{"id":"fizyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/1.2","paper_id":"fizyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"1.2","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1.2. (0-3)\nZ punktu 𝐴 w chwili 𝑡0 = 0 s rzucono kulkę KA. Prędkość kulki KA w chwili 𝑡0 miała kierunek\npoziomy i wartość równą v0𝐴= 8 m/s.\nZ punktu 𝐵 - w tej samej chwili 𝑡0 - rzucono kulkę KB. Prędkość kulki KB w chwili 𝑡0 miała\nkierunek pionowy, zwrot w górę i wartość, którą oznaczymy jako v0𝐵.\nRzucone kulki KA i KB zderzyły się w chwili 𝑡𝑧 w punkcie 𝐶.\nWspółrzędne punktów 𝐴, 𝐵 i 𝐶 wyrażone w metrach, w kartezjańskim układzie współrzędnych,\nsą następujące:\n𝐴= (0; 12) 𝐵= (6; 0) 𝐶= (6; 𝑦𝐶)\nOpisaną sytuację ilustruje rysunek na stronie 5. Przyjmij, że dane w zadaniu są dokładne.\nEFAP-R0_100\nRysunek\nOblicz v𝟎𝑩 - wartość prędkości początkowej kulki KB w punkcie 𝑩. Zapisz obliczenia.\n𝑦, m\n12\n10\n8\n6\n4\n2\n0\nvሬԦ0𝐴\n𝐴\n𝑔Ԧ\n𝐶= (6; 𝑦𝐶)\nvሬԦ0𝐵\n𝐵\n0 2 4 6 8 10 12 𝑥, m\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 1.2. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n1.4) wykorzystuje związki pomiędzy położeniem,\nprędkością i przyspieszeniem w ruchu\njednostajnym i jednostajnie zmiennym do\nobliczania parametrów ruchu;\n1.6) oblicza parametry ruchu podczas\nswobodnego spadku i rzutu pionowego;\n1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach na\nprzykładzie rzutu poziomego.\n1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej\nwychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.\n977).\nZasady oceniania2\n(dla rozwiązania sposobem 1. lub sposobem 2.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia v0𝐵 - wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn.\npoprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek KA i KB (w układzie inercjalnym) oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵= 16 m/s\n2 pkt - zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA od\nchwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 oraz zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć położenie\nkulki KA wzdłuż osi 𝑦 w chwili 𝑡𝑧, czyli rzędną punktu 𝐶 w funkcji położenia\npoczątkowego kulki KA, 𝑔 i 𝑡𝑧 oraz zapisanie równania (albo równań) pozwalającego\nwyznaczyć położenie kulki KB wzdłuż osi 𝑦 w chwili 𝑡𝑧, czyli rzędną punktu 𝐶 w funkcji\nprędkości początkowej v0𝐵 kulki KB, 𝑔 i 𝑡𝑧, np. zapisy równoważne poniższym:\n6 m = 8 m\ns ⋅𝑡𝑧 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 12 -1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 oraz 𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2\nalbo\n6 m = 8 m\ns ⋅𝑡𝑧 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 12 -1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 oraz\n(𝑦𝐶 (KB) =\nv0𝐵+ v𝐶 (KB)\n2\n⋅𝑡𝑧 i v𝐶 (KB) = v0𝐵-𝑔𝑡𝑧 )\n1 pkt - zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia\nkulki KA wzdłuż osi 𝑥: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć\nczas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 zderzenia się kulek, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴𝑡𝑧 albo Δ𝑥(KA) = v0𝐴𝑡𝑧 albo 𝑡𝑧= 6 m\n8 m\ns\nLUB\n- zastosowanie równania ruchu jednostajnie przyśpieszonego (w stronę przeciwną do\nzwrotu osi 𝑦) bez prędkości początkowej dla opisania położenia kulki KA wzdłuż osi 𝑦:\nzapisanie równania pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu 𝐶 w funkcji położenia\npoczątkowego kulki KA, 𝑔 i 𝑡𝑧, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑦𝐶 (KA) = 12 -1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2\nLUB\n- zastosowanie równania (albo równań) ruchu jednostajnie opóźnionego (w stronę\nzwrotu osi 𝑦) dla opisania położenia kulki KB wzdłuż osi 𝑦: zapisanie równania\npozwalającego wyznaczyć rzędną punktu 𝐶 w funkcji prędkości początkowej v0𝐵\nkulki KB, 𝑔 i 𝑡𝑧, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 albo (𝑦𝐶 (KB) =\nv0𝐵+ v𝐶 (KB)\n2\n⋅𝑡𝑧 i v𝐶 (KB) = v0𝐵-𝑔𝑡𝑧 )\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\n2 Pod opisem warunków za przyznanie punktów, w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub\nprzykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 3. lub sposobem 4.)\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA\nZauważenie, że ruch kulki KB względem kulki KA jest jednostajny prostoliniowy oraz\nokreślenie współrzędnych (może być co do wartości bezwzględnej) prędkości względnej\nkulki KB względem kulki KA, np. zapisy równoważne poniższym:\nv𝐵𝐴𝑥 = -8\nm\ns , v𝐵𝐴𝑦 = v0𝐵 albo v⃗ 𝐵𝐴= [-8 m\ns ; v0𝐵]\nalbo opisowo\nprędkość w poziomie kulki KB względem KA jest skierowana w lewo i ma stałą wartość 8 m/s\nprędkość w pionie kulki KB względem KA jest skierowana w górę i ma stałą wartość v0𝐵\nWarunek PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE\nZauważenie, że ruch kulki KB względem kulki KA jest jednostajny prostoliniowy oraz\nokreślenie współrzędnych (może być co do wartości bezwzględnej) przemieszczenia\nwzględnego kulki KB względem kulki KA, np. zapisy równoważne poniższym:\nΔ𝑥𝐵𝐴 = -6 m , Δ𝑦𝐵𝐴 = 12 m albo Δ𝑟 𝐵𝐴= [-6 m ; 12 m]\nalbo opisowo\nprzemieszczenie w poziomie kulki KB względem KA jest w lewo i ma wartość 6 m\nprzemieszczenie w pionie kulki KB względem KA jest w górę i ma wartość 12 m\nWarunek PRĘDKOŚĆ_W_NU\nZauważenie, że w nieinercjalnym układzie odniesienia (NU) swobodnie spadającym pionowo\n(od chwili 𝑡0) ruch obu kulek jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie prędkości obu\nkulek w tym układzie NU, np. zapisy równoważne poniższym:\nv⃗ 𝐴_𝑁𝑈= [v𝐴𝑥_𝑁𝑈 ; v𝐴𝑦_𝑁𝑈] = [8 m\ns ; 0] v⃗ 𝐵_𝑁𝑈= [v𝐵𝑥_𝑁𝑈 ; v𝐵𝑦_𝑁𝑈] = [0 ; v0𝐵]\nalbo opisowo\nkulka KA porusza się w spadającym układzie NU w prawo z prędkością 8 m/s\nkulka KB porusza się w spadającym układzie NU w górę z prędkością v0𝐵\nWarunek PRZEMIESZCZENIE_W_NU\nZauważenie, że w nieinercjalnym układzie odniesienia (NU) swobodnie spadającym pionowo\n(od chwili 𝑡0) ruch obu kulek jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie przemieszczenia\nobu kulek w tym układzie NU, np. zapisy równoważne poniższym:\nΔ𝑟⃗ 𝐴_𝑁𝑈= [Δ𝑥𝐴_𝑁𝑈 ; Δ𝑦𝐴_𝑁𝑈] = [6 m ; 0] Δ𝑟⃗ 𝐵_𝑁𝑈= [Δ𝑥𝐵_𝑁𝑈 ; Δ𝑦𝐵_𝑁𝑈] = [0; 12 m]\nalbo opisowo\nkulka KA w spadającym układzie NU przemieszcza się 6 m w prawo\nkulka KB w spadającym układzie NU przemieszcza się 12 m w górę\nSchemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 3. lub sposobem 4.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia v0𝐵 - wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn.\npoprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek KA i KB (w układzie spoczynkowym\nkulki KA lub w układzie swobodnie spadającym pionowo) oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵= 16 m/s\n2 pkt - spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA oraz warunku\nPRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE oraz zastosowanie związków między\nprzemieszczeniem względnym a prędkością względną kulki KB względem kulki KA\n(w obu kierunkach: poziomym i pionowym) i czasem ruchu do zderzenia kulek, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n6 m = 8\nm\ns ⋅𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵⋅𝑡𝑧\nLUB\n- spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_W_NU oraz warunku PRZEMIESZCZENIE_W_NU\noraz zastosowanie związków między przemieszczeniem a prędkością i czasem\n(ruchu do zderzenia kulek) dla ruchu obu kulek w spadającym układzie odniesienia\nNU, np. zapisy równoważne poniższym:\n6 m = 8 m\ns ⋅𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵⋅𝑡𝑧\n1 pkt - spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA\nLUB\n- spełnienie warunku PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE\nLUB\n- spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_W_NU\nLUB\n- spełnienie warunku PRZEMIESZCZENIE_W_NU\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 5.)\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia v0𝐵 - wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn.\npoprawne zastosowanie zasady zachowania energii dla kulek KA i KB (w układzie\ninercjalnym) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:\nv0𝐵= 16 m/s\n2 pkt - zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA\nod chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KA\nw punktach 𝐴 i 𝐶 z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki KA w punkcie\n𝐶, oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶\nz uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n6 m = 8 m\ns ⋅𝑡𝑧 oraz\n𝑚v0𝐴\n2\n2\n+ 𝑚𝑔ℎ𝐴=\n𝑚(v0𝐴\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2)\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐 oraz\n𝑚v0𝐵\n2\n2\n= 𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n1 pkt - zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia\nkulki KA wzdłuż osi 𝑥: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć\nczas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 zderzenia się kulek, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴𝑡𝑧 albo Δ𝑥(KA) = v0𝐴𝑡𝑧 albo 𝑡𝑧= 6 m\n8 m\ns\nLUB\n- zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KA w punktach 𝐴 i 𝐶 oraz\nuwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki KA w punkcie 𝐶, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑚v0𝐴\n2\n2\n+ 𝑚𝑔ℎ𝐴=\n𝑚(v0𝐴\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2)\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐\nLUB\n- zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶 oraz\nuwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑚v0𝐵\n2\n2\n= 𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania3\nSposób 1. (zastosowanie kinematycznych równań ruchu w układzie inercjalnym)\nRuch kulki KA jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego wzdłuż osi 𝑥 i spadku\nswobodnego wzdłuż osi 𝑦. Zatem współrzędna prędkości kulki KA wzdłuż osi 𝑥 jest stała:\nv𝑥= v0𝐴\nObliczymy czas 𝑡𝑧, mierzony od chwili 𝑡0, po którym dochodzi do zderzenia kulek. Kulki\nzderzają się w punkcie 𝐶 w chwili 𝑡𝑧. Z równania ruchu jednostajnego prostoliniowego\nwynika, że współrzędna 𝑥 położenia kulki KA w punkcie 𝐶 w chwili 𝑡𝑧 dana jest wzorem:\n𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴𝑡𝑧 zatem 𝑡𝑧=\n𝑥𝐶 (KA) -𝑥𝐴 (KA)\nv0𝐴\n= 6 m -0 m\n8 m\ns\n= 0,75 s\nWspółrzędna 𝑦 położenia kulki KA w chwili zderzenia w 𝐶 - zgodnie z równaniem ruchu\njednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej (ruchu w przeciwną stronę\ndo zwrotu osi 𝑦) - dana jest wzorem:\n𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐴 (KA) -|Δ𝑦(KA)| = 12 m -1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2\n3 Przykładowe rozwiązania mogą zawierać dodatkowe wyjaśnienia/komentarze, które nie podlegają ocenie.\nWymagane elementy rozwiązania zdającego podlegające ocenie są wyszczególnione i opisane w kryteriach\npunktacji zasad oceniania. Dodatkowe komentarze w rozwiązaniu zamieszczono w celach dydaktycznych.\nRuch kulki KB jest rzutem pionowym w górę z prędkością początkową v0𝐵. Współrzędna 𝑦\npołożenia kulki KB w chwili zderzenia w 𝐶 - zgodnie z równaniem ruchu jednostajnie\nopóźnionego - dana jest wzorem:\n𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2\nPorównamy ze sobą dwa powyższe wyrażenia opisujące rzędną punktu 𝐶:\n12 m -1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 = v0𝐵𝑡𝑧-1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 → 12 m = v0𝐵𝑡𝑧\nObliczymy v0𝐵:\nv0𝐵= 12 m\n0,75 s = 16 m\ns\nSposób 2. (zastosowanie kinematycznych równań ruchu w układzie inercjalnym)\nObliczymy czas 𝑡𝑧, mierzony od chwili 𝑡0, po którym dochodzi do zderzenia kulek. Kulki\nzderzają się w punkcie 𝐶. Ruch kulki KA jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego\nwzdłuż osi 𝑥 i spadku swobodnego wzdłuż osi 𝑦. Przemieszczenie Δ𝑥(KA) kulki KA wzdłuż 𝑥\nw czasie 𝑡𝑧 dane jest wzorem:\nΔ𝑥(KA) = v𝑥𝑡𝑧= v0𝐴𝑡𝑧 zatem 𝑡𝑧=\nΔ𝑥(KA)\nv0𝐴\n= 6 m\n8 m\ns\n= 0,75 s\nObliczymy współrzędną 𝑦 położenia kulki KA w chwili zderzenia w 𝐶. Wykorzystamy\nrównanie ruchu jednostajnie przyśpieszonego (w przeciwną stronę do zwrotu osi 𝑦) bez\nprędkości początkowej:\n𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐴 (KA) -|Δ𝑦(KA)| = 12 -1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 →\n𝑦𝐶 (KA) = 12 m -1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅0,752 s2 ≈9,24 m\nObliczymy prędkość początkową kulki KB. Ruch kulki KB jest rzutem pionowym w górę\nz prędkością początkową v0𝐵. Wykorzystamy równanie ruchu jednostajnie opóźnionego:\n𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1\n2 𝑔𝑡𝑧\n2 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐶 (KB) →\n9,24 m = v𝐵⋅0,75 s -1\n2 ⋅9,81 m\ns2 ⋅0,752 s2 →\nv0𝐵≈16 m\ns\nSposób 3. (zastosowanie równań opisujących ruch kulki KB względem kulki KA)\nZapiszemy wektorowe równania ruchu dla prędkości kulek KA i KB względem ziemi.\nRównania te rozpiszemy na współrzędne prędkości v𝑥 oraz v𝑦 (wektor przyśpieszenia\nziemskiego jest zwrócony przeciwnie do zwrotu osi 𝑦, zatem jego współrzędna jest ujemna):\nv⃗ 𝐴(𝑡) = v⃗ 0𝐴+ 𝑔 𝑡 → v⃗ 𝐴(𝑡) = [v𝐴𝑥(𝑡) ; v𝐴𝑦(𝑡) ] = [v0𝐴; -𝑔𝑡]\nv⃗ 𝐵(𝑡) = v⃗ 0𝐵+ 𝑔 𝑡 → v⃗ 𝐵(𝑡) = [v𝐵𝑥(𝑡) ; v𝐵𝑦(𝑡) ] = [0; v0𝐵-𝑔𝑡]\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nObliczymy prędkość kulki KB w układzie odniesienia kulki KA, czyli obliczymy prędkość\nwzględną kulek. Następnie wyrazimy tę prędkość względną we współrzędnych:\nv⃗ 𝐵𝐴= v⃗ 𝐵(𝑡) -v⃗ 𝐴(𝑡) = [0 -v0𝐴 ; (v0𝐵-𝑔𝑡) -(-𝑔𝑡)]\nv⃗ 𝐵𝐴= [v𝐵𝐴𝑥 ; v𝐵𝐴𝑦 ] = [-v0𝐴 ; v0𝐵] = [-8 m\ns ; v𝑂𝐵]\nW związku z powyższym kulka KB porusza się w układzie odniesienia kulki KA ze stałą\nprędkością, której współrzędna pozioma wynosi (-8 m/s) a pionowa v0𝐵. Z drugiej strony\nwektor przemieszczenia Δ𝑟 𝐴𝐵 (do momentu zderzenia kulek) kulki KB w układzie odniesienia\nkulki KA ma współrzędne:\nΔ𝑟 𝐵𝐴= [Δ𝑥𝐵𝐴 ; Δ𝑦𝐵𝐴] = [-6 m ; 12 m]\nPowyższe oznacza, że kulka KB porusza się względem KA po skosie do momentu zderzenia:\n6 m w lewo i 12 m w górę. Zastosujemy równanie ruchu jednostajnego w wersji wektorowej:\nΔ𝑟 𝐵𝐴= v⃗ 𝐵𝐴𝑡𝑧 → [-6 m ; 12 m] = [-8 m\ns ⋅𝑡𝑧 ; v𝑂𝐵⋅𝑡𝑧]\nRównanie to rozpiszemy na współrzędne:\n6 m = 8 m\ns ⋅𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵⋅𝑡𝑧 → 6 m\n12 m =\n8 m\ns\nv𝑂𝐵\n→ v𝑂𝐵= 16 m\ns\nSposób 4. (zastosowanie równań ruchu kulki KA i KB w układzie odniesienia, który spada\nswobodnie)\nRozważmy ruch obu kulek w nieinercjalnym, swobodnie spadającym pionowo układzie\nodniesienia NU. Załóżmy dalej, że układ NU rozpoczął spadanie w chwili 𝑡0 - tej samej\nchwili, w której rzucono kulkę KA.\nZauważmy, że układ odniesienia NU spada w z takim samym przyśpieszeniem ziemskim\nskierowanym w dół, z jakim poruszają się kulki KA i KB. W związku z tym, przyśpieszenia obu\nkulek względem spadającego układu NU wynoszą zero.\nPonieważ przyśpieszenia kulek w spadającym układzie odniesienia NU wynoszą zero, to kulki\nporuszają się w tym układzie NU ruchem jednostajnym prostoliniowym (mówimy, że względem\nukładu NU kulki są w stanie nieważkości, jak np. w spadającej swobodnie windzie).\nZanotujmy ważne wnioski wynikające z powyższego rozważania:\nPonieważ układ odniesienia NU rozpoczął spadanie w tej samej chwili 𝑡0 co kulka KA\ni spada razem z nią, to prędkość kulki KA w NU ma tylko składową poziomą, równą\nprędkości początkowej KA względem ziemi (pionowa składowa prędkości wynosi zero):\nv⃗ (KA)_𝑁𝑈= [8 m\ns ; 0]\nPrędkość kulki KB w NU ma tylko składową pionową, równą prędkości początkowej kulki\nKB względem ziemi (pozioma składowa tej prędkości wynosi zero):\nv⃗ (KB)_𝑁𝑈= [0 ; v𝑂𝐵]\nDo momentu zderzenia kulka KA przebywa w układzie odniesienia NU drogę\n(w poziomie) równą Δ𝑥(KA)_𝑁𝑈= 6 m, a kulka KB przebywa w układzie odniesienia NU\ndrogę (w pionie) równą Δ𝑦(KB)_𝑁𝑈= 12 m.\nZ własności ruchu jednostajnego prostoliniowego (w układzie odniesienia NU) otrzymujemy:\n𝑡𝐴𝑧= 𝑡𝐵𝑧 →\nΔ𝑥(KA)_𝑁𝑈\nv(KA)_𝑁𝑈\nΔ𝑦(KB)_𝑁𝑈\nv(KB)_𝑁𝑈\n6 m\n8 m\ns\n= 12 m\nv𝑂𝐵\n→ v0𝐵= 16 m/s\nSposób 5. (rozwiązanie z zastosowaniem zasady zachowania energii mechanicznej)\nZapiszemy zasadę zachowania energii dla kulki KA w punktach 𝐴 i 𝐶 oraz uwzględnimy wzór\nna prędkość kulki KA w punkcie 𝐶:\n𝑚v0𝐴\n2\n2\n+ 𝑚𝑔ℎ𝐴=\n𝑚v(KA)𝐶\n2\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐 gdzie v(KA)𝐶\n2\n= v0𝐴\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2\nZapiszemy zasadę zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶 oraz uwzględnimy wzór\nna prędkość kulki KB w punkcie 𝐶:\n𝑚v0𝐵\n2\n2\n𝑚v(KB)𝐶\n2\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐 gdzie v(KB)𝐶= v0𝐵-𝑔𝑡𝑧\nWyznaczymy 𝑡𝑧 z wartości poziomych składowych prędkości i przemieszczenia kulki KA:\n𝑡𝑧=\nΔ𝑥(KA)\nv0𝐴\n= 6 m\n8 m\ns\n= 0,75 s\nZapiszemy układ równań wynikający z powyższych zależności:\n{\n𝑚v0𝐴\n2\n2\n+ 𝑚𝑔ℎ𝐴=\n𝑚(v0𝐴\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2)\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐\n𝑚v0𝐵\n2\n2\n= 𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2\n2\n+ 𝑚𝑔𝑦𝑐\n𝑡𝑧= 0,75 s\nRozwiążemy powyższy układ równań:\n{\n𝑚v0𝐴\n2\n2\n+ 𝑚𝑔ℎ𝐴=\n𝑚(v0𝐴\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2)\n2\n+ 𝑚v0𝐵\n2\n2\n-𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2\n2\n𝑡𝑧= 0,75 s\n→\n{\nv0𝐴\n2\n2 + 𝑔ℎ𝐴= v0𝐴\n2\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2\n2\n+ v0𝐵\n2\n2 -v0𝐵\n2 -2v0𝐵𝑔𝑡𝑧+ (𝑔𝑡𝑧)2\n2\n𝑡𝑧= 0,75 s\n→\n{\nv0𝐴\n2\n2 + 𝑔ℎ𝐴= v0𝐴\n2\n2 + (𝑔𝑡𝑧)2\n2\n+ v0𝐵\n2\n2 -v0𝐵\n2\n2 + v0𝐵𝑔𝑡𝑧-(𝑔𝑡𝑧)2\n2\n𝑡𝑧= 0,75 s\n→\n{ℎ𝐴= v0𝐵𝑡𝑧\n𝑡𝑧= 0,75 s → v0𝐵= ℎ𝐴\n𝑡𝑧\n= 12 m\n0,75 s = 16 m\ns\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-1.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1.2. (0-3)
Z punktu 𝐴 w chwili 𝑡0 = 0 s rzucono kulkę KA. Prędkość kulki KA w chwili 𝑡0 miała kierunek
poziomy i wartość równą v0𝐴= 8 m/s.
Z punktu 𝐵 - w tej samej chwili 𝑡0 - rzucono kulkę KB. Prędkość kulki KB w chwili 𝑡0 miała
kierunek pionowy, zwrot w górę i wartość, którą oznaczymy jako v0𝐵.
Rzucone kulki KA i KB zderzyły się w chwili 𝑡𝑧 w punkcie 𝐶.
Współrzędne punktów 𝐴, 𝐵 i 𝐶 wyrażone w metrach, w kartezjańskim układzie współrzędnych,
są następujące:
𝐴= (0; 12) 𝐵= (6; 0) 𝐶= (6; 𝑦𝐶)
Opisaną sytuację ilustruje rysunek na stronie 5. Przyjmij, że dane w zadaniu są dokładne.
EFAP-R0_100
Rysunek
Oblicz v𝟎𝑩 - wartość prędkości początkowej kulki KB w punkcie 𝑩. Zapisz obliczenia.
𝑦, m
12
10
8
6
4
2
0
vሬԦ0𝐴
𝐴
𝑔Ԧ
𝐶= (6; 𝑦𝐶)
vሬԦ0𝐵
𝐵
0 2 4 6 8 10 12 𝑥, m
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 1.2. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
1.4) wykorzystuje związki pomiędzy położeniem,
prędkością i przyspieszeniem w ruchu
jednostajnym i jednostajnie zmiennym do
obliczania parametrów ruchu;
1.6) oblicza parametry ruchu podczas
swobodnego spadku i rzutu pionowego;
1.15) analizuje ruch ciał w dwóch wymiarach na
przykładzie rzutu poziomego.
1 Rozporządzenie Ministra Edukacji Narodowej z dnia 27 sierpnia 2012 r. w sprawie podstawy programowej
wychowania przedszkolnego oraz kształcenia ogólnego w poszczególnych typach szkół (Dz.U. z 2012 r. poz.
977).
Zasady oceniania2
(dla rozwiązania sposobem 1. lub sposobem 2.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia v0𝐵 - wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn.
poprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek KA i KB (w układzie inercjalnym) oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵= 16 m/s
2 pkt - zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA od
chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 oraz zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć położenie
kulki KA wzdłuż osi 𝑦 w chwili 𝑡𝑧, czyli rzędną punktu 𝐶 w funkcji położenia
początkowego kulki KA, 𝑔 i 𝑡𝑧 oraz zapisanie równania (albo równań) pozwalającego
wyznaczyć położenie kulki KB wzdłuż osi 𝑦 w chwili 𝑡𝑧, czyli rzędną punktu 𝐶 w funkcji
prędkości początkowej v0𝐵 kulki KB, 𝑔 i 𝑡𝑧, np. zapisy równoważne poniższym:
6 m = 8 m
s ⋅𝑡𝑧 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 12 -1
2 𝑔𝑡𝑧
2 oraz 𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1
2 𝑔𝑡𝑧
2
albo
6 m = 8 m
s ⋅𝑡𝑧 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 12 -1
2 𝑔𝑡𝑧
2 oraz
(𝑦𝐶 (KB) =
v0𝐵+ v𝐶 (KB)
2
⋅𝑡𝑧 i v𝐶 (KB) = v0𝐵-𝑔𝑡𝑧 )
1 pkt - zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia
kulki KA wzdłuż osi 𝑥: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć
czas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 zderzenia się kulek, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴𝑡𝑧 albo Δ𝑥(KA) = v0𝐴𝑡𝑧 albo 𝑡𝑧= 6 m
8 m
s
LUB

\n\n

zwrotu osi 𝑦) bez prędkości początkowej dla opisania położenia kulki KA wzdłuż osi 𝑦:
zapisanie równania pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu 𝐶 w funkcji położenia
początkowego kulki KA, 𝑔 i 𝑡𝑧, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑦𝐶 (KA) = 12 -1
2 𝑔𝑡𝑧
2
LUB

\n\n

zwrotu osi 𝑦) dla opisania położenia kulki KB wzdłuż osi 𝑦: zapisanie równania
pozwalającego wyznaczyć rzędną punktu 𝐶 w funkcji prędkości początkowej v0𝐵
kulki KB, 𝑔 i 𝑡𝑧, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1
2 𝑔𝑡𝑧
2 albo (𝑦𝐶 (KB) =
v0𝐵+ v𝐶 (KB)
2
⋅𝑡𝑧 i v𝐶 (KB) = v0𝐵-𝑔𝑡𝑧 )
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
2 Pod opisem warunków za przyznanie punktów, w niektórych przypadkach podano przykładowe zapisy (lub
przykładowe zapisy równoważne), które spełniają te warunki w minimalnym stopniu.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 3. lub sposobem 4.)
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA
Zauważenie, że ruch kulki KB względem kulki KA jest jednostajny prostoliniowy oraz
określenie współrzędnych (może być co do wartości bezwzględnej) prędkości względnej
kulki KB względem kulki KA, np. zapisy równoważne poniższym:
v𝐵𝐴𝑥 = -8
m
s , v𝐵𝐴𝑦 = v0𝐵 albo v⃗ 𝐵𝐴= [-8 m
s ; v0𝐵]
albo opisowo
prędkość w poziomie kulki KB względem KA jest skierowana w lewo i ma stałą wartość 8 m/s
prędkość w pionie kulki KB względem KA jest skierowana w górę i ma stałą wartość v0𝐵
Warunek PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE
Zauważenie, że ruch kulki KB względem kulki KA jest jednostajny prostoliniowy oraz
określenie współrzędnych (może być co do wartości bezwzględnej) przemieszczenia
względnego kulki KB względem kulki KA, np. zapisy równoważne poniższym:
Δ𝑥𝐵𝐴 = -6 m , Δ𝑦𝐵𝐴 = 12 m albo Δ𝑟 𝐵𝐴= [-6 m ; 12 m]
albo opisowo
przemieszczenie w poziomie kulki KB względem KA jest w lewo i ma wartość 6 m
przemieszczenie w pionie kulki KB względem KA jest w górę i ma wartość 12 m
Warunek PRĘDKOŚĆ_W_NU
Zauważenie, że w nieinercjalnym układzie odniesienia (NU) swobodnie spadającym pionowo
(od chwili 𝑡0) ruch obu kulek jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie prędkości obu
kulek w tym układzie NU, np. zapisy równoważne poniższym:
v⃗ 𝐴_𝑁𝑈= [v𝐴𝑥_𝑁𝑈 ; v𝐴𝑦_𝑁𝑈] = [8 m
s ; 0] v⃗ 𝐵_𝑁𝑈= [v𝐵𝑥_𝑁𝑈 ; v𝐵𝑦_𝑁𝑈] = [0 ; v0𝐵]
albo opisowo
kulka KA porusza się w spadającym układzie NU w prawo z prędkością 8 m/s
kulka KB porusza się w spadającym układzie NU w górę z prędkością v0𝐵
Warunek PRZEMIESZCZENIE_W_NU
Zauważenie, że w nieinercjalnym układzie odniesienia (NU) swobodnie spadającym pionowo
(od chwili 𝑡0) ruch obu kulek jest jednostajny prostoliniowy oraz określenie przemieszczenia
obu kulek w tym układzie NU, np. zapisy równoważne poniższym:
Δ𝑟⃗ 𝐴_𝑁𝑈= [Δ𝑥𝐴_𝑁𝑈 ; Δ𝑦𝐴_𝑁𝑈] = [6 m ; 0] Δ𝑟⃗ 𝐵_𝑁𝑈= [Δ𝑥𝐵_𝑁𝑈 ; Δ𝑦𝐵_𝑁𝑈] = [0; 12 m]
albo opisowo
kulka KA w spadającym układzie NU przemieszcza się 6 m w prawo
kulka KB w spadającym układzie NU przemieszcza się 12 m w górę
Schemat punktowania (dla rozwiązania sposobem 3. lub sposobem 4.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia v0𝐵 - wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn.
poprawne zastosowanie równań ruchu dla kulek KA i KB (w układzie spoczynkowym
kulki KA lub w układzie swobodnie spadającym pionowo) oraz podanie prawidłowego
wyniku liczbowego z jednostką: v0𝐵= 16 m/s
2 pkt - spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA oraz warunku
PRZEMIESZCZENIE_WZGLĘDNE oraz zastosowanie związków między
przemieszczeniem względnym a prędkością względną kulki KB względem kulki KA
(w obu kierunkach: poziomym i pionowym) i czasem ruchu do zderzenia kulek, np.
zapisy równoważne poniższym:
6 m = 8
m
s ⋅𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵⋅𝑡𝑧
LUB

\n\n

oraz zastosowanie związków między przemieszczeniem a prędkością i czasem
(ruchu do zderzenia kulek) dla ruchu obu kulek w spadającym układzie odniesienia
NU, np. zapisy równoważne poniższym:
6 m = 8 m
s ⋅𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵⋅𝑡𝑧
1 pkt - spełnienie warunku PRĘDKOŚĆ_WZGLĘDNA
LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 5.)
3 pkt - poprawna metoda obliczenia v0𝐵 - wartości prędkości początkowej kulki KB, tzn.
poprawne zastosowanie zasady zachowania energii dla kulek KA i KB (w układzie
inercjalnym) oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką:
v0𝐵= 16 m/s
2 pkt - zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć czas ruchu kulki KA
od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KA
w punktach 𝐴 i 𝐶 z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki KA w punkcie
𝐶, oraz zapisanie zasady zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶
z uwzględnieniem wzoru z czasem na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶, np. zapisy
równoważne poniższym:
6 m = 8 m
s ⋅𝑡𝑧 oraz
𝑚v0𝐴
2
2

\n\n

𝑚(v0𝐴
2 + (𝑔𝑡𝑧)2)
2

\n\n

𝑚v0𝐵
2
2
= 𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2
2

\n\n

Zasady oceniania rozwiązań zadań
1 pkt - zastosowanie równania ruchu jednostajnego prostoliniowego dla opisania położenia
kulki KA wzdłuż osi 𝑥: zapisanie równania z którego można bezpośrednio obliczyć
czas ruchu kulki KA od chwili 𝑡0 do chwili 𝑡𝑧 zderzenia się kulek, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴𝑡𝑧 albo Δ𝑥(KA) = v0𝐴𝑡𝑧 albo 𝑡𝑧= 6 m
8 m
s
LUB

\n\n

uwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki KA w punkcie 𝐶, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑚v0𝐴
2
2

\n\n

𝑚(v0𝐴
2 + (𝑔𝑡𝑧)2)
2

\n\n

LUB

\n\n

uwzględnienie wzoru z czasem na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑚v0𝐵
2
2
= 𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2
2

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania3
Sposób 1. (zastosowanie kinematycznych równań ruchu w układzie inercjalnym)
Ruch kulki KA jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego wzdłuż osi 𝑥 i spadku
swobodnego wzdłuż osi 𝑦. Zatem współrzędna prędkości kulki KA wzdłuż osi 𝑥 jest stała:
v𝑥= v0𝐴
Obliczymy czas 𝑡𝑧, mierzony od chwili 𝑡0, po którym dochodzi do zderzenia kulek. Kulki
zderzają się w punkcie 𝐶 w chwili 𝑡𝑧. Z równania ruchu jednostajnego prostoliniowego
wynika, że współrzędna 𝑥 położenia kulki KA w punkcie 𝐶 w chwili 𝑡𝑧 dana jest wzorem:
𝑥𝐶 (KA) = 𝑥𝐴 (KA) + v0𝐴𝑡𝑧 zatem 𝑡𝑧=
𝑥𝐶 (KA) -𝑥𝐴 (KA)
v0𝐴
= 6 m -0 m
8 m
s
= 0,75 s
Współrzędna 𝑦 położenia kulki KA w chwili zderzenia w 𝐶 - zgodnie z równaniem ruchu
jednostajnie przyśpieszonego bez prędkości początkowej (ruchu w przeciwną stronę
do zwrotu osi 𝑦) - dana jest wzorem:
𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐴 (KA) -|Δ𝑦(KA)| = 12 m -1
2 𝑔𝑡𝑧
2
3 Przykładowe rozwiązania mogą zawierać dodatkowe wyjaśnienia/komentarze, które nie podlegają ocenie.
Wymagane elementy rozwiązania zdającego podlegające ocenie są wyszczególnione i opisane w kryteriach
punktacji zasad oceniania. Dodatkowe komentarze w rozwiązaniu zamieszczono w celach dydaktycznych.
Ruch kulki KB jest rzutem pionowym w górę z prędkością początkową v0𝐵. Współrzędna 𝑦
położenia kulki KB w chwili zderzenia w 𝐶 - zgodnie z równaniem ruchu jednostajnie
opóźnionego - dana jest wzorem:
𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1
2 𝑔𝑡𝑧
2
Porównamy ze sobą dwa powyższe wyrażenia opisujące rzędną punktu 𝐶:
12 m -1
2 𝑔𝑡𝑧
2 = v0𝐵𝑡𝑧-1
2 𝑔𝑡𝑧
2 → 12 m = v0𝐵𝑡𝑧
Obliczymy v0𝐵:
v0𝐵= 12 m
0,75 s = 16 m
s
Sposób 2. (zastosowanie kinematycznych równań ruchu w układzie inercjalnym)
Obliczymy czas 𝑡𝑧, mierzony od chwili 𝑡0, po którym dochodzi do zderzenia kulek. Kulki
zderzają się w punkcie 𝐶. Ruch kulki KA jest złożeniem ruchu jednostajnego prostoliniowego
wzdłuż osi 𝑥 i spadku swobodnego wzdłuż osi 𝑦. Przemieszczenie Δ𝑥(KA) kulki KA wzdłuż 𝑥
w czasie 𝑡𝑧 dane jest wzorem:
Δ𝑥(KA) = v𝑥𝑡𝑧= v0𝐴𝑡𝑧 zatem 𝑡𝑧=
Δ𝑥(KA)
v0𝐴
= 6 m
8 m
s
= 0,75 s
Obliczymy współrzędną 𝑦 położenia kulki KA w chwili zderzenia w 𝐶. Wykorzystamy
równanie ruchu jednostajnie przyśpieszonego (w przeciwną stronę do zwrotu osi 𝑦) bez
prędkości początkowej:
𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐴 (KA) -|Δ𝑦(KA)| = 12 -1
2 𝑔𝑡𝑧
2 →
𝑦𝐶 (KA) = 12 m -1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅0,752 s2 ≈9,24 m
Obliczymy prędkość początkową kulki KB. Ruch kulki KB jest rzutem pionowym w górę
z prędkością początkową v0𝐵. Wykorzystamy równanie ruchu jednostajnie opóźnionego:
𝑦𝐶 (KB) = v0𝐵𝑡𝑧-1
2 𝑔𝑡𝑧
2 oraz 𝑦𝐶 (KA) = 𝑦𝐶 (KB) →
9,24 m = v𝐵⋅0,75 s -1
2 ⋅9,81 m
s2 ⋅0,752 s2 →
v0𝐵≈16 m
s
Sposób 3. (zastosowanie równań opisujących ruch kulki KB względem kulki KA)
Zapiszemy wektorowe równania ruchu dla prędkości kulek KA i KB względem ziemi.
Równania te rozpiszemy na współrzędne prędkości v𝑥 oraz v𝑦 (wektor przyśpieszenia
ziemskiego jest zwrócony przeciwnie do zwrotu osi 𝑦, zatem jego współrzędna jest ujemna):
v⃗ 𝐴(𝑡) = v⃗ 0𝐴+ 𝑔 𝑡 → v⃗ 𝐴(𝑡) = [v𝐴𝑥(𝑡) ; v𝐴𝑦(𝑡) ] = [v0𝐴; -𝑔𝑡]
v⃗ 𝐵(𝑡) = v⃗ 0𝐵+ 𝑔 𝑡 → v⃗ 𝐵(𝑡) = [v𝐵𝑥(𝑡) ; v𝐵𝑦(𝑡) ] = [0; v0𝐵-𝑔𝑡]
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Obliczymy prędkość kulki KB w układzie odniesienia kulki KA, czyli obliczymy prędkość
względną kulek. Następnie wyrazimy tę prędkość względną we współrzędnych:
v⃗ 𝐵𝐴= v⃗ 𝐵(𝑡) -v⃗ 𝐴(𝑡) = [0 -v0𝐴 ; (v0𝐵-𝑔𝑡) -(-𝑔𝑡)]
v⃗ 𝐵𝐴= [v𝐵𝐴𝑥 ; v𝐵𝐴𝑦 ] = [-v0𝐴 ; v0𝐵] = [-8 m
s ; v𝑂𝐵]
W związku z powyższym kulka KB porusza się w układzie odniesienia kulki KA ze stałą
prędkością, której współrzędna pozioma wynosi (-8 m/s) a pionowa v0𝐵. Z drugiej strony
wektor przemieszczenia Δ𝑟 𝐴𝐵 (do momentu zderzenia kulek) kulki KB w układzie odniesienia
kulki KA ma współrzędne:
Δ𝑟 𝐵𝐴= [Δ𝑥𝐵𝐴 ; Δ𝑦𝐵𝐴] = [-6 m ; 12 m]
Powyższe oznacza, że kulka KB porusza się względem KA po skosie do momentu zderzenia:
6 m w lewo i 12 m w górę. Zastosujemy równanie ruchu jednostajnego w wersji wektorowej:
Δ𝑟 𝐵𝐴= v⃗ 𝐵𝐴𝑡𝑧 → [-6 m ; 12 m] = [-8 m
s ⋅𝑡𝑧 ; v𝑂𝐵⋅𝑡𝑧]
Równanie to rozpiszemy na współrzędne:
6 m = 8 m
s ⋅𝑡𝑧 oraz 12 m = v0𝐵⋅𝑡𝑧 → 6 m
12 m =
8 m
s
v𝑂𝐵
→ v𝑂𝐵= 16 m
s
Sposób 4. (zastosowanie równań ruchu kulki KA i KB w układzie odniesienia, który spada
swobodnie)
Rozważmy ruch obu kulek w nieinercjalnym, swobodnie spadającym pionowo układzie
odniesienia NU. Załóżmy dalej, że układ NU rozpoczął spadanie w chwili 𝑡0 - tej samej
chwili, w której rzucono kulkę KA.
Zauważmy, że układ odniesienia NU spada w z takim samym przyśpieszeniem ziemskim
skierowanym w dół, z jakim poruszają się kulki KA i KB. W związku z tym, przyśpieszenia obu
kulek względem spadającego układu NU wynoszą zero.
Ponieważ przyśpieszenia kulek w spadającym układzie odniesienia NU wynoszą zero, to kulki
poruszają się w tym układzie NU ruchem jednostajnym prostoliniowym (mówimy, że względem
układu NU kulki są w stanie nieważkości, jak np. w spadającej swobodnie windzie).
Zanotujmy ważne wnioski wynikające z powyższego rozważania:
Ponieważ układ odniesienia NU rozpoczął spadanie w tej samej chwili 𝑡0 co kulka KA
i spada razem z nią, to prędkość kulki KA w NU ma tylko składową poziomą, równą
prędkości początkowej KA względem ziemi (pionowa składowa prędkości wynosi zero):
v⃗ (KA)_𝑁𝑈= [8 m
s ; 0]
Prędkość kulki KB w NU ma tylko składową pionową, równą prędkości początkowej kulki
KB względem ziemi (pozioma składowa tej prędkości wynosi zero):
v⃗ (KB)_𝑁𝑈= [0 ; v𝑂𝐵]
Do momentu zderzenia kulka KA przebywa w układzie odniesienia NU drogę
(w poziomie) równą Δ𝑥(KA)_𝑁𝑈= 6 m, a kulka KB przebywa w układzie odniesienia NU
drogę (w pionie) równą Δ𝑦(KB)_𝑁𝑈= 12 m.
Z własności ruchu jednostajnego prostoliniowego (w układzie odniesienia NU) otrzymujemy:
𝑡𝐴𝑧= 𝑡𝐵𝑧 →
Δ𝑥(KA)_𝑁𝑈
v(KA)_𝑁𝑈
Δ𝑦(KB)_𝑁𝑈
v(KB)_𝑁𝑈
6 m
8 m
s
= 12 m
v𝑂𝐵
→ v0𝐵= 16 m/s
Sposób 5. (rozwiązanie z zastosowaniem zasady zachowania energii mechanicznej)
Zapiszemy zasadę zachowania energii dla kulki KA w punktach 𝐴 i 𝐶 oraz uwzględnimy wzór
na prędkość kulki KA w punkcie 𝐶:
𝑚v0𝐴
2
2

\n\n

𝑚v(KA)𝐶
2
2

\n\n

2
= v0𝐴
2 + (𝑔𝑡𝑧)2
Zapiszemy zasadę zachowania energii dla kulki KB w punktach 𝐵 i 𝐶 oraz uwzględnimy wzór
na prędkość kulki KB w punkcie 𝐶:
𝑚v0𝐵
2
2
𝑚v(KB)𝐶
2
2

\n\n

Wyznaczymy 𝑡𝑧 z wartości poziomych składowych prędkości i przemieszczenia kulki KA:
𝑡𝑧=
Δ𝑥(KA)
v0𝐴
= 6 m
8 m
s
= 0,75 s
Zapiszemy układ równań wynikający z powyższych zależności:
{
𝑚v0𝐴
2
2

\n\n

𝑚(v0𝐴
2 + (𝑔𝑡𝑧)2)
2

\n\n

𝑚v0𝐵
2
2
= 𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2
2

\n\n

𝑡𝑧= 0,75 s
Rozwiążemy powyższy układ równań:
{
𝑚v0𝐴
2
2

\n\n

𝑚(v0𝐴
2 + (𝑔𝑡𝑧)2)
2

\n\n

2
2
-𝑚(v0𝐵-𝑔𝑡𝑧)2
2
𝑡𝑧= 0,75 s
→
{
v0𝐴
2
2 + 𝑔ℎ𝐴= v0𝐴
2
2 + (𝑔𝑡𝑧)2
2

\n\n

2
2 -v0𝐵
2 -2v0𝐵𝑔𝑡𝑧+ (𝑔𝑡𝑧)2
2
𝑡𝑧= 0,75 s
→
{
v0𝐴
2
2 + 𝑔ℎ𝐴= v0𝐴
2
2 + (𝑔𝑡𝑧)2
2

\n\n

2
2 -v0𝐵
2
2 + v0𝐵𝑔𝑡𝑧-(𝑔𝑡𝑧)2
2
𝑡𝑧= 0,75 s
→
{ℎ𝐴= v0𝐵𝑡𝑧
𝑡𝑧= 0,75 s → v0𝐵= ℎ𝐴
𝑡𝑧
= 12 m
0,75 s = 16 m
s
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}