{"id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/4","paper_id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"4","points":null,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4.\nBryła sztywna ℬ składa się z cienkiej obręczy o masie 𝑀 i o promieniu 𝑅 oraz z dwóch\njednakowych, cienkich prętów: każdy o długości 𝑙𝑝𝑟ę𝑡= 2𝑅 i o masie 𝑚𝑝𝑟ę𝑡=\n𝑀\n2 (zobacz\nrysunek poniżej).\nPoczątkowo bryła ℬ toczy się po poziomym odcinku 𝑋𝑌 drogi tak, że prędkość środka masy\n𝑂 bryły jest stała, a jej wartość jest równa vℬ= 1,4 m/s.\nOd punktu 𝑌 bryła ℬ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość\nprędkości środka masy 𝑂 bryły zaczyna maleć.\nPrzyjmij, że:\n\nbryła toczy się cały czas bez poślizgu\n\nobręcz i pręty są jednorodne\n\npunkty 𝑃1 i 𝑃2 na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem\n\npoziomy odcinek drogi 𝑋𝑌 łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)\nprzyśpieszenie ziemskie ma wartość 𝑔= 9,8 m/s2\nopory powietrza nie występują.\nNa poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.\nW tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem\nopisanych osi obrotu.\nBryła\nOś\nMoment bezwładności\nPręt o długości 𝑙𝑝𝑟ę𝑡\ni o masie 𝑚𝑝𝑟ę𝑡\nOś prostopadła do pręta, przechodząca\nprzez jego środek\n𝐼0 𝑝𝑟ę𝑡= 1\n12 𝑚𝑝𝑟ę𝑡𝑙𝑝𝑟ę𝑡\n2\nObręcz o promieniu 𝑅\ni o masie 𝑀\nOś prostopadła do płaszczyzny obręczy,\nprzechodząca przez jej środek\n𝐼0 𝑜𝑏𝑟ę𝑐𝑧= 𝑀𝑅2\nBryła ℬ (złożona\nz obręczy i prętów)\nOś prostopadła do bryły (czyli do\npłaszczyzny obręczy), przechodząca\nprzez jej środek masy 𝑂 (oś 𝑂)\n𝐼0 ℬ= 4\n3 𝑀𝑅2\n𝑂\nvሬԦℬ\n𝑃2\n𝑂\n𝑋\n𝑌\n𝑃1\n𝑔Ԧ\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"4\n= 1","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4.
Bryła sztywna ℬ składa się z cienkiej obręczy o masie 𝑀 i o promieniu 𝑅 oraz z dwóch
jednakowych, cienkich prętów: każdy o długości 𝑙𝑝𝑟ę𝑡= 2𝑅 i o masie 𝑚𝑝𝑟ę𝑡=
𝑀
2 (zobacz
rysunek poniżej).
Początkowo bryła ℬ toczy się po poziomym odcinku 𝑋𝑌 drogi tak, że prędkość środka masy
𝑂 bryły jest stała, a jej wartość jest równa vℬ= 1,4 m/s.
Od punktu 𝑌 bryła ℬ zaczyna wtaczać się na odcinek drogi nachylony do poziomu, a wartość
prędkości środka masy 𝑂 bryły zaczyna maleć.
Przyjmij, że:

bryła toczy się cały czas bez poślizgu

obręcz i pręty są jednorodne

punkty 𝑃1 i 𝑃2 na rysunku to punkty bryły, które w danej chwili stykają się z podłożem

poziomy odcinek drogi 𝑋𝑌 łączy się łukiem z odcinkiem równi pochyłej (zobacz rysunek)
przyśpieszenie ziemskie ma wartość 𝑔= 9,8 m/s2
opory powietrza nie występują.
Na poniższym rysunku przedstawiono położenia bryły w dwóch wybranych chwilach ruchu.
W tabeli poniżej podano wzory na momenty bezwładności niektórych brył względem
opisanych osi obrotu.
Bryła
Oś
Moment bezwładności
Pręt o długości 𝑙𝑝𝑟ę𝑡
i o masie 𝑚𝑝𝑟ę𝑡
Oś prostopadła do pręta, przechodząca
przez jego środek
𝐼0 𝑝𝑟ę𝑡= 1
12 𝑚𝑝𝑟ę𝑡𝑙𝑝𝑟ę𝑡
2
Obręcz o promieniu 𝑅
i o masie 𝑀
Oś prostopadła do płaszczyzny obręczy,
przechodząca przez jej środek
𝐼0 𝑜𝑏𝑟ę𝑐𝑧= 𝑀𝑅2
Bryła ℬ (złożona
z obręczy i prętów)
Oś prostopadła do bryły (czyli do
płaszczyzny obręczy), przechodząca
przez jej środek masy 𝑂 (oś 𝑂)
𝐼0 ℬ= 4
3 𝑀𝑅2
𝑂
vሬԦℬ
𝑃2
𝑂
𝑋
𝑌
𝑃1
𝑔Ԧ
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

4
= 1

","solutions":[]}