Zadanie 2.
Do jednego z końców nierozciągliwej nici o długości 𝑙 zamocowano niewielkie ciało ℬ
o masie 𝑚. Drugi koniec nici jest unieruchomiony w punkcie 𝑆. Następnie ciało ℬ wprawiono
w ruch po okręgu o środku w punkcie 𝑆 w płaszczyźnie pionowej.
Przyjmij model zjawiska, w którym:
na ciało ℬ podczas ruchu działają dwie siły:
𝐹⃗𝑔 - siła grawitacji oraz 𝐹⃗𝑛 - siła reakcji nici
pomijamy wszelkie opory ruchu, masę nici, a ciało ℬ
traktujemy jako punkt materialny
ciało ℬ porusza się w inercjalnym układzie odniesienia,
w jednorodnym, ziemskim polu grawitacyjnym.
Sytuację ilustruje rysunek powyżej, na którym oznaczono przyśpieszenie ziemskie 𝑔⃗.
2
","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"Odpowiedź: 2.1. Konstrukcja opiera się na tym, że prędkość w ruchu po okręgu jest zawsze styczna do toru, a promień jest do stycznej prostopadły. Wystarczy więc z punktu zaczepienia każdego wektora poprowadzić prostą prostopadłą do tego wektora — obie proste przecinają się w środku okręgu. Punkt przecięcia zaznaczamy jako $S$ i odmierzamy jego odległość od początku dowolnego z wektorów: $$\\boxed{R = 10 \\text{ długości boku kratki}}$$ 2.2. B W najniższym położeniu siła grawitacji jest skierowana w dół, a nić ciągnie ciało w górę, do środka okręgu. Wypadkowa musi być dośrodkowa, czyli skierowana w górę — a więc $F_N > F_g$. 2.3. Krok 1. Dynamika w skrajnych położeniach. Siła reakcji nici jest zawsze skierowana wzdłuż nici, do środka. Wypadkowa pełni rolę siły dośrodkowej: - najniższe położenie (tam $v = v_\\text{max}$): $\\quad \\dfrac{mv_\\text{max}^2}{l} = F_{N\\,\\text{max}} - mg$ - najwyższe położenie (tam $v = v_\\text{min}$): $\\quad \\dfrac{mv_\\text{min}^2}{l} = F_{N\\,\\text{min}} + mg$ Krok 2. Zasada zachowania energii między najniższym a najwyższym punktem (różnica wysokości $= 2l$): $$\\frac{mv_\\text{max}^2}{2} = \\frac{mv_\\text{min}^2}{2} + mg\\cdot 2l \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{max}^2 = v_\\text{min}^2 + 4gl$$ Krok 3. Wykorzystanie danego ilorazu. Z $v_\\text{max} = \\sqrt{3}\\,v_\\text{min}$ mamy $v_\\text{max}^2 = 3v_\\text{min}^2$: $$3v_\\text{min}^2 = v_\\text{min}^2 + 4gl \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{min}^2 = 2gl, \\qquad v_\\text{max}^2 = 6gl$$ Krok 4. Podstawienie. $$F_{N\\,\\text{max}} = \\frac{m\\cdot 6gl}{l} + mg = 7mg, \\qquad F_{N\\,\\text{min}} = \\frac{m\\cdot 2gl}{l} - mg = mg$$ $$\\boxed{\\frac{F_{N\\,\\text{max}}}{F_{N\\,\\text{min}}} = \\frac{7mg}{mg} = 7}$$
\nTreść zadania (CKE)
\nKonstrukcja środka okręgu — jedna zasada, dwie linie
\nCała geometria w 2.1 opiera się na jednym fakcie:
\nW ruchu po okręgu wektor prędkości jest styczny do toru, a promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej.
\nStąd przepis:
\nMetoda alternatywna (CKE punktuje ją tak samo): oba punkty zaczepienia leżą na okręgu, więc środek leży na symetralnej odcinka je łączącego. Symetralna plus jedna prostopadła do wektora dają ten sam punkt.
\nSkrajne wartości siły reakcji nici
\nPołożenie | Prędkość | Zwrot $\\vec{F}_g$ względem środka | Równanie | Wynik
najniższe | $v_\\text{max}$ | od środka (w dół) | $\\dfrac{mv_\\text{max}^2}{l} = F_N - mg$ | $F_{N\\,\\text{max}} = 7mg$
najwyższe | $v_\\text{min}$ | do środka (w dół) | $\\dfrac{mv_\\text{min}^2}{l} = F_N + mg$ | $F_{N\\,\\text{min}} = mg$
W obu przypadkach siła dośrodkowa jest wypadkową, a nie osobną siłą. To nie jest trzecia siła w układzie — to nazwa roli, jaką pełni suma $\\vec{F}_g + \\vec{F}_N$.
\nWarunek przejścia przez górny punkt
\nZadanie nie pyta o to wprost, ale warto znać tę granicę. Nić pozostaje napięta, dopóki $F_{N\\,\\text{min}} \\ge 0$:
\n$$\\frac{mv_\\text{min}^2}{l} \\ge mg \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{min}^2 \\ge gl \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{min} \\ge \\sqrt{gl}$$
\nW tym zadaniu $v_\\text{min}^2 = 2gl$, czyli dwukrotnie powyżej minimum — ciało pewnie pokonuje górny punkt. W przypadku granicznym $v_\\text{min}^2 = gl$ zasada zachowania energii dałaby $v_\\text{max}^2 = 5gl$, a więc $v_\\text{max}/v_\\text{min} = \\sqrt{5}$ oraz $F_{N\\,\\text{max}}/F_{N\\,\\text{min}} \\to \\infty$, bo mianownik dąży do zera.
\nPunktacja CKE
\n1 pkt — poprawna co do zasady metoda konstrukcji (prostopadłe do wektorów prędkości albo symetralna + prostopadła) albo poprawne oznaczenie $S$ bez konstrukcji wraz z prawidłowym $R$.
\n3 pkt — związki dynamiczne w obu skrajnych położeniach ze wzorami na siłę dośrodkową oraz ZZE z wyprowadzeniem $v_\\text{min} = \\sqrt{2gl}$ albo $v_\\text{max} = \\sqrt{6gl}$;
2 pkt — oba równania dynamiki ze wzorami albo samo ZZE z wykorzystaniem związku $\\sqrt{3}$;
1 pkt — jeden ze związków (dolne położenie, górne położenie albo ZZE).
Typowy błąd: W 2.1 najczęstszy błąd to rysowanie prostopadłych do wektorów „gdziekolwiek". Prostopadła musi przechodzić przez punkt zaczepienia wektora — bo to właśnie tam ciało w danej chwili się znajduje i tam promień jest prostopadły do prędkości. Alternatywna, równie punktowana konstrukcja: symetralna odcinka łączącego początki obu wektorów plus jedna prostopadła. W 2.2 kusi odpowiedź, że siły się równoważą ($F_N = F_g$, warianty C i D). Równoważyłyby się, gdyby ciało poruszało się ruchem jednostajnym prostoliniowym. Tu tor jest okręgiem, więc wypadkowa nigdy nie jest zerowa — zawsze jest dośrodkowa. W najniższym punkcie „do środka" znaczy „w górę", więc $F_N$ musi przeważać. W 2.3 uwaga na znaki. W najniższym położeniu grawitacja działa przeciwnie do siły dośrodkowej (odejmujemy ją), w najwyższym — zgodnie z nią (dodajemy). Zamiana tych znaków miejscami to najkosztowniejsza pomyłka w tym zadaniu. Różnica wysokości między skrajnymi punktami to $2l$, nie $l$. Ciało przechodzi przez całą średnicę okręgu. Kontrola sensowności wyniku: $F_{N\\,\\text{min}} = mg > 0$, czyli nić na górze jest jeszcze napięta. Gdyby wyszło $F_{N\\,\\text{min}} \\le 0$, oznaczałoby to, że ciało nie pokonałoby górnego punktu, poruszając się po okręgu.
"}]}