{"id":"fizyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4.2","paper_id":"fizyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.2. (0-3)\nWartość prędkości jednego z satelitów w punkcie 𝑃 jest równa 6,3 km/s.\nUstal, który z satelitów - S1 czy S2 - ma w punkcie 𝑷 taką prędkość. Wykonaj\nniezbędne obliczenia, które doprowadzą do tego ustalenia. Następnie zapisz swoją\nodpowiedź.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.2. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nIV.3) analizuje jakościowo wpływ siły grawitacji\nSłońca na niejednostajny ruch planet po\norbitach eliptycznych i siły grawitacji planet na\nruch ich księżyców;\nIV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę\ndośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza\nwartość prędkości na orbicie kołowej\no dowolnym promieniu; omawia ruch satelitów\nwokół Ziemi.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 1A lub 1B)\n3 pkt - poprawna metoda ustalenia, który z satelitów ma prędkość o wartości 6,3 km/s oraz\nzapisanie poprawnej odpowiedzi.\n2 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości orbitalnej satelity S1 oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką\nLUB\n- zapisanie równania, z którego można wyznaczyć prędkość orbitalną satelity S1 (siła\ngrawitacji jako dośrodkowa, lub bezpośredni wzór na prędkość orbitalną) oraz\nwykazanie, że dla prędkości 6,3 km/s równanie nie jest spełnione.\n1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji jako siłę dośrodkową (lub\nprzyśpieszenie dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne / natężenie pola\ngrawitacyjnego) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia / natężenia\npola), np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣1𝑃\n2\n𝑟𝑃\n= 𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝑃\n2\nLUB\n- skorzystanie ze wzoru na prędkość orbitalną satelity S1 z uwzględnieniem (np.\npoprzez oznaczenia lub wartości danych liczbowych) promienia orbity 𝑟𝑃 orbity S1 i\nmasy 𝑀𝑍 Ziemi w tym wzorze, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑣1𝑃= √𝐺𝑀𝑍\n𝑟𝑃\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 2A lub 2B)\n3 pkt - poprawna metoda ustalenia, który z satelitów ma prędkość o wartości 6,3 km/s oraz\nzapisanie poprawnej odpowiedzi.\n2 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2 (tzn. przyrównanie energii\nmechanicznych oraz momentów pędu satelity S2 w punktach 𝑃 i 𝐴) oraz\nwykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty pędu w punktach 𝑃 i 𝐴\noraz podstawienie wszystkich wartości liczbowych w celu sprawdzenia, czy dla\nprędkości 6,3 km/s równania są spełnione\nLUB\n- zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2 (tzn. przyrównanie energii\nmechanicznych oraz momentów pędu satelity S2 w punktach 𝑃 i 𝐴) oraz\nwykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty pędu w punktach 𝑃 i 𝐴\noraz poprawne wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości satelity S2 w punkcie 𝑃,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n{\n𝑚𝑣2𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝑃\n= 𝑚𝑣2𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝐴\n𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴\n→ 𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴\n𝑟𝑃\nLUB\n- zapisanie bezpośredniego wzoru na prędkość S2 w punkcie 𝑃 orbity oraz podanie\nprawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, np. zapisy równoważne poniższym\n𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n→ 𝑣2𝑃≈6,3 km\ns\n1 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz\nzasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2 (tzn. przyrównanie energii\nmechanicznych oraz momentów pędu satelity S2 w punktach 𝑃 i 𝐴), oraz\nwykorzystanie wzorów na energie mechaniczne albo na momenty pędu w punktach 𝑃\ni 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸2𝑃= 𝐸2𝐴 oraz 𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴\nalbo\n𝑚𝑣2𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝑃\n= 𝑚𝑣2𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝐴\noraz 𝐿2𝑃= 𝐿2𝐴\nLUB\n- zapisanie bezpośredniego wzoru (bez wyprowadzenia) na prędkość S2 w punkcie 𝑃\norbity, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1A.\nObliczymy wartość 𝑣1𝑃 prędkości, z jaką satelita S1 porusza się po orbicie kołowej\no promieniu 𝑟𝑃. Skorzystamy z faktu, że siła grawitacji działająca na S1 jest siłą dośrodkową:\n𝑚𝑣1𝑃\n2\n𝑟𝑃\n= 𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝑃\n2\n→ 𝑣1𝑃= √𝐺𝑀𝑍\n𝑟𝑃\n𝑣1𝑃= √6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅5,972 ⋅1024 kg\n1,5 ⋅107 m\n≈5,15 ⋅103 m\ns = 5,15 km\ns\nWartość prędkości satelity S1 w punkcie 𝑃 jest równa 5,15 km/s co oznacza, że prędkość\no wartości 6,3 km/s musi mieć satelita S2.\nSposób 1B.\nZapiszemy równanie wynikające z faktu, że siła grawitacji działająca na satelitę S1 jest siłą\ndośrodkową:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑚𝑣1𝑃\n2\n𝑟𝑃\n= 𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝑃\n2\n→ 𝑣1𝑃\n2 = 𝐺𝑀𝑍\n𝑟𝑃\nSprawdzimy, czy równanie jest spełnione dla 𝑣1𝑃= 6,3 km/s. Podstawimy dane liczbowe\ni obliczymy lewą oraz prawą stronę równania:\n𝐿𝑆𝑅= (6,3 ⋅103 m\ns )\n2\n≈40 ⋅106 m2\ns2\n𝑃𝑆𝑅=\n6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅5,972 ⋅1024 kg\n1,5 ⋅107 m\n≈27 ⋅106 m2\ns2\nZ obliczeń wynika, że równanie dla 𝑣1𝑃= 6,3 km/s nie jest spełnione:\n𝐿𝑆𝑅≠𝑃𝑆𝑅\nZatem satelita S1 nie może mieć prędkości o wartości 6,3 km/s. Z warunków zadania (jeden\nz satelitów ma prędkość 6,3 km/s) wynika, że prędkość o wartości 6,3 km/s musi mieć\nsatelita S2.\nSposób 2A.\nObliczymy wartość 𝑣2𝑃 prędkości, jaką ma satelita S2 w punkcie P. Wykorzystamy zasadę\nzachowania energii mechanicznej oraz zasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2.\nPrzyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej:\n{𝐸2𝑃= 𝐸2𝐴\n𝐿2𝑃= 𝐿2𝐴\nDo powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną\ni moment pędu, następnie przekształcimy układ równań i wyznaczymy 𝑣2𝑃.\n{\n𝑚𝑣2𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝑃\n= 𝑚𝑣2𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑍𝑚\n𝑟𝐴\n𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴\n→ 𝑣2𝑃\n2 -\n(𝑣2𝑃𝑟𝑃)2\n𝑟𝐴\n2\n= 2𝐺𝑀𝑍\n𝑟𝑃\n-2𝐺𝑀𝑍\n𝑟𝐴\n𝑣2𝑃\n2 (1 -𝑟𝑃\n2\n𝑟𝐴\n2) = 2𝐺𝑀𝑍( 1\n𝑟𝑃\n-1\n𝑟𝐴\n) → 𝑣2𝑃\n2 (𝑟𝐴\n2 -𝑟𝑃\n2\n𝑟𝐴\n2\n) = 2𝐺𝑀𝑍(𝑟𝐴-𝑟𝑃\n𝑟𝐴𝑟𝑃\n)\n𝑣2𝑃\n2 (𝑟𝐴+ 𝑟𝑃\n𝑟𝐴\n) = 2𝐺𝑀𝑍( 1\n𝑟𝑃\n) →\n𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍\n(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴\n𝑟𝑃\n→\n𝑣2𝑃= √2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅5,972 ⋅1024 kg\n(1,5 + 3 ⋅1,5) ⋅107 m\n⋅3\n1 ≈6,31 ⋅103 m\ns\nPrędkość o wartości 6,3 km/s w punkcie 𝑃 ma satelita S2.\nSposób 2B.\nZapiszemy równania wynikające z zasady zachowania energii mechanicznej oraz zasady\nzachowania momentu pędu dla satelity S2. Przyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴\norbity eliptycznej:\n{𝐸2𝑃= 𝐸2𝐴\n𝐿2𝑃= 𝐿2𝐴\nDo powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną\ni moment pędu, następnie przekształcimy te równania do prostszej postaci:\n{\n𝑚𝑣2𝑃\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑧𝑚\n𝑟𝑃\n= 𝑚𝑣2𝐴\n2\n2\n-𝐺𝑀𝑧𝑚\n𝑟𝐴\n𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴\n→ 𝑣2𝑃\n2 -(𝑣2𝑃𝑟𝑃)2\n𝑟𝐴\n2\n= 2𝐺𝑀𝑧\n𝑟𝑃\n-2𝐺𝑀𝑧\n𝑟𝐴\n𝑣2𝑃\n2 (1 -𝑟𝑃\n2\n𝑟𝐴\n2) = 2𝐺𝑀𝑧( 1\n𝑟𝑃\n-1\n𝑟𝐴\n)\nSprawdzimy, czy równanie jest spełnione dla 𝑣2𝑃= 6,3 km/s. Podstawimy dane liczbowe\ni obliczymy lewą oraz prawą stronę równania:\n𝐿𝑆𝑅= (6,3 ⋅103 m\ns )\n2\n⋅(1 -(1\n3)\n2\n) ≈35 ⋅106 m2\ns2\n𝑃𝑆𝑅=\n2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2\nkg2\n⋅5,972 ⋅1024 kg\n107 m\n⋅( 1\n1,5 -1\n4,5) ≈35 ⋅106 m2\ns2\nZ obliczeń wynika, że równanie dla 𝑣2𝑃= 6,3 km/s jest spełnione:\n𝐿𝑆𝑅= 𝑃𝑆𝑅\nZatem satelita S2 ma prędkość o wartości 6,3 km/s.","solution":null,"image":"img/fizyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":11,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.2. (0-3)
Wartość prędkości jednego z satelitów w punkcie 𝑃 jest równa 6,3 km/s.
Ustal, który z satelitów - S1 czy S2 - ma w punkcie 𝑷 taką prędkość. Wykonaj
niezbędne obliczenia, które doprowadzą do tego ustalenia. Następnie zapisz swoją
odpowiedź.

","answer_text_html":"

Zadanie 4.2. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
IV.3) analizuje jakościowo wpływ siły grawitacji
Słońca na niejednostajny ruch planet po
orbitach eliptycznych i siły grawitacji planet na
ruch ich księżyców;
IV.4) wskazuje siłę grawitacji jako siłę
dośrodkową w ruchu po orbicie kołowej, oblicza
wartość prędkości na orbicie kołowej
o dowolnym promieniu; omawia ruch satelitów
wokół Ziemi.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 1A lub 1B)
3 pkt - poprawna metoda ustalenia, który z satelitów ma prędkość o wartości 6,3 km/s oraz
zapisanie poprawnej odpowiedzi.
2 pkt - poprawna metoda obliczenia prędkości orbitalnej satelity S1 oraz podanie
prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką
LUB

\n\n

grawitacji jako dośrodkowa, lub bezpośredni wzór na prędkość orbitalną) oraz
wykazanie, że dla prędkości 6,3 km/s równanie nie jest spełnione.
1 pkt - zapisanie relacji identyfikującej siłę grawitacji jako siłę dośrodkową (lub
przyśpieszenie dośrodkowe jako przyśpieszenie grawitacyjne / natężenie pola
grawitacyjnego) oraz uwzględnienie wzorów na te siły (lub przyśpieszenia / natężenia
pola), np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣1𝑃
2
𝑟𝑃
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝑃
2
LUB

\n\n

poprzez oznaczenia lub wartości danych liczbowych) promienia orbity 𝑟𝑃 orbity S1 i
masy 𝑀𝑍 Ziemi w tym wzorze, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑣1𝑃= √𝐺𝑀𝑍
𝑟𝑃
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 2A lub 2B)
3 pkt - poprawna metoda ustalenia, który z satelitów ma prędkość o wartości 6,3 km/s oraz
zapisanie poprawnej odpowiedzi.
2 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz
zasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2 (tzn. przyrównanie energii
mechanicznych oraz momentów pędu satelity S2 w punktach 𝑃 i 𝐴) oraz
wykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty pędu w punktach 𝑃 i 𝐴
oraz podstawienie wszystkich wartości liczbowych w celu sprawdzenia, czy dla
prędkości 6,3 km/s równania są spełnione
LUB

\n\n

zasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2 (tzn. przyrównanie energii
mechanicznych oraz momentów pędu satelity S2 w punktach 𝑃 i 𝐴) oraz
wykorzystanie wzorów na energie mechaniczne i momenty pędu w punktach 𝑃 i 𝐴
oraz poprawne wyprowadzenie wzoru na wartość prędkości satelity S2 w punkcie 𝑃,
np. zapisy równoważne poniższym:
{
𝑚𝑣2𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝑃
= 𝑚𝑣2𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴
→ 𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴
𝑟𝑃
LUB

\n\n

prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, np. zapisy równoważne poniższym
𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴
𝑟𝑃
→ 𝑣2𝑃≈6,3 km
s
1 pkt - zapisanie równań wyrażających zasadę zachowania energii mechanicznej oraz
zasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2 (tzn. przyrównanie energii
mechanicznych oraz momentów pędu satelity S2 w punktach 𝑃 i 𝐴), oraz
wykorzystanie wzorów na energie mechaniczne albo na momenty pędu w punktach 𝑃
i 𝐴, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸2𝑃= 𝐸2𝐴 oraz 𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴
albo
𝑚𝑣2𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝑃
= 𝑚𝑣2𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
oraz 𝐿2𝑃= 𝐿2𝐴
LUB

\n\n

orbity, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴
𝑟𝑃
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1A.
Obliczymy wartość 𝑣1𝑃 prędkości, z jaką satelita S1 porusza się po orbicie kołowej
o promieniu 𝑟𝑃. Skorzystamy z faktu, że siła grawitacji działająca na S1 jest siłą dośrodkową:
𝑚𝑣1𝑃
2
𝑟𝑃
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝑃
2
→ 𝑣1𝑃= √𝐺𝑀𝑍
𝑟𝑃
𝑣1𝑃= √6,674 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅5,972 ⋅1024 kg
1,5 ⋅107 m
≈5,15 ⋅103 m
s = 5,15 km
s
Wartość prędkości satelity S1 w punkcie 𝑃 jest równa 5,15 km/s co oznacza, że prędkość
o wartości 6,3 km/s musi mieć satelita S2.
Sposób 1B.
Zapiszemy równanie wynikające z faktu, że siła grawitacji działająca na satelitę S1 jest siłą
dośrodkową:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑚𝑣1𝑃
2
𝑟𝑃
= 𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝑃
2
→ 𝑣1𝑃
2 = 𝐺𝑀𝑍
𝑟𝑃
Sprawdzimy, czy równanie jest spełnione dla 𝑣1𝑃= 6,3 km/s. Podstawimy dane liczbowe
i obliczymy lewą oraz prawą stronę równania:
𝐿𝑆𝑅= (6,3 ⋅103 m
s )
2
≈40 ⋅106 m2
s2
𝑃𝑆𝑅=
6,674 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅5,972 ⋅1024 kg
1,5 ⋅107 m
≈27 ⋅106 m2
s2
Z obliczeń wynika, że równanie dla 𝑣1𝑃= 6,3 km/s nie jest spełnione:
𝐿𝑆𝑅≠𝑃𝑆𝑅
Zatem satelita S1 nie może mieć prędkości o wartości 6,3 km/s. Z warunków zadania (jeden
z satelitów ma prędkość 6,3 km/s) wynika, że prędkość o wartości 6,3 km/s musi mieć
satelita S2.
Sposób 2A.
Obliczymy wartość 𝑣2𝑃 prędkości, jaką ma satelita S2 w punkcie P. Wykorzystamy zasadę
zachowania energii mechanicznej oraz zasadę zachowania momentu pędu dla satelity S2.
Przyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴 orbity eliptycznej:
{𝐸2𝑃= 𝐸2𝐴
𝐿2𝑃= 𝐿2𝐴
Do powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną
i moment pędu, następnie przekształcimy układ równań i wyznaczymy 𝑣2𝑃.
{
𝑚𝑣2𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝑃
= 𝑚𝑣2𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑍𝑚
𝑟𝐴
𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴
→ 𝑣2𝑃
2 -
(𝑣2𝑃𝑟𝑃)2
𝑟𝐴
2
= 2𝐺𝑀𝑍
𝑟𝑃
-2𝐺𝑀𝑍
𝑟𝐴
𝑣2𝑃
2 (1 -𝑟𝑃
2
𝑟𝐴

\n
  1. = 2𝐺𝑀𝑍( 1
\n

𝑟𝑃
-1
𝑟𝐴
) → 𝑣2𝑃
2 (𝑟𝐴
2 -𝑟𝑃
2
𝑟𝐴
2
) = 2𝐺𝑀𝑍(𝑟𝐴-𝑟𝑃
𝑟𝐴𝑟𝑃
)
𝑣2𝑃
2 (𝑟𝐴+ 𝑟𝑃
𝑟𝐴
) = 2𝐺𝑀𝑍( 1
𝑟𝑃
) →
𝑣2𝑃= √2𝐺𝑀𝑍
(𝑟𝐴+ 𝑟𝑃) ⋅𝑟𝐴
𝑟𝑃
→
𝑣2𝑃= √2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅5,972 ⋅1024 kg
(1,5 + 3 ⋅1,5) ⋅107 m
⋅3
1 ≈6,31 ⋅103 m
s
Prędkość o wartości 6,3 km/s w punkcie 𝑃 ma satelita S2.
Sposób 2B.
Zapiszemy równania wynikające z zasady zachowania energii mechanicznej oraz zasady
zachowania momentu pędu dla satelity S2. Przyrównamy te wielkości w punktach 𝑃 i 𝐴
orbity eliptycznej:
{𝐸2𝑃= 𝐸2𝐴
𝐿2𝑃= 𝐿2𝐴
Do powyższego układu równań podstawimy odpowiednie wzory na energię mechaniczną
i moment pędu, następnie przekształcimy te równania do prostszej postaci:
{
𝑚𝑣2𝑃
2
2
-𝐺𝑀𝑧𝑚
𝑟𝑃
= 𝑚𝑣2𝐴
2
2
-𝐺𝑀𝑧𝑚
𝑟𝐴
𝑚𝑣2𝑃𝑟𝑃= 𝑚𝑣2𝐴𝑟𝐴
→ 𝑣2𝑃
2 -(𝑣2𝑃𝑟𝑃)2
𝑟𝐴
2
= 2𝐺𝑀𝑧
𝑟𝑃
-2𝐺𝑀𝑧
𝑟𝐴
𝑣2𝑃
2 (1 -𝑟𝑃
2
𝑟𝐴

\n
  1. = 2𝐺𝑀𝑧( 1
\n

𝑟𝑃
-1
𝑟𝐴
)
Sprawdzimy, czy równanie jest spełnione dla 𝑣2𝑃= 6,3 km/s. Podstawimy dane liczbowe
i obliczymy lewą oraz prawą stronę równania:
𝐿𝑆𝑅= (6,3 ⋅103 m
s )
2
⋅(1 -(1
3)
2
) ≈35 ⋅106 m2
s2
𝑃𝑆𝑅=
2 ⋅6,674 ⋅10-11 N ⋅m2
kg2
⋅5,972 ⋅1024 kg
107 m
⋅( 1
1,5 -1
4,5) ≈35 ⋅106 m2
s2
Z obliczeń wynika, że równanie dla 𝑣2𝑃= 6,3 km/s jest spełnione:
𝐿𝑆𝑅= 𝑃𝑆𝑅
Zatem satelita S2 ma prędkość o wartości 6,3 km/s.

","solutions":[]}