{"id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad/9","paper_id":"fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"czerwiec","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nPromień światła jednobarwnego pada z próżni na pryzmat o przekroju w kształcie trójkąta\nprostokątnego równoramiennego 𝐴𝐵𝐶. Przy przejściu przez powierzchnię 𝐴𝐶 promień\nświatła załamuje się w pryzmacie i dociera do powierzchni 𝐵𝐶. Współczynnik załamania\nświatła w szkle, z którego wykonany jest pryzmat, oznaczymy jako 𝑛𝑠𝑧.\nSytuację ilustruje rysunek poniżej. Na rysunku zachowano skalę.\nUwaga! Końce odcinków przedstawiających fragment promienia w próżni i promień\nw pryzmacie znajdują się w punktach kratowych siatki wymiarowej.\nOblicz miarę kąta załamania promienia świetlnego w próżni po wyjściu z pryzmatu\n(tzn. miarę kąta załamania na ścianie 𝑩𝑪). Zapisz obliczenia.\nWskazówka 1. (do jednej z metod rozwiązania)\nMiara kąta ∠𝐵𝐶𝐴 jest równa sumie miar kąta załamania promienia na ścianie 𝐴𝐶 i kąta\npadania promienia na ścianę 𝐵𝐶.\nWskazówka 2.\nW obliczeniach wykorzystaj odpowiednie związki (albo jeden) spośród podanych poniżej:\nsin 14° ≈0,242 sin 18,4° ≈0,316 sin 31° ≈0,515\nsin 59° ≈0,857 sin 71,6° ≈0,949 sin 76° ≈0,970\n𝐶\n𝐵\n𝐴\nEFAP-R0_100\nEFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek SNELLIUS_AC\nZapisanie równania wynikającego z prawa (Snelliusa) załamania światła na ścianie 𝐴𝐶,\nz uwzględnieniem wprowadzonych w rozwiązaniu oznaczeń miar kątów padania, załamania\ni współczynnika załamania światła w szkle, np. zapisy równoważne poniższym:\nsin 𝛼\nsin 𝛽= 𝑛𝑠𝑧\ngdzie 𝛼 i 𝛽 to odpowiednio kąty padania (w próżni) i załamania (w szkle) na ścianie 𝐴𝐶.\nWarunek SNELLIUS_BC\nZapisanie równania wynikającego z prawa (Snelliusa) załamania światła na ścianie 𝐵𝐶,\nz uwzględnieniem wprowadzonych w rozwiązaniu oznaczeń miar kątów padania, załamania\ni współczynnika załamania światła w szkle, np. zapisy równoważne poniższym:\nsin 𝛿\nsin 𝛾= 𝑛𝑠𝑧\ngdzie 𝛾 i 𝛿 to odpowiednio kąty padania (w szkle) i załamania (w próżni) na ścianie 𝐵𝐶.\nWarunek SINUS_ALFA\nPoprawna metoda obliczenia sin 𝛼 (gdzie 𝛼 to kąt padania na ścianę 𝐴𝐶) z wykorzystaniem\nsiatki wymiarowej i punktów kratowych, np. zapisy równoważne poniższym:\nsin 𝛼=\n4\n√42 + 82\nWarunek SINUS_BETA\nPoprawna metoda obliczenia sin 𝛽 (gdzie 𝛽 to kąt załamania na ścianie 𝐴𝐶) z\nwykorzystaniem siatki wymiarowej i punktów kratowych, np. zapisy równoważne poniższym:\nsin 𝛽=\n2\n√22 + 82\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek SINUS_GAMMA\nPoprawna metoda obliczenia sin 𝛾 (gdzie 𝛾 to kąt padania na ścianę 𝐵𝐶) z wykorzystaniem\nsiatki wymiarowej i punktów kratowych (tutaj odmierzoną jednostką może być także\nprzekątna kratki), np. zapisy równoważne poniższym:\nsin 𝛾=\n3\n√32 + 52 (gdy jednostką jest długość przekątnej kratki)\nsin 𝛾=\n3√2\n√(3√2)2 + (5√2)2\n(gdy jednostką jest długość boku kratki)\nWarunek SUMA_KĄTÓW\nZapisanie/wykorzystanie warunku na kąt łamiący pryzmatu (𝛾 to kąt padania na ścianę 𝐵𝐶):\n45° = 𝛽+ 𝛾\nWarunek WSPÓŁCZYNNIK_ZALAMANIA\nSpełnienie warunków: SNELLIUS_AC oraz SINUS_ALFA oraz SINUS_BETA oraz podanie\nprawidłowej wartości współczynnika załamania, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑛𝑠𝑧= sin 𝛼\nsin 𝛽=\n1\n√5\n1\n√17\n≈1,84\nWarunek BETA\nSpełnienie warunku SINUS_BETA oraz wyznaczenie i podanie prawidłowej wartości kąta 𝛽:\nsin 𝛽=\n1\n√17\nWskazówka 2.\n→ 𝛽≈14,0°\nWarunek GAMMA\nSpełnienie warunku BETA oraz SUMA_KĄTÓW oraz wyznaczenie i podanie prawidłowej\nwartości kąta 𝛾:\nsin 𝛽=\n1\n√17\nWskazówka 2.\n→ 𝛽≈14,0° oraz 𝛾= 45° -14° = 31°\nWarunek RÓWNANIE\nZapisanie równania wynikającego z prawa załamania na ścianach 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶:\nsin 𝛼\nsin 𝛽= sin 𝛿\nsin 𝛾\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta załamania promienia świetlnego w próżni po\nwyjściu z pryzmatu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego w jednostkach\nmiary kąta: 𝛿≈71,6° lub 𝛿≈71° lub 𝛿≈72°\n3 pkt - spełnienie warunków:\n(WSPÓŁCZYNNIK_ZALAMANIA oraz SNELLIUS_BC oraz BETA oraz\nSUMA_KĄTÓW)\nLUB\n- spełnienie warunków:\n(RÓWNANIE oraz SINUS_ALFA oraz SINUS_BETA oraz SINUS_GAMMA)\n2 pkt - spełnienie warunków (SNELLIUS_AC oraz SINUS_ALFA oraz SINUS_BETA)\nLUB\n- spełnienie warunków (SNELLIUS_AC oraz SNELLIUS_BC oraz SUMA_KĄTÓW)\nLUB\n- spełnienie warunku RÓWNANIE\nLUB\n- spełnienie warunków (SNELLIUS_AC oraz BETA)\nLUB\n- spełnienie warunku GAMMA\n1 pkt - spełnienie warunku (SNELLIUS_AC albo SNELLIUS_BC)\nLUB\n- spełnienie warunku (SINUS_ALFA albo SINUS_BETA albo SINUS_GAMMA)\nLUB\n- spełnienie warunku SUMA_KĄTÓW\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nWprowadzimy na rysunku oznaczenia kątów padania i kątów załamania na ścianie 𝐴𝐶 oraz\nna ścianie 𝐵𝐶.\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n𝛼\n𝛽\n𝛾\n𝛿\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 1.\nZapiszemy równania wynikające z prawa (Snelliusa) załamania światła na ścianie 𝐴𝐶 oraz\nna ścianie 𝐵𝐶:\n1a) sin 𝛼\nsin 𝛽= 𝑛𝑠𝑧 oraz 1b) sin 𝛿\nsin 𝛾= 𝑛𝑠𝑧\nZ równań 1a) i 1b) wynikają równania 2a) i 2b) poniżej:\n2a) sin 𝛼\nsin 𝛽= sin 𝛿\nsin 𝛾 → 2b) sin 𝛿= sin 𝛼\nsin 𝛽⋅sin 𝛾\nSinusy kątów 𝛼 i 𝛽 wyznaczymy z geometrii rysunku. Skorzystamy ze wskazówki: końce\nodcinków przedstawiających fragment promienia w próżni i promień w pryzmacie znajdują\nsię w punktach kratowych siatki wymiarowej. Zatem:\n3) sin 𝛼=\n4\n√42 + 82 =\n4\n√80\n= 1\n√5\n4) sin 𝛽=\n2\n√22 + 82 =\n2\n√68\n1\n√17\n5) sin 𝛾=\n3√2\n√(3√2)2 + (5√2)2\n3\n√32 + 52 =\n3\n√34\nWartości sinusów otrzymane w równaniach 3), 4) i 5) podstawimy do wzoru 2b):\n6) sin 𝛿=\n1\n√5\n1\n√17\n⋅\n3\n√34\n= √17\n√5\n⋅\n3\n√2 ⋅√17\n3\n√10\n≈0,949\nNa podstawie wartości sinusa kąta 𝛿 obliczymy miarę kąta 𝛿:\n7) sin 𝛿≈0,949\nWskazówka 2.\n→ 𝛿≈71,6°\nSposób 2.\nWyznaczymy współczynnik załamania światła dla szkła pryzmatu. Skorzystamy z prawa\n(Snelliusa) załamania światła (na ścianie 𝐴𝐶):\n1) sin 𝛼\nsin 𝛽= 𝑛𝑠𝑧\nSinusy kątów 𝛼 i 𝛽 wyznaczymy z geometrii rysunku. Skorzystamy ze wskazówki: końce\nodcinków przedstawiających fragment promienia w próżni i promień w pryzmacie znajdują\nsię w punktach kratowych siatki wymiarowej. Zatem:\n2) sin 𝛼=\n4\n√42 + 82 =\n4\n√80\n= 1\n√5\n≈0,4472\n3) sin 𝛽=\n2\n√22 + 82 =\n2\n√68\n1\n√17\n≈0,2425\nWartości sinusów otrzymane w równaniach 2) i 3) podstawimy do wzoru 1):\n4) 𝑛𝑠𝑧=\n1\n√5\n1\n√17\n= √17\n√5\n≈1,844\nNa podstawie wartości sinusa kąta 𝛽 z równania 3) obliczymy miarę kąta 𝛽:\n5) sin 𝛽≈0,2425\nWskazówka 2.\n→ 𝛽≈14,0°\nNa podstawie wskazówki 1. obliczymy miarę kąta 𝛾:\n6a) |∠𝐵𝐶𝐴| = 𝛽+ 𝛾 → 6b) 45° = 14° + 𝛾 → 6c) 𝛾= 31°\nMiarę kąta załamania na ścianie 𝐵𝐶 (miarę kąta 𝛿) obliczymy z prawa załamania światła\nSnelliusa (dla ściany 𝐵𝐶):\n7a) sin 𝛿\nsin 𝛾= 𝑛𝑠𝑧\nWykorzystamy wartości otrzymane w równaniach 4) oraz 6c):\n7b) sin 𝛿\nsin 31° = 1,844\nWskazówka 2.\n→ sin 𝛿≈0,949\nNa podstawie wartości sinusa kąta 𝛿 obliczymy miarę kąta 𝛿:\n8) sin 𝛿≈0,949\nWskazówka 2.\n→ 𝛿≈71,6°\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":null,"image":"img/fizyka-2026-czerwiec-matura-stara-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":null,"topics":null,"page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · czerwiec 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Promień światła jednobarwnego pada z próżni na pryzmat o przekroju w kształcie trójkąta
prostokątnego równoramiennego 𝐴𝐵𝐶. Przy przejściu przez powierzchnię 𝐴𝐶 promień
światła załamuje się w pryzmacie i dociera do powierzchni 𝐵𝐶. Współczynnik załamania
światła w szkle, z którego wykonany jest pryzmat, oznaczymy jako 𝑛𝑠𝑧.
Sytuację ilustruje rysunek poniżej. Na rysunku zachowano skalę.
Uwaga! Końce odcinków przedstawiających fragment promienia w próżni i promień
w pryzmacie znajdują się w punktach kratowych siatki wymiarowej.
Oblicz miarę kąta załamania promienia świetlnego w próżni po wyjściu z pryzmatu
(tzn. miarę kąta załamania na ścianie 𝑩𝑪). Zapisz obliczenia.
Wskazówka 1. (do jednej z metod rozwiązania)
Miara kąta ∠𝐵𝐶𝐴 jest równa sumie miar kąta załamania promienia na ścianie 𝐴𝐶 i kąta
padania promienia na ścianę 𝐵𝐶.
Wskazówka 2.
W obliczeniach wykorzystaj odpowiednie związki (albo jeden) spośród podanych poniżej:
sin 14° ≈0,242 sin 18,4° ≈0,316 sin 31° ≈0,515
sin 59° ≈0,857 sin 71,6° ≈0,949 sin 76° ≈0,970
𝐶
𝐵
𝐴
EFAP-R0_100
EFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Zasady oceniania
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek SNELLIUS_AC
Zapisanie równania wynikającego z prawa (Snelliusa) załamania światła na ścianie 𝐴𝐶,
z uwzględnieniem wprowadzonych w rozwiązaniu oznaczeń miar kątów padania, załamania
i współczynnika załamania światła w szkle, np. zapisy równoważne poniższym:
sin 𝛼
sin 𝛽= 𝑛𝑠𝑧
gdzie 𝛼 i 𝛽 to odpowiednio kąty padania (w próżni) i załamania (w szkle) na ścianie 𝐴𝐶.
Warunek SNELLIUS_BC
Zapisanie równania wynikającego z prawa (Snelliusa) załamania światła na ścianie 𝐵𝐶,
z uwzględnieniem wprowadzonych w rozwiązaniu oznaczeń miar kątów padania, załamania
i współczynnika załamania światła w szkle, np. zapisy równoważne poniższym:
sin 𝛿
sin 𝛾= 𝑛𝑠𝑧
gdzie 𝛾 i 𝛿 to odpowiednio kąty padania (w szkle) i załamania (w próżni) na ścianie 𝐵𝐶.
Warunek SINUS_ALFA
Poprawna metoda obliczenia sin 𝛼 (gdzie 𝛼 to kąt padania na ścianę 𝐴𝐶) z wykorzystaniem
siatki wymiarowej i punktów kratowych, np. zapisy równoważne poniższym:
sin 𝛼=
4
√42 + 82
Warunek SINUS_BETA
Poprawna metoda obliczenia sin 𝛽 (gdzie 𝛽 to kąt załamania na ścianie 𝐴𝐶) z
wykorzystaniem siatki wymiarowej i punktów kratowych, np. zapisy równoważne poniższym:
sin 𝛽=
2
√22 + 82
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Warunek SINUS_GAMMA
Poprawna metoda obliczenia sin 𝛾 (gdzie 𝛾 to kąt padania na ścianę 𝐵𝐶) z wykorzystaniem
siatki wymiarowej i punktów kratowych (tutaj odmierzoną jednostką może być także
przekątna kratki), np. zapisy równoważne poniższym:
sin 𝛾=
3
√32 + 52 (gdy jednostką jest długość przekątnej kratki)
sin 𝛾=
3√2
√(3√2)2 + (5√2)2
(gdy jednostką jest długość boku kratki)
Warunek SUMA_KĄTÓW
Zapisanie/wykorzystanie warunku na kąt łamiący pryzmatu (𝛾 to kąt padania na ścianę 𝐵𝐶):
45° = 𝛽+ 𝛾
Warunek WSPÓŁCZYNNIK_ZALAMANIA
Spełnienie warunków: SNELLIUS_AC oraz SINUS_ALFA oraz SINUS_BETA oraz podanie
prawidłowej wartości współczynnika załamania, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑛𝑠𝑧= sin 𝛼
sin 𝛽=
1
√5
1
√17
≈1,84
Warunek BETA
Spełnienie warunku SINUS_BETA oraz wyznaczenie i podanie prawidłowej wartości kąta 𝛽:
sin 𝛽=
1
√17
Wskazówka 2.
→ 𝛽≈14,0°
Warunek GAMMA
Spełnienie warunku BETA oraz SUMA_KĄTÓW oraz wyznaczenie i podanie prawidłowej
wartości kąta 𝛾:
sin 𝛽=
1
√17
Wskazówka 2.
→ 𝛽≈14,0° oraz 𝛾= 45° -14° = 31°
Warunek RÓWNANIE
Zapisanie równania wynikającego z prawa załamania na ścianach 𝐴𝐶 i 𝐵𝐶:
sin 𝛼
sin 𝛽= sin 𝛿
sin 𝛾
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia kąta załamania promienia świetlnego w próżni po
wyjściu z pryzmatu oraz podanie prawidłowego wyniku liczbowego w jednostkach
miary kąta: 𝛿≈71,6° lub 𝛿≈71° lub 𝛿≈72°
3 pkt - spełnienie warunków:
(WSPÓŁCZYNNIK_ZALAMANIA oraz SNELLIUS_BC oraz BETA oraz
SUMA_KĄTÓW)
LUB

\n\n

(RÓWNANIE oraz SINUS_ALFA oraz SINUS_BETA oraz SINUS_GAMMA)
2 pkt - spełnienie warunków (SNELLIUS_AC oraz SINUS_ALFA oraz SINUS_BETA)
LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

1 pkt - spełnienie warunku (SNELLIUS_AC albo SNELLIUS_BC)
LUB

\n\n

LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Wprowadzimy na rysunku oznaczenia kątów padania i kątów załamania na ścianie 𝐴𝐶 oraz
na ścianie 𝐵𝐶.
𝐶
𝐵
𝐴
𝛼
𝛽
𝛾
𝛿
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 1.
Zapiszemy równania wynikające z prawa (Snelliusa) załamania światła na ścianie 𝐴𝐶 oraz
na ścianie 𝐵𝐶:
1a) sin 𝛼
sin 𝛽= 𝑛𝑠𝑧 oraz 1b) sin 𝛿
sin 𝛾= 𝑛𝑠𝑧
Z równań 1a) i 1b) wynikają równania 2a) i 2b) poniżej:
2a) sin 𝛼
sin 𝛽= sin 𝛿
sin 𝛾 → 2b) sin 𝛿= sin 𝛼
sin 𝛽⋅sin 𝛾
Sinusy kątów 𝛼 i 𝛽 wyznaczymy z geometrii rysunku. Skorzystamy ze wskazówki: końce
odcinków przedstawiających fragment promienia w próżni i promień w pryzmacie znajdują
się w punktach kratowych siatki wymiarowej. Zatem:

\n
  1. sin 𝛼=
\n

4
√42 + 82 =
4
√80
= 1
√5

\n
  1. sin 𝛽=
\n

2
√22 + 82 =
2
√68
1
√17

\n
  1. sin 𝛾=
\n

3√2
√(3√2)2 + (5√2)2
3
√32 + 52 =
3
√34
Wartości sinusów otrzymane w równaniach 3), 4) i 5) podstawimy do wzoru 2b):

\n
  1. sin 𝛿=
\n

1
√5
1
√17
⋅
3
√34
= √17
√5
⋅
3
√2 ⋅√17
3
√10
≈0,949
Na podstawie wartości sinusa kąta 𝛿 obliczymy miarę kąta 𝛿:

\n
  1. sin 𝛿≈0,949
\n

Wskazówka 2.
→ 𝛿≈71,6°
Sposób 2.
Wyznaczymy współczynnik załamania światła dla szkła pryzmatu. Skorzystamy z prawa
(Snelliusa) załamania światła (na ścianie 𝐴𝐶):

\n
  1. sin 𝛼
\n

sin 𝛽= 𝑛𝑠𝑧
Sinusy kątów 𝛼 i 𝛽 wyznaczymy z geometrii rysunku. Skorzystamy ze wskazówki: końce
odcinków przedstawiających fragment promienia w próżni i promień w pryzmacie znajdują
się w punktach kratowych siatki wymiarowej. Zatem:

\n
  1. sin 𝛼=
\n

4
√42 + 82 =
4
√80
= 1
√5
≈0,4472

\n
  1. sin 𝛽=
\n

2
√22 + 82 =
2
√68
1
√17
≈0,2425
Wartości sinusów otrzymane w równaniach 2) i 3) podstawimy do wzoru 1):

\n
  1. 𝑛𝑠𝑧=
\n

1
√5
1
√17
= √17
√5
≈1,844
Na podstawie wartości sinusa kąta 𝛽 z równania 3) obliczymy miarę kąta 𝛽:

\n
  1. sin 𝛽≈0,2425
\n

Wskazówka 2.
→ 𝛽≈14,0°
Na podstawie wskazówki 1. obliczymy miarę kąta 𝛾:
6a) |∠𝐵𝐶𝐴| = 𝛽+ 𝛾 → 6b) 45° = 14° + 𝛾 → 6c) 𝛾= 31°
Miarę kąta załamania na ścianie 𝐵𝐶 (miarę kąta 𝛿) obliczymy z prawa załamania światła
Snelliusa (dla ściany 𝐵𝐶):
7a) sin 𝛿
sin 𝛾= 𝑛𝑠𝑧
Wykorzystamy wartości otrzymane w równaniach 4) oraz 6c):
7b) sin 𝛿
sin 31° = 1,844
Wskazówka 2.
→ sin 𝛿≈0,949
Na podstawie wartości sinusa kąta 𝛿 obliczymy miarę kąta 𝛿:

\n
  1. sin 𝛿≈0,949
\n

Wskazówka 2.
→ 𝛿≈71,6°
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[]}