{"id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad/2.3","paper_id":"fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona","number":"2.3","points":4,"ptype":"open","subject":"fizyka","category":"matura","year":2026,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 2.3. (0-4)\nSiła 𝐹⃗𝑛, z jaką nić działa na ciało ℬ podczas jego ruchu po okręgu, zmienia swoją wartość.\nNajwiększą wartość tej siły oznaczymy jako 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥, a najmniejszą - jako 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛.\nDany jest iloraz największej i najmniejszej wartości prędkości ciała ℬ podczas jego ruchu po\nokręgu:\nv𝑚𝑎𝑥\nv𝑚𝑖𝑛\n= √3\nOblicz iloraz\n𝑭𝒏 𝒎𝒂𝒙\n𝑭𝒏 𝒎𝒊𝒏\n. Zapisz obliczenia.\n2.3.\n0-1-\n2-3-4\nMFAP-R0_100\nMFAP-R0_100","answer":null,"answer_text":"Zadanie 2.3. (0-4)\nWymagania ogólne\nWymagania szczegółowe\nV. Budowanie modeli fizycznych\ni matematycznych do opisu zjawisk oraz\nilustracji praw i zależności fizycznych.\nII. Rozwiązywanie problemów\nz wykorzystaniem praw i zależności\nfizycznych.\nZdający:\nI.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków\nschematycznych […] informacje kluczowe dla\nopisywanego zjawiska […].\nII.9) stosuje do obliczeń związki między\npromieniem okręgu, prędkością kątową,\nprędkością liniową oraz przyspieszeniem\ndośrodkowym;\nII.11) opisuje ruch niejednostajny po okręgu;\nII.12) wyznacza graficznie siłę wypadkową dla\nsił działających w dowolnych kierunkach na\npłaszczyźnie;\nII.13) stosuje zasady dynamiki do opisu\nzachowania się ciał;\nII.20) […] wykorzystuje zasadę zachowania\nenergii mechanicznej do obliczeń.\nZasady oceniania\nRozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych\nwarunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.\nWarunek SIŁY_MAX\nZapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ\nw najniższym położeniu a maksymalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji,\nnp. zapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\nWarunek SIŁY_MIN\nZapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ\nw najwyższym położeniu a minimalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji, np.\nzapisy równoważne poniższym:\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔\nUwaga! W przypadku rozwiązania zadania w układzie nieinercjalnym wszystkie warunki\ni wzory pozostają analogiczne z tą różnicą, że zamiast siły wypadkowej pełniącej rolę\ndośrodkowej rozważa się „siłę” odśrodkową (bezwładności) i zamiast II zasady dynamiki\nrozważa się równowagę sił (łącznie z „siłą” odśrodkową).\nWarunek SIŁY_MAX+WZORY\nSpełnienie warunku SIŁY_MAX oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej\n(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości maksymalnej 𝑣𝑚𝑎𝑥\ni zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nWarunek SIŁY_MIN+WZORY\nSpełnienie warunku SIŁY_MIN oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej\n(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości minimalnej 𝑣𝑚𝑖𝑛\ni zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔\nWarunek ZZE\nZapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej w najniższym\ni najwyższym położeniu ciała ℬ oraz uwzględnienie w tym równaniu prędkości 𝑣𝑚𝑖𝑛, 𝑣𝑚𝑎𝑥\nwe wzorach na energie kinetyczne i uwzględnienie różnicy wysokości 2𝑙 we wzorze na\nenergię potencjalną, np. zapisy równoważne poniższym:\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\nWarunek ZZE+ZALEŻNOŚĆ\nSpełnienie warunku ZZE oraz wykorzystanie związku\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛= √3, oraz wyprowadzenie\nzależności między 𝑣𝑚𝑎𝑥 albo 𝑣𝑚𝑖𝑛 a iloczynem 𝑔𝑙, np. zapisy równoważne poniższym:\n(𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙 oraz 𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3) → (𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙 albo 𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙)\nSchemat punktowania\n4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu sił reakcji nici oraz podanie prawidłowego\nwyniku liczbowego:\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 7\n3 pkt - spełnienie warunków:\nSIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY oraz ZZE+ZALEŻNOŚĆ\n2 pkt - spełnienie warunków: SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE+ZALEŻNOŚĆ\nLUB\n- spełnienie warunków: SIŁY_MAX oraz SIŁY_MIN oraz ZZE\nLUB\n- spełnienie warunków: (SIŁY_MAX+WZORY albo SIŁY_MIN+WZORY) oraz ZZE\n1 pkt - spełnienie warunku SIŁY_MAX\nLUB\n- spełnienie warunku SIŁY_MIN\nLUB\n- spełnienie warunku ZZE\n0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nZagadnienie rozwiążemy w inercjalnym układzie odniesienia. Siła reakcji nici działająca na\nciało ℬ podczas ruchu po okręgu ma największą wartość, gdy przechodzi ono przez\nnajniższe położenie (gdzie ma największą prędkość), a najmniejszą wartość - gdy\nprzechodzi ono przez najwyższe położenie (gdzie ma najmniejszą prędkość).\nSiła reakcji nici ma kierunek wzdłuż nici i zwrot do środka okręgu. Zatem siła wypadkowa\ndziałająca na ciało ℬ w górnym i dolnym położeniu ma charakter siły dośrodkowej i wiąże się\nz siłą reakcji nici i siłą grawitacji działającą na ℬ następująco:\n1) {𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔\n𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔\nZastosujemy wzór na siłę dośrodkową (równoważnie: II zasadę dynamiki i wzór na\nprzyśpieszenie dośrodkowe):\n2)\n{\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔\n𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔\n→ 2a)\n{\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n𝑙\n+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n𝑙\n-𝑚𝑔\nOkreślimy związek między maksymalną a minimalną wartością prędkości na podstawie\nzasady zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna w najwyższym położeniu\njest równa energii mechanicznej w najniższym położeniu. Ponadto wykorzystamy związek\nmiędzy tymi prędkościami podany w treści zadania. Z tych zależności wyznaczymy prędkości\nmaksymalną i minimalną w funkcji 𝑔 oraz 𝑙:\n3) {\n𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥\n2\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3\n→\n3a) {\n𝑚(3𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n)\n2\n= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛\n2\n2\n+ 𝑚𝑔2𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥\n𝑣𝑚𝑖𝑛\n= √3\n→ 3b) { 𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙\n𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙\nWartości prędkości otrzymane w pkt 3b) podstawimy do pkt 2a):\n4) {\n𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(6𝑔𝑙)\n𝑙\n+ 𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚(2𝑔𝑙)\n𝑙\n-𝑚𝑔\n→ 4a) {𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 7𝑚𝑔\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑔\nZapiszemy rozwiązanie:\n5) 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥\n𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛\n= 7\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"**Krok 1. Dynamika w skrajnych położeniach.** Siła reakcji nici jest zawsze skierowana wzdłuż nici, do środka. Wypadkowa pełni rolę siły dośrodkowej: - najniższe położenie (tam $v = v_\\text{max}$): $\\quad \\dfrac{mv_\\text{max}^2}{l} = F_{N\\,\\text{max}} - mg$ - najwyższe położenie (tam $v = v_\\text{min}$): $\\quad \\dfrac{mv_\\text{min}^2}{l} = F_{N\\,\\text{min}} + mg$ **Krok 2. Zasada zachowania energii** między najniższym a najwyższym punktem (różnica wysokości $= 2l$): $$\\frac{mv_\\text{max}^2}{2} = \\frac{mv_\\text{min}^2}{2} + mg\\cdot 2l \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{max}^2 = v_\\text{min}^2 + 4gl$$ **Krok 3. Wykorzystanie danego ilorazu.** Z $v_\\text{max} = \\sqrt{3}\\,v_\\text{min}$ mamy $v_\\text{max}^2 = 3v_\\text{min}^2$: $$3v_\\text{min}^2 = v_\\text{min}^2 + 4gl \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{min}^2 = 2gl, \\qquad v_\\text{max}^2 = 6gl$$ **Krok 4. Podstawienie.** $$F_{N\\,\\text{max}} = \\frac{m\\cdot 6gl}{l} + mg = 7mg, \\qquad F_{N\\,\\text{min}} = \\frac{m\\cdot 2gl}{l} - mg = mg$$ $$\\boxed{\\frac{F_{N\\,\\text{max}}}{F_{N\\,\\text{min}}} = \\frac{7mg}{mg} = 7}$$","image":"img/fizyka-2026-maj-matura-rozszerzona/zad-2.3.webp","solution_image":null,"topics":"ruch po okregu w plaszczyznie pionowej, sila dosrodkowa, zasada zachowania energii, konstrukcja geometryczna","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturaonline","text_source":"ocr","source_label":"Fizyka · Matura · maj 2026 (rozszerzona)","subject_label":"Fizyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 2.3. (0-4)
Siła 𝐹⃗𝑛, z jaką nić działa na ciało ℬ podczas jego ruchu po okręgu, zmienia swoją wartość.
Największą wartość tej siły oznaczymy jako 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥, a najmniejszą - jako 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛.
Dany jest iloraz największej i najmniejszej wartości prędkości ciała ℬ podczas jego ruchu po
okręgu:
v𝑚𝑎𝑥
v𝑚𝑖𝑛
= √3
Oblicz iloraz
𝑭𝒏 𝒎𝒂𝒙
𝑭𝒏 𝒎𝒊𝒏
. Zapisz obliczenia.
2.3.
0-1-
2-3-4
MFAP-R0_100
MFAP-R0_100

","answer_text_html":"

Zadanie 2.3. (0-4)
Wymagania ogólne
Wymagania szczegółowe
V. Budowanie modeli fizycznych
i matematycznych do opisu zjawisk oraz
ilustracji praw i zależności fizycznych.
II. Rozwiązywanie problemów
z wykorzystaniem praw i zależności
fizycznych.
Zdający:
I.7) wyodrębnia z tekstów, […] rysunków
schematycznych […] informacje kluczowe dla
opisywanego zjawiska […].
II.9) stosuje do obliczeń związki między
promieniem okręgu, prędkością kątową,
prędkością liniową oraz przyspieszeniem
dośrodkowym;
II.11) opisuje ruch niejednostajny po okręgu;
II.12) wyznacza graficznie siłę wypadkową dla
sił działających w dowolnych kierunkach na
płaszczyźnie;
II.13) stosuje zasady dynamiki do opisu
zachowania się ciał;
II.20) […] wykorzystuje zasadę zachowania
energii mechanicznej do obliczeń.
Zasady oceniania
Rozwiązanie będzie podlegało ocenie, gdy zdający spełni co najmniej jeden z poniższych
warunków lub ich kombinację, określoną dalej w schemacie punktowania.
Warunek SIŁY_MAX
Zapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ
w najniższym położeniu a maksymalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji,
np. zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
Warunek SIŁY_MIN
Zapisanie związku między wartością siły wypadkowej (dośrodkowej) działającej na ciało ℬ
w najwyższym położeniu a minimalną wartością siły reakcji nici i wartością siły grawitacji, np.
zapisy równoważne poniższym:
𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔
Uwaga! W przypadku rozwiązania zadania w układzie nieinercjalnym wszystkie warunki
i wzory pozostają analogiczne z tą różnicą, że zamiast siły wypadkowej pełniącej rolę
dośrodkowej rozważa się „siłę” odśrodkową (bezwładności) i zamiast II zasady dynamiki
rozważa się równowagę sił (łącznie z „siłą” odśrodkową).
Warunek SIŁY_MAX+WZORY
Spełnienie warunku SIŁY_MAX oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej
(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości maksymalnej 𝑣𝑚𝑎𝑥
i zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Warunek SIŁY_MIN+WZORY
Spełnienie warunku SIŁY_MIN oraz zastosowanie wzoru na wartość siły dośrodkowej
(zastosowanie II zasady dynamiki) z uwzględnieniem prędkości minimalnej 𝑣𝑚𝑖𝑛
i zastosowanie wzoru na wartość siły grawitacji: np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔
Warunek ZZE
Zapisanie równania wynikającego z zasady zachowania energii mechanicznej w najniższym
i najwyższym położeniu ciała ℬ oraz uwzględnienie w tym równaniu prędkości 𝑣𝑚𝑖𝑛, 𝑣𝑚𝑎𝑥
we wzorach na energie kinetyczne i uwzględnienie różnicy wysokości 2𝑙 we wzorze na
energię potencjalną, np. zapisy równoważne poniższym:
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

Warunek ZZE+ZALEŻNOŚĆ
Spełnienie warunku ZZE oraz wykorzystanie związku
𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑖𝑛= √3, oraz wyprowadzenie
zależności między 𝑣𝑚𝑎𝑥 albo 𝑣𝑚𝑖𝑛 a iloczynem 𝑔𝑙, np. zapisy równoważne poniższym:
(𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

𝑣𝑚𝑖𝑛
= √3) → (𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙 albo 𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙)
Schemat punktowania
4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu sił reakcji nici oraz podanie prawidłowego
wyniku liczbowego:
𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥
𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 7
3 pkt - spełnienie warunków:
SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY oraz ZZE+ZALEŻNOŚĆ
2 pkt - spełnienie warunków: SIŁY_MAX+WZORY oraz SIŁY_MIN+WZORY
LUB

\n\n

LUB

\n\n

LUB

\n\n

1 pkt - spełnienie warunku SIŁY_MAX
LUB

\n\n

LUB

\n\n

0 pkt - rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Zagadnienie rozwiążemy w inercjalnym układzie odniesienia. Siła reakcji nici działająca na
ciało ℬ podczas ruchu po okręgu ma największą wartość, gdy przechodzi ono przez
najniższe położenie (gdzie ma największą prędkość), a najmniejszą wartość - gdy
przechodzi ono przez najwyższe położenie (gdzie ma najmniejszą prędkość).
Siła reakcji nici ma kierunek wzdłuż nici i zwrot do środka okręgu. Zatem siła wypadkowa
działająca na ciało ℬ w górnym i dolnym położeniu ma charakter siły dośrodkowej i wiąże się
z siłą reakcji nici i siłą grawitacji działającą na ℬ następująco:

\n
  1. {𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑥= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝐹𝑔
\n

𝐹𝑑𝑜 𝑚𝑖𝑛= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝐹𝑔
Zastosujemy wzór na siłę dośrodkową (równoważnie: II zasadę dynamiki i wzór na
przyśpieszenie dośrodkowe):
2)
{
𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥-𝑚𝑔
𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
𝑙
= 𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛+ 𝑚𝑔
→ 2a)
{
𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
𝑙

\n\n

𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
𝑙
-𝑚𝑔
Określimy związek między maksymalną a minimalną wartością prędkości na podstawie
zasady zachowania energii mechanicznej. Energia mechaniczna w najwyższym położeniu
jest równa energii mechanicznej w najniższym położeniu. Ponadto wykorzystamy związek
między tymi prędkościami podany w treści zadania. Z tych zależności wyznaczymy prędkości
maksymalną i minimalną w funkcji 𝑔 oraz 𝑙:

\n
  1. {
\n

𝑚𝑣𝑚𝑎𝑥
2
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑖𝑛
= √3
→
3a) {
𝑚(3𝑣𝑚𝑖𝑛
2
)
2
= 𝑚𝑣𝑚𝑖𝑛
2
2

\n\n

𝑣𝑚𝑎𝑥
𝑣𝑚𝑖𝑛
= √3
→ 3b) { 𝑣𝑚𝑖𝑛= √2𝑔𝑙
𝑣𝑚𝑎𝑥= √6𝑔𝑙
Wartości prędkości otrzymane w pkt 3b) podstawimy do pkt 2a):

\n
  1. {
\n

𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 𝑚(6𝑔𝑙)
𝑙

\n\n

𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚(2𝑔𝑙)
𝑙
-𝑚𝑔
→ 4a) {𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥= 7𝑚𝑔
𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛= 𝑚𝑔
Zapiszemy rozwiązanie:

\n
  1. 𝐹𝑛 𝑚𝑎𝑥
\n

𝐹𝑛 𝑚𝑖𝑛
= 7
Zasady oceniania rozwiązań zadań

","solutions":[{"source":"maturaonline","label":"matura-online.pl","kind":"text","html":"

Krok 1. Dynamika w skrajnych położeniach. Siła reakcji nici jest zawsze skierowana wzdłuż nici, do środka. Wypadkowa pełni rolę siły dośrodkowej: - najniższe położenie (tam $v = v_\\text{max}$): $\\quad \\dfrac{mv_\\text{max}^2}{l} = F_{N\\,\\text{max}} - mg$ - najwyższe położenie (tam $v = v_\\text{min}$): $\\quad \\dfrac{mv_\\text{min}^2}{l} = F_{N\\,\\text{min}} + mg$ Krok 2. Zasada zachowania energii między najniższym a najwyższym punktem (różnica wysokości $= 2l$): $$\\frac{mv_\\text{max}^2}{2} = \\frac{mv_\\text{min}^2}{2} + mg\\cdot 2l \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{max}^2 = v_\\text{min}^2 + 4gl$$ Krok 3. Wykorzystanie danego ilorazu. Z $v_\\text{max} = \\sqrt{3}\\,v_\\text{min}$ mamy $v_\\text{max}^2 = 3v_\\text{min}^2$: $$3v_\\text{min}^2 = v_\\text{min}^2 + 4gl \\quad\\Rightarrow\\quad v_\\text{min}^2 = 2gl, \\qquad v_\\text{max}^2 = 6gl$$ Krok 4. Podstawienie. $$F_{N\\,\\text{max}} = \\frac{m\\cdot 6gl}{l} + mg = 7mg, \\qquad F_{N\\,\\text{min}} = \\frac{m\\cdot 2gl}{l} - mg = mg$$ $$\\boxed{\\frac{F_{N\\,\\text{max}}}{F_{N\\,\\text{min}}} = \\frac{7mg}{mg} = 7}$$

"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: $\\dfrac{F_{n\\,max}}{F_{n\\,min}} = 7$

\n

Położenia charakterystyczne. Prędkość jest największa w najniższym punkcie okręgu ($v_{max}$), a najmniejsza w najwyższym punkcie ($v_{min}$).

\n

Siła reakcji nici w najniższym punkcie (dół). Wypadkowa skierowana do środka (w górę):

\n

$$F_{n\\,max} - mg = \\frac{m v_{max}^2}{l} \\quad\\Rightarrow\\quad F_{n\\,max} = mg + \\frac{m v_{max}^2}{l}.$$

\n

Siła reakcji nici w najwyższym punkcie (góra). Obie siły ($\\vec{F}_n$ i $\\vec{F}_g$) skierowane w dół, ku środkowi:

\n

$$F_{n\\,min} + mg = \\frac{m v_{min}^2}{l} \\quad\\Rightarrow\\quad F_{n\\,min} = \\frac{m v_{min}^2}{l} - mg.$$

\n

Związek prędkości (zasada zachowania energii). Między najniższym a najwyższym punktem (różnica wysokości $2l$):

\n

$$\\tfrac{1}{2}m v_{max}^2 = \\tfrac{1}{2}m v_{min}^2 + mg\\cdot 2l \\quad\\Rightarrow\\quad v_{max}^2 = v_{min}^2 + 4gl.$$

\n

Wykorzystanie danych. Ponieważ $\\dfrac{v_{max}}{v_{min}} = \\sqrt{3}$, mamy $v_{max}^2 = 3\\,v_{min}^2$. Podstawiając:

\n

$$3 v_{min}^2 = v_{min}^2 + 4gl \\quad\\Rightarrow\\quad 2 v_{min}^2 = 4gl \\quad\\Rightarrow\\quad v_{min}^2 = 2gl,\\qquad v_{max}^2 = 6gl.$$

\n

Obliczenie ilorazu sił:

\n

$$F_{n\\,max} = mg + \\frac{m\\cdot 6gl}{l} = mg + 6mg = 7mg,$$
$$F_{n\\,min} = \\frac{m\\cdot 2gl}{l} - mg = 2mg - mg = mg.$$

\n

$$\\boxed{\\dfrac{F_{n\\,max}}{F_{n\\,min}} = \\frac{7mg}{mg} = 7.}$$

\n

Odpowiedź: $\\dfrac{F_{n\\,max}}{F_{n\\,min}} = 7$.

\n

Zasady oceniania CKE

\n

4 pkt - poprawna metoda obliczenia ilorazu sił reakcji nici oraz wynik $=7$. 3 pkt - poprawne wzory na siłę w najniższym i najwyższym punkcie oraz zapis zasady zachowania energii z zależnością prędkości. 2 pkt - dwie odpowiednie pary warunków. 1 pkt - poprawny wzór na $F_{n\\,max}$ lub $F_{n\\,min}$, lub poprawny zapis ZZE. 0 pkt - brak istotnego postępu.

"}]}