób 3.
W najniższym położeniu podczas drgań siła sprężystości działająca na ciężarek ma
największą wartość i ponadto większą od wartości ciężaru ciężarka. Zatem wartość siły
wypadkowej działającej na ciężarek jest równa:
𝐹𝑤𝑦𝑝 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
Siła wypadkowa powoduje drgania harmoniczna, a zatem siła wypadkowa jest siłą
harmoniczną, czyli jej wartość jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi.
Zatem w maksymalnym wychyleniu mamy:
𝑘𝐴= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
Do powyższego równania zastosujemy związki między stałą sprężystości sprężyny a masą
ciężarka i okresem drgań oraz między prędkością maksymalną a okresem drgań i amplitudą
w ruchu drgającym prostym:
(2𝜋
𝑇)
2
= 𝑘
𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= (2𝜋
𝑇) 𝐴
Zatem:
𝑚(2𝜋
𝑇)
2
⋅𝑣𝑚𝑎𝑥
(2𝜋
𝑇)
= 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
Do powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły
sprężystości działającej na ciężarek:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(
2 ⋅3,142 ⋅0,6 m
s
0,4 s

\n\n

s2) ≈1,92 N
Sposób 4. (rozwiązanie energetyczne)
Skorzystamy z zasady zachowania energii mechanicznej układu. Przyrównamy energię
mechaniczną układu w chwili maksymalnego rozciągnięcia sprężyny do energii
mechanicznej w chwili przechodzenia ciężarka przez położenie równowagi. Poziom zera
energii potencjalnej grawitacji przyjmiemy w miejscu ciężarka, gdy sprężyna jest
maksymalnie rozciągnięta - wtedy także energia kinetyczna jest równa zero. Zapiszemy
równanie:
𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑚𝑎𝑥= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑠𝑝𝑟 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖+ 𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑤 𝑟𝑜𝑤𝑛𝑜𝑤𝑎𝑔𝑖
Wykorzystamy wzory na energię potencjalną sprężystości, energię potencjalną grawitacji
oraz energię kinetyczną:
1
2 𝑘(𝑦0 + 𝐴)2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

2 𝑘𝑦0
2 + 𝑚𝑔𝐴
Przekształcimy i uprościmy powyższe równanie:
1
2 𝑘𝑦0
2 + 1
2 2𝑘𝑦0𝐴+ 1
2 𝑘𝐴2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

2 𝑘𝑦0
2 + 𝑚𝑔𝐴 →
𝑘𝑦0𝐴+ 1
2 𝑘𝐴2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

Przekształcimy lewą stronę równania, aby wykorzystać wzór na maksymalną wartość siły
sprężystości: 𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑘(𝑦0 + 𝐴). Kolejno:
𝑘𝑦0𝐴+ 𝑘𝐴2 -1
2 𝑘𝐴2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

𝐴𝑘(𝑦0 + 𝐴) -1
2 𝑘𝐴2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

𝐴𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥-1
2 𝑘𝐴2 = 1
2 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2

\n\n

𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝑘𝐴+ 1
2 𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝐴

\n\n

Do otrzymanego równania zastosujemy związki:
𝜔2 = 𝑘
𝑚 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥= 𝜔𝐴 gdzie 𝜔= 2𝜋
𝑇
Zatem:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 1
2 𝜔2𝑚⋅𝑣𝑚𝑎𝑥
𝜔

\n\n

2 𝑚⋅𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔= 1
2 𝑚𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 1
2 𝑚𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝜔𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔= 𝑚(2𝜋
𝑇) 𝑣𝑚𝑎𝑥+ 𝑚𝑔
Do powyższego równania podstawimy dane i obliczymy maksymalną wartość siły
sprężystości działającej na ciężarek:
𝐹𝑠 𝑚𝑎𝑥= 0,1 kg ⋅(
2 ⋅3,142 ⋅0,6 m
s
0,4 s

\n\n

s2) ≈1,92 N
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}