{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/11.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"11.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 11.3. (0-4)\nBadano próbkę promieniotwórczą 𝒫 zawierającą jądra izotopu neonu\nNe\n23\n. Łączną masę\njąder neonu\nNe\n23\n, które pozostają w próbce 𝒫 po upływie czasu 𝑡 od chwili początkowej\n𝑡0 = 0 min, oznaczymy jako 𝑚. Na podstawie pomiarów promieniowania powstającego\npodczas rozpadów β- tych jąder neonu obliczono 𝑚 dla różnych chwil czasu.\nNa poniższym wykresie przedstawiono zależność log10 𝑚 od czasu 𝑡. Wartości logarytmu\nobliczono dla wartości liczbowych masy 𝑚 wyrażonej w pewnych jednostkach umownych.\nWykres\nNa podstawie wykresu oblicz 𝑻 - czas połowicznego rozpadu jąder neonu\n𝐍𝐞\n𝟐𝟑\nZapisz obliczenia.\nWskazówki: 1) Jeśli 𝑎𝑐= 𝑏 oraz 𝑎> 0, 𝑎≠1, 𝑏> 0, to 𝑐= log𝑎𝑏.\n2) Możesz wykorzystać wzory:\nlog10(𝑥⋅𝑦) = log10 𝑥+ log10 𝑦 dla 𝑥> 0, 𝑦> 0\nlog10 (\n𝑥\n𝑦) = log10 𝑥-log10 𝑦 dla 𝑥> 0, 𝑦> 0\n-0,4\n-0,2\n0\n0,2\n0,4\n0,6\n0,8\n1\n1,2\n1,4\n0\n0,5\n1\n1,5\n2\n2,5\n3\nt, min\nlog10m\n11.3.\n0-1-\n2-3-4\nMFAP-R0_100\nMFAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nFIZYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nFIZYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023\nFIZYKA\nPoziom rozszerzony\nFormuła 2023","answer":null,"answer_text":"Zadanie 11.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nIV. Posługiwanie się informacjami\npochodzącymi z analizy materiałów\nźródłowych, w tym tekstów\npopularnonaukowych i źródeł\ninternetowych, oraz ocenianie\nwiarygodności źródeł.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.4) przeprowadza obliczenia liczbowe,\nposługując się kalkulatorem;\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] wykresów […]\ninformacje kluczowe dla opisywanego zjawiska\nbądź problemu […];\nI.9) dopasowuje prostą do danych\nprzedstawionych w postaci wykresu;\ninterpretuje nachylenie tej prostej i punkty\nprzecięcia z osiami.\nXII.12) opisuje rozpad izotopu\npromieniotwórczego; posługuje się pojęciem\nczasu połowicznego rozpadu; oblicza liczbę\njąder izotopu promieniotwórczego, które\npozostają w próbce po dowolnym czasie […].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1a. oraz 1b.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - poprawna metoda obliczenia log10 (\n𝑚0\n2 ) dla 𝑡= 𝑇 oraz podanie prawidłowej wartości\ntego logarytmu, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 → log10 (1\n2 𝑚0) = log10 (1\n2) + 1,4 ≈1,1 dla 𝑡= 𝑇\nalbo (z pośrednim obliczeniem 𝑚0)\nlog10 𝑚0 = 1,4 → 𝑚0 = 101,4 ju → log10 (1\n2 ⋅101,4) ≈1,1 dla 𝑡= 𝑇\nLUB\n- poprawna metoda obliczenia log10 (\n𝑚0\n2 ) dla 𝑡= 𝑇 oraz podanie błędnej wartości\ntego logarytmu, oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości odczytanie i podanie\nczasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 → log10 (1\n2 𝑚0) ≈𝑦 (𝑦≠1,1) dla 𝑡= 𝑇= 𝑥\n2 pkt - zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫\nw chwili 𝑡0 = 0 oraz zapisanie warunku, że dla czasu połowicznego rozpadu 𝑡= 𝑇\n𝑚𝑇=\n1\n2 𝑚0 (albo że wartość logarytmu wynosi log10 (\n𝑚0\n2 )), np. zapisy równoważne\nponiższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz dla 𝑡= 𝑇 mamy 𝑚𝑇= 1\n2 𝑚0\nalbo\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz dla 𝑡= 𝑇 mamy log10 𝑚𝑇= log10 (𝑚0\n2 )\nLUB\n- zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫\nw chwili 𝑡0 = 0 oraz poprawne obliczenie tej masy i podanie jej prawidłowej wartości\nliczbowej wyrażonej w jednostkach umownych, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz 𝑚0 = 101,4 ju\n1 pkt - zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili\n𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu\nNe\n23\npozostających w próbce 𝒫\nw postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja\nwspółczynnika kierunkowego tej zależności, oraz podanie (na podstawie wykresu)\nprawidłowej wartości tego współczynnika, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2) oraz 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\noraz\n𝐴=\n-0,2 -1,4\n(3,3 -0) min = -0,485 1\nmin\nLUB\n- zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu\nNe\n23\npozostających w próbce 𝒫\nw postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja\nwspółczynnika kierunkowego tej zależności, oraz podanie błędnej wartości tego\nwspółczynnika, oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości obliczenie i podanie\nczasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2) oraz 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\noraz\n𝐴= 𝑧 1\nmin oraz 𝑇=\nlog10 (1\n2)\n𝑧\n= 𝑥\n2 pkt - zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu\nNe\n23\npozostających w próbce 𝒫\nw postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja\nwspółczynnika kierunkowego tej zależności, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2) oraz 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\n1 pkt - zapisanie obustronnego logarytmu wzoru - na masę jąder neonu\nNe\n23\npozostających\nw próbce 𝒫 - wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\nlog10 𝑚(𝑡) = log10 (𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n) albo 𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n|| log10\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - spełnienie warunku za 2 pkt dla dwóch wybranych punktów z wykresu oraz zapisanie\njednego równania z wyeliminowanym 𝑚0, z którego można obliczyć 𝑇, np. zapisy\nrównoważne poniższym:\n(𝑚0 (1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1 oraz 𝑚0 (1\n2)\n𝑡2\n𝑇\n= 10𝐿2 ) → (1\n2)\n𝑡2-𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿2-𝐿1\nLUB\n- zapisanie jednego z równań określonych w pierwszym myślniku za 3 pkt z błędnie\nodczytaną jedną współrzędną punktu (np. 𝑡1 lub 𝐿1) oraz konsekwentne dla tej\nbłędnej wartości obliczenie i podanie czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1 → obliczenia → 𝑇= (𝑡2 -𝑡1) ⋅log10 2\n𝐿1 -𝐿2\n= wartość\n2 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu oraz zastosowanie prawa rozpadu z uwzględnieniem\nwspółrzędnych tego punktu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1 → 𝑚0 (1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1\n1 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 4.)\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\noraz\npodanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się\nw przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min\n3 pkt - spełnienie warunków za 2 pkt określonych w pierwszym oraz drugim myślniku oraz\nzastosowanie równania wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego oraz\nzapisanie jednego równania z wyeliminowanym 𝑚0, z którego można obliczyć 𝑇, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n101,4 ⋅(1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1\nLUB\n- zapisanie równania określonego w pierwszym myślniku za 3 pkt z błędnie odczytaną\njedną współrzędną punktu (np. 𝑡1 lub 𝐿1) oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości\nobliczenie i podanie czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:\n101,4 ⋅(1\n2)\n𝑡1\n𝑇\n= 10𝐿1 → obliczenia → 𝑇= 𝑡1 ⋅log10 2\n1,4 -𝐿1\n= wartość\n2 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu oraz zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder\nneonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1 oraz log10 𝑚0 = 1,4\nLUB\n- zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫\nw chwili 𝑡0 = 0 oraz poprawne obliczenie tej masy i podanie jej prawidłowej wartości\nliczbowej wyrażonej w jednostkach umownych, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4 oraz 𝑚0 = 101,4 ju\n1 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych\nwybranego punktu wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1\nLUB\n- zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili\n𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:\nlog10 𝑚0 = 1,4\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1a. (z wykorzystaniem 𝑚0 i definicji 𝑇)\nDo wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\nwykorzystamy wykres oraz\ndefinicję czasu połowicznego rozpadu. Oznaczymy jako 𝑚0 początkową masę jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0 oraz odczytamy z wykresu wartość log10 𝑚0:\n𝑚(𝑡0 = 0) = 𝑚0 zatem log10 𝑚0 = 1,4\nPo czasie 𝑡= 𝑇 w próbce 𝒫 pozostanie połowa początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n:\n𝑚(𝑡= 𝑇) = 𝑚𝑇= 1\n2 𝑚0\nObliczymy wartość logarytmu połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n(masy wyrażonej\nw jednostkach umownych ju):\nlog10 𝑚𝑇= log10 (1\n2 ⋅𝑚0) = log10 (1\n2) + log10 𝑚0 ≈\n≈-0,301 + 1,4 = 1,099 ≈1,1\nZ wykresu odczytamy czas 𝑇, dla którego logarytm połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\nwynosi w przybliżeniu log10 𝑚𝑇≈1,1.\nlog10 𝑚𝑇≈1,1 dla 𝑇≈0,62 min\n-0,4\n-0,2\n0\n0,2\n0,4\n0,6\n0,8\n1\n1,2\n1,4\n0\n0,5\n1\n1,5\n2\n2,5\n3\nt, min\nlog10m\nSposób 1b. (z wykorzystaniem 𝑚0 i definicji 𝑇)\nDo wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\nwykorzystamy wykres oraz\ndefinicję czasu połowicznego rozpadu. Oznaczymy jako 𝑚0 początkową masę jąder neonu\nNe\n23\nw próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0:\n𝑚(𝑡0 = 0) = 𝑚0\nNastępnie wyznaczymy 𝑚0 w jednostkach umownych (ju). W tym celu najpierw odczytamy\nz wykresu wartość log10 𝑚0:\n1) log10 𝑚0 = 1,4 zatem\n2) 𝑚0 = 101,4 ju ≈25,12 ju\nPo czasie 𝑡= 𝑇 w próbce 𝒫 pozostanie połowa początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n:\n𝑚(𝑡= 𝑇) = 𝑚𝑇= 1\n2 𝑚0 → 3) 𝑚𝑇= 1\n2 ⋅101,4 ju ≈12,56 ju\nObliczymy wartość logarytmu połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\n:\n4) log10 𝑚𝑇= log10 (101,4\n2 ) ≈1,099\nZ wykresu odczytamy czas 𝑇, dla którego logarytm połowy początkowej masy jąder neonu\nNe\n23\nwynosi w przybliżeniu log10 𝑚𝑇≈1,1.\n5) log10 𝑚𝑇≈1,1 dla 𝑇≈0,62 min\nSposób 2. (z wykorzystaniem i interpretacją równania prostej)\nUwaga! Sposób 2. jest rekomendowany jako bardziej dokładny od sposobu 1., ponieważ\nwspółczynnik nachylenia prostej można wyznaczyć z większą dokładnością niż odciętą\npunktu wykresu o rzędnej 1,1.\nZapiszemy równanie wynikające z prawa rozpadu promieniotwórczego:\n1) 𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\ngdzie 𝑇 jest czasem połowicznego rozpadu jąder neonu\nNe\n23\nZlogarytmujemy obie strony zależności 1) logarytmem o podstawie 10, następnie wykonamy\nprzekształcenia równoważne z wykorzystaniem własności logarytmów:\n2a) log10 𝑚(𝑡) = log10 (𝑚0 ⋅(1\n2)\n𝑡\n𝑇\n)\n2b) log10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡\n𝑇log10 (1\n2)\nZależność 2b) przepiszemy w postaci wskazującej na zależność liniową logarytmu masy od\nczasu. Następnie zidentyfikujemy współczynniki tej zależności liniowej:\n3a) log10 𝑚(𝑡) =\nlog10 (1\n2)\n𝑇\n⋅𝑡+ log10 𝑚0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZatem:\n3b) log10 𝑚(𝑡) = 𝐴⋅𝑡+ 𝐵\ngdzie:\n4) 𝐴=\nlog10 (1\n2)\n𝑇\noraz 𝐵= log10 𝑚0\nObliczymy współczynnik 𝐴 z wykresu, a następnie z równania 4) obliczymy czas\npołowicznego rozpadu 𝑇 (przy użyciu kalkulatora naukowego):\n5) 𝐴=\n-0,2 -1,4\n(3,3 -0) min = -0,485 1\nmin\n6) -0,485 1\nmin =\nlog10 (1\n2)\n𝑇\n→ 𝑇=\nlog10 (1\n2)\n-0,485 min\n7) 𝑇=\nlog10 (1\n2)\n-0,485 min ≈-0,301\n-0,485 min ≈0,62 min\nSposób 3. (z wykorzystaniem równania rozpadu i dwóch dowolnych punktów wykresu)\nRozważmy punkty na wykresie leżące najbliżej punktów kratowych (i w miarę odległe od\nsiebie), np.:\n𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) = (𝑡1 ; log10 𝑚1) = (0,4 min; 1,2)\n𝑃2 = (𝑡2 ; 𝐿2) = (𝑡2 ; log10 𝑚2) = (3,3 min; -0,2)\nTo oznacza, że:\n1,2 = log10 𝑚(0,4) → 101,2 = 𝑚(0,4) → 101,2 = 𝑚0 (1\n2)\n0,4\n𝑇\n-0,2 = log10 𝑚(3,3) → 10-0,2 = 𝑚(3,3) → 10-0,2 = 𝑚0 (1\n2)\n3,3\n𝑇\nOstatnie równania w powyższych wierszach wynikają z równania prawa rozpadu\npromieniotwórczego: 𝑚(𝑡) = 𝑚0 (\n1\n2)\n𝑡\n𝑇. Z tych równań wyeliminujemy 𝑚0:\n101,2\n10-0,2 = (1\n2)\n0,4-3,3\n𝑇\n→ 101,4 = (1\n2)\n-2,9\n𝑇\n→ 101,4 = 2\n2,9\n𝑇\nOstatnie równanie powyżej zlogarytmujemy stronami (logarytmem o podstawie 2):\nlog2 101,4 = 2,9\n𝑇 → 2,9\n𝑇= 1,4 ⋅ log2 10 →\n2,9\n𝑇⋅1,4 =\n1\nlog10 2\nZatem:\n𝑇= 2,9 ⋅log10 2\n1,4\n= 0,6235 … ≈0,62 min\nDodatkowe przykłady\nPoniżej zapiszemy wzór ogólny na 𝑇 dla punktów 𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) i 𝑃2 = (𝑡2 ; 𝐿2). Ten wzór\nwynika z analogicznego jak powyżej rachunku przeprowadzonego na symbolach:\n𝑇= (𝑡2 -𝑡1) ⋅log10 2\n𝐿1 -𝐿2\nPrzykład 1.\n𝑃1 = (0; 1,4) 𝑃2 = (2,88 ; 0) → 𝑇= 2,88 ⋅log10 2\n1,4\nmin ≈0,62 min\nPrzykład 2.\n𝑃1 = (0,2; 1,3) 𝑃2 = (1,85 ; 0,5) → 𝑇= 1,65 ⋅log10 2\n0,8\nmin ≈0,62 min\nSposób 4. (z wykorzystaniem równania rozpadu oraz masy początkowej i punktu wykresu)\nZ wykresu wyznaczymy 𝑚0 = 𝑚(𝑡= 0):\n1) log10 𝑚0 = 1,4 zatem\n2) 𝑚0 = 101,4 ju ≈25,12 ju\nRozważmy dowolny punkt na wykresie leżący najbliżej punktów kratowych, np.:\n𝑃1 = (𝑡1; 𝐿1) = (𝑡1 ; log10 𝑚1) = (0,4 min; 1,2)\nTo oznacza, że:\n3) 1,2 = log10 𝑚(0,4) → 4) 101,2 = 𝑚(0,4)\nUwzględnimy równanie wynikające z prawa rozpadu promieniotwórczego:\n5) 𝑚(𝑡) = 𝑚0 (1\n2)\n𝑡\n𝑇\n→ 6) 𝑚(0,4) = 𝑚0 (1\n2)\n0,4\n𝑇\nZ równań 2) i 4) i 6) wynika, że:\n101,2 = 101,4 ⋅(1\n2)\n0,4\n𝑇\n→ 10-0,2 = (1\n2)\n0,4\n𝑇\n→ 100,2 = 2\n0,4\n𝑇\nOstatnie równanie powyżej zlogarytmujemy stronami (logarytmem o podstawie 10):\n0,2 = 0,4\n𝑇log10 2 → 𝑇= 0,4\n0,2 log10 2 → 𝑇≈0,60 min\nDodatkowe przykłady\nPoniżej zapiszemy wzór ogólny na 𝑇 dla punktu 𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) i masy 𝑚0 = 101,4 ju. Ten\nwzór wynika z analogicznego jak powyżej rachunku przeprowadzonego na symbolach.\n𝑇= 𝑡1 ⋅log10 2\n1,4 -𝐿1\nPrzykład 1.\n𝑃1 = (1,65; 0,6) → 𝑇= 1,65 ⋅log10 2\n1,4 -0,6\nmin ≈0,62 min\nPrzykład 2.\n𝑃1 = (2,05; 0,4) → 𝑇= 2,05 ⋅log10 2\n1,4 -0,4\nmin ≈0,62 min","solution":"**Krok 1. Odczyt wartości początkowej.** Z wykresu dla $t = 0$: $\\log_{10} m_0 = 1{,}4$. **Krok 2. Wartość logarytmu dla połowy masy.** Szukamy chwili, w której zostanie $m_0/2$: $$\\log_{10}\\!\\left(\\frac{m_0}{2}\\right) = \\log_{10} m_0 - \\log_{10} 2 = 1{,}4 - 0{,}30 \\approx 1{,}1$$ **Krok 3. Odczyt czasu z wykresu.** Wartość $\\log_{10} m = 1{,}1$ prosta osiąga dla $$\\boxed{T \\approx 0{,}6\\ \\text{min}}$$ (CKE uznaje wyniki z przedziału $0{,}60$–$0{,}65$ min.) **Sposób alternatywny — przez współczynnik kierunkowy.** Prosta przecina oś $t$ (czyli $\\log_{10} m = 0$) przy $t \\approx 2{,}9$ min, więc jej nachylenie wynosi $$k = \\frac{1{,}4 - 0}{2{,}9\\ \\text{min}} \\approx 0{,}48\\ \\frac{1}{\\text{min}}, \\qquad \\log_{10} m = 1{,}4 - kt$$ Warunek połowicznego rozpadu $\\log_{10} 2 = kT$ daje $$T = \\frac{\\log_{10} 2}{k} = \\frac{0{,}301}{0{,}48\\ \\text{min}^{-1}} \\approx 0{,}63\\ \\text{min}$$","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-11.3.webp","solution_image":null,"topics":"fizyka jadrowa, rozpad beta minus, deficyt masy, czas polowicznego rozpadu, wykres logarytmiczny","page_from":27,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 11.3. (0-4)<br>Badano próbkę promieniotwórczą 𝒫 zawierającą jądra izotopu neonu<br>Ne<br>23<br>. Łączną masę<br>jąder neonu<br>Ne<br>23<br>, które pozostają w próbce 𝒫 po upływie czasu 𝑡 od chwili początkowej<br>𝑡0 = 0 min, oznaczymy jako 𝑚. Na podstawie pomiarów promieniowania powstającego<br>podczas rozpadów β- tych jąder neonu obliczono 𝑚 dla różnych chwil czasu.<br>Na poniższym wykresie przedstawiono zależność log10 𝑚 od czasu 𝑡. Wartości logarytmu<br>obliczono dla wartości liczbowych masy 𝑚 wyrażonej w pewnych jednostkach umownych.<br>Wykres<br>Na podstawie wykresu oblicz 𝑻 - czas połowicznego rozpadu jąder neonu<br>𝐍𝐞<br>𝟐𝟑<br>Zapisz obliczenia.<br>Wskazówki: 1) Jeśli 𝑎𝑐= 𝑏 oraz 𝑎&gt; 0, 𝑎≠1, 𝑏&gt; 0, to 𝑐= log𝑎𝑏.</p>\n<ol><li>Możesz wykorzystać wzory:</li></ol>\n<p>log10(𝑥⋅𝑦) = log10 𝑥+ log10 𝑦 dla 𝑥&gt; 0, 𝑦&gt; 0<br>log10 (<br>𝑥<br>𝑦) = log10 𝑥-log10 𝑦 dla 𝑥&gt; 0, 𝑦&gt; 0<br>-0,4<br>-0,2<br>0<br>0,2<br>0,4<br>0,6<br>0,8<br>1<br>1,2<br>1,4<br>0<br>0,5<br>1<br>1,5<br>2<br>2,5<br>3<br>t, min<br>log10m<br>11.3.<br>0-1-<br>2-3-4<br>MFAP-R0_100<br>MFAP-R0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)<br>FIZYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>FIZYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023<br>FIZYKA<br>Poziom rozszerzony<br>Formuła 2023</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 11.3. (0-4)<br>Wymagania ogólne<br>Wymagania szczegółowe<br>V. Budowanie modeli fizycznych<br>i matematycznych do opisu zjawisk oraz<br>ilustracji praw i zależności fizycznych.<br>IV. Posługiwanie się informacjami<br>pochodzącymi z analizy materiałów<br>źródłowych, w tym tekstów<br>popularnonaukowych i źródeł<br>internetowych, oraz ocenianie<br>wiarygodności źródeł.<br>II. Rozwiązywanie problemów<br>z wykorzystaniem praw i zależności<br>fizycznych.<br>Zdający:<br>I.4) przeprowadza obliczenia liczbowe,<br>posługując się kalkulatorem;<br>I.7) wyodrębnia z tekstów, […] wykresów […]<br>informacje kluczowe dla opisywanego zjawiska<br>bądź problemu […];<br>I.9) dopasowuje prostą do danych<br>przedstawionych w postaci wykresu;<br>interpretuje nachylenie tej prostej i punkty<br>przecięcia z osiami.<br>XII.12) opisuje rozpad izotopu<br>promieniotwórczego; posługuje się pojęciem<br>czasu połowicznego rozpadu; oblicza liczbę<br>jąder izotopu promieniotwórczego, które<br>pozostają w próbce po dowolnym czasie […].<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 1a. oraz 1b.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>oraz<br>podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się<br>w przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min<br>3 pkt - poprawna metoda obliczenia log10 (<br>𝑚0<br>2 ) dla 𝑡= 𝑇 oraz podanie prawidłowej wartości<br>tego logarytmu, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4 → log10 (1<br>2 𝑚0) = log10 (1</p>\n<ol><li>+ 1,4 ≈1,1 dla 𝑡= 𝑇</li></ol>\n<p>albo (z pośrednim obliczeniem 𝑚0)<br>log10 𝑚0 = 1,4 → 𝑚0 = 101,4 ju → log10 (1<br>2 ⋅101,4) ≈1,1 dla 𝑡= 𝑇<br>LUB</p>\n<ul><li>poprawna metoda obliczenia log10 (</li></ul>\n<p>𝑚0<br>2 ) dla 𝑡= 𝑇 oraz podanie błędnej wartości<br>tego logarytmu, oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości odczytanie i podanie<br>czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4 → log10 (1<br>2 𝑚0) ≈𝑦 (𝑦≠1,1) dla 𝑡= 𝑇= 𝑥<br>2 pkt - zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu<br>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫<br>w chwili 𝑡0 = 0 oraz zapisanie warunku, że dla czasu połowicznego rozpadu 𝑡= 𝑇<br>𝑚𝑇=<br>1<br>2 𝑚0 (albo że wartość logarytmu wynosi log10 (<br>𝑚0<br>2 )), np. zapisy równoważne<br>poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4 oraz dla 𝑡= 𝑇 mamy 𝑚𝑇= 1<br>2 𝑚0<br>albo<br>log10 𝑚0 = 1,4 oraz dla 𝑡= 𝑇 mamy log10 𝑚𝑇= log10 (𝑚0<br>2 )<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu</li></ul>\n<p>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫<br>w chwili 𝑡0 = 0 oraz poprawne obliczenie tej masy i podanie jej prawidłowej wartości<br>liczbowej wyrażonej w jednostkach umownych, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4 oraz 𝑚0 = 101,4 ju<br>1 pkt - zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫 w chwili<br>𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 2.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>oraz<br>podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się<br>w przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min<br>3 pkt - zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>pozostających w próbce 𝒫<br>w postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja<br>współczynnika kierunkowego tej zależności, oraz podanie (na podstawie wykresu)<br>prawidłowej wartości tego współczynnika, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡<br>𝑇log10 (1</p>\n<ol><li>oraz 𝐴=</li></ol>\n<p>log10 (1<br>2)<br>𝑇<br>oraz<br>𝐴=<br>-0,2 -1,4<br>(3,3 -0) min = -0,485 1<br>min<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu</li></ul>\n<p>Ne<br>23<br>pozostających w próbce 𝒫<br>w postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja<br>współczynnika kierunkowego tej zależności, oraz podanie błędnej wartości tego<br>współczynnika, oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości obliczenie i podanie<br>czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡<br>𝑇log10 (1</p>\n<ol><li>oraz 𝐴=</li></ol>\n<p>log10 (1<br>2)<br>𝑇<br>oraz<br>𝐴= 𝑧 1<br>min oraz 𝑇=<br>log10 (1<br>2)<br>𝑧<br>= 𝑥<br>2 pkt - zapisanie wzoru na logarytm masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>pozostających w próbce 𝒫<br>w postaci zależności liniowej względem czasu 𝑡 oraz prawidłowa identyfikacja<br>współczynnika kierunkowego tej zależności, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡<br>𝑇log10 (1</p>\n<ol><li>oraz 𝐴=</li></ol>\n<p>log10 (1<br>2)<br>𝑇<br>1 pkt - zapisanie obustronnego logarytmu wzoru - na masę jąder neonu<br>Ne<br>23<br>pozostających<br>w próbce 𝒫 - wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego, np. zapisy<br>równoważne poniższym:<br>log10 𝑚(𝑡) = log10 (𝑚0 ⋅(1<br>2)<br>𝑡<br>𝑇<br>) albo 𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1<br>2)<br>𝑡<br>𝑇<br>|| log10<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 3.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>oraz<br>podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się<br>w przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min<br>3 pkt - spełnienie warunku za 2 pkt dla dwóch wybranych punktów z wykresu oraz zapisanie<br>jednego równania z wyeliminowanym 𝑚0, z którego można obliczyć 𝑇, np. zapisy<br>równoważne poniższym:<br>(𝑚0 (1<br>2)<br>𝑡1<br>𝑇<br>= 10𝐿1 oraz 𝑚0 (1<br>2)<br>𝑡2<br>𝑇<br>= 10𝐿2 ) → (1<br>2)<br>𝑡2-𝑡1<br>𝑇<br>= 10𝐿2-𝐿1<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie jednego z równań określonych w pierwszym myślniku za 3 pkt z błędnie</li></ul>\n<p>odczytaną jedną współrzędną punktu (np. 𝑡1 lub 𝐿1) oraz konsekwentne dla tej<br>błędnej wartości obliczenie i podanie czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝑚0 ⋅(1<br>2)<br>𝑡1<br>𝑇<br>= 10𝐿1 → obliczenia → 𝑇= (𝑡2 -𝑡1) ⋅log10 2<br>𝐿1 -𝐿2<br>= wartość<br>2 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych<br>wybranego punktu wykresu oraz zastosowanie prawa rozpadu z uwzględnieniem<br>współrzędnych tego punktu, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1 → 𝑚0 (1<br>2)<br>𝑡1<br>𝑇<br>= 10𝐿1<br>1 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych<br>wybranego punktu wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania (dla rozwiązania sposobem 4.)<br>4 pkt - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>oraz<br>podanie prawidłowego wyniku liczbowego z jednostką, mieszczącego się<br>w przedziale: od 𝑇= 0,60 min do 𝑇= 0,65 min<br>3 pkt - spełnienie warunków za 2 pkt określonych w pierwszym oraz drugim myślniku oraz<br>zastosowanie równania wynikającego z prawa rozpadu promieniotwórczego oraz<br>zapisanie jednego równania z wyeliminowanym 𝑚0, z którego można obliczyć 𝑇, np.<br>zapisy równoważne poniższym:<br>101,4 ⋅(1<br>2)<br>𝑡1<br>𝑇<br>= 10𝐿1<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie równania określonego w pierwszym myślniku za 3 pkt z błędnie odczytaną</li></ul>\n<p>jedną współrzędną punktu (np. 𝑡1 lub 𝐿1) oraz konsekwentne dla tej błędnej wartości<br>obliczenie i podanie czasu 𝑇, np. zapisy równoważne poniższym:<br>101,4 ⋅(1<br>2)<br>𝑡1<br>𝑇<br>= 10𝐿1 → obliczenia → 𝑇= 𝑡1 ⋅log10 2<br>1,4 -𝐿1<br>= wartość<br>2 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych<br>wybranego punktu wykresu oraz zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder<br>neonu<br>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1 oraz log10 𝑚0 = 1,4<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy 𝑚0 jąder neonu</li></ul>\n<p>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫<br>w chwili 𝑡0 = 0 oraz poprawne obliczenie tej masy i podanie jej prawidłowej wartości<br>liczbowej wyrażonej w jednostkach umownych, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4 oraz 𝑚0 = 101,4 ju<br>1 pkt - wyznaczenie masy dla dowolnie wybranej chwili czasu, na podstawie współrzędnych<br>wybranego punktu wykresu, np. zapisy równoważne poniższym:<br>𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) → 𝑚1(𝑡1) = 10𝐿1<br>LUB</p>\n<ul><li>zapisanie poprawnej wartości logarytmu masy jąder neonu</li></ul>\n<p>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫 w chwili<br>𝑡0 = 0, np. zapisy równoważne poniższym:<br>log10 𝑚0 = 1,4<br>0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1a. (z wykorzystaniem 𝑚0 i definicji 𝑇)<br>Do wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>wykorzystamy wykres oraz<br>definicję czasu połowicznego rozpadu. Oznaczymy jako 𝑚0 początkową masę jąder neonu<br>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0 oraz odczytamy z wykresu wartość log10 𝑚0:<br>𝑚(𝑡0 = 0) = 𝑚0 zatem log10 𝑚0 = 1,4<br>Po czasie 𝑡= 𝑇 w próbce 𝒫 pozostanie połowa początkowej masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>:<br>𝑚(𝑡= 𝑇) = 𝑚𝑇= 1<br>2 𝑚0<br>Obliczymy wartość logarytmu połowy początkowej masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>(masy wyrażonej<br>w jednostkach umownych ju):<br>log10 𝑚𝑇= log10 (1<br>2 ⋅𝑚0) = log10 (1</p>\n<ol><li>+ log10 𝑚0 ≈</li></ol>\n<p>≈-0,301 + 1,4 = 1,099 ≈1,1<br>Z wykresu odczytamy czas 𝑇, dla którego logarytm połowy początkowej masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>wynosi w przybliżeniu log10 𝑚𝑇≈1,1.<br>log10 𝑚𝑇≈1,1 dla 𝑇≈0,62 min<br>-0,4<br>-0,2<br>0<br>0,2<br>0,4<br>0,6<br>0,8<br>1<br>1,2<br>1,4<br>0<br>0,5<br>1<br>1,5<br>2<br>2,5<br>3<br>t, min<br>log10m<br>Sposób 1b. (z wykorzystaniem 𝑚0 i definicji 𝑇)<br>Do wyznaczenia czasu połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>wykorzystamy wykres oraz<br>definicję czasu połowicznego rozpadu. Oznaczymy jako 𝑚0 początkową masę jąder neonu<br>Ne<br>23<br>w próbce 𝒫 w chwili 𝑡0 = 0:<br>𝑚(𝑡0 = 0) = 𝑚0<br>Następnie wyznaczymy 𝑚0 w jednostkach umownych (ju). W tym celu najpierw odczytamy<br>z wykresu wartość log10 𝑚0:</p>\n<ol><li>log10 𝑚0 = 1,4 zatem</li><li>𝑚0 = 101,4 ju ≈25,12 ju</li></ol>\n<p>Po czasie 𝑡= 𝑇 w próbce 𝒫 pozostanie połowa początkowej masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>:<br>𝑚(𝑡= 𝑇) = 𝑚𝑇= 1<br>2 𝑚0 → 3) 𝑚𝑇= 1<br>2 ⋅101,4 ju ≈12,56 ju<br>Obliczymy wartość logarytmu połowy początkowej masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>:</p>\n<ol><li>log10 𝑚𝑇= log10 (101,4</li></ol>\n<p>2 ) ≈1,099<br>Z wykresu odczytamy czas 𝑇, dla którego logarytm połowy początkowej masy jąder neonu<br>Ne<br>23<br>wynosi w przybliżeniu log10 𝑚𝑇≈1,1.</p>\n<ol><li>log10 𝑚𝑇≈1,1 dla 𝑇≈0,62 min</li></ol>\n<p>Sposób 2. (z wykorzystaniem i interpretacją równania prostej)<br>Uwaga! Sposób 2. jest rekomendowany jako bardziej dokładny od sposobu 1., ponieważ<br>współczynnik nachylenia prostej można wyznaczyć z większą dokładnością niż odciętą<br>punktu wykresu o rzędnej 1,1.<br>Zapiszemy równanie wynikające z prawa rozpadu promieniotwórczego:</p>\n<ol><li>𝑚(𝑡) = 𝑚0 ⋅(1</li></ol>\n<p>2)<br>𝑡<br>𝑇<br>gdzie 𝑇 jest czasem połowicznego rozpadu jąder neonu<br>Ne<br>23<br>Zlogarytmujemy obie strony zależności 1) logarytmem o podstawie 10, następnie wykonamy<br>przekształcenia równoważne z wykorzystaniem własności logarytmów:<br>2a) log10 𝑚(𝑡) = log10 (𝑚0 ⋅(1<br>2)<br>𝑡<br>𝑇<br>)<br>2b) log10 𝑚(𝑡) = log10 𝑚0 + 𝑡<br>𝑇log10 (1<br>2)<br>Zależność 2b) przepiszemy w postaci wskazującej na zależność liniową logarytmu masy od<br>czasu. Następnie zidentyfikujemy współczynniki tej zależności liniowej:<br>3a) log10 𝑚(𝑡) =<br>log10 (1<br>2)<br>𝑇<br>⋅𝑡+ log10 𝑚0<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zatem:<br>3b) log10 𝑚(𝑡) = 𝐴⋅𝑡+ 𝐵<br>gdzie:</p>\n<ol><li>𝐴=</li></ol>\n<p>log10 (1<br>2)<br>𝑇<br>oraz 𝐵= log10 𝑚0<br>Obliczymy współczynnik 𝐴 z wykresu, a następnie z równania 4) obliczymy czas<br>połowicznego rozpadu 𝑇 (przy użyciu kalkulatora naukowego):</p>\n<ol><li>𝐴=</li></ol>\n<p>-0,2 -1,4<br>(3,3 -0) min = -0,485 1<br>min</p>\n<ol><li>-0,485 1</li></ol>\n<p>min =<br>log10 (1<br>2)<br>𝑇<br>→ 𝑇=<br>log10 (1<br>2)<br>-0,485 min</p>\n<ol><li>𝑇=</li></ol>\n<p>log10 (1<br>2)<br>-0,485 min ≈-0,301<br>-0,485 min ≈0,62 min<br>Sposób 3. (z wykorzystaniem równania rozpadu i dwóch dowolnych punktów wykresu)<br>Rozważmy punkty na wykresie leżące najbliżej punktów kratowych (i w miarę odległe od<br>siebie), np.:<br>𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) = (𝑡1 ; log10 𝑚1) = (0,4 min; 1,2)<br>𝑃2 = (𝑡2 ; 𝐿2) = (𝑡2 ; log10 𝑚2) = (3,3 min; -0,2)<br>To oznacza, że:<br>1,2 = log10 𝑚(0,4) → 101,2 = 𝑚(0,4) → 101,2 = 𝑚0 (1<br>2)<br>0,4<br>𝑇<br>-0,2 = log10 𝑚(3,3) → 10-0,2 = 𝑚(3,3) → 10-0,2 = 𝑚0 (1<br>2)<br>3,3<br>𝑇<br>Ostatnie równania w powyższych wierszach wynikają z równania prawa rozpadu<br>promieniotwórczego: 𝑚(𝑡) = 𝑚0 (<br>1<br>2)<br>𝑡<br>𝑇. Z tych równań wyeliminujemy 𝑚0:<br>101,2<br>10-0,2 = (1<br>2)<br>0,4-3,3<br>𝑇<br>→ 101,4 = (1<br>2)<br>-2,9<br>𝑇<br>→ 101,4 = 2<br>2,9<br>𝑇<br>Ostatnie równanie powyżej zlogarytmujemy stronami (logarytmem o podstawie 2):<br>log2 101,4 = 2,9<br>𝑇 → 2,9<br>𝑇= 1,4 ⋅ log2 10 →<br>2,9<br>𝑇⋅1,4 =<br>1<br>log10 2<br>Zatem:<br>𝑇= 2,9 ⋅log10 2<br>1,4<br>= 0,6235 … ≈0,62 min<br>Dodatkowe przykłady<br>Poniżej zapiszemy wzór ogólny na 𝑇 dla punktów 𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) i 𝑃2 = (𝑡2 ; 𝐿2). Ten wzór<br>wynika z analogicznego jak powyżej rachunku przeprowadzonego na symbolach:<br>𝑇= (𝑡2 -𝑡1) ⋅log10 2<br>𝐿1 -𝐿2<br>Przykład 1.<br>𝑃1 = (0; 1,4) 𝑃2 = (2,88 ; 0) → 𝑇= 2,88 ⋅log10 2<br>1,4<br>min ≈0,62 min<br>Przykład 2.<br>𝑃1 = (0,2; 1,3) 𝑃2 = (1,85 ; 0,5) → 𝑇= 1,65 ⋅log10 2<br>0,8<br>min ≈0,62 min<br>Sposób 4. (z wykorzystaniem równania rozpadu oraz masy początkowej i punktu wykresu)<br>Z wykresu wyznaczymy 𝑚0 = 𝑚(𝑡= 0):</p>\n<ol><li>log10 𝑚0 = 1,4 zatem</li><li>𝑚0 = 101,4 ju ≈25,12 ju</li></ol>\n<p>Rozważmy dowolny punkt na wykresie leżący najbliżej punktów kratowych, np.:<br>𝑃1 = (𝑡1; 𝐿1) = (𝑡1 ; log10 𝑚1) = (0,4 min; 1,2)<br>To oznacza, że:</p>\n<ol><li>1,2 = log10 𝑚(0,4) → 4) 101,2 = 𝑚(0,4)</li></ol>\n<p>Uwzględnimy równanie wynikające z prawa rozpadu promieniotwórczego:</p>\n<ol><li>𝑚(𝑡) = 𝑚0 (1</li></ol>\n<p>2)<br>𝑡<br>𝑇<br>→ 6) 𝑚(0,4) = 𝑚0 (1<br>2)<br>0,4<br>𝑇<br>Z równań 2) i 4) i 6) wynika, że:<br>101,2 = 101,4 ⋅(1<br>2)<br>0,4<br>𝑇<br>→ 10-0,2 = (1<br>2)<br>0,4<br>𝑇<br>→ 100,2 = 2<br>0,4<br>𝑇<br>Ostatnie równanie powyżej zlogarytmujemy stronami (logarytmem o podstawie 10):<br>0,2 = 0,4<br>𝑇log10 2 → 𝑇= 0,4<br>0,2 log10 2 → 𝑇≈0,60 min<br>Dodatkowe przykłady<br>Poniżej zapiszemy wzór ogólny na 𝑇 dla punktu 𝑃1 = (𝑡1 ; 𝐿1) i masy 𝑚0 = 101,4 ju. Ten<br>wzór wynika z analogicznego jak powyżej rachunku przeprowadzonego na symbolach.<br>𝑇= 𝑡1 ⋅log10 2<br>1,4 -𝐿1<br>Przykład 1.<br>𝑃1 = (1,65; 0,6) → 𝑇= 1,65 ⋅log10 2<br>1,4 -0,6<br>min ≈0,62 min<br>Przykład 2.<br>𝑃1 = (2,05; 0,4) → 𝑇= 2,05 ⋅log10 2<br>1,4 -0,4<br>min ≈0,62 min</p>","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"<p><strong>Krok 1. Odczyt wartości początkowej.</strong> Z wykresu dla $t = 0$: $\\log_{10} m_0 = 1{,}4$. <strong>Krok 2. Wartość logarytmu dla połowy masy.</strong> Szukamy chwili, w której zostanie $m_0/2$: $$\\log_{10}\\!\\left(\\frac{m_0}{2}\\right) = \\log_{10} m_0 - \\log_{10} 2 = 1{,}4 - 0{,}30 \\approx 1{,}1$$ <strong>Krok 3. Odczyt czasu z wykresu.</strong> Wartość $\\log_{10} m = 1{,}1$ prosta osiąga dla $$\\boxed{T \\approx 0{,}6\\ \\text{min}}$$ (CKE uznaje wyniki z przedziału $0{,}60$–$0{,}65$ min.) <strong>Sposób alternatywny — przez współczynnik kierunkowy.</strong> Prosta przecina oś $t$ (czyli $\\log_{10} m = 0$) przy $t \\approx 2{,}9$ min, więc jej nachylenie wynosi $$k = \\frac{1{,}4 - 0}{2{,}9\\ \\text{min}} \\approx 0{,}48\\ \\frac{1}{\\text{min}}, \\qquad \\log_{10} m = 1{,}4 - kt$$ Warunek połowicznego rozpadu $\\log_{10} 2 = kT$ daje $$T = \\frac{\\log_{10} 2}{k} = \\frac{0{,}301}{0{,}48\\ \\text{min}^{-1}} \\approx 0{,}63\\ \\text{min}$$</p>"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: $T \\approx 0{,}62$ min (w przedziale $0{,}60\\text{-}0{,}65$ min)</h4>\n<p>Prawo rozpadu promieniotwórczego dla masy pozostałych jąder:</p>\n<p>$$m = m_0 \\cdot 2^{-t/T},$$</p>\n<p>gdzie $T$ to czas połowicznego rozpadu. Logarytmujemy stronami (log dziesiętny):</p>\n<p>$$\\log_{10} m = \\log_{10} m_0 - \\frac{t}{T}\\,\\log_{10} 2.$$</p>\n<p>Jest to równanie prostej $\\log_{10} m = \\log_{10} m_0 + b\\,t$, o współczynniku kierunkowym:</p>\n<p>$$b = -\\frac{\\log_{10} 2}{T}.$$</p>\n<p><strong>Krok 1. Odczyt z wykresu.</strong> Prosta zaczyna się w $(t=0,\\ \\log_{10}m = 1{,}4)$, więc $\\log_{10}m_0 = 1{,}4$. Osiąga wartość $\\log_{10}m = 0$ dla $t \\approx 2{,}9$ min.</p>\n<p><strong>Krok 2. Współczynnik kierunkowy prostej:</strong></p>\n<p>$$b = \\frac{0 - 1{,}4}{2{,}9 - 0} \\approx -0{,}483\\ \\tfrac{1}{\\text{min}}.$$</p>\n<p><strong>Krok 3. Wyznaczenie $T$.</strong> Z $b = -\\dfrac{\\log_{10}2}{T}$, a $\\log_{10}2 \\approx 0{,}301$:</p>\n<p>$$T = \\frac{\\log_{10} 2}{|b|} = \\frac{0{,}301}{0{,}483} \\approx 0{,}62\\ \\text{min}.$$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> $T \\approx 0{,}62$ min (mieści się w przedziale $0{,}60\\text{-}0{,}65$ min).</p>\n<p>Wynik należy podać <strong>w minutach</strong> (zgodnie z jednostką osi czasu). Odpowiednik w sekundach $\\approx 37$ s ma jedynie charakter pomocniczy.</p>\n<h4>Zasady oceniania CKE</h4>\n<ul><li><strong>4 pkt</strong> - poprawna metoda obliczenia czasu połowicznego rozpadu oraz wynik z jednostką w przedziale $0{,}60\\text{-}0{,}65$ min.</li><li><strong>3 / 2 / 1 pkt</strong> - kolejne etapy: zapis $\\log_{10}m_0=1{,}4$, wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej, zapisanie równania $\\log_{10}m=\\log_{10}m_0-\\tfrac{t}{T}\\log_{10}2$.</li><li><strong>0 pkt</strong> - brak spełnienia powyższych.</li></ul>"}]}