{"id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/2.2","paper_id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"2.2","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.2. (0-4)\nW doświadczeniu 2. kulkę K zawieszoną na lince wprawiono w ruch jednostajny po okręgu\no środku 𝑂 w płaszczyźnie poziomej. Górny koniec linki jest unieruchomiony w punkcie 𝑃.\nCzęstotliwość graniczną (maksymalną) ruchu kulki K po okręgu, powyżej której nić ulegnie\nzerwaniu, oznaczymy jako 𝑓𝑚𝑎𝑥.\nSytuację ilustruje rysunek poniżej, na którym oznaczono przyśpieszenie ziemskie 𝑔Ԧ.\nWyznacz 𝒇𝒎𝒂𝒙 w doświadczeniu 2. w zależności tylko od wartości przyśpieszenia\nziemskiego 𝒈 oraz od długości linki 𝒍.\nZapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝒇𝒎𝒂𝒙.\n𝑃\nK\n𝑙\n𝑔Ԧ\n𝑂\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.2. (0-4)\nZasady oceniania\n4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia częstotliwości 𝑓𝑚𝑎𝑥 w ruchu kulki K po okręgu oraz\nzapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑓𝑚𝑎𝑥:\n𝑓𝑚𝑎𝑥= 1\n2𝜋 √2𝑔\n𝑙\n3 pkt - zapisanie/wyprowadzenie związku między wartościami siły dośrodkowej i siły\nnapięcia linki a promieniem okręgu i długością linki oraz poprawne\nzapisanie/wykorzystanie wzoru na siłę dośrodkową z częstością/częstotliwością oraz\nzapisanie/wykorzystanie warunku zadania na maksymalną wartość siły napięcia linki,\nnp. zapisy równoważne poniższym\n𝐹𝑑𝑜\n𝐹𝑛\n= 𝑟\n𝑙 oraz 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 oraz 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 2𝑚𝑔\nalbo w jednym równaniu\n𝑚𝜔𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑟= 𝑟\n𝑙⋅2𝑚𝑔\n2 pkt - poprawne powiązanie wartości siły dośrodkowej z wartością siły napięcia linki\ni sinusem kąta odchylenia linki od pionu oraz poprawne zapisanie wzoru na sinus\ntego kąta, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜\n𝐹𝑛\n= sin 𝛼 oraz sin 𝛼= 𝑟\n𝑙\nLUB\n- zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa trójkąta sił i trójkąta 𝐾𝑂𝑃, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜\n𝐹𝑛\n= 𝑟\n𝑙\nLUB\n- poprawne narysowanie na rysunku (albo zapisanie) siły dośrodkowej 𝐹⃗𝑑𝑜 jako\nwektorowej sumy siły grawitacji 𝐹⃗𝑔 i siły napięcia linki 𝐹⃗𝑛 oraz poprawne zapisanie\nwzoru na siłę dośrodkową z częstością/częstotliwością, np. zapisy równoważne\nponiższym:\nrysunek równoległoboku sił oraz ( 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 lub 𝐹𝑑𝑜= 𝑚(2𝜋𝑓)2𝑟 )\nalbo\n𝐹⃗𝑑𝑜= 𝐹⃗𝑛+ 𝐹⃗𝑔 oraz ( 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 lub 𝐹𝑑𝑜= 𝑚(2𝜋𝑓)2𝑟 )\n1 pkt - poprawne powiązanie wartości siły dośrodkowej z wartością siły napięcia linki\ni sinusem kąta odchylenia linki od pionu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜\n𝐹𝑛\n= sin 𝛼\nLUB\n- poprawne narysowanie na rysunku siły dośrodkowej 𝐹⃗𝑑𝑜 jako wektorowej sumy siły\ngrawitacji 𝐹⃗𝑔 i siły napięcia linki 𝐹⃗𝑛 (albo zapisanie wektorowo: 𝐹⃗𝑑𝑜= 𝐹⃗𝑛+ 𝐹⃗𝑔)\nLUB\n- poprawne zapisanie wzoru na siłę dośrodkową z częstością lub częstotliwością, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 lub 𝐹𝑑𝑜= 𝑚(2𝜋𝑓)2𝑟 lub (𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝑣2\n𝑟\noraz 𝑣= 2𝜋𝑓𝑟)\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nSiła dośrodkowa jest wypadkową siły napięcia linki oraz siły\ngrawitacji (zobacz rysunek obok). Z dynamiki układu wynika\ngeometria - trójkąt sił (tzn. połowa równoległoboku sił) jest\npodobny do trójkąta 𝐾𝑂𝑃, a zatem:\n𝐹𝑑𝑜\n𝐹𝑛\n= 𝑟\n𝑙 (lub analogicznie: 𝐹𝑑𝑜= sin 𝛼⋅𝐹𝑛)\nZ drugiej strony kulka K porusza się po okręgu z częstotliwością\ngraniczną (maksymalną), przy której wartość siły napięcia linki jest\nmaksymalna. Wykorzystamy dodatkowo warunek zadania oraz\nwzór na siłę dośrodkową:\n𝐹𝑑𝑜\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n= 𝑟\n𝑙 oraz 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑟\nZatem:\n𝐹𝑑𝑜= 𝑟\n𝑙⋅𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥 → 𝑚𝜔𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑟= 𝑟\n𝑙⋅2𝑚𝑔\n𝜔𝑚𝑎𝑥\n2\n= 2𝑔\n𝑙 → (2𝜋𝑓𝑚𝑎𝑥)2 = 2𝑔\n𝑙 → 𝑓𝑚𝑎𝑥= 1\n2𝜋 √2𝑔\n𝑙","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-2.2.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":7,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 2.2. (0-4)<br>W doświadczeniu 2. kulkę K zawieszoną na lince wprawiono w ruch jednostajny po okręgu<br>o środku 𝑂 w płaszczyźnie poziomej. Górny koniec linki jest unieruchomiony w punkcie 𝑃.<br>Częstotliwość graniczną (maksymalną) ruchu kulki K po okręgu, powyżej której nić ulegnie<br>zerwaniu, oznaczymy jako 𝑓𝑚𝑎𝑥.<br>Sytuację ilustruje rysunek poniżej, na którym oznaczono przyśpieszenie ziemskie 𝑔Ԧ.<br>Wyznacz 𝒇𝒎𝒂𝒙 w doświadczeniu 2. w zależności tylko od wartości przyśpieszenia<br>ziemskiego 𝒈 oraz od długości linki 𝒍.<br>Zapisz odpowiednie równania i przekształcenia oraz podaj postać wzoru na 𝒇𝒎𝒂𝒙.<br>𝑃<br>K<br>𝑙<br>𝑔Ԧ<br>𝑂<br>EFAP-R0_100</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 2.2. (0-4)<br>Zasady oceniania<br>4 pkt - poprawna metoda wyznaczenia częstotliwości 𝑓𝑚𝑎𝑥 w ruchu kulki K po okręgu oraz<br>zapisanie prawidłowej postaci wzoru na 𝑓𝑚𝑎𝑥:<br>𝑓𝑚𝑎𝑥= 1<br>2𝜋 √2𝑔<br>𝑙<br>3 pkt - zapisanie/wyprowadzenie związku między wartościami siły dośrodkowej i siły<br>napięcia linki a promieniem okręgu i długością linki oraz poprawne<br>zapisanie/wykorzystanie wzoru na siłę dośrodkową z częstością/częstotliwością oraz<br>zapisanie/wykorzystanie warunku zadania na maksymalną wartość siły napięcia linki,<br>np. zapisy równoważne poniższym<br>𝐹𝑑𝑜<br>𝐹𝑛<br>= 𝑟<br>𝑙 oraz 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 oraz 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 2𝑚𝑔<br>albo w jednym równaniu<br>𝑚𝜔𝑚𝑎𝑥<br>2<br>𝑟= 𝑟<br>𝑙⋅2𝑚𝑔<br>2 pkt - poprawne powiązanie wartości siły dośrodkowej z wartością siły napięcia linki<br>i sinusem kąta odchylenia linki od pionu oraz poprawne zapisanie wzoru na sinus<br>tego kąta, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝐹𝑑𝑜<br>𝐹𝑛<br>= sin 𝛼 oraz sin 𝛼= 𝑟<br>𝑙<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie proporcji wynikającej z podobieństwa trójkąta sił i trójkąta 𝐾𝑂𝑃, np. zapisy</li></ul>\n<p>równoważne poniższym:<br>𝐹𝑑𝑜<br>𝐹𝑛<br>= 𝑟<br>𝑙<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne narysowanie na rysunku (albo zapisanie) siły dośrodkowej 𝐹⃗𝑑𝑜 jako</li></ul>\n<p>wektorowej sumy siły grawitacji 𝐹⃗𝑔 i siły napięcia linki 𝐹⃗𝑛 oraz poprawne zapisanie<br>wzoru na siłę dośrodkową z częstością/częstotliwością, np. zapisy równoważne<br>poniższym:<br>rysunek równoległoboku sił oraz ( 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 lub 𝐹𝑑𝑜= 𝑚(2𝜋𝑓)2𝑟 )<br>albo<br>𝐹⃗𝑑𝑜= 𝐹⃗𝑛+ 𝐹⃗𝑔 oraz ( 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 lub 𝐹𝑑𝑜= 𝑚(2𝜋𝑓)2𝑟 )<br>1 pkt - poprawne powiązanie wartości siły dośrodkowej z wartością siły napięcia linki<br>i sinusem kąta odchylenia linki od pionu, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝐹𝑑𝑜<br>𝐹𝑛<br>= sin 𝛼<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne narysowanie na rysunku siły dośrodkowej 𝐹⃗𝑑𝑜 jako wektorowej sumy siły</li></ul>\n<p>grawitacji 𝐹⃗𝑔 i siły napięcia linki 𝐹⃗𝑛 (albo zapisanie wektorowo: 𝐹⃗𝑑𝑜= 𝐹⃗𝑛+ 𝐹⃗𝑔)<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawne zapisanie wzoru na siłę dośrodkową z częstością lub częstotliwością, np.</li></ul>\n<p>zapisy równoważne poniższym:<br>𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔2𝑟 lub 𝐹𝑑𝑜= 𝑚(2𝜋𝑓)2𝑟 lub (𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝑣2<br>𝑟<br>oraz 𝑣= 2𝜋𝑓𝑟)<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Siła dośrodkowa jest wypadkową siły napięcia linki oraz siły<br>grawitacji (zobacz rysunek obok). Z dynamiki układu wynika<br>geometria - trójkąt sił (tzn. połowa równoległoboku sił) jest<br>podobny do trójkąta 𝐾𝑂𝑃, a zatem:<br>𝐹𝑑𝑜<br>𝐹𝑛<br>= 𝑟<br>𝑙 (lub analogicznie: 𝐹𝑑𝑜= sin 𝛼⋅𝐹𝑛)<br>Z drugiej strony kulka K porusza się po okręgu z częstotliwością<br>graniczną (maksymalną), przy której wartość siły napięcia linki jest<br>maksymalna. Wykorzystamy dodatkowo warunek zadania oraz<br>wzór na siłę dośrodkową:<br>𝐹𝑑𝑜<br>𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥<br>= 𝑟<br>𝑙 oraz 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 2𝑚𝑔 oraz 𝐹𝑑𝑜= 𝑚𝜔𝑚𝑎𝑥<br>2<br>𝑟<br>Zatem:<br>𝐹𝑑𝑜= 𝑟<br>𝑙⋅𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥 → 𝑚𝜔𝑚𝑎𝑥<br>2<br>𝑟= 𝑟<br>𝑙⋅2𝑚𝑔<br>𝜔𝑚𝑎𝑥<br>2<br>= 2𝑔<br>𝑙 → (2𝜋𝑓𝑚𝑎𝑥)2 = 2𝑔<br>𝑙 → 𝑓𝑚𝑎𝑥= 1<br>2𝜋 √2𝑔<br>𝑙</p>","solutions":[]}