{"id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad/4.5","paper_id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona","number":"4.5","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.5. (0-3)\nOblicz 𝚫𝒉𝒎𝒂𝒙 - maksymalną wysokość, na jaką wzniósł się środek masy bryły 𝓑\nwzględem swojego początkowego położenia. Zapisz obliczenia.\n4.5.\n0-1-\n2-3\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 4.5. (0-3)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków\nschematycznych […] informacje kluczowe dla\nopisywanego zjawiska […].\nII.20) […] wykorzystuje zasadę zachowania\nenergii mechanicznej do obliczeń.\nIII.5) […] oblicza energię ruchu bryły sztywnej\njako sumę energii kinetycznej ruchu\npostępowego środka masy i ruchu obrotowego\nwokół osi przechodzącej przez środek masy.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości maksymalnej, na którą wtoczy się bryła, oraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: Δℎ𝑚𝑎𝑥≈0,17 m\n2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii\nmechanicznej, w którym wykorzystano wzory na energię kinetyczną ruchu\npostępowego bryły ℬ, energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły ℬ i wzór na energię\npotencjalną bryły ℬ oraz poprawne uwzględnienie związku między prędkością kątową\na prędkością ruchu postępowego i promieniem, np. zapisy równoważne poniższym:\n1\n2 𝑚ℬ𝑣ℬ\n2 + 1\n2 𝐼0 ℬ 𝜔ℬ\n2 = 𝑚ℬ𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥 oraz 𝑣ℬ= 𝜔ℬ𝑅\n1 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii, w którym\nuwzględniono (wystarczy poprzez oznaczenia) energię kinetyczną ruchu\npostępowego bryły ℬ, energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły ℬ i energię\npotencjalną bryły ℬ, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 ℬ+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 ℬ= 𝐸𝑝𝑜𝑡 ℬ\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZastosujemy zasadę zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna (kinetyczna\ncałkowita) bryły ℬ toczącej się po poziomym odcinku jest równa energii mechanicznej\n(potencjalnej) bryły ℬ znajdującej się na maksymalnej wysokości:\n𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 ℬ+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 ℬ= 𝐸𝑝𝑜𝑡 ℬ\n1\n2 𝑚ℬ𝑣ℬ\n2 + 1\n2 𝐼0 ℬ 𝜔ℬ\n2 = 𝑚ℬ𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥\nUwzględnimy związek 𝑣ℬ= 𝜔ℬ𝑅 między prędkością kątową a prędkością ruchu\npostępowego i promieniem bryły ℬ:\n1\n2 𝑚ℬ𝑣ℬ\n2 + 1\n2 𝐼0 ℬ (𝑣𝐵\n𝑅)\n2\n= 𝑚ℬ𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥\nUwzględnimy masy części, z których składa się bryła:\n1\n2 (𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑜𝑏𝑟ę𝑐𝑧)𝑣ℬ\n2 + 1\n2 𝐼0 ℬ (𝑣𝐵\n𝑅)\n2\n= (𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑜𝑏𝑟ę𝑐𝑧)𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥\n1\n2 (𝑀\n2 + 𝑀\n2 + 𝑀) 𝑣ℬ\n2 + 1\n2 (4\n3 𝑀𝑅2) (𝑣𝐵\n𝑅)\n2\n= (𝑀\n2 + 𝑀\n2 + 𝑀) 𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥\n1\n2 (2𝑀)𝑣ℬ\n2 + 2\n3 𝑀𝑣𝐵\n2 = 2𝑀𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥\n𝑀𝑣ℬ\n2 + 2\n3 𝑀𝑣𝐵\n2 = 2𝑀𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥 → 𝑣ℬ\n2 + 2\n3 𝑣𝐵\n2 = 2𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥\n5\n3 𝑣𝐵\n2 = 2𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥 → Δℎ𝑚𝑎𝑥= 5\n6\n𝑣𝐵\n2\n𝑔\nΔℎ𝑚𝑎𝑥= 5\n6 ⋅\n(1,4)2 m2\ns2\n9,8 m\ns2\n= 0,1(6) m ≈0,17 m\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-czerwiec-matura-rozszerzona/zad-4.5.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":13,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.5. (0-3)
Oblicz 𝚫𝒉𝒎𝒂𝒙 - maksymalną wysokość, na jaką wzniósł się środek masy bryły 𝓑
względem swojego początkowego położenia. Zapisz obliczenia.
4.5.
0-1-
2-3
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 4.5. (0-3)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków
schematycznych […] informacje kluczowe dla
opisywanego zjawiska […].
II.20) […] wykorzystuje zasadę zachowania
energii mechanicznej do obliczeń.
III.5) […] oblicza energię ruchu bryły sztywnej
jako sumę energii kinetycznej ruchu
postępowego środka masy i ruchu obrotowego
wokół osi przechodzącej przez środek masy.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia wysokości maksymalnej, na którą wtoczy się bryła, oraz
podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką: Δℎ𝑚𝑎𝑥≈0,17 m
2 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii
mechanicznej, w którym wykorzystano wzory na energię kinetyczną ruchu
postępowego bryły ℬ, energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły ℬ i wzór na energię
potencjalną bryły ℬ oraz poprawne uwzględnienie związku między prędkością kątową
a prędkością ruchu postępowego i promieniem, np. zapisy równoważne poniższym:
1
2 𝑚ℬ𝑣ℬ
2 + 1
2 𝐼0 ℬ 𝜔ℬ
2 = 𝑚ℬ𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥 oraz 𝑣ℬ= 𝜔ℬ𝑅
1 pkt - poprawne zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii, w którym
uwzględniono (wystarczy poprzez oznaczenia) energię kinetyczną ruchu
postępowego bryły ℬ, energię kinetyczną ruchu obrotowego bryły ℬ i energię
potencjalną bryły ℬ, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 ℬ+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 ℬ= 𝐸𝑝𝑜𝑡 ℬ
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zastosujemy zasadę zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna (kinetyczna
całkowita) bryły ℬ toczącej się po poziomym odcinku jest równa energii mechanicznej
(potencjalnej) bryły ℬ znajdującej się na maksymalnej wysokości:
𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑝𝑜𝑠𝑡 ℬ+ 𝐸𝑘𝑖𝑛 𝑜𝑏𝑟 ℬ= 𝐸𝑝𝑜𝑡 ℬ
1
2 𝑚ℬ𝑣ℬ
2 + 1
2 𝐼0 ℬ 𝜔ℬ
2 = 𝑚ℬ𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥
Uwzględnimy związek 𝑣ℬ= 𝜔ℬ𝑅 między prędkością kątową a prędkością ruchu
postępowego i promieniem bryły ℬ:
1
2 𝑚ℬ𝑣ℬ
2 + 1
2 𝐼0 ℬ (𝑣𝐵
𝑅)
2
= 𝑚ℬ𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥
Uwzględnimy masy części, z których składa się bryła:
1
2 (𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑜𝑏𝑟ę𝑐𝑧)𝑣ℬ
2 + 1
2 𝐼0 ℬ (𝑣𝐵
𝑅)
2
= (𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑝𝑟ę𝑡+ 𝑚𝑜𝑏𝑟ę𝑐𝑧)𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥
1
2 (𝑀
2 + 𝑀
2 + 𝑀) 𝑣ℬ
2 + 1
2 (4
3 𝑀𝑅2) (𝑣𝐵
𝑅)
2
= (𝑀
2 + 𝑀
2 + 𝑀) 𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥
1
2 (2𝑀)𝑣ℬ
2 + 2
3 𝑀𝑣𝐵
2 = 2𝑀𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥
𝑀𝑣ℬ
2 + 2
3 𝑀𝑣𝐵
2 = 2𝑀𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥 → 𝑣ℬ
2 + 2
3 𝑣𝐵
2 = 2𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥
5
3 𝑣𝐵
2 = 2𝑔Δℎ𝑚𝑎𝑥 → Δℎ𝑚𝑎𝑥= 5
6
𝑣𝐵
2
𝑔
Δℎ𝑚𝑎𝑥= 5
6 ⋅
(1,4)2 m2
s2
9,8 m
s2
= 0,1(6) m ≈0,17 m
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}