{"id":"fizyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"fizyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona","number":"2.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2025,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-4)\nWyznacz 𝒂 - wartość przyśpieszenia liniowego walca W2 - w zależności tylko od\nwartości przyśpieszenia ziemskiego 𝒈, od kąta 𝜷 oraz od współczynnika 𝒌𝟐.\nZapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝒂.\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.2. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nI. Znajomość i umiejętność\nwykorzystania pojęć i praw fizyki do\nwyjaśniania procesów i zjawisk\nw przyrodzie.\nIV. Budowa prostych modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk.\nZdający:\n2.3) oblicza momenty sił;\n2.6) opisuje ruch obrotowy bryły sztywnej wokół\nosi przechodzącej przez środek masy;\n2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej pod\nwpływem momentu sił;\nALBO\n2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu\nobrotowego w bilansie energii.\n3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii\nmechanicznej do obliczania parametrów ruchu.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 1.)\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2\npoprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎:\n𝑎= sin 𝛽\n1 + 𝑘2\n𝑔\n3 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz\nuwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły\nwypadkowej działającej na walec W2 i wartość momentu siły działającego na W2,\noraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem\nkątowym i wzoru na moment bezwładności walca W2, oraz uwzględnienie (zob.\nuwaga poniżej) warunku, że siła tarcia nie osiągnęła wartości maksymalnej, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇 oraz 𝑘2𝑚𝑅2 𝑎\n𝑅= 𝑅𝑇\nUwaga! Spełnienie ostatniego warunku (po trzecim „oraz”) oznacza pozostawienie\nwartości siły tarcia 𝑇 jako niewiadomej w układzie równań. Zdający nie spełnia\npowyższego kryterium, jeśli zapisze 𝑇= 𝜇𝑚𝑔cos 𝛽.\nLUB\n- wyprowadzenie (z dynamicznych równań ruchu) i zapisanie prawidłowej postaci\nwzoru na 𝑎, pomimo błędnego określenia siły tarcia, jako takiej, która osiągnęła\nwartość maksymalną (tzn. z jedynym błędnym zapisem: 𝑇= 𝜇𝑚𝑔cos 𝛽), np.:\n(równania ruchu z błędnym zapisem 𝑇= 𝜇𝑚𝑔cos 𝛽) → 𝑎= sin 𝛽\n1 + 𝑘2\n𝑔\n2 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz\nuwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły\nwypadkowej działającej na walec W2 oraz wartość momentu siły działającego na W2,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇 oraz 𝐼2𝜖= 𝑅𝑇 )\nalbo\n(𝑚𝑎= 𝑄∥-𝑇 oraz 𝐼2𝜖= 𝑅𝑇 )\n1 pkt - zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 (bez\npoprawnego rozpisania 𝐹𝑊 i 𝑀𝑇), np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑎= 𝐹𝑤 oraz 𝐼2𝜖= 𝑀𝑇 )\nLUB\n- zapisanie poprawnego wzoru na wartość siły wypadkowej działającej na walec W2\noraz zapisanie poprawnego wzoru na moment siły tarcia działający na walec W2, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑤= 𝑄∥-𝑇 oraz 𝑀𝑇= 𝑅𝑇\nLUB\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n- poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\npostępowego walca W2 oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia\nopisującego wartość siły wypadkowej działającej na walec W2, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝑚𝑎= 𝑄∥-𝑇\nLUB\n- poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\nobrotowego walca W2 względem osi symetrii, oraz uwzględnienie w tym równaniu\npoprawnego wyrażenia opisującego wartość momentu siły działającego na W2, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐼2𝜖 = 𝑅𝑇\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 2.)\n4 pkt - poprawna metoda (zastosowanie zasady zachowania energii) wyznaczenia wartości\n𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej\npostaci wzoru na 𝑎:\n𝑎= sin 𝛽\n1 + 𝑘2\n𝑔\n3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia liniowego walca z zasady\nzachowania energii, tzn. spełnienie warunków za 2 pkt oraz zastosowanie wzoru\nna moment bezwładności walca, oraz zastosowanie związku między prędkością\na przyśpieszeniem i drogą (z wyeliminowanym czasem) w ruchu jednostajnie\nprzyśpieszonym bez prędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑔ℎ= 1\n2 𝑚v2 + 1\n2 𝑘2𝑚𝑅2 v2\n𝑅2 oraz v2 = 2𝑎𝑠\nalbo\n𝑔ℎ= 1\n2 v2 + 1\n2 𝑘2v2 oraz v2 = 2𝑎𝑠\n2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii\nmechanicznej oraz poprawne zastosowanie wzorów na energię kinetyczną ruchu\npostępowego walca W2, energię kinetyczną ruchu obrotowego walca W2 i energię\npotencjalną walca W2, oraz zastosowanie związku między prędkością kątową walca\na prędkością liniową walca, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑔ℎ= 1\n2 𝑚v2 + 1\n2 𝐼2𝜔2 oraz v = 𝜔𝑅 ) albo 𝑚𝑔ℎ= 1\n2 𝑚v2 + 1\n2 𝐼2\nv2\n𝑅2\n1 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii\nmechanicznej oraz uwzględnienie (poprzez oznaczenie) w tym równaniu energii\nkinetycznych ruchu postępowego walca W2, ruchu obrotowego walca W2 i energii\npotencjalnej walca W2, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤𝑎𝑙= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑡+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑟\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania\n(dla rozwiązania sposobem 3.)\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2\npoprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎:\n𝑎= sin 𝛽\n1 + 𝑘2\n𝑔\n3 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\nobrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym\nrównaniu poprawnego wyrażenia (z kątem 𝛽) opisującego moment siły działający\nna W2 (względem chwilowej osi obrotu), oraz uwzględnienie związku między\nprzyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym, oraz uwzględnienie związku\nmiędzy 𝐼𝑐ℎ𝑤 a 𝐼2, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽 oraz 𝜖= 𝑎\n𝑅 oraz 𝐼𝑐ℎ𝑤= 𝐼2 + 𝑚𝑅2\nalbo (w jednym równaniu)\n(𝐼2 + 𝑚𝑅2) 𝑎\n𝑅= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽\n2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu\nobrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym\nrównaniu poprawnego wyrażenia (z kątem 𝛽) opisującego moment siły działający na\nW2 (względem chwilowej osi obrotu) oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie),\nże moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od 𝐼2, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽\n1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu (z oznaczeniem momentu siły ciężkości)\nwyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej\nosi obrotu (oś chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz uwzględnienie (np. poprzez\noznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest\nróżny od 𝐼2, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑀𝑄\nLUB\n- zapisanie poprawnego wzoru na moment siły względem chwilowej osi obrotu (ta oś\nchwilowa musi być zidentyfikowana) oraz poprawna identyfikacja siły, która powoduje\nmoment względem chwilowej osi obrotu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑀𝑄= 𝑅⋅𝑄∥ albo 𝑀𝑄= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (zastosowanie zasad dynamiki)\nNa walec W2 działają trzy siły: siła tarcia statycznego 𝑇⃗ oraz siła reakcji równi 𝐹 𝑟 oraz siła\nciężkości walca 𝑄⃗ . Wypadkowa ze wszystkich sił działających na walec ma kierunek wzdłuż\nrówni i wartość opisaną wyrażeniem:\n𝐹𝑤= 𝑚𝑔sin𝛽-𝑇\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nJedynie siła tarcia statycznego ma niezerowy moment względem osi obrotu walca W2:\n𝑀𝑇= 𝑅𝑇\nZapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca W2 oraz\ndla ruchu obrotowego walca W2 (względem osi symetrii):\n{ 𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇\n𝐼2𝜖= 𝑅𝑇\nSiła tarcia statycznego nie osiągnęła wartości maksymalnej, zatem pozostaje niewiadomą\nw powyższym układzie równań. Zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem\nliniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku toczenia się bez poślizgu) oraz wzór na\nmoment bezwładności walca W2:\n{\n𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇\n𝑘2𝑚𝑅2 𝑎\n𝑅 = 𝑅𝑇 → { 𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇\n𝑘2𝑚𝑎 = 𝑇 →\n{ 𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑘2𝑚𝑎\n𝑘2𝑚𝑎 = 𝑇 → 𝑎+ 𝑘2𝑎= 𝑔sin 𝛽\n𝑎=\nsin 𝛽\n1 + 𝑘2\n𝑔\nSposób 2. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej)\nZgodnie z przyjętym modelem zjawiska energia mechaniczna pozostaje stała podczas ruchu\nwalca - siły oporów pomijamy, a siła tarcia statycznego nie zmienia całkowitej energii\nkinetycznej (prace siły tarcia statycznego i momentu siły tarcia statycznego znoszą się).\nW chwili początkowej energia mechaniczna walca W2 jest równa jego energii potencjalnej\ngrawitacji. Przyjmiemy, że zero energii potencjalnej jest na poziomie środka masy walca W2,\ngdy ten jest u podnóża równi. Zatem u podnóża równi energia mechaniczna walca W2 jest\nrówna tylko jego energii kinetycznej całkowitej (ruchu postępowego i obrotowego).\nZapiszemy zasadę zachowania energii mechanicznej:\n𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤𝑎𝑙= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑡+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑟\nWysokość, na jakiej znajduje się środek masy walca W2 w chwili początkowej, liczona\nwzględem poziomu zera energii potencjalnej, przyjmiemy jako ℎ. Zastosujemy wzory na\nwymienione rodzaje energii:\n1) 𝑚𝑔ℎ= 1\n2 𝑚v2 + 1\n2 𝐼2𝜔2\nWykorzystamy związek między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu)\noraz wzór na moment bezwładności walca W2. Wyznaczymy kwadrat prędkości walca\nu podnóża równi:\n2) 𝑚𝑔ℎ= 1\n2 𝑚v2 + 1\n2 (𝑘2𝑚𝑅2) ⋅v2\n𝑅2 → 𝑔ℎ= 1\n2 v2 + 1\n2 𝑘2v2\n3) v2 =\n2𝑔ℎ\n(1 + 𝑘2)\nWykorzystamy związek kinematyczny między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu\njednostajnie przyśpieszonym (siła wypadkowa jest stała) bez prędkości początkowej, drogę\npowiążemy z wysokością i kątem nachylenia równi:\n4) v2 = 2𝑎𝑠 5) ℎ= sin 𝛽⋅𝑠\nPrzyrównamy do siebie prawe strony równań 3) i 4) z uwzględnieniem związku 5):\n6) 2𝑎𝑠= 2𝑔sin 𝛽⋅𝑠\n(1 + 𝑘2) →\n7) 𝑎=\nsin 𝛽\n(1 + 𝑘2) 𝑔\nSposób 3. (zastosowanie metody chwilowej osi obrotu)\nRozważmy obrót walca W2 wokół chwilowej osi obrotu. Chwilowa oś obrotu zawiera odcinek\nstyczności walca z powierzchnią równi w danej chwili. Jedynie siła ciężkości 𝑄⃗ walca ma\nniezerowy moment względem tej osi obrotu (tzn. jej składowa 𝑄⃗ ∥ wzdłuż równi).\nRamię tej siły jest równe 𝑅, zatem:\n1) 𝑀𝑄= 𝑅⋅𝑄∥ gdzie 𝑄∥= 𝑚𝑔sin 𝛽\nW metodzie chwilowej osi obrotu rozważamy tylko ruch obrotowy. Zapiszemy równanie\nwynikające z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu:\n2a) 𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑀𝑄 → 𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑄∥ → 2b) 𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽\nWyznaczymy wzór na moment bezwładności walca W2 względem chwilowej osi obrotu\n(z twierdzenia Steinera):\n3) 𝐼𝑐ℎ𝑤= 𝐼2 + 𝑚𝑅2 = 𝑘2𝑚𝑅2 + 𝑚𝑅2 = (𝑘2 + 1)𝑚𝑅2\nDo równania 2b) podstawimy zależność 3) oraz zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między\nprzyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku metody chwilowej osi\nobrotu przyśpieszenie liniowe jest przyśpieszeniem chwilowym stycznym do chwilowego toru\nruchu punktu środka masy walca W2):\n4) (𝑘2 + 1)𝑚𝑅2 ⋅𝑎\n𝑅= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽 → (𝑘2 + 1)𝑎= 𝑔sin 𝛽\n5) 𝑎=\nsin 𝛽\n(1 + 𝑘2) 𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2025-maj-matura-stara-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2025 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2.2. (0-4)
Wyznacz 𝒂 - wartość przyśpieszenia liniowego walca W2 - w zależności tylko od
wartości przyśpieszenia ziemskiego 𝒈, od kąta 𝜷 oraz od współczynnika 𝒌𝟐.
Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝒂.
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2.2. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
I. Znajomość i umiejętność
wykorzystania pojęć i praw fizyki do
wyjaśniania procesów i zjawisk
w przyrodzie.
IV. Budowa prostych modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk.
Zdający:
2.3) oblicza momenty sił;
2.6) opisuje ruch obrotowy bryły sztywnej wokół
osi przechodzącej przez środek masy;
2.7) analizuje ruch obrotowy bryły sztywnej pod
wpływem momentu sił;
ALBO
2.9) uwzględnia energię kinetyczną ruchu
obrotowego w bilansie energii.
3.3) wykorzystuje zasadę zachowania energii
mechanicznej do obliczania parametrów ruchu.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 1.)
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2
poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎:
𝑎= sin 𝛽
1 + 𝑘2
𝑔
3 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz
uwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły
wypadkowej działającej na walec W2 i wartość momentu siły działającego na W2,
oraz uwzględnienie związku między przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem
kątowym i wzoru na moment bezwładności walca W2, oraz uwzględnienie (zob.
uwaga poniżej) warunku, że siła tarcia nie osiągnęła wartości maksymalnej, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇 oraz 𝑘2𝑚𝑅2 𝑎
𝑅= 𝑅𝑇
Uwaga! Spełnienie ostatniego warunku (po trzecim „oraz”) oznacza pozostawienie
wartości siły tarcia 𝑇 jako niewiadomej w układzie równań. Zdający nie spełnia
powyższego kryterium, jeśli zapisze 𝑇= 𝜇𝑚𝑔cos 𝛽.
LUB

\n\n

wzoru na 𝑎, pomimo błędnego określenia siły tarcia, jako takiej, która osiągnęła
wartość maksymalną (tzn. z jedynym błędnym zapisem: 𝑇= 𝜇𝑚𝑔cos 𝛽), np.:
(równania ruchu z błędnym zapisem 𝑇= 𝜇𝑚𝑔cos 𝛽) → 𝑎= sin 𝛽
1 + 𝑘2
𝑔
2 pkt - poprawne zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 oraz
uwzględnienie w tych równaniach poprawnych wyrażeń opisujących wartość siły
wypadkowej działającej na walec W2 oraz wartość momentu siły działającego na W2,
np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇 oraz 𝐼2𝜖= 𝑅𝑇 )
albo
(𝑚𝑎= 𝑄∥-𝑇 oraz 𝐼2𝜖= 𝑅𝑇 )
1 pkt - zapisanie dwóch równań ruchu wyrażających II zasadę dynamiki dla ruchu
postępowego i ruchu obrotowego (względem osi symetrii) walca W2 (bez
poprawnego rozpisania 𝐹𝑊 i 𝑀𝑇), np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑚𝑎= 𝐹𝑤 oraz 𝐼2𝜖= 𝑀𝑇 )
LUB

\n\n

oraz zapisanie poprawnego wzoru na moment siły tarcia działający na walec W2, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑤= 𝑄∥-𝑇 oraz 𝑀𝑇= 𝑅𝑇
LUB
Zasady oceniania rozwiązań zadań

\n\n

postępowego walca W2 oraz uwzględnienie w tym równaniu poprawnego wyrażenia
opisującego wartość siły wypadkowej działającej na walec W2, np. zapisy
równoważne poniższym:
𝑚𝑎= 𝑄∥-𝑇
LUB

\n\n

obrotowego walca W2 względem osi symetrii, oraz uwzględnienie w tym równaniu
poprawnego wyrażenia opisującego wartość momentu siły działającego na W2, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐼2𝜖 = 𝑅𝑇
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 2.)
4 pkt - poprawna metoda (zastosowanie zasady zachowania energii) wyznaczenia wartości
𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2 poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej
postaci wzoru na 𝑎:
𝑎= sin 𝛽
1 + 𝑘2
𝑔
3 pkt - poprawna metoda wyznaczenia przyśpieszenia liniowego walca z zasady
zachowania energii, tzn. spełnienie warunków za 2 pkt oraz zastosowanie wzoru
na moment bezwładności walca, oraz zastosowanie związku między prędkością
a przyśpieszeniem i drogą (z wyeliminowanym czasem) w ruchu jednostajnie
przyśpieszonym bez prędkości początkowej, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑔ℎ= 1
2 𝑚v2 + 1
2 𝑘2𝑚𝑅2 v2
𝑅2 oraz v2 = 2𝑎𝑠
albo
𝑔ℎ= 1
2 v2 + 1
2 𝑘2v2 oraz v2 = 2𝑎𝑠
2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii
mechanicznej oraz poprawne zastosowanie wzorów na energię kinetyczną ruchu
postępowego walca W2, energię kinetyczną ruchu obrotowego walca W2 i energię
potencjalną walca W2, oraz zastosowanie związku między prędkością kątową walca
a prędkością liniową walca, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑚𝑔ℎ= 1
2 𝑚v2 + 1
2 𝐼2𝜔2 oraz v = 𝜔𝑅 ) albo 𝑚𝑔ℎ= 1
2 𝑚v2 + 1
2 𝐼2
v2
𝑅2
1 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii
mechanicznej oraz uwzględnienie (poprzez oznaczenie) w tym równaniu energii
kinetycznych ruchu postępowego walca W2, ruchu obrotowego walca W2 i energii
potencjalnej walca W2, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤𝑎𝑙= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑡+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑟
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Zasady oceniania
(dla rozwiązania sposobem 3.)
4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia wartości 𝑎 przyśpieszenia liniowego walca W2
poprzez 𝑔, 𝛽 i 𝑘2 oraz zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑎:
𝑎= sin 𝛽
1 + 𝑘2
𝑔
3 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu
obrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym
równaniu poprawnego wyrażenia (z kątem 𝛽) opisującego moment siły działający
na W2 (względem chwilowej osi obrotu), oraz uwzględnienie związku między
przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym, oraz uwzględnienie związku
między 𝐼𝑐ℎ𝑤 a 𝐼2, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽 oraz 𝜖= 𝑎
𝑅 oraz 𝐼𝑐ℎ𝑤= 𝐼2 + 𝑚𝑅2
albo (w jednym równaniu)
(𝐼2 + 𝑚𝑅2) 𝑎
𝑅= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽
2 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu
obrotowego walca W2 względem chwilowej osi obrotu oraz uwzględnienie w tym
równaniu poprawnego wyrażenia (z kątem 𝛽) opisującego moment siły działający na
W2 (względem chwilowej osi obrotu) oraz uwzględnienie (np. poprzez oznaczenie),
że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest różny od 𝐼2, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽
1 pkt - poprawne zapisanie równania ruchu (z oznaczeniem momentu siły ciężkości)
wyrażającego II zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej
osi obrotu (oś chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz uwzględnienie (np. poprzez
oznaczenie), że moment bezwładności walca względem chwilowej osi obrotu jest
różny od 𝐼2, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑀𝑄
LUB

\n\n

chwilowa musi być zidentyfikowana) oraz poprawna identyfikacja siły, która powoduje
moment względem chwilowej osi obrotu, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑀𝑄= 𝑅⋅𝑄∥ albo 𝑀𝑄= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1. (zastosowanie zasad dynamiki)
Na walec W2 działają trzy siły: siła tarcia statycznego 𝑇⃗ oraz siła reakcji równi 𝐹 𝑟 oraz siła
ciężkości walca 𝑄⃗ . Wypadkowa ze wszystkich sił działających na walec ma kierunek wzdłuż
równi i wartość opisaną wyrażeniem:
𝐹𝑤= 𝑚𝑔sin𝛽-𝑇
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Jedynie siła tarcia statycznego ma niezerowy moment względem osi obrotu walca W2:
𝑀𝑇= 𝑅𝑇
Zapiszemy równania wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu postępowego walca W2 oraz
dla ruchu obrotowego walca W2 (względem osi symetrii):
{ 𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇
𝐼2𝜖= 𝑅𝑇
Siła tarcia statycznego nie osiągnęła wartości maksymalnej, zatem pozostaje niewiadomą
w powyższym układzie równań. Zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między przyśpieszeniem
liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku toczenia się bez poślizgu) oraz wzór na
moment bezwładności walca W2:
{
𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇
𝑘2𝑚𝑅2 𝑎
𝑅 = 𝑅𝑇 → { 𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑇
𝑘2𝑚𝑎 = 𝑇 →
{ 𝑚𝑎= 𝑚𝑔sin 𝛽-𝑘2𝑚𝑎
𝑘2𝑚𝑎 = 𝑇 → 𝑎+ 𝑘2𝑎= 𝑔sin 𝛽
𝑎=
sin 𝛽
1 + 𝑘2
𝑔
Sposób 2. (zastosowanie zasady zachowania energii mechanicznej)
Zgodnie z przyjętym modelem zjawiska energia mechaniczna pozostaje stała podczas ruchu
walca - siły oporów pomijamy, a siła tarcia statycznego nie zmienia całkowitej energii
kinetycznej (prace siły tarcia statycznego i momentu siły tarcia statycznego znoszą się).
W chwili początkowej energia mechaniczna walca W2 jest równa jego energii potencjalnej
grawitacji. Przyjmiemy, że zero energii potencjalnej jest na poziomie środka masy walca W2,
gdy ten jest u podnóża równi. Zatem u podnóża równi energia mechaniczna walca W2 jest
równa tylko jego energii kinetycznej całkowitej (ruchu postępowego i obrotowego).
Zapiszemy zasadę zachowania energii mechanicznej:
𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑤𝑎𝑙= 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑡+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑤𝑎𝑙 𝑜𝑏𝑟
Wysokość, na jakiej znajduje się środek masy walca W2 w chwili początkowej, liczona
względem poziomu zera energii potencjalnej, przyjmiemy jako ℎ. Zastosujemy wzory na
wymienione rodzaje energii:

\n
  1. 𝑚𝑔ℎ= 1
\n

2 𝑚v2 + 1
2 𝐼2𝜔2
Wykorzystamy związek między prędkością kątową i liniową (dla toczenia się bez poślizgu)
oraz wzór na moment bezwładności walca W2. Wyznaczymy kwadrat prędkości walca
u podnóża równi:

\n
  1. 𝑚𝑔ℎ= 1
\n

2 𝑚v2 + 1
2 (𝑘2𝑚𝑅2) ⋅v2
𝑅2 → 𝑔ℎ= 1
2 v2 + 1
2 𝑘2v2

\n
  1. v2 =
\n

2𝑔ℎ
(1 + 𝑘2)
Wykorzystamy związek kinematyczny między przyśpieszeniem a drogą i prędkością w ruchu
jednostajnie przyśpieszonym (siła wypadkowa jest stała) bez prędkości początkowej, drogę
powiążemy z wysokością i kątem nachylenia równi:

\n
  1. v2 = 2𝑎𝑠 5) ℎ= sin 𝛽⋅𝑠
\n

Przyrównamy do siebie prawe strony równań 3) i 4) z uwzględnieniem związku 5):

\n
  1. 2𝑎𝑠= 2𝑔sin 𝛽⋅𝑠
\n

(1 + 𝑘2) →

\n
  1. 𝑎=
\n

sin 𝛽
(1 + 𝑘2) 𝑔
Sposób 3. (zastosowanie metody chwilowej osi obrotu)
Rozważmy obrót walca W2 wokół chwilowej osi obrotu. Chwilowa oś obrotu zawiera odcinek
styczności walca z powierzchnią równi w danej chwili. Jedynie siła ciężkości 𝑄⃗ walca ma
niezerowy moment względem tej osi obrotu (tzn. jej składowa 𝑄⃗ ∥ wzdłuż równi).
Ramię tej siły jest równe 𝑅, zatem:

\n
  1. 𝑀𝑄= 𝑅⋅𝑄∥ gdzie 𝑄∥= 𝑚𝑔sin 𝛽
\n

W metodzie chwilowej osi obrotu rozważamy tylko ruch obrotowy. Zapiszemy równanie
wynikające z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego walca względem chwilowej osi obrotu:
2a) 𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑀𝑄 → 𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑄∥ → 2b) 𝐼𝑐ℎ𝑤𝜖= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽
Wyznaczymy wzór na moment bezwładności walca W2 względem chwilowej osi obrotu
(z twierdzenia Steinera):

\n
  1. 𝐼𝑐ℎ𝑤= 𝐼2 + 𝑚𝑅2 = 𝑘2𝑚𝑅2 + 𝑚𝑅2 = (𝑘2 + 1)𝑚𝑅2
\n

Do równania 2b) podstawimy zależność 3) oraz zastosujemy związek 𝑎= 𝜖𝑅 między
przyśpieszeniem liniowym a przyśpieszeniem kątowym (w przypadku metody chwilowej osi
obrotu przyśpieszenie liniowe jest przyśpieszeniem chwilowym stycznym do chwilowego toru
ruchu punktu środka masy walca W2):

\n
  1. (𝑘2 + 1)𝑚𝑅2 ⋅𝑎
\n

𝑅= 𝑅⋅𝑚𝑔sin 𝛽 → (𝑘2 + 1)𝑎= 𝑔sin 𝛽

\n
  1. 𝑎=
\n

sin 𝛽
(1 + 𝑘2) 𝑔
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}