Zadanie 4.
W pewnym ośrodku materialnym 𝒪1 rozchodzi się ultradźwiękowa fala płaska ℱ o ustalonej
amplitudzie. W zadaniach 4.1.-4.4. pomijamy efekty związane z pochłanianiem tej fali
w ośrodku.
Informacja do zadań 4.1.-4.2.
Na rysunku 1. przedstawiono obraz fali ℱ w pewnej chwili czasu 𝑡0. Pionowe odcinki
odpowiadają powierzchniom falowym (fazowym) odległym od siebie kolejno o długość fali 𝜆1.
Na rysunku 1. wyróżniono odcinki 𝑎 i 𝑏 - pokrywające się z dwiema powierzchniami falowymi
w chwili 𝑡0. Czas przejścia fali ℱ od 𝑎 do 𝑏 jest równy Δ𝑡𝑎𝑏= 0,07 ms.
Rysunek 1.
Odpowiedź: 4.1. Z rysunku odczytujemy, że odległość między odcinkami $K$ i $L$ mieści dokładnie dziewięć długości fali: $$\\Delta t_{KL} = 9T \\quad\\Rightarrow\\quad T = \\frac{\\Delta t_{KL}}{9} = \\frac{0{,}07\\ \\text{ms}}{9} = 7{,}\\overline{7}\\cdot 10^{-6}\\ \\text{s}$$ $$f = \\frac{1}{T} = \\frac{9}{7\\cdot 10^{-5}\\ \\text{s}} \\approx 1{,}29\\cdot 10^5\\ \\text{Hz}$$ $$\\boxed{f \\approx 1{,}3\\cdot 10^5\\ \\text{Hz} = 129\\ \\text{kHz}}$$ 4.2. D — takie samo. Natężenie fali jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy: $I \\propto A^2$. We wstępie zapisano, że fala ma ustaloną amplitudę i że pomijamy pochłanianie — więc każdy punkt ośrodka drga z tą samą amplitudą, a natężenie jest wszędzie takie samo. 4.3. A Za wąską szczeliną (o szerokości porównywalnej z $\\lambda$) zachodzi dyfrakcja: szczelina staje się nowym źródłem punktowym, a powierzchnie falowe są koliste, rozchodzące się promieniście od szczeliny. Nie pozostają płaskie i nie zwężają się do wiązki. 4.4. Częstotliwość fali nie zmienia się przy przejściu do drugiego ośrodka — zmienia się prędkość, a z nią długość fali: $$\\lambda_1 = \\frac{v_1}{f}, \\qquad \\lambda_2 = \\frac{v_2}{f} \\quad\\Rightarrow\\quad \\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = \\frac{v_1}{v_2}$$ $$\\boxed{\\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2} = 2}$$ Rysunek. Ponieważ $v_2 < v_1$, fala przechodzi do ośrodka wolniejszego, więc: - kąt załamania jest mniejszy od kąta padania — kierunek biegu fali w $M_2$ załamuje się w stronę normalnej, - powierzchnie falowe w $M_2$ pozostają prostopadłe do nowego kierunku biegu, czyli są odchylone w lewo względem linii $b, c, d, e, f$ w $M_1$, - odstęp między nimi jest dwa razy mniejszy niż w $M_1$.
\nTreść zadania (CKE)
\nCo się zmienia, a co zostaje przy przejściu fali do innego ośrodka
\nTo jedna z najczęściej sprawdzanych tabelek w całym dziale fal:
\nWielkość | Przy przejściu do innego ośrodka
częstotliwość $f$ | nie zmienia się — narzuca ją źródło
prędkość $v$ | zmienia się (własność ośrodka)
długość fali $\\lambda = v/f$ | zmienia się proporcjonalnie do $v$
kierunek biegu | zmienia się (załamanie)
Stąd bierze się cała odpowiedź w 4.4: skoro $f$ jest wspólne dla obu ośrodków, to $\\lambda_1/\\lambda_2 = v_1/v_2 = 2$.
\nOśrodek wolniejszy = kąt mniejszy
\nPrawo załamania w postaci „falowej":
\n$$\\frac{\\sin\\alpha_1}{\\sin\\alpha_2} = \\frac{v_1}{v_2} = \\frac{\\lambda_1}{\\lambda_2}$$
\nTu $v_1 = 2v_2$, więc $\\sin\\alpha_1 = 2\\sin\\alpha_2$, czyli $\\alpha_2 < \\alpha_1$. Reguła do zapamiętania:
\nWolniej → bliżej normalnej. Szybciej → dalej od normalnej.
\nTa sama reguła rządzi światłem przechodzącym z powietrza do szkła — tam też ośrodek jest „wolniejszy" i promień zbliża się do normalnej.
\nNatężenie fali a amplituda
\n$$I \\propto A^2$$
\nTa proporcjonalność wyjaśnia oba warianty:
\nSytuacja | Co się dzieje z $A$ | Co z $I$
fala płaska, brak pochłaniania | stała | stałe
fala kulista | $A \\propto 1/r$ | $I \\propto 1/r^2$
fala pochłaniana | maleje wykładniczo | maleje wykładniczo
Zadanie 4.2 celowo opisuje pierwszy przypadek — i cała trudność polega na tym, żeby to zauważyć, a nie odruchowo sięgnąć po drugi.
\nDyfrakcja na wąskiej szczelinie
\nZasada Huygensa: każdy punkt ośrodka, do którego dotarła fala, staje się źródłem elementarnej fali kulistej. Gdy w przeszkodzie jest szczelina o szerokości rzędu $\\lambda$, przepuszcza ona zasadniczo jeden taki punkt — i za przeszkodą obserwujemy fale koliste rozchodzące się we wszystkich kierunkach.
\nIm szersza szczelina w porównaniu z $\\lambda$, tym mniej wyraźna dyfrakcja i tym bardziej za przeszkodą fala przypomina wąską wiązkę. Dla szczeliny znacznie węższej od $\\lambda$ ugięcie jest maksymalne.
\nPunktacja CKE
\n1 pkt — zauważenie zależności $\\Delta t_{KL} = 9T$ oraz zastosowanie wzoru na prędkość/okres fali.
\n2 pkt — dwa z tych warunków; 1 pkt — jeden.
\nTypowy błąd: W 4.1 najczęstszy błąd to policzenie powierzchni falowych zamiast odstępów. Jeżeli między $K$ a $L$ narysowano 10 linii, to odstępów jest 9 — i to one odpowiadają długościom fali. Klasyczny „błąd płotu": liczba przęseł jest o jeden mniejsza niż liczba słupków. Druga pułapka w 4.1: 0,07 ms to nie 0,07 s. $1\\ \\text{ms} = 10^{-3}\\ \\text{s}$, więc $\\Delta t_{KL} = 7\\cdot 10^{-5}\\ \\text{s}$. Pominięcie tego przeliczenia daje wynik 1000 razy za mały — i częstotliwość 129 Hz, która wcale nie jest ultradźwiękowa. W 4.2 kusi myślenie „im dalej od źródła, tym słabiej". To prawda dla fali kulistej, gdzie energia rozkłada się na coraz większą powierzchnię. Tu mamy falę płaską o ustalonej amplitudzie i bez pochłaniania — natężenie się nie zmienia. Zadanie sprawdza, czy czytasz założenia z treści. W 4.3 kusi rysunek z falą płaską przechodzącą przez szczelinę bez zmian. Wąska szczelina to podręcznikowy przypadek dyfrakcji — za nią fala rozchodzi się we wszystkich kierunkach, koliście, zgodnie z zasadą Huygensa. W 4.4 uwaga na kierunek załamania. Fala wchodzi do ośrodka wolniejszego, więc załamuje się do normalnej (kąt maleje). Odwrotny błąd — odchylenie od normalnej — kosztuje warunek K, a często i warunek PF, bo powierzchnie falowe rysuje się wtedy w złą stronę. I jeszcze jedno: powierzchnie falowe są zawsze prostopadłe do kierunku biegu fali. Jeśli dorysujesz kierunek pod jednym kątem, a powierzchnie pod innym, rysunek jest wewnętrznie sprzeczny.
"}]}