{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":3,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-3)\nCząstka β- emitowana podczas rozpadu pewnego jądra ma energię kinetyczną równą\n𝐸𝑘𝑖𝑛= 1,311 MeV. Energia spoczynkowa cząstki β- jest równa 𝐸0 = 0,511 MeV.\nWartość prędkości tej cząstki β- oznaczymy jako v.\nWartość prędkości światła w próżni oznaczymy jako 𝑐.\nOblicz\nv\n𝒄\n. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.\n10.\n0-1-\n2-3\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-3)\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.2) posługuje się materiałami pomocniczymi,\nw tym […] kartą wybranych wzorów i stałych\nfizykochemicznych;\nI.15) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik\nzaokrąglony do zadanej liczby cyfr znaczących.\nXII.2) posługuje się związkiem między energią\ncałkowitą, masą cząstki i jej prędkością;\nposługuje się pojęciem energii spoczynkowej;\nXII.3) opisuje równoważność masy i energii\nspoczynkowej.\nZasady oceniania\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu\nv\n𝑐 oraz podanie prawidłowego wyniku\nliczbowego zaokrąglonego do dwóch cyfr znaczących: v/𝑐 ≈0,96\n2 pkt - zapisanie/wykorzystanie związku między energią całkowitą cząstki β- a jej energią\nspoczynkową i prędkością oraz zapisanie/wykorzystanie związku między energią\ncałkowitą a energią kinetyczną i energią spoczynkową, oraz zapisanie jednego\nrównania (zawierającego 𝐸0 oraz 𝐸𝑘𝑖𝑛 oraz\n𝑣\n𝑐 ), z którego można wyznaczyć/obliczyć\nwartość ilorazu\nv\n𝑐 , np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸0\n√1 -(v\n𝑐)\n2 = 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\n1 pkt - zapisanie związku między energią całkowitą cząstki β- a jej masą (albo energią\nspoczynkową) i prędkością oraz zapisanie związku między energią całkowitą\na energią kinetyczną i energią spoczynkową, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝐸=\n𝑚𝑐2\n√1 -(v\n𝑐)\n2 oraz 𝐸= 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZapiszemy związek 1) między energią 𝐸 całkowitą cząstki a jej energią spoczynkową 𝐸0\ni energią kinetyczną 𝐸𝑘𝑖𝑛 oraz związek 2) między energią całkowitą cząstki a jej masą\ni prędkością oraz związek 3) między energią spoczynkową cząstki a jej masą:\n1) 𝐸= 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0 2) 𝐸=\n𝑚𝑐2\n√1 -(v\n𝑐)\n2 3) 𝐸0 = 𝑚𝑐2\nZe wzorów 1) i 2) i 3) wynika:\n4)\n𝐸0\n√1 -(v\n𝑐)\n2 = 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\nZ równania 4) obliczymy\nv\n𝑐.\nPrzykładowy sposób 1. prowadzenia dalszego rachunku\nPrzekształcimy równanie 4) i wyznaczymy iloraz\nv\n𝑐 względem 𝐸𝑘𝑖𝑛 i 𝐸0:\n4a) √1 -(v\n𝑐)\n2\n𝐸0\n𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\n→ 1 -(v\n𝑐)\n2\n= (\n𝐸0\n𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\n)\n2\n(v\n𝑐)\n2\n= 1 -(\n𝐸0\n𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\n)\n2\n→ 5) v\n𝑐= √1 -(\n𝐸0\n𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0\n)\n2\nDo równania 5) podstawimy dane liczbowe\n5a) v\n𝑐= √1 -(\n0,511 MeV\n1,311 MeV + 0,511 MeV)\n2\n= √1 -(0,511 MeV\n1,822 MeV)\n2\n6) v\n𝑐≈0,96\nPrzykładowy sposób 2. prowadzenia dalszego rachunku\nDo równania 4) podstawimy dane liczbowe i obliczymy iloraz\nv\n𝑐 :\n4a) 0,511 MeV\n√1 -(v\n𝑐)\n2 = 1,311 MeV + 0,511 MeV → 0,511 MeV\n√1 -(v\n𝑐)\n2 = 1,822 MeV\n5) √1 -(v\n𝑐)\n2\n≈0,280461 → 1 -(v\n𝑐)\n2\n≈0,078658 → (v\n𝑐)\n2\n≈0,921342\n6) v\n𝑐≈√0,921342 ≈0,96\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"Odpowiedź: Energia całkowita cząstki relatywistycznej to suma energii spoczynkowej i kinetycznej: $$E = E_0 + E_{kin} = 0{,}511 + 1{,}311 = 1{,}822\\ \\mathrm{MeV}$$ Z definicji czynnika Lorentza $E = \\gamma E_0$: $$\\gamma = \\frac{E}{E_0} = \\frac{1{,}822}{0{,}511} = 3{,}566$$ Z definicji $\\gamma = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ wyznaczamy $v/c$: $$\\frac{v}{c} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{\\gamma^2}} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{3{,}566^2}} = \\sqrt{1 - 0{,}0786} = \\sqrt{0{,}9214}$$ $$\\boxed{\\frac{v}{c} \\approx 0{,}96}$$\n\nTreść zadania (CKE)\n\nTrzy energie w relatywistyce\n\nWielkość | Wzór | Tutaj\nspoczynkowa | $E_0 = m_0c^2$ | 0,511 MeV\nkinetyczna | $E_{kin} = (\\gamma - 1)E_0$ | 1,311 MeV\ncałkowita | $E = \\gamma E_0 = E_0 + E_{kin}$ | 1,822 MeV\n\nEnergia spoczynkowa elektronu 0,511 MeV to jedna z liczb, które warto znać na pamięć — pojawia się w zadaniach o rozpadzie $\\beta$, anihilacji i produkcji par.\n\nOd $\\gamma$ do prędkości\n\n$$\\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 - \\beta^2}}, \\qquad \\beta = \\frac{v}{c}$$\n\nPrzekształcamy:\n\n$$\\gamma^2\\left(1 - \\beta^2\\right) = 1 \\;\\Rightarrow\\; \\beta^2 = 1 - \\frac{1}{\\gamma^2} \\;\\Rightarrow\\; \\beta = \\sqrt{1 - \\gamma^{-2}}$$\n\nDlaczego klasyczny wzór zawodzi\n\nGdyby użyć $E_{kin} = \\tfrac{1}{2}m_0v^2$:\n\n$$v = \\sqrt{\\frac{2E_{kin}}{m_0}} = c\\sqrt{\\frac{2E_{kin}}{E_0}} = c\\sqrt{\\frac{2\\cdot 1{,}311}{0{,}511}} = 2{,}27\\,c$$\n\nWynik przekracza prędkość światła — natychmiastowy sygnał, że model jest zły. Warto go sobie policzyć raz, żeby zapamiętać skalę błędu.\n\nKiedy trzeba liczyć relatywistycznie\n\nPraktyczna reguła: gdy $E_{kin}$ jest porównywalna z $E_0$ lub większa, klasyka nie wystarcza. Tutaj stosunek wynosi 2,6 — jesteśmy głęboko w reżimie relatywistycznym, $\\gamma = 3{,}57$.\n\nPunktacja CKE\n\n- 3 pkt — poprawna metoda i wynik ($\\approx 0{,}96$) z zachowaniem dwóch cyfr znaczących.\n\nTypowy błąd: **Nie wolno użyć wzoru klasycznego $E_{kin} = \\tfrac{1}{2}mv^2$.** Dałby on $v/c > 1$, co jest fizycznie niemożliwe — a to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Sygnałem, że trzeba liczyć relatywistycznie, jest to, że **energia kinetyczna przewyższa energię spoczynkową** ($1{,}311 > 0{,}511$), czyli $\\gamma > 2$. **Energia całkowita to suma, nie różnica.** $E = E_0 + E_{kin}$, a nie $E_{kin} - E_0$. Odejmowanie daje $\\gamma < 2$ i błędny wynik. **Jednostki się skracają.** Zarówno $E$, jak i $E_0$ są w MeV, a $\\gamma$ jest bezwymiarowe — nie trzeba niczego przeliczać na dżule. To celowe uproszczenie: energie cząstek podaje się w elektronowoltach właśnie dlatego. **Dwie cyfry znaczące** to warunek z polecenia. Wynik 0,9599 zaokrąglamy do **0,96**, nie do 0,960 ani 1,0.","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":null,"topics":"relatywistyka, energia spoczynkowa, czynnik Lorentza, rozpad beta","page_from":25,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Cząstka β- emitowana podczas rozpadu pewnego jądra ma energię kinetyczną równą
𝐸𝑘𝑖𝑛= 1,311 MeV. Energia spoczynkowa cząstki β- jest równa 𝐸0 = 0,511 MeV.
Wartość prędkości tej cząstki β- oznaczymy jako v.
Wartość prędkości światła w próżni oznaczymy jako 𝑐.
Oblicz
v
𝒄
. Zapisz obliczenia. Wynik podaj zaokrąglony do dwóch cyfr znaczących.
10.
0-1-
2-3
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-3)
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.2) posługuje się materiałami pomocniczymi,
w tym […] kartą wybranych wzorów i stałych
fizykochemicznych;
I.15) przeprowadza obliczenia i zapisuje wynik
zaokrąglony do zadanej liczby cyfr znaczących.
XII.2) posługuje się związkiem między energią
całkowitą, masą cząstki i jej prędkością;
posługuje się pojęciem energii spoczynkowej;
XII.3) opisuje równoważność masy i energii
spoczynkowej.
Zasady oceniania
3 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu
v
𝑐 oraz podanie prawidłowego wyniku
liczbowego zaokrąglonego do dwóch cyfr znaczących: v/𝑐 ≈0,96
2 pkt - zapisanie/wykorzystanie związku między energią całkowitą cząstki β- a jej energią
spoczynkową i prędkością oraz zapisanie/wykorzystanie związku między energią
całkowitą a energią kinetyczną i energią spoczynkową, oraz zapisanie jednego
równania (zawierającego 𝐸0 oraz 𝐸𝑘𝑖𝑛 oraz
𝑣
𝑐 ), z którego można wyznaczyć/obliczyć
wartość ilorazu
v
𝑐 , np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸0
√1 -(v
𝑐)
2 = 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
1 pkt - zapisanie związku między energią całkowitą cząstki β- a jej masą (albo energią
spoczynkową) i prędkością oraz zapisanie związku między energią całkowitą
a energią kinetyczną i energią spoczynkową, np. zapisy równoważne poniższym:
𝐸=
𝑚𝑐2
√1 -(v
𝑐)
2 oraz 𝐸= 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zapiszemy związek 1) między energią 𝐸 całkowitą cząstki a jej energią spoczynkową 𝐸0
i energią kinetyczną 𝐸𝑘𝑖𝑛 oraz związek 2) między energią całkowitą cząstki a jej masą
i prędkością oraz związek 3) między energią spoczynkową cząstki a jej masą:

\n
  1. 𝐸= 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0 2) 𝐸=
\n

𝑚𝑐2
√1 -(v
𝑐)
2 3) 𝐸0 = 𝑚𝑐2
Ze wzorów 1) i 2) i 3) wynika:
4)
𝐸0
√1 -(v
𝑐)
2 = 𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
Z równania 4) obliczymy
v
𝑐.
Przykładowy sposób 1. prowadzenia dalszego rachunku
Przekształcimy równanie 4) i wyznaczymy iloraz
v
𝑐 względem 𝐸𝑘𝑖𝑛 i 𝐸0:
4a) √1 -(v
𝑐)
2
𝐸0
𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
→ 1 -(v
𝑐)
2
= (
𝐸0
𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
)
2
(v
𝑐)
2
= 1 -(
𝐸0
𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
)
2
→ 5) v
𝑐= √1 -(
𝐸0
𝐸𝑘𝑖𝑛+ 𝐸0
)
2
Do równania 5) podstawimy dane liczbowe
5a) v
𝑐= √1 -(
0,511 MeV
1,311 MeV + 0,511 MeV)
2
= √1 -(0,511 MeV
1,822 MeV)
2

\n
  1. v
\n

𝑐≈0,96
Przykładowy sposób 2. prowadzenia dalszego rachunku
Do równania 4) podstawimy dane liczbowe i obliczymy iloraz
v
𝑐 :
4a) 0,511 MeV
√1 -(v
𝑐)
2 = 1,311 MeV + 0,511 MeV → 0,511 MeV
√1 -(v
𝑐)
2 = 1,822 MeV

\n
  1. √1 -(v
\n

𝑐)
2
≈0,280461 → 1 -(v
𝑐)
2
≈0,078658 → (v
𝑐)
2
≈0,921342

\n
  1. v
\n

𝑐≈√0,921342 ≈0,96
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Odpowiedź: Energia całkowita cząstki relatywistycznej to suma energii spoczynkowej i kinetycznej: $$E = E_0 + E_{kin} = 0{,}511 + 1{,}311 = 1{,}822\\ \\mathrm{MeV}$$ Z definicji czynnika Lorentza $E = \\gamma E_0$: $$\\gamma = \\frac{E}{E_0} = \\frac{1{,}822}{0{,}511} = 3{,}566$$ Z definicji $\\gamma = \\dfrac{1}{\\sqrt{1 - v^2/c^2}}$ wyznaczamy $v/c$: $$\\frac{v}{c} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{\\gamma^2}} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{3{,}566^2}} = \\sqrt{1 - 0{,}0786} = \\sqrt{0{,}9214}$$ $$\\boxed{\\frac{v}{c} \\approx 0{,}96}$$

\n

Treść zadania (CKE)

\n

Trzy energie w relatywistyce

\n

Wielkość | Wzór | Tutaj
spoczynkowa | $E_0 = m_0c^2$ | 0,511 MeV
kinetyczna | $E_{kin} = (\\gamma - 1)E_0$ | 1,311 MeV
całkowita | $E = \\gamma E_0 = E_0 + E_{kin}$ | 1,822 MeV

\n

Energia spoczynkowa elektronu 0,511 MeV to jedna z liczb, które warto znać na pamięć — pojawia się w zadaniach o rozpadzie $\\beta$, anihilacji i produkcji par.

\n

Od $\\gamma$ do prędkości

\n

$$\\gamma = \\frac{1}{\\sqrt{1 - \\beta^2}}, \\qquad \\beta = \\frac{v}{c}$$

\n

Przekształcamy:

\n

$$\\gamma^2\\left(1 - \\beta^2\\right) = 1 \\;\\Rightarrow\\; \\beta^2 = 1 - \\frac{1}{\\gamma^2} \\;\\Rightarrow\\; \\beta = \\sqrt{1 - \\gamma^{-2}}$$

\n

Dlaczego klasyczny wzór zawodzi

\n

Gdyby użyć $E_{kin} = \\tfrac{1}{2}m_0v^2$:

\n

$$v = \\sqrt{\\frac{2E_{kin}}{m_0}} = c\\sqrt{\\frac{2E_{kin}}{E_0}} = c\\sqrt{\\frac{2\\cdot 1{,}311}{0{,}511}} = 2{,}27\\,c$$

\n

Wynik przekracza prędkość światła — natychmiastowy sygnał, że model jest zły. Warto go sobie policzyć raz, żeby zapamiętać skalę błędu.

\n

Kiedy trzeba liczyć relatywistycznie

\n

Praktyczna reguła: gdy $E_{kin}$ jest porównywalna z $E_0$ lub większa, klasyka nie wystarcza. Tutaj stosunek wynosi 2,6 — jesteśmy głęboko w reżimie relatywistycznym, $\\gamma = 3{,}57$.

\n

Punktacja CKE

\n\n

Typowy błąd: Nie wolno użyć wzoru klasycznego $E_{kin} = \\tfrac{1}{2}mv^2$. Dałby on $v/c > 1$, co jest fizycznie niemożliwe — a to najczęstszy błąd w tym zadaniu. Sygnałem, że trzeba liczyć relatywistycznie, jest to, że energia kinetyczna przewyższa energię spoczynkową ($1{,}311 > 0{,}511$), czyli $\\gamma > 2$. Energia całkowita to suma, nie różnica. $E = E_0 + E_{kin}$, a nie $E_{kin} - E_0$. Odejmowanie daje $\\gamma < 2$ i błędny wynik. Jednostki się skracają. Zarówno $E$, jak i $E_0$ są w MeV, a $\\gamma$ jest bezwymiarowe — nie trzeba niczego przeliczać na dżule. To celowe uproszczenie: energie cząstek podaje się w elektronowoltach właśnie dlatego. Dwie cyfry znaczące to warunek z polecenia. Wynik 0,9599 zaokrąglamy do 0,96, nie do 0,960 ani 1,0.

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $\\dfrac{v}{c} \\approx 0{,}96$

\n

Cząstka $\\beta^-$ porusza się relatywistycznie. Korzystamy ze związków energii relatywistycznej:

\n\n

Krok 1. Energia całkowita:

\n

$$E = E_0 + E_{kin} = 0{,}511 + 1{,}311 = 1{,}822\\ \\text{MeV}.$$

\n

Krok 2. Czynnik Lorentza:

\n

$$\\gamma = \\frac{E}{E_0} = \\frac{1{,}822}{0{,}511} \\approx 3{,}566.$$

\n

Krok 3. Wyznaczenie $v/c$. Z $\\gamma = \\dfrac{1}{\\sqrt{1-(v/c)^2}}$:

\n

$$\\frac{v}{c} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{\\gamma^2}} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{3{,}566^2}} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{12{,}72}}.$$

\n

$$\\frac{v}{c} = \\sqrt{1 - 0{,}0786} = \\sqrt{0{,}9214} \\approx 0{,}960.$$

\n

Odpowiedź: $\\dfrac{v}{c} \\approx 0{,}96$ (dwie cyfry znaczące).

\n

Zasady oceniania CKE

\n"}]}