{"id":"fizyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/5.2","paper_id":"fizyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"5.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2025,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5.2. (0-3)\nOblicz okres drgań klocka. Zapisz obliczenia.\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 5.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nZdający:\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków\nschematycznych lub blokowych informacje\nkluczowe dla opisywanego zjawiska bądź\nproblemu; przedstawia te informacje w różnych\npostaciach.\nV.1) opisuje proporcjonalność siły sprężystości\ndo wydłużenia; posługuje się pojęciem\nwspółczynnika sprężystości i jego jednostką;\nV.2) analizuje ruch pod wpływem siły\nsprężystości; posługuje się pojęciem ruchu\nharmonicznego […];\nV.5) stosuje do obliczeń zależność okresu\nmałych drgań wahadła matematycznego\ni ciężarka na sprężynie od ich parametrów.\n𝑥, cm\n𝐹𝑐 𝑥, N\n10\n5\n0\n0\n1\n2\n-2\n-1\n𝑥, cm\n𝐹𝑤 𝑥, N\n10\n5\n0\n0\n1\n2\n-2\n-1\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu drgań ciężarka oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego z jednostką: 𝑇≈0,45 s\n2 pkt - wykorzystanie wzoru na okres drgań ciężarka oraz zapisanie warunku równowagi sił\nw położeniu równowagi ciężarka, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑇= 2𝜋√𝑚\n𝑘 oraz 𝑚𝑔= 𝑘Δ𝑥0\ngdzie 𝑘 to współczynnik sprężystości sprężyny, Δ𝑥0 oznacza rozciągnięcie sprężyny\nod jej długości swobodnej do położenia równowagi ciężarka.\n1 pkt - wyprowadzenie lub bezpośrednie zapisanie wzoru na wartość siły wypadkowej\ndziałającej na ciężarek w postaci:\n𝐹𝑤= 𝑘Δ𝑥1\ngdzie Δ𝑥1 oznacza rozciągnięcie sprężyny od położenia równowagi ciężarka (nie od\ndługości swobodnej sprężyny!) do dowolnego punktu\nLUB\n- wykorzystanie/zapisanie wzoru na okres drgań ciężarka w postaci:\n𝑇= 2𝜋√𝑚\n𝑘\ngdzie 𝑘 to współczynnik sprężystości sprężyny\nLUB\n- zapisanie warunku równowagi sił w postaci:\n𝑚𝑔= 𝑘Δ𝑥0\ngdzie Δ𝑥0 oznacza rozciągnięcie sprężyny od jej długości swobodnej do położenia\nrównowagi ciężarka.\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSiła harmoniczna działająca na ciało w ruchu drgającym ma w ogólności postać:\n𝐹ℎ⃗⃗⃗⃗ = -𝒦Δ𝑥⃗⃗⃗⃗\ndla pewnego współczynnika 𝒦 i wektora wychylenia z położenia równowagi Δ𝑥⃗⃗⃗⃗ . Okres drgań\nciała o masie 𝑚 wyraża się wtedy wzorem:\n𝑇= 2𝜋√𝑚\n𝒦\nOkreślimy 𝒦 dla siły wypadkowej działającej na ciężarek zawieszony na sprężynie w polu\ngrawitacyjnym i wykonujący drgania w kierunku pionowym, wzdłuż osi 𝑥 skierowanej w górę.\nNa ciężarek działa siła sprężystości sprężyny (skierowana w górę) oraz siła grawitacji\n(skierowana w dół). Zatem wartość siły wypadkowej wynosi:\n𝐹𝑤= 𝐹𝑠-𝑚𝑔\nWykorzystamy wzór na siłę sprężystości. Rozciągnięcie sprężyny od jej długości swobodnej\ndo położenia 𝑥0 równowagi sił (działających na ciężarek) oznaczymy jako Δ𝑥0.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nRozciągnięcie sprężyny od położenia równowagi 𝑥0 do dowolnego punktu oznaczymy jako\nΔ𝑥1. Siła sprężystości ma wartość:\n𝐹𝑠= 𝑘(Δ𝑥0 + Δ𝑥1)\nWykorzystamy warunek równowagi sił w położeniu 𝑥0 oraz uwzględnimy zwrot osi 𝑥. Zatem\nsiła wypadkowa wyraża się wzorem:\n𝐹𝑤= 𝑘(Δ𝑥0 + Δ𝑥1) -𝑚𝑔 oraz 𝑘Δ𝑥0 = 𝑚𝑔\nZ dwóch powyższych równań ostatecznie wynika wzór na wartość siły wypadkowej:\n𝐹𝑤= 𝑘Δ𝑥1\nZatem:\n𝒦= 𝑘\nCzyli wzór na okres drgań ciężarka ma postać:\n𝑇= 2𝜋√𝑚\n𝒦= 2𝜋√𝑚\n𝑘\nPonownie wykorzystamy warunek równowagi sił w położeniu 𝑥0 ciężarka:\n𝑘Δ𝑥0 = 𝑚𝑔 → 𝑚\n𝑘= Δ𝑥0\n𝑔\nOstatnią zależność podstawimy do wzoru na okres drgań:\n𝑇= 2𝜋√𝑚\n𝑘= 2𝜋√Δ𝑥0\n𝑔\n𝑇= 2𝜋√\n0,05 m\n9,81 m\ns2\n≈0,45 s","solution":null,"image":"img/fizyka-2025-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-5.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5.2. (0-3)<br>Oblicz okres drgań klocka. Zapisz obliczenia.<br>MFAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5.2. (0-3)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>II. Rozwiązywanie problemów<br>z wykorzystaniem praw i zależności<br>fizycznych.<br>V. Budowanie modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk oraz<br>ilustracji praw i zależności fizycznych.<br>Zdający:<br>I.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków<br>schematycznych lub blokowych informacje<br>kluczowe dla opisywanego zjawiska bądź<br>problemu; przedstawia te informacje w różnych<br>postaciach.<br>V.1) opisuje proporcjonalność siły sprężystości<br>do wydłużenia; posługuje się pojęciem<br>współczynnika sprężystości i jego jednostką;<br>V.2) analizuje ruch pod wpływem siły<br>sprężystości; posługuje się pojęciem ruchu<br>harmonicznego […];<br>V.5) stosuje do obliczeń zależność okresu<br>małych drgań wahadła matematycznego<br>i ciężarka na sprężynie od ich parametrów.<br>𝑥, cm<br>𝐹𝑐 𝑥, N<br>10<br>5<br>0<br>0<br>1<br>2<br>-2<br>-1<br>𝑥, cm<br>𝐹𝑤 𝑥, N<br>10<br>5<br>0<br>0<br>1<br>2<br>-2<br>-1<br>Zasady oceniania<br>3 pkt - poprawna metoda obliczenia okresu drgań ciężarka oraz podanie prawidłowego<br>wyniku liczbowego z jednostką: 𝑇≈0,45 s<br>2 pkt - wykorzystanie wzoru na okres drgań ciężarka oraz zapisanie warunku równowagi sił<br>w położeniu równowagi ciężarka, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝑇= 2𝜋√𝑚<br>𝑘 oraz 𝑚𝑔= 𝑘Δ𝑥0<br>gdzie 𝑘 to współczynnik sprężystości sprężyny, Δ𝑥0 oznacza rozciągnięcie sprężyny<br>od jej długości swobodnej do położenia równowagi ciężarka.<br>1 pkt - wyprowadzenie lub bezpośrednie zapisanie wzoru na wartość siły wypadkowej<br>działającej na ciężarek w postaci:<br>𝐹𝑤= 𝑘Δ𝑥1<br>gdzie Δ𝑥1 oznacza rozciągnięcie sprężyny od położenia równowagi ciężarka (nie od<br>długości swobodnej sprężyny!) do dowolnego punktu<br>LUB</p>\n<ul><li>wykorzystanie/zapisanie wzoru na okres drgań ciężarka w postaci:</li></ul>\n<p>𝑇= 2𝜋√𝑚<br>𝑘<br>gdzie 𝑘 to współczynnik sprężystości sprężyny<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie warunku równowagi sił w postaci:</li></ul>\n<p>𝑚𝑔= 𝑘Δ𝑥0<br>gdzie Δ𝑥0 oznacza rozciągnięcie sprężyny od jej długości swobodnej do położenia<br>równowagi ciężarka.<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Siła harmoniczna działająca na ciało w ruchu drgającym ma w ogólności postać:<br>𝐹ℎ⃗⃗⃗⃗ = -𝒦Δ𝑥⃗⃗⃗⃗<br>dla pewnego współczynnika 𝒦 i wektora wychylenia z położenia równowagi Δ𝑥⃗⃗⃗⃗ . Okres drgań<br>ciała o masie 𝑚 wyraża się wtedy wzorem:<br>𝑇= 2𝜋√𝑚<br>𝒦<br>Określimy 𝒦 dla siły wypadkowej działającej na ciężarek zawieszony na sprężynie w polu<br>grawitacyjnym i wykonujący drgania w kierunku pionowym, wzdłuż osi 𝑥 skierowanej w górę.<br>Na ciężarek działa siła sprężystości sprężyny (skierowana w górę) oraz siła grawitacji<br>(skierowana w dół). Zatem wartość siły wypadkowej wynosi:<br>𝐹𝑤= 𝐹𝑠-𝑚𝑔<br>Wykorzystamy wzór na siłę sprężystości. Rozciągnięcie sprężyny od jej długości swobodnej<br>do położenia 𝑥0 równowagi sił (działających na ciężarek) oznaczymy jako Δ𝑥0.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Rozciągnięcie sprężyny od położenia równowagi 𝑥0 do dowolnego punktu oznaczymy jako<br>Δ𝑥1. Siła sprężystości ma wartość:<br>𝐹𝑠= 𝑘(Δ𝑥0 + Δ𝑥1)<br>Wykorzystamy warunek równowagi sił w położeniu 𝑥0 oraz uwzględnimy zwrot osi 𝑥. Zatem<br>siła wypadkowa wyraża się wzorem:<br>𝐹𝑤= 𝑘(Δ𝑥0 + Δ𝑥1) -𝑚𝑔 oraz 𝑘Δ𝑥0 = 𝑚𝑔<br>Z dwóch powyższych równań ostatecznie wynika wzór na wartość siły wypadkowej:<br>𝐹𝑤= 𝑘Δ𝑥1<br>Zatem:<br>𝒦= 𝑘<br>Czyli wzór na okres drgań ciężarka ma postać:<br>𝑇= 2𝜋√𝑚<br>𝒦= 2𝜋√𝑚<br>𝑘<br>Ponownie wykorzystamy warunek równowagi sił w położeniu 𝑥0 ciężarka:<br>𝑘Δ𝑥0 = 𝑚𝑔 → 𝑚<br>𝑘= Δ𝑥0<br>𝑔<br>Ostatnią zależność podstawimy do wzoru na okres drgań:<br>𝑇= 2𝜋√𝑚<br>𝑘= 2𝜋√Δ𝑥0<br>𝑔<br>𝑇= 2𝜋√<br>0,05 m<br>9,81 m<br>s2<br>≈0,45 s</p>","solutions":[]}